Устойчивость систем амортизации с дискретной коммутацией частей упругих элементов с кусочно-линейной характеристикой позиционной силы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.01:534

Б. А. КАЛАШНИКОВ Н. Н. РАССКАЗОВА

Омский государственный технический университет Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АМОРТИЗАЦИИ С ДИСКРЕТНОЙ КОММУТАЦИЕЙ ЧАСТЕЙ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИЛЫ

Определена устойчивость системы амортизации с дискретной коммутацией частей упругих элементов в рассматриваемом диапазоне параметров системы. Построены частотные характеристики показателя степени в экспоненциальном решении дифференциального уравнения относительно отклонения амплитуды при фиксированном отношении масс и предельном возмущении. Рассмотрена работа позиционной силы системы амортизации с дискретной коммутацией частей упругих элементов. Установлено, что работа позиционной силы есть многозначная функция обобщенной координаты, и поэтому работа по замкнутому пути не будет равна нулю.

Ключевые слова: устойчивость стационарных амплитуд, поверхность связи, работа позиционной силы, потенциальная энергия, показатель степени, частотные характеристики.

Введение. Вопрос устойчивости стационарных амплитуд относительных колебаний при вынужденном движении имеет решающее значение для любой системы амортизации. При любом возмущении стационарного режима система либо будет стремиться к устойчивому в малом состоянию равновесия (амплитуда колебаний будет уменьшаться, колебания — затухать), либо неограниченно удаляться от исследуемого стационарного режима (амплитуда колебаний будет нарастать) в зависимости от знака начального возмущения [1, с. 227].

Постановка задачи. По закону сохранения энергии в стационарном режиме количество энергии, рассеиваемое эквивалентной неконсервативной силой при некоторых стационарных значениях амплитуды относительных колебаний за один период колебаний вынужденного движения, равно количеству энергии, вносимой в систему вынуждающей переносной силой инерции. В переходных режимах, возникающих, например, после некоторого возмущения стационарного режима системы, когда амплитуда меняется на некоторое значение 8ЛЧ ге1, рассеиваемая и вносимая энергии также будут отличаться от своих стационарных значений. Кроме того, появится отличное от нуля изменение потенциальной энергии.

В статье рассматривается задача нахождения условия устойчивости системы амортизации сдис-кретной коммутацией частей упругих элементов в переходных режимах.

Обобщенная динамическая модель систем амортизации с дискретной коммутацией (СА с ДК).

В системах амортизации в качестве рабочих сред, применяемых для создания деформируемого и аккумулирующего элементов между защищаемым объектом и основанием, может использоваться упругое тело в различных конструктивных исполнениях, жидкость, газ [2, с. 58].

В случае использования в качестве рабочего тела упругих элементов газа в моменты коммутации любая сколь угодно малая часть его может перетечь из деформируемой части в аккумулирующую и наоборот, в то время как в элементах из твердых деформируемых тел переносится некоторая ограниченная часть обоих элементов. Несмотря на это, различие, обусловленное физическими свойствами рабочих тел, способы осуществления их дискретной коммутации одинаковы. Общим свойством этих СА является энерго- и массоперенос между деформируемыми и аккумулирующими элементами, который происходит вследствие весьма быстрого наложения и снятия жесткой связи [2, с. 63].

В случае использования газа эту связь можно представить как некоторую жесткую оболочку Sh и жесткий тонкий диск Bind (рис. 1). В положении статического равновесия суммарная масса газа в цилиндре M£ = Mdflg+ Macc0 распределяется между элементами в некотором отношении

V = Macc,0/Mdef,0 = 1acc,0 /1dei0 [2] . Эт° и произвольное

распределение массы газа между частями при

Рис. 1. Обобщенная динамическая модель систем амортизации с дискретной коммутацией упругих элементов

колебаниях осуществляется путем установки диска Bind и соединения его с оболочкой Sh всегда в одном и том же положении. Для имитации массопе-реноса между элементами состояния статического равновесия устанавливается тонкий безмассовый поршень P (рис. 1).

1. Поверхность связи параметров решения и отношения масс частей СА с ДК частей с кусочно-линейной характеристикой позиционной силы. Уравнение поверхности связи параметров решения и отношения масс имеет вид [2, с. 106]

МЕ

= - 1 +

М2

= 0,

(1)

Где V = Macc,0 /Mdef,0 =

со /f — отношение масс ак-

кумулирующей и дефо рмируемой части; Мчге1 = 1 + тчпй/1 — смещение центра колебфний по отношению к состоянию статического равновесия;

Адге1 = адГе1 Л*» — ампюитуда колебаний.

Уравнение (1) будет иметь до трех корней М^'23 и всегда два корня Ф^2 (рис. 2).

При любых значениях параметра ц (кроме 0 и да) одна и та же амплитуда может устанавливаться при трех различных значениях смещения (рис. 2). Горизонтальная прямая аЬ, на которой М?ее1 =1 при ц = 0, соответствует линейнойконсер-вативной системе. В состоянии равновесия (горизонтальная прямая Ьс) смещение также равно нулю, т.е. М(,ее1=1 при любом ц.

2. Работа позиционноф силы, потенциальная энергия и количество рассеянной энергии гармонически линеаризованною системы. В системах с коммутацией (необязательно дискретной) частей позиционная сила зависим не только от обобщенных координат, но и от способа коммутации, так как от него зависит величина смещения состояния статического равновесия А1С™гПо-разному коммутируя части, можно получать разные неоднозначные и недифференцируемые зависимости силы и ее работы от координаты. Особенно ясно это видно на примере СА с пневмоэлементами с непрерывной или дискретной коммутацией их частей [2, с. 72-73].

Выражение для элементарной работы не является полным дифференциалом некоторой функ-

Рис. 2. Поверхность связи параметров и отношения масс частей. Линия экстремальных амплитуд щ(ф ,м . Параметр I при движении от точки а к с изменяется в пределах от 1 до 0,12735

ции координат, так как сила может явно зависеть не только от них, но и от времени [3, с. 22]. Такие силы возникают в параметрических системах (не-стоф ионарные позиционные силы).

Использование процедуры гар мфн аческой лине-орюзации позволяет арименить понятие потенци-аоьной энергии к Ю^^ с ИФ частей упругим элетлн-стю на шсриоте нолебаний.

Вьаражение /лю накофаерватевмой позиционной силы неоднозначных кусфчао-линейных СА с ДК частей в безразмерном виде запишется как

Ррр, (ва, б) й ССИ [0ге1 т АТСеИ ) й

аТсИЯй1 т Л НЧФр,ге1 )

б + 1

где п1 -

AL

1+

б

Mi,

О, -

, (2)

' + VAg,rel f б + М q,rel + VAeM ^

безразмерное отоос—гельное перемещение;

Qdf периодическое смещение состояния равновесия.

О-rei =—1- = (Me -1 + \rei coe^> ALdf = М def -1 . (3)

+def f

В результате интегрирования выражения по-и -ционной сиды п—луииа вы]пажение для работы по-зиционноп силы

Рис. 3. Характеристика работы и потенциальная энергия СА с ДК частей: а — на кривой И; б — для всех трех корней поверхности связи (табл. 1). 1 — при нагружении; 2 — при разгрузке деформируемой части; вертикали 3 и 4 — линии коммутации; линия 5 — потенциальная энергия гармонически линеаризованной системы; 6 — потенциальная энергия системы в моменты коммутации;

вертикаль 7 — у

М — 1 — смещение центра колебаний

Таблица 1

Значения параметров и постоянных интегрирования (5) в характеристике работы позиционной силы (4) и потенциальной энергии (7)

маге1 АУш1 С1 С"-1

^ = 4

На И 0,185 0,683 -0,108 -0,446 0,0065 0,180

1 0,150 0,880 0,0242 -0,228 0,0002 0,0336

2 0,150 0,442 -0,374 -0,681 0,112 0,729

3 0,150 -0,303 -1,198 -1,638 -3,619 -2,103

1НН °Я) =

Я +1

1+-

М

Ч,гн'

-лЛ,

(У,

мМдМ~1 + (

2 Я + М,1 И ^

Ч,гн'

Ч,гн'

+с'-

в котором постоянные интегрирования определяются отдельно для +агруже+иа и разгрузки деформируемой час2и эяемента по выраженияс

^1,1с1 _ *

1 1

(

2 я +1

1 +-

я

\

М

Ч,гН

-иЛ

Ч,гН

я

МЧ.Н э 1 + ИАч,е1

я+ Мчм + ИА

Ч,гН

ными состояниями статического равновесия на ве-личину ИУ!]11 .

На .ис. 3а приведен график работы позици-

Л^г

(4)

(4), по с троенный для амплитуды

Мн]Кг

оннои силы

и смещения МЧ~н, полученных с мием параметрианского представления -ч,Г].Мд,м/ч)[2, ([. 114].

9? (Л,

ЧГ,

исполь зсев а-криуой

. А. 2г ,,,, 2 ,, (г2-1)2

Л)= ^МхМ = Ч,',11= Ха ,

3-1

г2(3-г2)

(5)

Эти постоянные равны работе, совершаемой позиционной силой деформируемой частью элемента на перемещении, равном смещению состояния статического равновесия. При этом следует считать, что рассматриваются две независимые консерва-

' ,1с'

тивные системы с жесткостями з[]Г и со смещен-

Постоянные С'ип1 ^ожно трактовать как потен-циаоьн^, э нергию системы после приведениа ее в состояние начального статитеского равновеиия . Значтоия их различны, так; кик различны иначетии смещения состоянии гтаткчесекгго равно)есия (У. п]ч гннагружении и разгруз ке ивяз и.

В табл. 1 привеуены значения постоянных инте-гри.ования го (з]>) г смещений аост-енияравновесия ИУн/ , смещендй Мч н1, соответствую щих характерным амалитудам А11н1 при отнош ении масс [1 = 4.

Пнотеоциалыая энтрдия гармонически линеаризованной системы (кривые 5 на рис. 3) построена по выражению

ч

ч

ч

ч

ч

nq(Qrel ) = 2 (Aq,rel )(Qrel " (Mvel "I))2 , (7)

эквивалентная жесткость в котором определгется выражением [2, с. 107]

Heq (Aq,r2l ) =

К 71

к7

о

q.rel

M2 - а2

LVÍ q,rel q.rel

(8)

Вычислим сумму разностей работ позиционной силы в моменты коммутацти частей, которая геометрически выражается суммой ординат ай и Ьс на рис. 3. При фазе колебаний щ = 2пк, к = 0, 1, 2... обобщенная относительная координата булет изменяться как О ,= М , — 1 + А , и изменелие раРоты позиционной силы (ордината ай на рис. сс найдееср по выражению

Ц3р„(ЫФр,се.) = - ЦТс УОге! Ы

+ С' - ([с)е= Осе - ЦцТс-)сОее1 ыО); (9)

при фазе колебаний щ=n(2k+1), k = 0, 1, 2... Q , = M —1 —A , и измен ение раб оты позиц ион -ной силы (ордината bc) составит величину

лз^Ы^) = QcíMe--Q*) +

мСя -(fQrd-ÁLf dQrd мCA= ■ (10)

Подставляя в эти выражения значения жесткости деформируемой части с1)"1 и смещения состоял W, uní

ния статического равновесия naLdo , которые определяются выражениями [2, с. 103, 87]

1

(

Hf

+ + 1 ■ ■

1+ ■

■

M

)í¿

-"■A

Ají.-*-,, 00 я*~1 + Т1A

def

q,rel ), reí

(11)

■ + M q,rel+TA

q reí

получим разности работ позиционной силы в амплитудных п оло же ниях системы:

А 3+«=—7 / +1

1 + -

/ l^(0^qAeí -1+ Aq М )2 (K+qоel "1)2"А,

Mq,reí Aq,reí

2 х

q, reí

/ + Mq reí - Aq reí

1+-

M q.rel Aq,0

/12 KrH -1--Aqrel )2

)(/ + Mqreí - Aqr¿ )2

1 +-

/+

Mq,reí + Aq,reí

(

(Mq req -1 + Aqreí)2 (Mqre-K2а^rel ) --^-

2

2

/+ M q rel + Aq rel

1 + -

_

Mq,rel + Aq, reí

/ (Mqrel -1 + Aq, reí )2

(12)

аз;

/+1

1+-

/_YKreí -1 - Aqrel )2 (Mq, щ - 1)2 - A^ 4

---/-

Mqrel + Aqrel Ji 2 /+ Mqrel+Mrel

1 +-

i Mq,rel + Aq, reí

/ (Mq.rel -1+Aqrel)2

2(/+ М) + Aqreí )2

0 +-)W-

i M)re) -Aq,rel

Í°qrel - 1 - A4rel )2 Krel - 1 - 0,2 ):

2

2

/+ Mqrel -Aq, reí

1 + -

Mq,rel Aqrel

/ (lrd -1 - Aq,reJ2

2(/ 22Mq,rel - Aq,re¿ )2

(13)

После символьного упрощения в пакете компьютерной алгебры оказывается, что српма разсостей работ позиционной силы (12) и (13)

А3 = АЗ+ +А3( =

4rM ,„,A,2

q,rel q,rel

Г 1)lMlä ( Aqrel )

= AW

доч aqM. m^aa

(r+1)(м ;А[(А)2Га)

IA)!) ;^<q,í*;oHy )ЕОЗСР)ННГН]И^ Эqjej:)tma ir caa^oHapAOM

pe

AO * (A),0 M)-0 ) =( —M)^ Mil )

sup[- ),rel' ),r*

)0 6)

(Irl)

равна количеству рассеянной за период энергии AW. ^о зако]^}г сохранения энергии в оежие!е ]з:ы-нужденного дв^ж^е^ни5о кОоОичест]^и ра,с^се!;1нной за период ннеонии OW к ОН ao;ujíci^o ]^oi:echí;^t:ie0c^í;^ ео.си-честву идв еденной эиергии ■E0£,sup.

Устойчивость сещко1^арных амплитуд. K^oeic^-чество энергии, раосеиваемое эквиоалеиттой о\ис-с1^пато^]Е^ой силой при ненооорых ст^ион^]^ныо|; 31^(^ирениях амплитуды нтносительыых ]с^олеОаниЫ Ы* reí и сыещения М* rd за один пеосод ыд*oiíi.oOíoдий вынужде^н^ого движения, определяотся еырожени-ем [2, с. С20.

где 0EEsup — колио!ссдво ^нер^ии, вносимое в систему пе ре нодвной силой инерции. Н а баланс е этих видов энервии устан авливаюес се зн ач еи ия Ы* гП

и М 'м . i

В переоодных режимах, возникающих, на-премер, после некоторооо ]^oз:мyщеыIся сса-¡еиос^^^но^о рожима с^ивте^^1 с сСеиоси]со]Зс1н-н ым отношенном моде fi, коое-идо аоооятуда

А.о! и ы0*0 О оо°,Ге1 ] oi^0^«0]0]]^ 63 М, и ^^ О он-reí ■

(15)

),qe[ , ~ ["e'J]-)o),i—y[ ^qraÍ а,reí .

эаертои Ay0Aa)2l+0Aod,M0d+myJ, O-^ Ц + +-ag,ra,M)A¡+<0Aare¡) б^lо,ll2г o2)^u][l^T)2r2:я ет 'c2оеIl)x стацоенарaj^ix; зH]äoie—mí но неео-орые в^;\_ичины е— -T^,reiM);)ei) A ¿АО+хгОТ,.,M*,,)- КТ)[ме *гого, из-менениепотенциальНай энергии(^г) за период уже не будет рагао .нулю , т.е. + Т5 ,m'c.)¿i+'

+ MpJ*0.

о >

1

+

X

1

+

X

Закон сохранения энергии в этих; режимах; за- Разлагая вы°ажение (15) в ряд Тейлора по двум

писывается в виде переменным — амплитуде и смещению в окрест-

ности статист нар ного состояния и удерживая в нем 5не«н-К;],)рнП(ыч*,гн?[ М1ге)=8ЬЕМ(ы;„?[МА).(1М) члеты нА выше перв°й степени, получим ааетно-

шение

twA rd +SAqM,M'qM )-AW * {а^М'^д ) +

8W (A, rel,Mq, д)

8A

q, Mel

SM,

Aq,rel ~jAq,rel 'q.rel - M'q,rel

q,rel

8W(Aq e ,Mq,rd )

8M,

q,rel

SM.

Aq,rel -jMq,rel 'q,rel -K,rel

q,rel

(18)

частные производные в котором находятся по вы-раж ения м

SW (Aqe , Mqrd)

8A.

'q,rel

(м+i)Mc--A^)2

(19)

8W(Aq e ,Mq e )

8M,

q,rel

Aq,rel ~Aq,rel Mq ,rel =M"q,rel

(м'?м + M:^ ) ~(m+i)(Mq2el - m:m )2

(20)

Вариацию рассеянной энергии можно найти как разность ее значений в возмущенном (18) и стационарном состояниях (15):

SAW -

8a(A,,Mq,rj

8A

м:„,-м",„,

А-* +

8W( Aqre M )

8M„

M„

(21)

M,„(-Mr,,H

Вариации амплитуды относительных коле-

В гармонически линеаризованной системе,

баний SAqed и смещения &M. , входящие в (21), в которой собственное время системы введено как не являются независимыми; они связаны между а = wnlltt , уравнение свободного движения имеет вид собой уравнением поверхности связи. Для получения соотношения между этими вариациями вос- Q' + 2i//AA дИИИ=+С; (A rd )Q = 0. (26)

top :'Г1 lq q,rl

пользуемся представлением поверхности связи 0:/

в виде зависимости амплитуды от отномения масс Изменание потенциальной энергии за время,

и смещения, на которой смещение изменяется равное одному периоду, мсжет быть найдено из

о диапазоне 01ЯЫ;ЫяЯ,\. Для части 0, на кото- разложения амплитудиогс (еачeQияпотенциальной 0ой амещеоксе Mqrd о0, амплитуда A; \ = A2 J0 (Ы>ис. 4д 0r ЫЫ^вы!) межд;г вареациями амплитуды и сме-

энергии (7), определяемой выражением 1

щемия не обоих отр:зках изменения смещения еечить из выражения

П(\rel ,Ы:.Д ) = - C; (A;,rel M ) A!,rel ,

(27)

в ряд Тейлдра по eмыщeниж и ммылитуде в окрест-А°жно пое:»^и[ога^ из вырастая для амп2итуды ности невозмйщетптых зннчпний

А:,ГД1 3 Ыч,Д

по соотношению

M-M^-i)

П Aqe M;M) = n (Aй: д , M ^ д ) +

dA,

-;,rMl

q,ril

дМ

;:'el

MM

q , r el

(22)

дй

дА А:гД =A*.,-

M,.r,l =M",:r,l

м:,д +

дй M

dM A,,r.l=A"4.l :,rd'

M; rel =M* rel

(28)

4 Вычитая из этого выражения стационарное зна-

Нроизводная от амтлитуды по смещению имеет чение потенциальной энергии, получим ее прира-вид щениеза период свободных колебаний

дА

q,rel

_ м3 лМ^-m^M м+м л

2 M - M-3 л i) ] ^(мq rd- \){mл-л1M л)

Подставляя вариациюсмещения из (22)

(23)

(

MM

V1

дА.

dM

MA

(24)

в выражение для вариации рассеянной за период энергии (21), паамим

MAW (MAqril Ми, )о

dW ( А;,д Mqrd )

dWM\rehM q,„l)

MA

;, r;l

dM

q,ril

A,„l 3 A„„ M,„l 3M'qM

dA

'q, ril

dMM

q,ril

А,:Д0А„„

Aq,rd, (25)

Рис. 4. Симметрия поверхности связи относительно плоскости А = 0 обусловлена квадратом амплитуды Ее вариацию 8А 1 следует брать положительной

=А

А.....,о AM

Mо А

M,ril 3M,,ril J

А___,о А

-q дд M. ..,oM

34

АЯ ( , M ) =

дП

дЛ

АЛ,

q, гх4

дП

дМ

АЛ

q,rel ■

(2 9)

Частные производные, входящие в ), наводятея дифреренцированием (27) по амплитуде

дп Н1: Нв.я - МтА1е1+ Ке,т1 + Н^)

дЛ Л(—Р,Г.1

Mq.A'Mq.,

=«+i)(- q2ei - rq22)

и по смещению

дП_

дМ

Л(,геГ iM(,rel Ц Aq,rd(

= -ц--г

кА 2ЦцokvcJ

(31)

дЛ

АЛ , - q,re

q.rel

дМ

q.rel

AM

(¡■■reel ■

(3 0)

(32)

Приближенно сврмь м(жду приращениями ам-

П одставляя выражение для приращения смеще-

плитуды и смещения оа перто,0 кядебаний может ния (32) в выражение для приращения потенциаль-быть выражена в соответствии с (22). Отсюда

ной энергии, получим

АП?К,П( =

дП

дЛ

дП

дM

л,,Хг =\=,

Mq [ =Mq

дЛ,

дМ„

л(, rel = л(.г[1 М? rel =M*( ,

АЛ

(33)

Приращение амплитуды за период приближенно може т бытьпредставлено в виде [1,с. 225]

АЛ , =

q, rel

dT M Vmat

Заменяяв (34) амплитуду ее стационар-

ного значения и ее mЛ]эиацил л?, re, = Л* rd +Зл? ы , ш> лучим

(34)

d

АЛ , =

q,rel i dp.

К-

(35)

где vnat = A^eq (Л?Г[1 ) e2 (rqM) — тастот^ стободных колебаний демпфированно(r сис-емьг с"п0 > 1 ■

Теперь выражение (33) ondcывает в2риацию по тенциальнгй энергии

¿МЩ J=

(

йП

dr

л? M'Arl

м, п йм:,

йП

йМ

Л(йиГ,Х

nil „,-м

р-

йЛ

q,rel

йМ

q,rel

dT„,

-KJ -

с

(36)

Пр=нимая кинематическое возмущение в виде чество энергии, подводимой к системе за это время: X = Х0зоЩ + и), где ¥— Фаза колебаний, умножая

уравнение движения

Q" + 2WQ'rel+ceqQrel=-X"

AEsup и -рЯо3 Лр,Х

(38)

(37) Находя из частотной характещистики оинуе

угла сдвига фаз между относительными переяе-на относетельную с=орость <2'т = оНдге1о$'™щ и инте- щенияме и /ознущением и подставляя его в (38), грируя на п:эриоет Ьг = 2о/с, нандем коли- получим

E 2р М )_ 2РХМч* , q ,гх1 UU 3 *Я' ,rel ASuM1,^1- q,rel f (,-(Л-Л-Г" ■

-l-- + 4ix>,e (Л?^, 2Mqrel 3

(39)

Вариация подводимой энергие находитня аналогичноваеиации рассеянной энергии (25):

= = 1

¿AESup(irr<

ГХ1<МРГ[1

ь

йЙ^S(lp(^Лq.r[rЛ^,,rrl и

йЛи

Ep(AqM ,ЛЛq,rel)C A,-

ЙЛргх? ',rp,rel ^qsel -r?,rd ~'Aq,rel

Mprel йЛ'(,Г[1 V '(M N sT

иМ(,

¿Л„

(40)

Проютодные дЩие/¡с)А,он^,о1 =н'д,1!

. н ,°1=н',,г,1 и ЭДЕ[Щ1 дН),геЛн),,1 = :)_„, получены после подстанов-

' н),: =н),:

ки в (39) выражения для коэффициента относительного затухания с последующим разложениемрезультата в ряд Тейлора по двум переменнымине выписываются по причине чрезвычайнойгромоздкости.

Подставляя вариации рассеянной энергии (25), потенциальной энергии (36) и подведенной энергии (40) в закон сохранения энергии (17), получим

d ).

ЗЛ

= Vark{r'q/d, M'q/d )dz.

q,rel

2я

(41)

E s x О го

Л

q ,rel q ,rel

(,ГХ1 ?,Г[1

+

35

Рис. 5. Частотные характеристики показателя степени в решении (43): на кривой ^ ина поверхности Т"' (а); на поверхности т'" для амплитуды возмущения Х0 = х0'т/2 (б)

+7.9

* » Л; +7.8

3 а; ад

| +7.7

I +7.6

§ ¡3

5Х.7-х!!т х 1:2- Х!!т х2;3- Х1Г х 3;

: Щ У. 4-Х*тх4; 5-ХЦтх5

Ач

: 'л ц = 4 X'™ =0,137

: 2' у /А

: А \тЧ" /Л\ /

Г7 А _ А

О 0.5 1 1.5 2 2.5

Частота возмущения 7]

+8

<+7.5-

а

а; ^

к

+ 7"

и

<3

N А /2

/1= 10 \\\

/ на Б .

4 ~2-Х*тх2; ■3-Х10'тх3; -4-ХЦтх4; ' 5 - хЦт х 5 ■----

\ V е/4

х"т X т,0918

0.5 1 1.5 2 2.5 3 Частота возмущения 7]

Рис. 6. Частотные характеристикипоказателястепенив решении (43): на поверхности Тш для ц = 4 (а) и ц = 10 (б)

а

Коэффициент к(п**ге1 ,М'дге) зависит от про- (23). (;ио). е31)- и от производных дАЕ5Щ1/М^ изводных, определяемых выражениями (19), (20), и дАЕшо/дМч,гё , входящих в (41):

к = ■

дАЕ°и0( Пх,ге1,мх,ге, )

ип

~д,ее1

дАЕ*ио(Пх,ге„ Мх,ге1) дПд,е,

ИМх^е, Пх, ее1 =Пх, ее1 дМд,Ге, ПХ,ее1 = Пх,ге1

м,м =м'°м V Мх,е =М°м у

игр

~ип

дП

им

дП^ ге1

дМ Чгее1 ПХ,ее1 = Пх, ее1

V МХ,ее1 =МЧ,ее у

ИАН (Пд,е!, М.

д,ее1'

дП

д,ее1

ИАН (Пд,е!, М.

д,ее1 >

ПХ ,г(пПх,ге,

мх г„=м°

им

дПд=еео

ПХ, ее1 =Пх, ее1 дМ х, ее1 ПХ,ее1 =Пх,ее1

!М,,ее1 =М*, еП V М,М=М,,ге у

0-1

Интегрирование дифференциального уравнения (41) с хач альным условием 5П°ге1 дает решение

в виде

ьпх,ге1 =Ке ех0

^к (п*

2л У н

■д,ге1,Мд,ьеН ]

(43)

Х,ее1

'Мх ы =Мх „Л 'М„ „1=М„ Гв1 )

(42)

Показатель степени к(П* , М * ,1 зависит

\ д,ее1? х,ее1 /

от параметров относительного движения и чксно -ты возмущения п, поэтому рассчитывался подобно частотным характеристикам, зависящим от этих параметров, при амплитуде возмущения Х!™ ,

+

П,.Ге, = П

М,М =М,

-1

П,м = а

нН„ ..,=п

М е =М

МхМ =М

36

соответствующей кривой экстремальных амплитуд п(н1Г(1>Mq,rd,Xl) °Рис. 5а) и поверхности Т-- (çoc. 5б).

При амплитуда: впзмущения X0 < X0 , с.е. иа T'°p чсстотные характеристики показателн степе-cia имеют менре выраженный, проктипескп монотонный харсктер измеиеоия.

Отрицателрное рначение показателя степени H(Hqrei,П* rei Т Р ртсрматриваемом диапазоид нарт-метров систенл1 н возмущения Xи<. 5) указывдео

_ ntop abat

на ее устойчивость на обеих частях Tct и Tct повергли ости стязи Tst (рис. 4).

При вычислении показателя H(нОдге1,М*^ на поверхности Тс (рис. 6), на которой динамическая иестсость C(q(Hq r(¡) < 0, перед производными (ТОО, (30) следует сменить знак.

Положительное значение показателя степено н(н* и ,М* и ) в рассматриваемом диапазоне пата-метров системы и возмущения (рис. 6) указывает на ее неустойчивость на части поверхности Tut (рис. 4).

Выводы.

1. Сумма разностей работ позиционной силы равна количеству рассеянной за период энергии. Это объясняется тем, что для всех трех корней уравнения поверхности связи (и для положительных, в частности) зависимость работы позиционной силы от обобщенной координаты представляет собой замкнутую кривую с самопересечением. Иначе говоря, работа позиционной силы есть многозначная функция обобщенной координаты, и поэтому работа по замкнутому пути не будет равна нулю.

2. Отрицательность показателя степени в экспоненциальном решении дифференциального уравнения относительно отклонения амплитуды при фиксированном отношении масс и предельном возмущении указывает на устойчивость СА с ДК

частей с кусочно-линеинои характеристикой позиционной силы на части поверхности связи параметров сположительнымзначением смещения центра колебаний.

3. Независимо от отношения масс л-кратное превышение предельной амплитуды возмущения приводит к срыву параметров на! нижнюю часть поверхности связи параметров Лиа! с развитием неустойчивости движения.

Библиографический список

1. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний : учеб. пособие для вузов / Я. Г. Пановко. — 3-е изд., перераб. - М. : Наука, 1989. - 252 с.

2. Калашников, Б. А. Системы амортизации объектов с дискретной коммутацией упругих элементов : моногр. / Б. А. Калашников. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2008. — 344 с. — ISBN 978-5-8149-0637-3.

3. Румер, Ю. Б. Термодинамика, статистическая физика и кинетика : учеб. пособие / Ю. Б. Румер, М. Ш. Рывкин. — 3-е изд., стер. — Новосибирск : Изд-во НГУ, 2001. — 608 с.

КАЛАШНИКОВ Борис Александрович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры основ теории механики и автоматического управления Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: bkalashnikov1@yahoo.com РАССКАЗОВА Наталья Николаевна, инженер-технолог научно-производственного предприятия «Прогресс», г. Омск.

Адрес для переписки: nata_rasskazova@mail.ru

Статья поступила в редакцию 20.04.2016 г. © Б. А. Калашников, Н. Н. Рассказова

Книжная полка

621.9.02/Р33

Режущий инструмент : учеб. для вузов по направлению подгот. дипломир. специалистов «Конструк-торско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»/ Д. В. Кожевников [и др.] ; под ред. С. В. Кирсанова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М. : Машиностроение, 2014. - 519 с.

Рассмотрены вопросы проектирования основных видов металлорежущих инструментов и оптимизации их конструктивных и геометрических параметров. Описаны современные конструкции режущих инструментов, изложены тенденции их развития с учетом отечественного и мирового опыта. Для студентов машиностроительных специальностей вузов.

621.74/Ч-49

Чернышов, Е. А. Теоретические основы литейного производства. Теория формирования отливки : учеб. для вузов по направлению подгот. 150700 «Машиностроение» и 150400 «Металлургия»/ Е. А. Чер-нышов, А. И. Евстигнеев. - М. : Машиностроение, 2015. - 479 с.

Изложены основы теории формирования отливок — от приготовления расплава до получения готовой отливки. Приведены физические и литейные свойства металлов и сплавов, вопросы кристаллизации, затвердевания и охлаждения, теоретические и практические аспекты, оказывающие влияние на качество отливок. Для студентов машиностроительных и металлургических направлений и специальностей высших учебных заведений. Может быть использован инженерно-техническими работниками, аспирантами и преподавателями в практической и учебной работе.