Дискретная коммутация упругих элементов как способ обеспечения демпфирования в осцилляторе Дуффинга Текст научной статьи по специальности «Физика»

Список литературы

1. Детали машин / под ред. О. А. Ряховского. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 544 с.

2. Jula, D., Dumitrescu, I., Lupulescu, M., Poiana, L., Ro§u (Girjob), E. Safety couplings used in the mechanical transmission of the rotating system ON 1400 EsRc BUCKET WHEEL EXCAVATORS. Annals of the University of Petro§ani, Mechanical Engineering. 12 (2010). 133-140.

3. ГОСТ 15622-96. Муфта предохранительная фрикционная.

4. H. Larsson and K. Farhang. Vibrational Interaction of Two Rotors with Friction Coupling. Hindawi Publishing Corporation. Advances in Acoustics and Vibration. Vol. 2016. Article ID 9275147, 9 p.

http://dx.doi.org/10.1155/2016/9275147.

5. Анурьев В. И. Справочник конструктора-машиностроителя : в 3 т. Т. 2. / под ред. Н. И. Жестковой. М.: Машиностроение, 2006. 960 с.

УДК 621.01:534

ДИСКРЕТНАЯ КОММУТАЦИЯ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КАК СПОСОБ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЕМПФИРОВАНИЯ В ОСЦИЛЛЯТОРЕ ДУФФИНГА

DISCRETE SWITCHING OF ELASTIC ELEMENTS AS A WAY TO PROVIDE DAMPING IN THE DUFFING OSCILLATOR

Б. А. Калашников1, Н. Н. Рассказова2, В. Н. Сорокин1

'Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 2Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск, Россия

B. A. Kalashnikov1, N. N. Rasskazova2, V. N.Sorokin1

'Omsk state technical University, Omsk, Russia 2Research and production enterprise "Progress", Omsk, Russia

Аннотация. С целью повышения эффективности гашения колебаний в неавтономной системе Дуф-финга упругий элемент разделён на деформируемую и аккумулирующую части, между которыми четыре раза на периоде осуществляется дискретная коммутация, заключающаяся в кратковременном разъединении и соединении частей. Вводятся понятия скачкообразного изменения начальной длины деформируемой части и смещения состояния статического равновесия защищаемого объекта. Массоперенос между частями упругого элемента, происходящий в моменты дискретной коммутации, приводит к диссипации энергии механических колебаний. С использованием введённых понятий построены характеристики позиционной силы, выполнена их гармоническая линеаризация, найдены эквивалентные коэффициенты жёсткости, демпфирования и относительного затухания, проанализировано влияние на них амплитуды относительных колебаний, отношения масс частей и начального натяжения.

Ключевые слова: уравнение Дуффинга, дискретная коммутация частей упругого элемента, смещение состояния статического равновесия, коэффициент относительного затухания.

DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-1-56-74

I. Введение

Динамические характеристики систем амортизации объектов с дискретной коммутацией частей упругих элементов (пружин, торсионов, пневмоэлементов), продольная ось которых совпадает с вектором перемещения, подробно исследована в работах [1, 2, 3, 4]. В этих системах введено разделение упругих элементов на деформируемую и аккумулирующую части и их дискретная коммутация (ДК) в амплитудных положениях объекта. Такая модификация связей позволила получить значительное увеличение коэффициента относительного затухания в зоне резонанса и в значительной мере удовлетворить требованиям к системам амортизации [5, 6] без введения специальных демпфирующих устройств. Известные механизмы демпфирования колебаний (Кулонов, линейный, квадратичный, гистерезисный) рассмотрены в работах [1, с. 13; 6, с. 128; 7, 8]. Наиболее близкими по физической сущности демпфирования, создаваемого ДК, являются системы с перескоком [9, 10, 11, 12]. В работах [10, с. 53; 11, с. 44] указывается, что в момент перескока возникают высокочастотные колебания, в результате которых за счёт внутреннего и конструкционного трения происходит рассеяние механической энергии. Аналогичное утверждение содержится в работе А.П. Иванова [13], рассматривавшего соударение упругой пружины с абсолютно жёсткой преградой.

В отличие от систем, рассмотренных в [9, 10, 11], в которых нет деления упругого элемента на части и установки между ними коммутатора, массоперенос, сопровождающий ДК, происходит независимо от амплитуды силового или кинематического возмущения.

Системы с перескоком, описываемые уравнением Дуффинга, находят применение в строительной промышленности в качестве виброплощадок [14, 15, 16]. В этих системах жёсткого типа под перескоком понимается срыв установившихся колебаний с верхней ветви амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) на нижнюю и наоборот, и, несмотря на скачкообразное изменение начальной длины упругого элемента, внутреннее трение в нём не учитывается. В работе [17] найдены приближённые выражения для частот срывов и соответствующие им амплитуды для мягкого и жёсткого типов слабо демпфированного осциллятора Дуффинга.

Уравнение Дуффинга [18] изучается уже 100 лет, т.к. является типичным представителем нелинейных механических систем. В работах [8, 9, 19, 19] рассматриваются жёсткие и мягкие амплитудно-частотные характеристики ОД с линейным демпфированием. В статьях Аврамова К.В. и Михлина Ю.В. [21, 22] и др., а также в [23] рассматриваются свободные и вынужденные колебания системы с фермой Мизеса как поглотителя колебаний с линейным трением и без него. Энергетическая сторона вопроса об эффективной амортизации объектов в рассмотренных работах не рассматривается.

II. Постановка задачи

В настоящей работе рассматривается осциллятор Дуффинга, упругий элемент которого разделён на две части: деформируемую и аккумулирующую, в которые введено начальное натяжение. В определённых по относительному перемещению положениях защищаемого объекта выполняется ДК частей, заключающаяся в кратковременном разъединении-соединении частей, сопровождающаяся массопереносом с высокочастотными колебаниями и последующим рассеянием энергии колебаний. Ставятся задачи построения характеристик позиционной силы, их гармонической линеаризации, нахождения эквивалентных коэффициентов жёсткости, демпфирования и относительного затухания, влияния на них амплитуды относительных колебаний, отношения масс частей и начального натяжения.

III. Теория и результаты

1. Скачкообразный закон изменения масс частей упругого элемента ОД при их ДК

Во всех системах Дуффинга без дискретной и иной коммутации частей [19, 24, с.12,] начальное натяжение s0 в упругие элементы за исключением системы, рассмотренной в книге [25, с. 75], не вводится. Между тем оно (рис. 1) оказывает существенное влияние на все характеристики свободного и вынужденного движения [25]. Кроме того, если жёсткость в состоянии равновесия системы равна нулю и s0 = 0, то построить теорию ОД с ДК в безразмерном виде невозможно.

По этой причине в ОД с ДК частей при открытом коммутаторе 1 вводится начальное натяжение s0 (рис. 1). Пронормированное к начальной длине деформируемой части, оно находится по выражению

Рис. 1. ОД с ДК упругих элементов: 1 - коммутатор; 2 - деформируемый элемент; 3 - аккумулирующий элемент; 4 - абсолютно жёсткий; элемент; 5 - ось 0щ - вертикальная ось симметрии системы в её состоянии

статического равновесия; 6 - начальное натяжение , распределяющееся по обеим частям пружины

В состоянии статического равновесия системы независимо от величины начального натяжения (на прямой 0щ) и выключенном коммутаторе 1 (рис. 1) безразмерная суммарная масса частей упругого элемента (пружины) Ыъ = Ыщ 0 + Масс = 1 + /и независимо от начального натяжения распределяется в некотором отношении

и = Ыасс,о!Ыск1 0 = ¡аее/ 1А?,0 •

При воздействии на систему кинематического возмущения х (/), осуществляемом путём гармонического горизонтального перемещения основания, абсолютное перемещение массы М найдётся как сумма переносного х и относительного движений, т.е. = x + ^. При обращения относительного перемещения в нуль необходимо произвести ДК частей упругого элемента, иначе, вследствие того, что безразмерная масса деформируемой части больше, чем 1 в состоянии статического равновесия, т.е. > 1, она начнёт разгонять систему вместо её демпфирования за счёт ДК. Поэтому в системе Дуффинга с ДК частей (рис. 1) в отличие от схем, исследованных в [1], ДК частей упругого элемента должна происходить не два, а четыре раза на периоде колебаний.

Скачкообразное изменение массы деформируемого упругого элемента , происходящее в моменты коммутации его с аккумулирующим элементом независимо от четверти периода относительных колебаний k = I, II, III, IV описывается следующим образом

Mdef =

(Ml + Munl Ml - Munl ^

M def + Mdef M def M def

2

2

(1)

где Mäef - масса деформируемой части при её нагружении в I и в III части периода, M- при её разгрузке во II и в IV части периода, rj - функция Хевисайда, принимающая в (1) значение +1 на отрезках фазы относи-

3-

тельных колебаний у =

о,-2

Уш =

2

и -1 на отрезках уи =

- " 3- ^ "

— , - _ 2 _ > WIv = —, 2- _ 2 _

Выражение (1) может быть записано в виде

Mäef = M2f+VM[

amp' def ,

(2)

в котором М"^ - среднее значение массы деформируемой части, на которое накладывается амплитудное зна-

чение массы M.

Эквивалентные восстанавливающую (^ /л,80) и диссипативную (цге1 / силы формирует относительное перемещение = q - х. С учётом фильтрующих свойств системы приближённое периодическое решение по обобщённой координате ^ целесообразно записать в виде [26, 27]

= mq,rd + aa,elC0Sat :

(3)

где т I - смещение центра колебаний по отношению к состоянию статического равновесия; а 1 - амплитуда вынужденных относительных колебаний, а - частота возмущения.

Безразмерная масса деформируемой части после ДК в амплитудных положениях системы в первой и третьей четвертях периода находится по выражению

Mldef = (м +1)

1 --

м

г., +(/ + 1У

в котором Лдге1 = адге11¡щ 0, а минимальная масса этой части во второй и четвёртой четвертях периода -

1

Mf = (м +1)

1 + м

= 1 .

(4)

(5)

В соответствии с (1) и с учётом (4) и (5) выражение для массы деформируемой части (рис. 2) записывается в виде

Mdef =

(м+V

(

\

1 -

м

4А1 e +(М +1)2

1

+ - + л 2

(м+Ц

(

\

1-

м

e+(м+1))

Дифференцируя (6) по отношению масс частей м , найдём, что _, = 1,95.

rei =2

2

Рис. 2. Масса деформируемой части упругого элемента: М1^ - при его нагружении в I или в III части периода, МЦ^. - при его разгрузке во II или в IV части периода колебаний: 1 - вертикальная плоскость ц = 1,95, проходящая через экстремум сечения поверхности М'лг вертикальной плоскостью А, = 2

При Aq,rel = 0 И

= 1. Это означает, что экстремумы в сечениях поверхности Мйе, на рис. 2 плоско-

стями A i = const располагаются на некоторой пространственной кривой.

В соответствии с выражением (2), слагаемые в (6) записываются в виде

( \

Mav =

M def

(и +1)

2

1 -

И

4A2,re, + (И + 1)

(7)

выражение для средней массы, а

MT!" =

(и + i)

def

1 -

И

JAquMM+iy

(8)

- выражение для её амплитудного значения.

Если упругий элемент не разделен на две части, т.е. ¿и = 0 , то независимо от симметрии системы этот элемент по (7), (8) имеет постоянную массу, равную 1.

Вычитанием (7) из (8) устанавливается связь между средней и амплитудной массами деформируемой части

мте/=1+мт. (9)

2. Смещение состояния равновесия объекта ЛЦге1

2.1. Изменение начальной длины упругого деформируемого элемента ЛЬае/ при его ДК с аккумулирующим элементом

Скачкообразное изменение массы деформируемой части (1), происходящее в моменты ДК с использованием (2), (7), (8), приводит к безразмерному изменению начальной длины деформируемой части ЛЬ^ (рис. 3), которое может быть найдено как

. (10)

ampl

ALdef - M = Mf -1 - Mf + Mf -1 -ALaf + vLf

С учётом (7), (8) выражение (10) переписывается в виде

( ( (И +1)

ALdef =

(и + 1)

2

1 -

4

И

'<* +(и+1)2

1

-- + 7 2

2

1-

4

И

'<* +(и+1)2

Л А 1

(11)

1

+

В первой и третьей четвертях при т] = +1 (11) принимает вид

л4/ = (м+1)

1 -

м

+ (м +1)2

-1.

а во II и IV четвертях -

ЛЬ%. = 0.

(12)

(13)

Из (11) следует, что среднее и амплитудное значения изменения начальной длины деформируемой части (рис.3) найдутся по выражению

( \

лп\%=льт=м

Ле/ Ле/ 2

1 -

М +1

+ (м +1))

(14)

а) б)

Рис. 3. а) -3D-графики изменения начальной длины деформируемой части: 1 - при её нагружении в первой и третьей четвертях Лпо (12); 2 - при её разгружении во второй и четвёртой частях периода ЛЕ™/ по (13);

3 - поверхности среднего и амплитудного значений смещения ЛЩе/ = ЛЕ^' по (14) б) - скачкообразное изменение начальной длины деформируемой части ОД, происходящее в моменты ДК

2.2. Кусочно-постоянные жёсткости ОД с ДК в функции фазы колебаний

Подставляя в выражения для безразмерных жёсткостей деформируемой и аккумулирующей частей пружины [1, с. 103]

1 1

1+ ЛЬ

Л т

выражение для безразмерного изменения длины деформируемой части (11) получим

1

(м+1) 2

(

Л

1 -

м

+(м+1)2

1

+ — + п 2

(м)

2

(

Л

1 -

м

<]А2+(м+1)2

(15)

м-

(м+1

2

Л

1-

м

]а2чМ +(м +1)2

1

+ 2-1

М1)

2

1-

м

+(м+1)2

(16)

В моменты коммутации деформируемый и аккумулирующий элементы соединены последовательно, и по этому их общая жёсткость может быть найдена как

СгЫСп.с.с 1

СЛе/ + Сасс М + 1

(17)

СЛе/

1

С =

асс

С,. , =

При заданном отношении масс упругих элементов ^ жёсткости частей в промежутках между моментами ДК (15) и (16) зависят только от амплитуды колебаний Лдге1, а жёсткость еьы (17) - от неё не зависит (рис. 4).

°<1е/

0.9

0.7

0.6

0.5

0.4

03

! ^>2 А.

\

/ - 4 )»

- 6 L- II / IV

III

I н III IV / 1-А, .« = 0.3; 2-\„, = 0.725; 3-4,.,-¡.15; 4 =1.575; 5-А, ,.„ = 20

М = 2 / ,7

у /

1 1

0.6

0.55

0.45

0.4

0.35

» » » »

• J • Г-s

\

\ 2 -Л X Г

1. 1-J U = o 3;

pi = 2 / ,7 4-.^, =1.575; 5-4,.,« =20

71 3 5 2 7 л 3 17

о — л -л 2л -я Зл L„ у = т 0 - Л _п 2л -л 2л '_„ w=cot

2 2 2 2 2 2 2

а) б)

Рис. 4. Графики изменения жёсткостей: а) - деформируемой части, б) - аккумулирующей части; 1..5 - в промежутках между моментами коммутации по (15) и (16); 6- среднее значение жёсткостей частей при амплитуде Л , = 2 и 7 - жёсткость последовательно соединённых элементов в моменты коммутации по (17)

Отношение масс / = 2 выбрано таким, потому что оно близко к значению, на котором происходит максимальный массоперенос между частями (вертикальная плоскость на рис. 2).

Наибольшая жёсткость c4/ = c^ = 1 в системе достигается во II и IV четвертях периода относительных колебаний (рис. 4), в которых функция Хевисайда rj = —1 и изменение начальной длины деформируемой части = 0.

2.3. Распределение общего начального натяжения S0 по обеим частям упругого элемента в моменты ДК

В моменты выполнения ДК доля начального натяжения S0 , приходящаяся на деформируемую часть во II и IV четвертях, найдётся по формуле S= к"^0, в которой

J 1 +1/ / /и +1

а в I и III четвертях - по формуле

i c i

S0,def = ~ "Г 1 S0 = kdefS0 . (19)

C def + Cacc

Подставляя в (19) выражения (15) и (16) для жёсткостей деформируемой и аккумулирующей частей в первой и третьей четвертях соответственно, получим для коэффициента k 1 выражение

k'def = 1 — , л „ . (20)

Общее выражение для коэффициента к^, учитывающего долю начального натяжения , приходящуюся на деформируемый элемент и зависящую от части периода колебаний, запишется в виде

к1 + к""1 к1 - к""1 к = к«™/ к*г к*г (21)

А/ 2 2

После подстановки в выражение (21) формул (18), (20) оно примет вид

, (2+1) 1 .„„.

кл/ =-31-1 ,-+ -, ■ • (22)

2 (М +1ЦЛ2+ {ц +1)3 2 (М +1ЦЛ2+ {ц +1)2

2.4. Влияние параметров ОД с ДК - амплитуды колебаний А ^ отношения масс м и начального натяжения 80 на смещение объекта

Происходящее при колебаниях неавтономной ОД с ДК типа Дуффинга периодическое изменение начальной длины деформируемой части (рис. 3) приводит к периодическому смещению состояния равновесия Л(£ге1

массы объекта М (рис. 1), в котором позиционная сила равна нулю (рис. 5).

Рис. 5. К расчёту смещения состояния равновесия ОД с ДК упругих элементов в первой и третьей

четвертях: поз. 1 - коммутатор открыт, поз. 2 - коммутатор закрыт; доля начального натяжения , с которым растянута деформируемая часть в первой и третьей четвертях определяется по выражению (19), а изменение длины деформируемой части упругого элемента ЛЕйе}- - по (11) при 1 = +1

Смещение (рис. 5) может быть найдено по соотношению

,+(м +1) +1)+ käefS0 = 0 . (23)

Решая (23) относительно AQrel, получим выражение для смещения состояния равновесия объекта в I четверти.

В третьей четверти периода АQ3rel = -AQ2rei. Единое выражение для смещения состояния статического равновесия объекта записывается в виде

AQU = ±42^ALdf - 2^kfS0 + 2ALf - 2kdfS0 + AL2def - 2ALdefkdefSo + f . (24)

Подставляя периодическое изменение длины деформируемой части упругого элемента ALrfe/ (11), коэффициент kA/ (22) и rj = +1 в (24), получим выражение для смещения состояния статического равновесия ОД с ДК частей AQ're3t в первой и третьей четвертях периода колебаний (рис. 6).

а) в)

Рис. 6. а) - поверхности периодического смещения состояния равновесия системы Л(£ге1 при £0 = 0 : 1 - ЛQ2el и 2 - ЛQ3rel соответственно для первой и третьей четвертей периода колебаний; 3 - для второй и четвёртой четвертей - = 0 ; б) - те же поверхности в зависимости от отношения масс м и начального

натяжения при амплитуде Ад = 2

Отрицательные значения кривых в сечениях поверхностей на рис. 6а вертикальными плоскостями / = const (рис. 7а), и A rei = const (рис. 76), обозначенные цифрами со штрихами, означают движение системы при возрастании отрицательной координаты Qrd , т.е. слева направо.

■ 3 \ 6\ 5\ \

: - l

1

5'' 6'

0.5

1.5

а) б)

Рис. 7. Зависимости периодического смещения состояния равновесия: а) - от амплитуды относительных колебаний А ; при 1,1' -¿и = 0, 2,2' - ¿и = 0.1; 3,3' - ¿и = 1; 4,4' - ¿ = 2 ;

5,5'-и = 4 ; 6,6'-и = 1000 ; б) - от отношения масс упругих элементов и при 1,1' - Л е! = 0; 2,2' - Лдге1 = 0,1; 3,3' - Лдге1 = 0.5 ;

4, 4' - Лдге1 = 1; 5, 5' - Лдге1 = 1,5; 6, 6' - Лдге1 = 2

Во второй и четвёртой четвертях периода колебаний при г/ = -1 (масса М перемещается от состояния равновесия (рис. 1) уравнение (23) имеет вид

+(и +1)2 -(М +1)- ^ + кА = 0 ,

и его решение относительно смещения Л0ге/ даёт мнимое значение

Q = i

(/ + 1)

/ + 1 4

+1) - S

(г =\[-1), которое только при 50 = 0 обращается в нуль в состоянии равновесия.

3. Точная характеристика позиционной силы ОД с ДК частей 3.1. Потенциальная энергии деформируемой части ОД с ДК

Независимо от четверти периода общее выражение для потенциальной энергии деформируемой части системы в промежутках между моментами коммутации записывается в виде

Р ,и) = 1 с^ [[ +(и +1) - (и + 1)-ЛЬ1е + 1, (25)

где жёсткость деформируемой части с^ находится по выражению (15), ЛЬл/ - скачкообразное изменение начальной длины деформируемой части, происходящее в моменты ДК, - по (11), к^ - коэффициент доли

начального натяжения, приходящегося на деформируемую часть, - по (22).

Полагая в выражении (25) значение функции Хевисайда последовательно / = +1 и / = -1, получим два разных выражения для потенциальной энергии в первой и третьей четвертях и во второй и четвёртой частях периода колебаний соответственно (рис. 8): - в первой и третьей четвертях

Р' =

1 def

(4QL + (/ +1)2 -2/-1 + s0A2rel + (/ +1)2-/(-/-1 + S0)

ф2ге1 + (/ + 1)2 (/ + 1)(VAre' +(/ + 1)2 -/)

2

во второй и четвертой четвертях

РЩ = 1 -(м+

(27)

0.2

0.1

\ /П \ /5 IV, 1

Л ^о = 0.5; <ч и /\

\ 4 ¡л-2 б\ У / /

N. /Ш

-2

-1

б

а)

Рис. 8. Зависимость потенциальной энергии ОД с ДК упругих элементов от его параметров м и А п1: а) - Б0 = 0; б) - £0 = 0.5 ; I, III - в первой и третьей четвертях периода по (26); II, IV - во второй и четвертой четвертях по (27); 1,3 - вертикали коммутации в амплитудных, а 2,4 - в состояниях статического равновесия;

5, 6- потенциальная энергия одной деформируемой части и обеих частей в моменты коммутации соответственно

3.2. Неоднозначные кусочно-нелинейные характеристики элементов ОД с ДК упругих элементов

Дифференцируя (25) по относительной координате вге1, получим общее выражение для характеристики позиционной силы

{ Л

РРо* (Ае^м^а )=

(м +1) + - к^а

(28)

+ (м + 1)

Функция Хевисайда ц в входит через выражения для жесткости деформируемой части е^ (15), изменения начальной длины деформируемой части (11) и коэффициент к^ (22).

Подставляя в (28) значения функции Хевисайда ц = +1 и 7] = -1, получим (рис. 9) выражения для позиционной силы в I и III и во II и IV четвертях соответственно

иве + (М + 1) -2М- 1 + Эа\jAle, + (М + 1)2-М(-М-1 + Эр) К* (А.„МЛ) = --, , . 1 , .-ве,

(М + 1) (4А1е1 + (М + 1У-м) в +(м +1)

(мЛ)

м+1 бр

м+1

+(м+1)

вг

(29)

(30)

Подставляя в выражения для позиционной силы I и III (29) и (30) безразмерное относительное перемещение

= Чы/Ье/р = , (31)

получим выражения для позиционной силы по четвертям периода, необходимые для ее гармонической линеаризации

К* И

а2,ге,ео*2^+(м+1)2 -2м- 1+эр^е, +(м+1)2-м(-м-1+50) (м+1)Ц+(м+1)2 -м)¡а^ео^+м 1)2

А,,ге1е0!1У

(32)

2

у)=

1 -

И +1

И +1

п0 у+(и+1)2

Ач.ге1соУ

(33)

0.2

0-

0.2

= 0.65; 2-А,м = 1.Ю; 3-А^ = 1.55; 4 А,м = 2.0 лч 6 , Г

\ Д£>;„ =-0.832 А -0-341 5 4 /

/ ^ 1 2 3 *

II / п " а. с-Г

/

а)

б)

Рис. 9. Влияние общего начального натяжения £0 на характеристики позиционной силы ОД с ДК частей упругого элемента: а) - 50 = 0; б) - 50 = 0.5 ; кривые 5, 6 - характеристики восстанавливающей силы одной деформируемой части при отношении масс ц = 0 и обеих частей в моменты коммутации соответственно;

- смещение состояния статического равновесия ОД с ДК

4. Гармоническая линеаризация неоднозначной кусочно-нелинейной характеристики ОД с ДК частей упругих элементов

4.1. Коэффициенты гармонически линеаризованной аппроксимации позиционной силы

Подставляя выражения (32), (33) для позиционной силы Г1 (у) и (у) в выражения для коэффициентов её гармонически линеаризованной аппроксимации [26, 27]

¥ро, (у) = аг м ьту,

интегрируя по четвертям и суммируя результаты, получим для амплитуды потенциальной компоненты позиционной силы (рис. 10) выражение

, (

1 2л

' 4 ' - , (34)

АГ ,*/ =11 Гро* (у)сояуйу =/

в котором через К

А2

и Е

А2

Т^2

обозначены полные эллиптические интегралы первого и

второго рода [28] соответственно.

Амплитуда диссипативной компоненты позиционной силы находится по формуле

2 2Л

АГ, А/ = 1 | Гро* (у) мП У ¿у--

Л П

-4 ц

И - „, - ц2 ^А^г ге! + (ц +1)2 + ц3 + 2 ц2 + + 3 ) ц +

А2

Ад, ге1

л(ц +1) Л, „, (-у/4 „, +(И + 1)2)

0

Рис. 10. Поверхности амплитуд потенциальной и восстанавливающей компонент позиционной силы ОД с ДК (рис. 1): 1 - системы ОД с ДК; 2 - одной деформируемой части ( м = 0);

3 - в моменты ДК при общей длине частей упругого элемента (м +1), М = 2 ;

4, 5 - вертикальная плоскость м = 0 и горизонтальная плоскость Ар = 0 соответственно

В выражениях (34), (35) позиционная сила по четвертям периода (рис. 11а) находится по формулам (32) и (33).

Максимум амплитуды диссипативной компоненты А* (рис. 11б) достигается при значении отношения масс м примерно в 2.5 раза меньшем, чем максимум в сечении поверхности массы деформируемой части в первой и третьей четвертях периода колебаний плоскостью А ^ = 2 (рис. 2).

р

а) б)

Рис. 11. а) - влияние начального натяжения 80 на точную позиционную силу по (32) и (33), вертикальные линии означают ДК частей ОД; б) 1 - поверхность амплитуды диссипативной компоненты позиционной силы деформируемой части ОД с ДК (рис. 1); 2 - вертикальная плоскость, проходящая через максимум сечения поверхности 1 плоскостью А ^ = 2

4.2. Эквивалентные коэффициенты жёсткости и демпфирования

Разделив амплитуду потенциальной компоненты позиционной силы (34) на амплитуду относительных перемещений A rei, получим выражение для эквивалентной жёсткости ОД с ДК

Ac

ceq Ard,M,S0) = AFdeL . (36)

Aq , rel

В пределе при Aq rd ^ 0 эта формула даёт выражение для жёсткости линеаризованной в малом системы

Ac <N

csys = lim = . (37)

eq Aq^°Aq,rd (m + I)

Зависимость динамической жёсткости от амплитуды представляет собой проекцию сечений поверхности ceg (Agre/, M, S0) вертикальными плоскостями м = const на плоскость м = 0 . Для двух значений начального натяжения эта зависимость приведена на рис. 12 а), 12 б).

0.6

0.4

0.2

s0 = o

V\ V\ V

\ \ \ ^ J 8 9

0 0 0.5 1 1.5

Iq,rel

а) б)

Рис. 12. Зависимость динамической жёсткости от амплитуды относительных колебаний А 1

и отношения масс частей / при разных значениях начального натяжения: а) - Sg = 0; б) - Sg = 0.5 ;

1 -/ = 0; 2-/ = 0.1; 3 -/ = 0.2; 4 -/ = 1; 5-/ = 0; 2-/ = 0.1; 3-/ = 0.2; 4 -/ = 0.6; 5 - /л = 1; 6 - л = 2; 7 - / = 4; 8 - / = 6; 9 - / = ж

Выражение для безразмерного коэффициента сопротивления имеет вид [1, с. 92]

As

Р« А "/)= , (4 ' ^ , , (38)

\jCeq ге! ' Л \) VА,ге!

где -амплитуда диссипативной компоненты позиционной силы (35);

(Адге1, S0 ) = V (АдЫ, S0 ) - безразмерная частота свободных колебаний ОД с ДК;

та а

«(Ае) «„.^ем^е/) ге/,^)

- безразмерная частота возмущения;

cdefcdef,0

.....

M

- частота собственных колебаний ОД с ДК частей на рис.1; — размерная жёсткость деформируемой части.

Сечения поверхности эквивалентного коэффициента сопротивления Peq{Aqrel,/) (рис. 13а) вертикальными плоскостями / = const (рис. 13 б) показывают, что, независимо от амплитуды A 1, наибольшего значения этот коэффициент достигает при отношении масс / = 1.95.

Р*

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

s0 = o -3 ll

2

7Х /

5Ч 79

0.5 1 1.5 л

а)

б)

Рис. 13. а) -3Б-зависимость безразмерного коэффициента сопротивления от амплитуды относительных колебаний и отношения масс (поверхность 1), 2 - вертикальная плоскость / = 1.95,

3 - плоскость нулевого демпфирования (/ = 0); Ь) - сечения поверхности ¡Зщ {Адге1, /л) плоскостями

1 -/ = 0.1; 2-/ = 0.4; 3-/ = 1; 4-/ = 2; 5-/ = 4; 6-/ = 10; 7-/ = 20; 8-/ = 100; 9-/ = 1000

Введение начального натяжения увеличивает жёсткость сед {Ачге1, л,80) (рис. 12 б) и тем самым снижает эквивалентный коэффициент сопротивления Рщ{Адге1,/л) (рис. 14).

к Р

Мк /ее

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

1-¿1 = 0,1; 2 - ju = 0,4; 3- pi = 1; 4 — ¿1 = 2; 5- ¿и = 4; 6-ju = 10; 7- jU~ 20; 8-¿1 = 100; 9 — ¿1 = 1000 / .S0 = 0.5 Tf = l

3 ч X у

\

/2Х

у j

^ ^ 0 0.5 1 1.5 А

q.rel jU 4-reI

а) б)

Рис. 14. а) - 3Б-зависимость безразмерного коэффициента сопротивления от амплитуды относительных колебаний и отношения масс (поверхность 1) при начальном натяжении S0 = 0.5 , i] = 1; 2 - вертикальная плоскость и = 1.95, 3 - плоскость нулевого демпфирования (и = 0);

б) - сечения поверхности /Зщ {Aqrel, и) плоскостями и = const

5. Эквивалентная линеаризация неконсервативной составляющей позиционной силы деформируемой части упругого элемента

5.1. Количество рассеянной за период энергии

Подставив в формулу для количества рассеянной за период диссипативной компонентой позиционной силы (Ад,ге/, л)в'ге, энергии АЖ = лА*р ^А^ [1, с. 92] выражение для амплитуды компоненты А*р ^ (35), получим

AW = 4и

-И-И2 - L4A2qM < „; + (и +1)2 + H (и + 2 )+И [ 3-A2q,el +lj +

А2

Aq, rel

(и +Î^H-^ÂÏ^+I) )

(39)

Как это следует из выражения (35) для амплитуды диссипативной компоненты Asp def, количество рассеянной за период энергии AW не зависит от величины начального натяжения . Следовательно, площади петель гистерезиса на рис. 9 также не зависят от этого натяжения. В пределе при A W| ^ = lim AW = 0.

Количества рассеянной за период энергии может быть найдено как площадь петли гистерезиса на рис. 9

^ ^а, ге! ^а, е Л

AW ' = 2

Î FpOsdQrel - i F^dQe

(40)

Подставляя в (40) выражения (29) и (30) для позиционной силы деформируемой части Fpos и при её нагружении и разгрузке соответственно, получим выражение (39), т.е. AW' = AW (рис. 15 а).

а)

б)

1

Рис. 15. а) 1 - поверхность рассеянной энергии; 2 - вертикальная плоскость, проходящая через максимум сечения поверхности 1 плоскостью A d = 2, достигаемый при /и""* = 0.81; 3 - плоскость нулевого демпфирования при / = 0 по (39); б) сечения поверхности на рис. а) плоскостями A , = const: 1 — \rd = 0; 2 — \ге1 = 0.5; 3 — A^rel = 1; 4 — A^rel = 1.5; 5 — A^rel = 1.75;6 — A^ = 2

5.2. Эквивалентный коэффициент относительного затухания

Приравнивая в соответствии с принципом энергетического баланса [26, 27], безразмерное количество рассеянной за период энергии в линейной системе, выражение для которого преобразовано к виду [1, с. 95]

А Ж1'" = 2яу{АЧ: ге1) А2 ге1Лсщ А „I) количеству энергии, рассеянной в линеаризованной ОД с ДК частей (39), найдём выражение для эквивалентного коэффициента относительного затухания

Иначе выражение для коэффициента относительного затухания может быть получено по формуле [1, с. 95]

w( Aq, rel, VS0 )=-

F, def

(42)

2И ,rel eq q,rel

Характер изменения поверхностей на рис. 16 и их сечений плоскостями v = const на рис. 17 указывает на принципиально разное влияние начального натяжения S0 на коэффициент Y{Agrei> V, S) (41) или (42).

Рис. 16. Зависимость поверхностей коэффициента относительного затухания у (41), (42) от амплитуды А , и отношения масс л при некоторых значениях начального натяжения : 1 — = 0 и 2 — = 0.5 ; 3 - плоскость нулевого демпфирования при ¡ = 0 ; 4 — плоскость предельного уровня

у"т = 1ту= — = 0.6366 при Б0 = 0 и 1] = 1 При нулевом натяжении Б0 коэффициент у имеет конечные значения при амплитуде А, = 0 в диапазоне

0,-1 Л]

отношений масс Дл = 0..со , изменяющиеся на отрезке Д у = циент у = 0 и его изменение носит монотонно возрастающий характер (рис. 176).

У т-----у-

(рис. 17а); при S0 > 0 и A , = 0 коэффи-

s0 = o Г) = 1 /7

Z6

/5

А

1

о.з-

0.2-

0.1-

S0 = 0.5;

7Ч 6

^ 5\

3 ч

'2

0.5

1.5

Д.

0.5

1.5

а)

б)

Рис. 17. Амплитудная зависимость коэффициента относительного затухания: а) - при начальном натяжении Бд = 0; 6) - при Бд = 0.5 ; на обоих рисунках а) и 6) отношение масс частей:

1 — ¡ = 0; 2 — ¡ = 0.6; 3— ¡ = 1; 4 — ¡ = 2;5 — ¡ = 4; 6 — ¡ = 10;7 — ¡ = 1Е + 20

Если при S0 = 0 (рис. 16, 17а), ниспадающей амплитудной зависимостью \ в диапазоне отношений масс А/ = 0..20 можно пренебречь и принять для него выражение (42), аналитический предел которого \\т\

Аа ,ге! = 0

получить не удаётся, хотя графики зависимости (рис. 16, поверхность 1; рис. 17а), построить возмож-

но, избегая значения А е, = 0.

Для получения простого выражения \(л,?) для зависимости коэффициента относительного затухания от отношения масс л и частоты возмущения ? при начальном натяжении Sg = 0 вычислим ряд значений \ при амплитуде Аа,ге1 = 1Е -10 (табл. 1).

ТАБЛИЦА 1

ЧИСЛЕННО ПОЛУЧЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ЗАТУХАНИЯ В ФУНКЦИИ ОТНОШЕНИЯ МАСС НА ЧАСТОТЕ V = 1 (РОМБЫ НА РИС.18)

л 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.159 0.255 0.318 0.364 0.398 0.424 0.446 0.463 0.477 0.490

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТАБЛИЦЫ 1

л 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ТО

0.500 0.509 0.517 0.524 0.531 0.536 0.541 0.546 0.550 0.554 0.6366

Далее, аппроксимируя данные табл. 1 нелинейной функцией

2 ал \ =---

я? а/ +1

получим для коэффициента относительного затухания следующее выражение

2 0.333/

К*^0 я? 0.333л +1

(43)

(кривая 2 на рис. 18).

Рис. 18. Приближённая зависимость коэффициента относительного затухания \ от отношения масс л ОД

с ДК частей при начальном натяжении Sg = 0: 1 - численно полученные значения \ при амплитуде относительных перемещений А , = 1Е -10; 2 - аппроксимация этих значений кривой (43); 3 - предельная аналитическая зависимость \ для СА с ДК частей пневмоэлемента и твёрдых деформируемых тел [1, с. 263];

2

4 - предельное значение \\т

я?

■ = 0.6366 на частоте V = 1

Предел выражения (43)

\'п

= 1Ш——

0.333л 2

^Г" 0.333л +1 я?

От аналогичного выражения для СА с ДК частей упругих элементов

,,Мт\ __ 2 и

V =---— ,

щ / +1

исследованных в [1, с. 263, 2, 3, 4], формула (43) для ОД с ДК частей отличается наличием множителя а = 0.333 , смещающем кривую 2 на рис. 18 вниз, однако предельные значения коэффициента относительного затухания

V для / = 0 и /г = <х> совпадают.

I I 2

у"т\ = 0 и у"т\ = —.

\М=0 1/=» щ

Увеличение начального натяжения Б0 на постоянной амплитуде А , приводит к уменьшению коэффициента относительного затухания V (рис. 19а, 196). С увеличением амплитуды до значения А ^ = 2 в диапазоне начальных натяжений [0.1..0.5] происходит монотонное увеличение коэффициента относительного затухания

V (рис. 196).

V

0.6366

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

\

А —----- 4 5

. 5\

/ 6

/ X ^ 7 pi = 20

Г} = 1

0.5

1.5

q,rel

а)

б)

Рис. 19. а) - поверхности коэффициента относительного затухания ^ в зависимости от отношения масс ^

->

lim ^

на частоте 7] = 1

и начального натяжения Б0: 1 - А , = 1; 2 - А , = 2 ; 3 - предельное значение V

' ' и=а Щ

6) - зависимости коэффициента относительного затухания от амплитуды относительных перемещений:

1 -Б0 = 1Е-10; 2-Бд = 1Е-5; 3-Б0 = 1Е-4; 4-Б0 = 0.01; 5-Б0 = 0.1; 6 -Б0 = 0.3; 7 -Б0 = 0.5; 8 -Б0 = 0 и / = 1Е + 20

2.6. Линеаризованное уравнение движения ОД с ДК частей упругих элементов

Уравнение движения массы М (рис.1) с учётом выражения (28) для безразмерной неконсервативной позиционной силы ^ (Аге1' /и, Б0) записывается в виде

aQ+ CJef.0CJefQre,

f 1 + l) + ALdef - kdefS0 Л

JqL +(m +1 )2

=0,

(44)

в котором а = М - коэффициент инерции, с^ 0 - размерная жёсткость деформируемой части в состоянии статического равновесия.

Заменяя в уравнении (44) силу ^ (Аге1, / Б0) её гармонически линеаризованной аппроксимацией [1, 26,

27], получим

а0,е1 + сс1г/.о (А.!?.,?,,/ ~Арл/) = ■

Это уравнение может быть преобразовано к виду [1, с. 97]

i

aQrel+C,

reí def ,0

= -aX.

(45)

С использованием собственного времени системы T = rnnatv(^Aqrel,j,S0)t производные, входящие в уравнение (45), записываются в виде

Qrei =^'{Ag.renM.S0)O'rel; Q„, = аз2ш,г2 {Aq ^,S0)Ql,;

С их использованием уравнение (45) переписывается в виде

Qe + 2w{Aq, rel, j, S0 Q + Qrel = -X", (46)

в котором коэффициент относительного затухания у{Лчге1, ju,S0) определяется по выражению (41) или (42).

Разрешив уравнение для АЧХ, полученной из (46) относительно амплитуды A d и подставив её в выражение (42), получим точные частотные характеристики коэффициента относительного затухания (сплошные кривые на рис. 20). Приближённые характеристики этого коэффициента (штриховые кривые на рис. 20) построены по выражению (43).

W

2.5

J.5

0.5

" II tí = 1; О

,1 / /2 /' / /* /4

: \ \Ч С

0.5

1.5

2.5

Рис. 20. Частотные характеристики коэффициента относительного затухания ОД с ДК частей:

1 -ц = 0.4; 2 -ц = 1; 3 -ц = 2; 4 - /и = 4; 5 - /и = 10; 6-^ = <х>

IV. Заключение

Дискретная коммутация деформируемой и аккумулирующей частей упругого элемента в осцилляторе Дуф-финга создает периодическое изменение начальной длины этого элемента и, как следствие, смещение состояния равновесия и тем самым придаёт системе неконсервативные свойства. Независимость количества рассеянной в моменты дискретной коммутации энергии придаёт частотным характеристикам коэффициента относительного затухания гиперболический тип, согласуя тем самым его с характером изменения АЧХ. Нулевое начальное натяжение упругого элемента позволяет получить независящее от амплитуды выражение для тангенса угла механических потерь и, благодаря этому, построить простую методику выбора основных параметров. Положительное начальное натяжение независимо от отношения масс частей вследствие возрастания эквивалентной жёсткости уменьшает коэффициент относительного затухания и придаёт ему практически линейную зависимость от амплитуды.

Список литературы

1. Калашников Б. А. Системы объектов с дискретной коммутацией упругих элементов: монография. Б. А. Калашников. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. - 344 с.

2. Калашников Б. А. Об одном способе амортизации, основанном на дискретной коммутации частей упругих элементов // Машиностроение и инженерное образование. 2009. № 1. С. 42-52.

3. Калашников Б. А., Бохан В. В. Некоторые особенности динамики систем амортизации с дискретной коммутацией частей упругих элементов // Машиностроение и инженерное образование. 2009. № 2. С. 30-40.

4. Калашников Б. А. К выбору параметров систем амортизации с дискретной коммутацией частей упругих элементов // Машиностроение и инженерное образование. 2009. № 3. С. 51 -62.

5. Коловский М. З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука, 1966. 317 с.

6. Вибрации в технике: справ. В 6 т. Т.6 Защита от вибрации и ударов / под ред. К. В. Фролова. М.: Машиностроение, 1981. 456 с.

7. Нашиф А. [и др.] Демпфирование колебаний / пер. с англ. М.: Мир, 1988. 304 с.

8. Nayfeh A.H., Mook D.T. Nonlinear Oscillations, Wiley, New York, 1979. 722 с.

9. Каудерер Г. Нелинейная механика /пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 778 с.

10. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, ошибки и парадоксы. 3-е изд., перераб. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 384 с.

11. Бужинский В. А. Об использовании эффекта хлопающей мембраны для ограничения динамических нагрузок // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 4. С. 44-49.

12. Бондарь Н.Г. Устойчивость и колебания упругих систем в современной технике (конструкции с прощёл-киванием). Киев: Вища школа, 1987. 210 с.

13. Иванов А. П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.

14. Лялинов А. Н. Теоретическое исследование движения одномассовой систе- мы с перескоком // Исследование рабочих процессов строительных машин. Л.: Тр. ЛИСИ, 1971. С. 105-123.

15. Лялинов А. Н. Исследование резонансных режимов колебаний одно- массной системы с перескоком (при отсутствии сил сопротивления в системе) // Строительные и дорожные машины и автомобили: XXV научная конференция. Л.: ЛИСИ,1969. С. 27-30.

16. Лялинов А. Н. Исследование резонансных режимов колебаний одномассной системы с перескоком с учётом демпфирования. Краткое содержание докладов. Л.: ЛИСИ, 1969. С. 30-34.

17. Brennan M.J., Kovachic I., Carella A., Waters T.R. On the jummp-up and jump-down of the Duffing oscillator, Journal Sound and Vibration, 308 (2008). 1250-1261.

18. Duffing G., Erzwungene Schwingungen bei veranderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung, Vieweg Braunschweig, 1918.

19. Алабужев П.М., Гритчин А.А., Ким Л.И. [и др.]. Виброзащитные системы с квазинулевой жёсткостью / под ред. К. М. Рагульскиса. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986. 96 с.

20. Maгнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем / пер. с нем. М.: Мир, 1982. 304 с.

21. Avramov K. V. Snap-through truss as a vibration absorber [Тех^ / K. V. Avramov, Yu. V. Mikhlin // J. of Vibration and Control. 2004. № 10. P. 291-308.

22. Avramov K. V., Yu. V. Mikhlin. Forced Occillations of a System, Contained a Snap-through Truss, Close to Its Equilibrium Position, Nonlinear Dynamics 35: 361 - 379, 2004.

23. Clemens H., Wauer J. Free and forced vibrations of a snap-through oscillator // Тр. IX междунар. конференции по нелинейным колебаниям / под ред. Ю. А. Митропольского. Т. 3. Киев: Наукова думка, 1984. С. 128-133.

24. Аврамов К. В., Михлин Ю.В. Нелинейная динамика упругих систем. Т.1. Модели, методы, явления. М. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2010. 704 с.

25. Калашников Б. А. Нелинейные колебания механических систем: учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. - 208 с.

26. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближённые методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. 792с.

27. Бабицкий В. И. Теория виброударных систем (приближённые методы). М.: Наука, 1978. 352 с.

28. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы / пер. с нем. М.: Изд-во Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 344 с.

29. Беляковский Н.Г. Конструктивная амортизация механизмов, приборов и аппаратуры на судах. Л.: Судостроение, 1965. 523 с.