Правый обратный для оператора свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 85-87.

УДК 517.547.2

ПРАВЫЙ ОБРАТНЫЙ ДЛЯ ОПЕРАТОРА СВЕРТКИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА

С.Г. МЕРЗЛЯКОВ

Аннотация. В данной заметке рассматриваются операторы свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа меньше а, а ^ то. Показано, что линейный непрерывный правый обратный для операторы свертки существует тогда и только тогда, когда характеристическая функция данного оператора имеет конечное число нулей в открытом круге с центром в нуле и радиуса а.

Ранее вопрос о существовании линейного непрерывного правого обратного для оператора свертки изучался в пространствах голоморфных в выпуклой области функций, ростков голоморфных функций на выпуклых компактах, целых функций порядка не выше р, р > 1, а для пространства целых функций экспоненциального типа не рассматривался.

Ключевые слова: оператор свертки, правый обратный, пространство целых функций экспоненциального типа.

1. Введение

Вопрос о существовании линейного непрерывного правого обратного для оператора свертки изучался в пространствах голоморфных в выпуклой области функций, ростков голоморфных функций на выпуклых компактах, целых функций порядка не выше р, р > 1 (см. [1], [2], [3]), а для пространства целых функций экспоненциального типа не рассматривался.

В данной статье мы восполним этот пробел.

2. Несуществование правого обратного

Обозначим через [1, а) пространство целых функций экспоненциального типа меньше а с обычной топологией, 0 < а ^ то, а через Da — круг {z £ C : |z| < а}.

Нижеследующие сведения можно найти в работах [4], [6], [7], [5].

Линейный оператор A : [1,а) ^ [1,а) непрерывен, если он секвенциально непрерывен.

Последовательность функций ipn £ [1, а), n £ N сходится в топологии пространства [1, а) тогда и только тогда, когда последовательность ^n сходится равномерно на каждом компакте и существуют константы с, е > 0 такие, что равномерно относительно n выполняется неравенство |^n(A)| ^ св(ст-е)|л|.

Сильное сопряженное к пространству [1,а) изоморфно пространству голоморфных функций H(Da) с естественной топологией, причем функционалу S £ [1, а)* соответствует функция f (z) = (St,etz).Оператор свертки Mf : [1,а) ^ [1,а) определяется по формуле

S.G. Merzlyakoy, Right inverse of the convolution operator in the space of entire functions of exponential type.

© Мерзляков С.Г. 2010.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00 779) и Гранта Президента РФ НШ 3081.2008.1.

Поступила 3 июня 2010 г.

(Mf <^)(Л) = (£^, ^(Л + ^)), функция f называется характеристической функцией оператора М/. Это линейный непрерывный оператор, сюрьективный в случае f = 0. Для функций Л, Л Є Н (Дст) выполняется соотношение МЛЛ = М/1М/2.

Приведем теперь основной результат данной статьи.

Теорема 1. Пусть f є Н(Дст), f = 0.

Оператор свертки М/ имеет линейный непрерывный правый обратный тогда и только тогда, когда у функции f конечное число нулей в круге Оа.

Доказательство. Пусть у функции f конечное число нулей в круге . Рассмотрим оператор Т, заданный следующим соотношением

(гг 1 [ 7(^)еЛг л

(Т^)(Л) = ^/ ^

J |.г|=г f (^0

где функция 7 ассоциирована по Борелю с функцией <^, а окружность ||г| = г} содержит внутри себя все корни функции f круга . Несложно показать, что этот оператор линейно и непрерывно отображает пространство [1,ст) в себя, и является правым обратным для оператора М/.

Обратно, предположим, что линейный непрерывный оператор Т : [1,ст) ^ [1,^) служит правым обратным для оператора М/, и предположим, что у функции f бесконечное число нулей в круге .

Функцию f представим в виде f = дЛ, д, Л є Н(Дст), причем у функции д бесконечное число нулей в круге , все они простые и д(0) = 0. Тогда оператор К = М^Т будет линейным непрерывным правым обратным для оператора Мй.

Из неравенства

^ апЛп п!

п=0

сю

< КЛП| = е|а||Л|

П!

п=0

заключаем, что для фиксированного числа а є С, 0 < | а | < а, ряд

апЛп

оо

п!

п=0

сходится в топологии пространства [1, а). В таком случае в этой топологии сходится и ряд

а”Уп(А) п! ,

п=0

где ^п = К(Ап), и из сходимости общего члена ряда вытекает неравенство

|<Рп(А)| ^ С\т~гпеь|Л|, п е N0, (1)

|а|п

для некоторых чисел Ь, с > 0, Ь < а. Через N мы обозначаем множество неотрицательных целых чисел.

Функция <рп удовлетворяет уравнению (Мд^)(А) = Ап, п е М0, решением этого же уравнения является многочлен

... п! [ вЛ* . .

Рп(А)=2П1|.|=, 7(4^ “=• (2)

где окружность ||г| = г} не содержит внутри себя корней функции 7. Из неравенства (1) следует представление

к

Л

^п(Л) = рп(Л) + ^ а-пв^'Л, (3)

3 = 1

где Лі,... , Лк — все нули функции д, по модулю не превосходящие Ь, а аіп,... , а^п є С, п Є N — некоторые числа (см. [8]).

Для произвольных различных чисел Лі,. . . , Л^+і Є С найдутся числа ві,. . . , вк+і Є С не равные нулю одновременно со свойством

к+і

^вів"'Лі = 0, з = 1,...,к, (4)

і=і

и из равенств (2), (3) для числа а Є С, |а| < г, получим

в ^ в ^ аПрга(Аг) _ >т- в ^ 1 / araeAlZ

l=1 n=0 l=1 n=0 l=1 n=0 \z\ r ' '

_ V ß .і. i ** z _ Ek=+: ßie^ia

ß2n^\z\=r f (z)(z - a) f (a) '

Здесь левая часть голоморфна по a в круге , а правая часть, очевидно, имеет в нем бесконечное число полюсов. Полученное противоречие и доказывает теорему.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коробейник Ю.Ф. О правом обратном операторе для оператора свертки // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43, № 9. C. 1167-1176.

2. Мелихов С.Н., Момм З. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в C // Изв. вузов. Матем. 1997:5. C. 38-48.

3. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. матем. журн. 1993. 34:1. C. 70-84.

4. Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика, 1:1(1967). C. 60-77.

5. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. 87(129):4. C. 459-489.

6. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982. 240 с.

7. Трутнев В.М. Уравнения свертки в пространствах целых функций экспоненциального типа // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2006. Т. 108. C. 158-180.

8. D.G. Dickson, Convolution equations and harmonic analysis in spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. 184, № 2. P. 373-385.

Сергей Георгиевич Мерзляков, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: msg2000@mail .ru