Повышение эффективности демпфирования в системах типа Дуффинга с дискретной коммутацией частей упругих элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.01:534

ПОВЫШ ЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЕМПФИРОВАНИЯ В СИСТЕМАХ ТИПА ДУФФИНГА С ДИСКРЕТНОЙ КОММУТАЦИЕЙ ЧАСТЕЙ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Н. Н. Рассказова

ФГЫ1 «Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск, Россия

Аннотация - Для системы амортизации типа Дтффпнга с дискретной коммутацией частей упругих элементов получена характеристика позиционной силы, которая с использованием метода гармонической линеаризации представлена в вше линеаризованной функшш. С использованием амплитуды по-1енпшльной и лкишл 1 пиний сиоав.деюшид. мой функции определены иснивные л.<|рак1ерштпкп системы. такпе как эквивалентная жесткость системы, тангенс угла механических потерь, коэффициент относительного затухания. Полученный коэффициент относительного затухания имеет желаемый гиперболический тип, а в резонансе его значения достигают уровня от 0.45 до 0,6 по сравнению с обычным ме-

ханизмом внутреннего трения за счет энерго - и массопереноса, сопровождающего дискретную коммутацию частей упругого элемента.

1\лючевые слова: позиционная сплп, эквивалентная жесткость, коэффициент относительного înma-

I Введение

Известно, что независимо от величины силы сухого трения увеличение амплитуды возмущения обращает рсзо.-ишсное значение коэффициент.) охлоемтельншо затухания ъ нуль [1].В случае кьадрашчжж згвисимссш силы неупругого сопротнвленняот скорости при увеличении амплитуда возмущения происходит возрастание этого коэффициента не тслысо в резонансе, но и в зарезонанснон зоне. Таким образом силы неупругогосопро-тивлення. нелинейно зависящие от скорости, либо не обеспечивают удовлетворительного демпфирования в зоне резонанса, либо создают слишком большое динамическое воздействие на объект в зарезонанснон зоне [2].

Внутреннее трение в материале упругого элемента, обеспечивая наиболее подходящую форму зависимссти коэффициента относительного затухания от амплитуды [2]. не позволяет получить его приемлемый уровень в резонансе Увеличение амплитуды впзмуптения оказывает на этот коэфпиттиент такое же влияние как и в случае квадратичного трения [3]. Такое же влияние на неге оказывает и диаметр проволоки: целесообразно использовать ее большие диаметры, однако даже при постоянной массе объекта возникают проблемы обеспечения жёсткости упругого элемента, его габаритов и компоновки [1J.

Из-за этих динамических особенносгсн ь системах амортизации (СА) целесообразно и.чс1Ь i иисрОо.и-.чссклн тхш частотной зависимости коэффициента относительного затухания. При этом должно быть достигнуто уве-лнчение этего коэофициента в резонансной зоне до значений от 0.45 до 0,5. Такой тип этой зависимости в СА может быть достигнут путем дискретной коммутации (ДК) частей упругих элементов. Дискретная коммутация - это кратковременное соехгнеиие упругих частей связи, обеспечивающее повышение уровня диссипации энергии Пс сравнению с периодом колебаний это операция достаточно быстрого наложения и снятия жесткой (голопоипон) связи, выполняемая с одним :гз упругих элементов в определенном состоянии системы [-1]. Если эти накладываемые голономкые связи еше и склерономны, т.е. являются стационарными, то разделение упругих элементов на две части можно зыполннть только в состоянии статического равновесия системы. При их коммутации в процессе колебаний вследствие массопереноса между частями массово-габаритные характеристики упругих элементов оудут изменяться.

П. Алпсль разделяет связи на две категории [5]:

1 ) свяаи тел системы с другими неподвижными телами

2) связи тел между собой.

Если при этом на систему наложены только внутренние связи (вторая категория), то она является свободной. а если еше н внешние (первая категории) то несвободной

В.И. Арнольдом, В В. Козлиным и АЛ. Нсйшгддюм [б] рассмотрены раз.шчные способы реализации iujio-номных связен в направлении движения. Наложение связей этими способами имеет непосредственное отношение к анализу параметрических систем н систем с переменной структурой как прототипов систем с ДК упругих элементов.

П. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

D системе типа Дуффннга (рис. 1) дискретная коммутация (ДК) частей упругого элемента происходит не лва а ч?тыре рача на периоде колебаний - в амплитудных положениях объекта и в положении статического равновесия. В моменты ДК происходит энерго- и массоперенос частей упругого элемента.

Скачкообразное изменение массы деформируемого упругого элемента Màt,- [7], происходящее в моменты

коммутации его с аккумулирующим упругим элементом в зависимссти от четзертн периода колебаний, будет списываться как

mUit+Uit^ (1)

щ 2 2

где M. М% ~ масса деформируемой части иа ходах нагру:кення (в первой и третьей четвертях - движение из амплитудного положения в положение статического равновесия); . Mj^ - масса деформируемой части из ходах разгрузки (во второй и четвертой четвертях - движение из положения статического равновесия в

амплитудное положение); Г/ - функция Хевнсайда. принимающая значение Г] = +1 на участхах фазы колебаний уj = [О..л /2] и = [п..3х /2] н rj = -1 на участхах y'jj = [л /2...л] и (уПт = [зи/1...2л].

с1ы

Рис 1 Гхемя нелинейной колебательной системы г одной степечыо свободы с ДТС частей утр/того дгеуентя

Причем. ьъ:1л»■ симметрии системы долебашш сшослтельнс шмиления сгатическшо равновесия =<

Эквивалентные восстанавливающую F,.e.. (qrirl,;/) и днссипатавную FJi..iqre-,/.l) силы формирует относительнее перемещение qr., = q -х. В связи с геометрической нелинейностью системы, обусловленной структурой системы, начальными деформациями упругих элементов н с учетом фильтрующих свойств системы приближённое периодическое решение по обобщённой координате qr,j целесообразно записать в виде [8]

где аq r£i - амшшуда вынужденных относительных колебаний, СО - частота возмущения.

Так как сигт»\п симметрична относительно положения ста-ичегкого patmrwrw* то она не имеет смешения пепгра колебаний.

Введя обозначення Ас ге, = оа rel ¡¡dsf 0 - амЕЛНтуца колебании, // = 1асс/!^ 0 - безразмерная масса аккумулирующей части. после некоторых преобразовали:! получим оиражепие (1)для массы деформируемой ча сги в виде

(2 I (7 I 1)/Д,(/г I I)2 I Л~

гв1 И[Л 1 ОС"' О Md* =-—;---—-. СО

Таким образом, получается. что на участках фазы кэлебанкй п Уш (ДьижеЕне из амплитудного положения в положение статического равновесия) масса деформируемой части элемента М> 1: а на участках

I/22 я \jf jy (движение и? положения статическогл равновесия r амплитудное положение) масса деформируемой части элемента = 1.

Из-за изменения массы деформируемой части при колебаниях неавтономной СА с Д1С частей связи происходит периодическое смешение состояния равновесия элемента на величину А[8]

AL%f=Mdcf-l. (3)

На оснсве предложенной модели системы амортизации с дискретной коммутацией ССА с ДК) частей упругих элементов рассматривается задача обеспечения гиперболического типа частотной зависимости коэффнцн-

ента относительного затухания с достижением им в резонансе значении, близким в пределе к предельным для данного класса систем

П. Получение хараггерисгиеи позиционной силы

1. Характеристикстожрюнной силы по частям

При одной н той же амплитуде Ла га] с изменением отношения масс элементов ц будет изменяться смещение состояния статического равнозесня системы . а значит, и характеристика Ееконсервативной позиционной ситы Г^. (£)гв1

Позиционная сила Гро: (Оге1. //) дгл данной С А с ДК частей упругих элементов может быть найдена нз выражения длт потенциальной энергии системы П{Оге1.^} путем дифференцирования ее по обобщенной координате Оге1.

Выражение дл* потенциальной энергии системы П(Огв,, //) имеет ьнд:

=\сш {](м+1? +<2;„ - О/+1) - Г ■ (4)

где — 1/ (1 4- > - безразмерная жесткость деформируемой части упругого элемента.

Продифференцировав выражение (4) по обобщенной координате Qrd . найдем выражение для позиционной силы

>1*)- = =2 и'

Учитывая выражения (3) и (2), значение г) на участках иагружения и разгрузки, получим

1Ш ,_суС/уЧ-1>2 + -2u-i) + ,<ij^i))grel

Fpos yQret^U)— — ; I

Ui +1)V {/I + ir + 0;el (J(;/+1) - + <r#/ - //)

(6)

(7)

где F^ {0T6i, ц) - значение позиционной силы в первой и третьей четвертях, т.е. на участках, у/J ~ [0..jr/2] и у/ш — [я\..3я72], F^p {Orei, f-11 F^f ,//) значение позпциогсюп сипы do это

рой н четвертой четвертях у/ц = |яг/ 2...я\ н \yw

Данная функция обладает свойствами центральной симметрии (рис. 2а). т.е. смешения гентра колебании не происходит (рис. 2в).

Подставляя в (б). (7) обобщенную координату Ог<л = Aqrol cos у. получим некоторую периодическую функцию

„ш/ У b// +1 -pltl cos2iff f 0/ +1)2ЦЛ2 f 0/+1)2 + ccs^

----г • =Г- (8)

(// +!.)(// -, Л-гв1 + (// +1)-)<> А~rei cos- V/ + (// +1)-

7П,1У 4 ро:

л

Рис. 2. Характеристика позиционной силы

Скачки позиционной силы {у/, //) происходят в моменты ЦК системы в крайних амплитудных положениях (рис. 26).

2. Гармоническая линеаризация характеристики позиционной силы В линеаризованном виде выражение для позиционной силы запишется как

Рра* > /0 = Мрм + АСТМ СОБ Ц, ~ А5РМ БШ у/, (10)

гдр ^ г ¿иг' ^Г Ик/' А г - некотоРые безразмерные коэффициенты, которые определяются по формулам

2л-2 7Г о

1 2л п о

1

Агмг =--1 ¿у,

(Н) (12) (13)

где Мр описывает постоянную составляющую позиционной силы, Аср - амплитуду ее потенциальной

составляющей. Ар - амплитуду днсснпативной составляющей этой силы в функции ненззестных парамет-ров решения Ая ге! н отношение масс //.

Интегрирование е выражениях (11). (12). (13) выполняется отдельно для нагруження деформнруемсго элемента на отрезках у/] =[0—.яг/2], у/щ = [я"...3я72] и дгл егэ разгрузки на отрезках у/ц = [я72..лг],

у/П: = [Зл-/ 2 ..2тг\ В результате в выражениях для коэффициентов Мр ¿у. Ар ■^т.Иеу нет разделения

на участки нагруження н разгрузки. 'Это означает, в частности, что неоднозначная характеристика позиционной силы (10). имеющая характер петли гистерезиса, процедурой гармонической линеаризации превращается в однозначную характеристику восстанавливающей силы (рис 2в).

Постоянная составляющая позиционной силы Ми ¿¡^ равна нулю. так как в системе нет смещения центра колебаний го отношению к состоянию статического равновесия (рис. 2).

Амплиту да потенциальной составляющей позиционной силы Ар ^ (рис. 3)равна

ЧЕ^^Л-К^.мММ* +4/7+ +С" + 1)2 -/') + /г)(/< +1;

Ар ¿¡^ =----- =--ь

и-^А^м +0/ + 1)')

(14)

^1ге1(Р2 + -К// + 1)2)

(л +!)(// - ^А-+ (А +1)2 )

я 11 . ж/2

где К (А. ге!. //) = | ^-= | йу; .'1-1 Х1~А2 1 (// + 1): | эш2^ - эллиптический интеграл пер-

0 VI-*2 51П2 Ц! С ' * ^ Я,Г ' )

вого рода;

я/2 _ я/2

Е(Ад гв1. //) = [ -\jl-k2 бш" у/с1у/ = | Л -1 Лц ге1 / (//+1)2 | 1 у/ dу/- эллиптический интеграл

о о

второго рода.

л2ге,

к - \ д г"' модуль интеграла [91. (и+1)2

о 0.5 1 1,5

а) 6)

Рис. 3. Поверхнсстъ гмплитуды потенцнальнойссставляющен позиционной силы (а) и ее сечения плоскостями и = сопх (о)

1 - \1=0;

2 - [1=0,25;

3 - \Х=О.У:

4 - ц=0.'5: 5-[1-1

Эквивалентную, или динамическую, жесткость се^(А^ге1) (рис. 4) - можно получить сразу, до анализа уравнения движения, разделив амплитуду потенциальной составляющей (14) на амплитуду Агтл [8]

Ceq (Aq.rel) =

AF.def Aq.rel

A(E(Aqrel.^-K(Aqrel,^))((jr- ■ V ■ 2Щл\ге1 ■ (// ■ l)2 -//) ■ //2)Q ■ 1)

i i—^-7

27Li~rel (// + 1)0' " X ¿q.rel + (/' + !)")

t

Ki'q.rel О'+ft-0* + Aq.rd + 0' + 0 ~ ) 2яАд,е1 (/' + " yjAq.rel + (/' + 1)" )

/ о

о)

Рис. 4. Поверхность эквивалентной жесткости системы (а) н ее сечения плоскостями // = const (б)

Амплитуда днсснпатнзной составляющей познцнснной силы (рис. 5) равна

,, _ М(Ад.гб1 + V + 4//)(1 + // - Л/(// 4-1)2 + Л1ге1) + 2М].ге1 )

+ !)(/' - + 1)2 + л]ге1)

lJW

(16)

0,03

0.02

0.01

/-И = 4; 2-yi = 5. 3-ц = 12; 4-il=16

1 /

2,

/ < --------

0 0.5 J 1.5 Л,

а)

о)

Рис. 5. Поверхность амплитуды днссиштивной составляющей позиционной силы (а) и ее сечения плоскостями // = const (6)

С использованием частоты свободных колебаний со^ (Лд ге1) собственное время системы и безразмерная частота возмущения вводятся как

СО СУ со

г = со Л А. г,{)1. Г] =-;-=--=---(17)

• ьул,^) й>шх;се11(А^е1) ^(А^)

где сопяг - собственная, а ) - безразмерная частота свободных колебаний.

Эквивалентный коэффициент сопротивления имеет вид [8]

ою

• * У(АЯм№Я.те1 Выражение для коэффициента относительного затухания Ц>{Ач го1) запишется в виде [8]

= ^Ц = - - - (10)

2 ^ ) 2гр^Г£1с£а (Аа ге1)

В соотзетстЕнн с (19) получим выражение для частотных характеристик коэффициента относительного затухания

»/(Л .) =

7(хЧ2«/+0' + 1)2 -/О ' у2 ' УХуЧ2'*/ ' С" *)2 1 /0 у^/ 1 0м11>2)

>/''> - + 4/г+2)(у'^ + (//ч-1)2 -//) //2 X/' + 0 -

+ +(/4+1)")

Почти постоянное значение тангенса утла механических потерь = Ар / Ар^ =2у/(Ад ге[)>7 [10] (рис. 7а) обеспечивает требуемую гиперболическую зависимость коэффициента относительного затухания (рис.76).

а) 6)

Pec. 7. а) — Зависимость тангенса угла механических потерь от амплитуды относительных колебаний; б) — Частотная характеристика коэффициента относительного заггухши. 1 -для линейной системы с цг = 0,25

1\г. Обсуждение результатов

Способ амортизации объектов, основанный на ДК частей упругих элементов в амплитудных положениях объекта и в положении статического равновесия, обеспечивает периодическое смещение состояния статического равновесия, придавая системе тем самым неконсервативные свойства. Сущность технического решения достигается с помощью энерго- и массопереноса между деформируемой н аккумулирующей частями упругого элемента, который происходит вследствие весьма быстрого по сравнению с периодом колебаний снятия-наложения жесткой связи.

Коэффициент относительного затухания при этом имеет желаемый гиперболический тип.

V. ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Схемы ряда систем амортизации описываются уравнением Дуффннга. н применение дискретной коммутации к ним позволяет достичь увеличения коэффициента относительного затухания в мне низкочастотного резонанса до значения от 0.45 до 0.6 по сравнению с имеющимися в системах с внутренним трением, где уровень коэффициента относительного затухания достигает лишь 0,2. Причем, как и в системах с внутренним трением, в зарезонансной зоне происходит его монотонное уменьшение, тем самым не создается слишком большое динамическое воздействие на объект.

Список литературы

1. Калашников Б. А.. Рассказова H. Н. Сравнительный анализ различных видов демпфирования в механических системах Н Омский научный вестник. Приборы, машнны и технолопш. 2008. № 3. С. 5S-64.

2. Коловскнй М.. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. М_: Наука, 1966. 317 с.

3. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих снстем.М: Фнзматгнз, I960. 190 с.

4. Калашников Б. А. Динамика модели автомобиля с упруго-демпфирующими пневмоэлементамн /У Известия вузов. Машиностроение. 1985. № б. С. 69-73.

5. Аппель II Теоретическая механика.М: Гос. нзд-во фнз.-мат. лит.. 1960. T. I. -516 с.

6. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Динамические системы-3 //Итоги наукн и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления Т. 3. Математические аспекты классической и небесной механики науч. ред. Р. В. Гамкрелндзе. М.: 1985.304 с.

7. Рассказова H. Н. К вопросу повышения эффективности демпфирования в системах типа Дуффннга Я Динамика систем, механизмов п машин. 200?. Кн. 1. С. 80-86.

8. Калашников Б. А. Системы амортизации объектов с дискретной коммутацией упругих элементов: монография Омск: Изд-во ОмГТУ, 200S. 344 с.

9. ЯнкеЕ.: Эмде Ф.. Лёш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). -М: Наука. 1964. 344 с.

10. Калашников Б. А. Об одном способе амортизации, основанном на дискретной коммумацнн частей упругих элементов И Машиностроение и инженерное образование. 2009. № 1. С. 42-52.