CC BY
7
АРХИТЕКТУРА И ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВО. РЕКОНСТРУКЦИЯ И РЕСТАВРАЦИЯ
УДК 514.75/77:514.8:72.01 DOI: 10.22227/1997-0935.2020.12.1620-1631
Поверхности конгруэнтных сечений на цилиндрах
С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов
Российский университет дружбы народов (РУДН); г. Москва, Россия
АННОТАЦИЯ
Введение. До появления работы И.И. Котова не было определения поверхностей конгруэнтных сечений. Эти и некоторые другие поверхности, образованные движением жесткой кривой, входили в класс кинематических поверхностей. Такие кинематические поверхности, как поверхности плоскопараллельного переноса, поверхности вращения, резные поверхности Монжа, циклические поверхности с образующей окружностью постоянного радиуса, ротатив-ные и спироидальные поверхности, винтовые и часть винтообразных поверхностей, могут быть включены и в класс поверхностей конгруэнтных сечений.
Материалы и методы. Авторы, следуя методике И.И. Котова, впервые получили параметрические и векторные уравнения восьми поверхностей конгруэнтных сечений маятникового типа на круговом, эллиптическом и параболическом цилиндрах, а также нескольких винтообразных поверхностей. За образующие плоские кривые принимаются эллипсы и параболы, которые могут быть расположены в плоскости образующей кривой направляющего цилиндра или в плоскостях пучка, проходящих через продольную ось цилиндра. Эллипсы, рассматриваемые в статье, легко могут быть переведены в окружности, что еще больше расширяет круг возможных рассматриваемых форм. Результаты. Формулы приведены в обобщенном виде, поэтому форма плоской образующей кривой может быть произвольной. Некоторые поверхности конгруэнтных сечений заданы двумя разновидностями параметрических уравнений. В одном случае за независимый параметр в параметрических уравнениях принимается центральный угол направляющей цилиндрической поверхности, а в другом — одна из прямоугольных координат направляющей кривой цилиндра. Рассматриваются два типа поверхностей: когда местные оси образующих кривых остаются парал-сч су лельными при движении и когда они поворачиваются.
® ® Выводы. На основе анализа использованной литературы и полученных результатов даны предложения и рекомен-
дации по применению поверхностей конгруэнтных сечений в архитектуре и технике. Приведенная библиография из 27 наименований показывает, что рассматриваемые поверхности находятся в поле зрения архитекторов, инженеров * ® и геометров как в России, так и за рубежом.
> (0
Е Л КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: кинематическая поверхность, поверхность конгруэнтных сечений, винтовая поверхность,
щ ц) дифференциальная геометрия, архитектурная геометрия, архитектура свободных форм, тонкие оболочки, формо-
о о
N N О О N N
СЧ CÏ
1П
ш
к
образование оболочки
С
2 з ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Поверхности конгруэнтных сечении на цилиндрах // Вест-
О -¡5 ник МГСУ. 2020. Т. 15. Вып. 12. С. 1620-1631. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.12.1620-1631
'а> ф
= Л
о | Surfaces of congruent sections on cylinders
о
О О _
CD > -
я =
<м 5 -
Sergey N. Krivoshapko, Vyacheslav N. Ivanov
Peoples'Friendship University of Russia (RUDN University); Moscow, Russian Federation
$ § ABSTRACT
c ^ Introduction. The definition of surfaces of congruent sections was first formulated in the work written by I.I. Kotov. These
■c q and several other types of surfaces, generated by the motion of a curve, belonged to the class of kinematic surfaces. Such
Sb c kinematic surfaces as those of plane parallel displacement, surfaces of rotation, Monge surfaces, cyclic surfaces with ge-
££ ° nerating circles having constant radius, rotative and spiroidal surfaces, helical some helix-shaped surfaces can be included
§ tz into the class of surfaces that have congruent sections.
r-i. g Materials and methods. Using I.I. Kotov's methodology, the authors first derived parametrical and vector equations for eight
cd surfaces of congruent pendulum type cross sections of circular, elliptic, and parabolic cylinders and several helix-shaped surfaces. Circles, ellipses, and parabolas, located in the plane of the generating curve of a guiding cylinder or in the planes
co g of a bundle that passes through the longitudinal axis of a cylinder, generate plane curves. Ellipses, analyzed in the article,
— can be easily converted into circles and this procedure can increase the number of shapes analyzed here.
^ • Results. Formulas are provided in the generalized form, so the shape of a plane generating curve can be arbitrary. Some
O jj surfaces of congruent sections are determined by two varieties of parametric equations. In one case, the central angle
nates of the cylinder's guiding curve served as an independent parameter. Two types of surfaces are analyzed: 1) when local
S axes of generating curves remain parallel in motion; 2) when these axes rotate.
¡E £ Conclusions. The analysis of the sources and the results, recommendations and proposals for application of surfaces,
jj jj having congruent sections, is made with a view to their use in architecture and technology. The list of references has 27
U > positions, and it shows that the surfaces considered in this paper are being analyzed by architects, engineers, and geometri-
cians both in Russia and abroad.
1620
© С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, 2020 Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)
KEYWORDS: kinematic surface, surface of congruent sections, helical surface, differential geometry, architectural geometry, freeform architecture, thin-walled shells, shell formation
FOR CITATION: Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Surfaces of congruent sections on cylinders. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2020; 15(12):1620-1631. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.12.1620-1631 (rus.).
ВВЕДЕНИЕ
Поверхностью конгруэнтных сечений называется поверхность, несущая на себе непрерывное однопараметрическое семейство плоских линий. Поверхность получается в результате движения заданной жесткой плоской линии (образующей). Выделение рассматриваемых поверхностей в отдельный класс упростило изложение методов их построения средствами компьютерной графики и начертательной геометрии поверхностей. Впервые это предложил сделать известный ученый, доктор физико-математических наук, профессор И.И. Котов (МАИ, г. Москва) в 1973 г.
До этого поверхности конгруэнтных сечений были разбросаны по разным классам поверхностей. Например, простейшими поверхностями конгруэнтных сечений являются поверхности плоскопараллельного переноса относительно плоскости проекций. Поверхности вращения также могут быть причислены к классу поверхностей конгруэнтных сечений. Резные поверхности Монжа подходят под определение поверхностей конгруэнтных сечений [1]. Все циклические поверхности с образующей окружностью постоянного радиуса можно также включать в класс поверхностей конгруэнтных сечений [2]. Ротативные поверхности входят в одну из групп поверхностей конгруэнтных сечений. Обыкновенные винтовые поверхности образовываются винтовым движением какой-либо жесткой линии. Следовательно, они могут быть включены в класс поверхностей конгруэнтных сечений на круговом цилиндре [3].
Предложение по организации класса поверхностей конгруэнтных сечений не подразумевает их исключения из других классов поверхностей. Термин «поверхности конгруэнтных сечений» используется, когда нужно показать более широкую группу поверхностей, а не перечислять все классы поверхностей, куда входят исследуемые поверхности.
Геометрией поверхностей с конгруэнтными кривыми занимались выдающиеся украинские геометры В.Е. Михайленко, В.Т. Шеин (1972), а также D. Brander и J. Gravesen [4], R. Lopez и O. Perdomo [5], В.Н. Иванов [6], С.Н. Кривошапко [7] и др. В указанных работах [3-8] авторы уже использовали понятие поверхностей конгруэнтных сечений.
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
В настоящее время существует большое число зарегистрированных компьютерных программ для определения напряженно-деформированного
состояния строительных и машиностроительных объектов [9], имеющих искривленную поверхность. В основном все расчеты ведутся с применением численных методов: МКЭ, ВРМ и др. Срединные поверхности оболочек должны быть заданы аналитически или с помощью числовых отметок системы точек поверхности. Используется система криволинейных координат в линиях кривизны или в ортогональных несопряженных координатах, или система неортогональных криволинейных координат [10-12]. В области расчета строительных и машиностроительных конструкций достигнут большой прогресс. Можно рассчитать практически любую конструкцию на действие любой статической или динамической нагрузки.
Однако архитекторы считают, что в наш век инновационных идей уже недостаточно существующих, хорошо изученных аналитических поверхностей для реализации творческих замыслов < п архитекторов и инженеров [13, 14]. Архитекторы ¡я о и инженеры-механики требуют создания и иссле- 3. и дования новых форм и поверхностей, описывае- ^ к мых аналитическими уравнениями, для внедрения О Г их в различные отрасли науки и техники, поэтому с У
у авторов появилась идея расширить класс поверх- 4 I
0 м
ностей конгруэнтных сечений за счет винтовых по- | м
г+ у
верхностей конгруэнтных сечений и поверхностей У ^
конгруэнтных сечений маятникового типа на круго- и 7
вом, эллиптическом и параболическом цилиндрах. | о
Эти поверхности, возможно, удовлетворят неко- 4 5
торые потребности архитекторов в новых формах 4 Г
и позволят инженерам-механикам изучать процесс 1 5'
колебательного движения тел рассматриваемых > ^
форм в пространстве. Но И.А. Бондаренко [15] а N
предостерегает, «что при этом нельзя скатываться § 3
к популизму. Необходимо во всем соблюдать чув- ^ —
ство меры. К сожалению, сегодня все успехи и не- > 6 успехи архитекторов основаны, главным образом,
на их персональных деловых и человеческих каче- 5 |
ствах. Слишком поощряется индивидуализм и ги- ё ё
пертрофированная — «прорывная» — творческая • §§
креативность. ... Это приводит к тому, что за про- о °
фессиональное достижение может выдаваться не- | 1
что несостоятельное, за архитектурную новацию — с о
бессмысленное дизайнерское оригинальничание». 01 п
■ г
<л У
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ = К
1 1
Для изучения заявленных аналитических по- С с верхностей используются методы аналитической 0 0 и дифференциальной геометрии. Для визуализации 0 0 этих поверхностей применяются системы MathCad
1621
Рис. 1. Циклическая поверхность маятникового типа с плоскостью параллелизма на круговом цилиндре Fig. 1. A pendulum type cyclic surface with the plane of parallelism on a circular cylinder
о о
N N
О О
N N
N СЧ
г г
К <D
U 3
> 1Л
С И
U in
u> <u
Л
<u <u
О ё
---' "t^
о
о о CD > 2;
от* со EE
.E о с
ю о
о E
fe ° со ^
TZ £ £
CO °
■s £ ^
О tn
Рис. 2. Поверхность конгруэнтных параболических сечений маятникового типа на круговом цилиндре, -п/2 < а < п/2 Fig. 2. A surface with congruent parabolic sections of the pendulum type on a circular cylinder, -п/2 < а < п/2
и AutoCad. За одно семейство плоских координатных линий рассматриваемых поверхностей принимаются сами жесткие образующие кривые, а другое семейство криволинейных координат — траектории точек конгруэнтных образующих кривых [16, 17].
Поверхности конгруэнтных сечений на круговом цилиндре
Поверхности конгруэнтных сечений маятникового типа на круговом цилиндре
Несколько поверхностей этого типа рассматривались в статьях [7] (рис. 1, 2).
Используя формулы, полученные в работе [8]:
х = x(t, X) = (R + Y)sina + X cosa; y = y(t, X) = (R + Y)cos a + X sin a; z = z(t) = at, где a = с + b sin t
(1)
для поверхности маятникового типа на круговом цилиндре радиусом Я и с образующей параболой У = И - (И/1 2)Х2, можно получить несколько интересных геометрических образов. Например, на рис. 2 изображена поверхность, для которой Я = 3 м; И = 2 м; I = 0,5 м; -I < X < I; 0 < г < 3п. Угол а изменяется в пределах -п/2 < а < п/2, следовательно, с = 0; Ь = п/2. Длина поверхности в направлении оси г равна 6 м, поэтому г = аг = а3п = 6 или а = 2/п. Аналогичная поверхность, но при -п < а < п, т.е. при Ь = п, с = 0 представлена на рис. 3.
Рис. 3. Поверхность конгруэнтных параболических сечений маятникового типа на круговом цилиндре, -п < а < п
Fig. 3. A surface with congruent parabolic sections of the pendulum type on a circular cylinder, -п < а < п
Винтовые поверхности конгруэнтных сечений на круговом цилиндре
Данные поверхности образовывают класс винтовых поверхностей.
Винтовая поверхность образовывается жесткой кривой Ь при ее винтовом движении. При вин-
1622
товом движении образующая кривая L равномерно вращается вокруг оси вращения и одновременно совершает поступательное перемещение в направлении этой же оси, называемой винтовой осью. Принимая координатную ось Oz за ось вращения и задавая плоскую образующую кривую L уравнением z = fr), можно записать векторное уравнение винтовой поверхности в виде:
r = r (r, ф) = r cos ф/ + r sin ф/ + [/(r) + ay ] k =
= re(y) + [/ (r) + ay]k или явное уравнение в форме:
■ f (Vx2 + y2 ) + aarctg (y / x).
параметры С, с, Ь, а, можно получить разнообразные формы поверхностей, задаваемые одними и теми же уравнениями (2).
Поверхности конгруэнтных сечений на эллиптическом цилиндре
Поверхности конгруэнтных параболических сечений маятникового типа на эллиптическом цилиндре Предположим, что парабола
IX2
Y = h--
l2
(3)
При а = 0 винтовая поверхность становится поверхностью вращения. Винтовые поверхности в отличие от винтообразных полностью входят в класс поверхностей конгруэнтных сечений. Винтовые поверхности состоят из двух подклассов: 1) обыкновенные винтовые поверхности, которые включают в себя линейчатые винтовые поверхности [18], круговые винтовые поверхности и винтовые поверхности с произвольными плоскими образующими кривыми; 2) винтовые поверхности переменного шага. Винтовые поверхности изучены довольно хорошо благодаря их широкому применению на практике [19, 20]. Наиболее полная информация о них приведена в энциклопедии [21]. На рис. 4 показана винтовая поверхность с образующим эллипсом, центр которого лежит на круговой цилиндрической поверхности радиусом a.
В энциклопедии [21] приведена параметрическая форма задания поверхности, изображенная на рис. 4:
x = x(u, v) = (a + c cos v cos0 + d sin v sinG )cos u; y = y(u,v) = (a + ccosvcosG + dsinvsinG)sinu; (2) z = z(u, v) = bu - ccosvsinG + dsinvcosG.
с осью, параллельной оси Oy, перемещается в плоскости xOy по неподвижному эллипсу
y32/ p2 + x32/ d2 = 1,
т.е., согласно рис. 5,
R = R(a) = pdj[p2 sin2 a + d2 cos2 a]Ш (4)
и одновременно перемещается вдоль оси z (рис. 5). Образованную таким образом поверхность с плоскостью параллелизма xOy можно назвать прямой поверхностью с параболическими конгруэнтными сечениями маятникового типа на эллиптическом цилиндре (рис. 6, а, b). Параметрические уравнения этой поверхности с плоскостью параллелизма xOy на эллиптическом цилиндре могут быть записаны в виде:
x = x(t, X) = R sin a + X = R sin(c + b sin t) + X; y = y(t, X) = R cos a + Y = R cos(c + b sin t) + Y; (5) z = z(t) = at,
где R = R(a) определяется по формуле (4), угол a показан на рис. 5. Угол a представляется в виде [7]:
a = c + b sin t,
(6)
где параметр Ь — амплитуда изменения угла а; с — параметр, характеризующий начальное значение угла а при г = 0; а — константа, определяющая длину циклический поверхности в направлении оси г, координата Y определяется по формуле (3).
Рис. 4. Винтовая поверхность с образующим эллипсом Fig. 4. A helical surface with a generating ellipse
При построении этой поверхности принято С > с, а ф 0, Ь ф 0, 6 = п/4. Изменяя геометрические
Рис. 5. Схема построения поверхности конгруэнтных
параболических сечений маятникового типа
на эллиптическом цилиндре
Fig. 5. Pendulum type surface generation pattern with
congruent parabolic sections of an elliptic cylinder
< П
8 8 i H
G Г
0 сл
n CO
1 O
y ->■ J to
u-
^ I
n °
O 3
о СЛ
O i n
Q.
СО СО
n O 0
O 6
r 6
• )
fí
® 5 л ' U1 П ■ T
s У с о (D Ж f f NN 2 2 о о 2 2 О О
1623
а b
Рис. 6. Поверхности конгруэнтных параболических сечений маятникового типа на эллиптических цилиндрах с p > d (а) и p < d (b)
Fig. 6. Surfaces of congruent parabolic sections of the pendulum type on elliptic cylinders, ifp > d (а) and when p < d (b)
о о
РЧ N О О РЧ РЧ
pi pi г г
К <D
U 3
> 1Л
С И
U in
in щ
il <D <u
О ё
CO CO
.E о с
Ю о
о E
fe ° со ^
v-
Z £ £
CO °
■s £
il
О tn
Пусть угол а изменяется в пределах -л/2 < а < л/2, следовательно, c = 0; b = л/2. Примем длину поверхности в направлении оси z равной 9 м, поэтому z = at = а3л = 9 м или a = 3/л, м. Для первого примера возьмем эллиптический цилиндр с p = 4 м, d = 3 м, а l = 1 м, h = 2 м (рис. 6, а). Для второго примера — эллиптический цилиндр с p = 3 м, d = 4 м, l = 1 м, h = 2 м (рис. 6, b).
Прямую поверхность с параболическими конгруэнтными сечениями маятникового типа на эллиптическом цилиндре (рис. 5) можно задать другими параметрическими уравнениями:
х = х(хэ, X) = хэ + X,x = х(хэ,X) y = y(хэ,X) = p[1 -хЦd2]1/2 -hXVl2; (7) z = z (хэ ) = (m / n)arcsin (хэ /к),
где x, p, d, h, l, X показаны на рис. 5; - l < X < l, - k < x < k, k = const — принятое значение амплитуды колебания параболы, т.е. k < d; да — длина полуволны синусоиды; n — число полуволн синусоиды, образованной точкой Op
хэ = ksin(nz / m), (8)
откуда z (хэ ) = (m / n)arcsin (хэ/ к).
В параметрических уравнениях (7) используются независимые переменные x и X. В третьем уравнении (7) появляется обратная тригонометрическая функция arcsin(x/k), что вызывает определенные неудобства при вычислении.
Примем в качестве независимых переменных параметров z и X, тогда параметрические уравнения (7) с учетом формулы (8) примут вид:
х = х( z, X) = хэ + X = к sin(nz / m) + X; y = y(z, X) = p jl-[к sin(nz / m) ]2/ d2 z = z(z) = z.
При построении поверхности, изображенной на рис. 7, использовались параметрические уравнения (9) с
р = 3 м, ё = 4 м, I = 1 м, И = 2 м, - I < X < I, - к < хэ < к, к = ё; да = 3 м, и = 3, т.е. 0 < г < 8 м.
-h - hX V l2; (9)
Рис. 7. Поверхность конгруэнтных параболических сечений маятникового типа на эллиптическом цилиндре с p = 3 м, d = 4 м
Fig. 7. The pendulum type surface of congruent parabolic sections on an elliptic cylinder, if p = 3 m, d = 4 m
Если принять р = ё, то получим прямую поверхность с параболическими конгруэнтными сечениями маятникового типа на круговом цилиндре.
Пусть требуется построить поверхность с параболическими конгруэнтными сечениями маятникового типа на эллиптическом цилиндре, при условии, что ось У параболы
7 = к -{к/12)Х2 (10)
все время проходит через центр О эллипса (рис. 8)
1624
у2/ p 2 + x2J d2 = 1.
Используя формулу (4), находим: x = x(t, X) = (R + Y)sina + X cosa; y = y(t, X) = (R + Y)cosa - X sin a; z = z(t) = at, где a = c + fcsiní.
(11)
Рис. 8. Схема построения поверхности конгруэнтных параболических сечений маятникового типа на эллиптическом цилиндре при условии, что ось параболы все время проходит через центр эллипса Fig. 8. Generation of the surface having pendulum type congruent parabolic sections on an elliptic cylinder, if the parabola axis continuously crosses the ellipse centre
Чтобы получить поверхность маятникового типа на круговом цилиндре радиусом Я (рис. 2) и с образующей параболой (10), необходимо принять
р = С = Я.
Параметрические уравнения (11) дают возможность построить несколько интересных геометри-
ческих образов. Например, на рис. 9, а изображена поверхность, для которой
р = 4 м; С = 3 м, И = 2 м; I = 1,5 м; — <X < I; 0 < г < 3п.
Угол а изменяется в пределах -п/2 < а < п/2, следовательно,
с = 0; Ь = п/2.
Длина поверхности в направлении оси г равна 6 м, поэтому
г = аг = а3п = 6 м или а = 2/п.
Аналогичная поверхность, но при -п < а < п, т.е. при Ь = п, с = 0 представлена на рис. 9, Ь.
Винтообразные поверхности конгруэнтных сечений на эллиптическом цилиндре
Винтообразные поверхности строятся образующими кривыми, которые, помимо простого винтового движения относительно винтовой оси, совершают какое-либо дополнительное движение или деформируются по определенному закону. При этом траектории точек образующей кривой при винтообразном движении не будут цилиндрическими винтовыми линиями. Винтообразные поверхности жестких конгруэнтных сечений на эллиптическом цилиндре можно отнести как к классу винтообразных поверхностей, так и к классу поверхностей конгруэнтных сечений. Рассматриваемые винтообразные поверхности при равенстве полуосей эллипса будут вырождаться в винтовые поверхности.
В качестве образующих жестких кривых, формирующих поверхности конгруэнтных сечений на эллиптическом цилиндре, можно брать любую плоскую кривую, что позволит получить большое разнообразие изучаемых поверхностей. Для примеров рассмотрим только квадратные параболы и эллипсы, выбранные точки которых движутся по винтообразным линиям
а b
Рис. 9. Поверхности конгруэнтных параболических сечений маятникового типа на эллиптическом цилиндре, -п/2 < а < п/2 (а) и -п < а < п (b)
Fig. 9. Surfaces having congruent parabolic sections of the pendulum type on an elliptic cylinder, -п/2 < а < п/2 (а) and -п < а < п (b)
< П
i н
%
G Г
о
n S
y ->■ J CD
U-I
n
O 3 о
0 i n)
(Л ^
t — & N
n 2 0 0
0 6 r 6
• )
fí
® 5 л '
U1 П ■
s □
s у с о <D Ж
f f
!!
2 2 О О 2 2 О О
1625
о о сч N о о
N N
сч'сч"
г г
К <D U 3 > (Л С И
to in
U) <u
il <D ф
O ё —■
о
О О CD >
S
Я = ™ °
СЛ E
.E о
^ с
ю о
S «
О E
СП ^
t- ^
£
CO °
Г El
О tn №
Рис. 10. Винтообразная кривая (12) на эллиптическом цилиндре(13)
Fig. 10. A helix-shaped curve (12) on an elliptic cylinder (13)
x = Rc cosa y = Rc sina, z = pa (12) на поверхности эллиптического цилиндра (рис. 10) c
Rc = Rc (a) = abj[a2sin2a + b2cos2a]"2, (13)
где Rc — расстояние от центра эллипса до произвольной точки на эллипсе; а — угол, отсчитываемый от оси Ox до линии длиной R ; a и b — длины полуосей эллипса; p — параметр, характеризующий шаг винтообразной линии (12).
Пусть образующий подвижный эллипс с
Ro = Ro (в) = cdj[c2sin2a + d2cos2a]"2 (14)
лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости xOz, тогда параметрические уравнения
винтообразной поверхности конгруэнтных эллиптических сечений на эллиптическом цилиндре (рис. 11) можно представить в виде:
x = Rc (a) cos a + Ro (a) cos в; y = Rc (a) sin a; z = pa + R0 (в) sin в,
Рис. 11. Винтообразная поверхность конгруэнтных эллиптических сечений с плоскостью параллелизма на эллиптическом цилиндре
Fig. 11. A helix-shaped surface of congruent elliptic sections with the plane of parallelism on an elliptic cylinder
(15)
где p = L/(2kn); L — длина цилиндра; k — число витков.
Если ввести обозначения
h(a) = i cosa + j sina, e(a) = i cosP + k sinp, (16)
то рассматриваемую поверхность (15) можно задать векторным уравнением:
p(a, р) = Rc (a)h(a) + pak + Ro (p)e(p).
Винтообразную поверхность эллиптических конгруэнтных сечений на эллиптическом цилиндре (13) с образующими эллипсами (14) в плоскостях пучка, проходящих через координатную ось Oz эллиптического цилиндра, можно задать векторным уравнением (рис. 12):
p(a, р) = Rc (a)h(a) + pak + Ro (p) ^(a, p),
где вектор h(a) задан в виде (16), g(a,P) = h(a)cosP + + Asinp. При построении поверхности, показанной
Рис. 12. Винтообразная поверхность конгруэнтных эллиптических сечений (14) в плоскостях пучка на эллиптическом цилиндре (13)
Fig. 12. A helix-shaped surface of congruent elliptic sections (14) in the planes of a bundle on an elliptic cylinder (13)
на рис. 12, принято: а = 5 м, Ь = 3 м, с = 2 м, С = 1 м, Ь = 10 м, к = 3, 0 < Р < 2п.
Винтообразная поверхность параболических конгруэнтных сечений с осью, параллельной вертикальной оси Ог в плоскостях пучка, проходящих через ось Ог, на эллиптическом цилиндре (13), может привлечь внимание инженеров в качестве желоба для спуска сыпучих или жидких грузов. Ее можно задать векторным уравнением:
р(а, р) = [[ (а)+р] ]а) + [ра + ар /с2 ] к, (17)
где вектор А (а) задается одной из формул (16), величина Яс(а) приведена в виде (13). При построении поверхности принято: а = 5 м, Ь = 3 м, с = 2 м, С = 1 м (рис. 13). Если принять а = Ь, то эллиптический цилиндр выродится в круговой цилиндр, а проектируемая поверхность станет винтовой поверхностью с параболической образующей.
Если необходимо, чтобы по поверхности эллиптического цилиндра (13) вдоль винтообразной кривой (12) парабола скользила своей вершиной, т.е. лежала в плоскостях, параллельных координатной
1626
y = H - Hx2/L2,
у D D
(19)
Рис. 13. Винтообразная поверхность параболических конгруэнтных сечений с осью, параллельной вертикальной оси Oz в плоскостях пучка, проходящих через ось Oz, на эллиптическом цилиндре (13) Fig. 13. A helix-shaped surface of congruent parabolic sections with an axis parallel to vertical axis Oz in the planes of a bundle passing through axis Oz on an elliptic cylinder (13)
Рис. 14. Разновидность винтообразной поверхности параболических конгруэнтных сечений с осями, параллельными координатной плоскости xOy Fig. 14. A type of a helix-shaped surface of congruent parabolic sections having axes that are parallel to coordinate plane xOy
плоскости хОу, и все параболы лежали в плоскостях пучка, проходящих через ось Ог, то векторное уравнение поверхности, образованной траекторией движения параболы (рис. 14), необходимо представить в виде:
p(a,p) = [ R (a) + d р2/ с2 ] h(a)-+ [ pa + d p7 с2 ] k.
(18)
Все геометрические параметры, входящие в формулу (18), объяснены в комментариях к формуле (17).
Дополнительные примеры поверхностей конгруэнтных сечений в плоскостях пучка приведены в работе [17].
Поверхности параболических конгруэнтных сечений маятникового типа на параболическом цилиндре
Пусть в сечении параболического цилиндра лежит квадратная парабола (рис. 15, а):
по которой совершает колебательное движение с одновременным перемещением вдоль оси цилиндра Ог другая парабола
7 = к - кХ712, (20)
ось У которой все время остается параллельной оси Оу. Тогда один из вариантов параметрических уравнений проектируемой поверхности по аналогии с формулами (8), (9) можно представить в виде:
х = х( г, X) = хр + X = к 8т(яг / т) + X;
У = У( г, X) =
= Н - Н[к/ т)]2/Ь2 + к - Шг/Ь2; (21)
г = г( г) = г,
где хр, Н, Ь, И, I, X показаны на рис. 15, а; -I <X < I, -к < хр < к, к — принятое значение проекции амплитуды колебания параболы на плоскость хОг, т.е. к < Ь; да — длина полуволны синусоиды; п — число полуволн синусоиды, образованной точкой пересечения осей О^ и О1У образующей параболы; да х п — длина проектируемой поверхности в направлении оси Ог.
На рис. 15, Ь показана траектория движения точки О (начало координат) по параболическому цилиндру.
При построении поверхности, изображенной на рис. 15, с, использовались параметрические уравнения (21) с Н = 3 м, Ь = 2 м, I = 1 м, И = 1 м, -I < X < I, -К < хр < к, к = Ь, да = 3 м, п = 3, т.е. 0 < г < 9 м.
Методика построения поверхности (рис. 15) показывает, что здесь изображена поверхность параболических конгруэнтных сечений маятникового типа на параболическом цилиндре с плоскостью параллелизма хОу.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В настоящей статье за одно семейство плоских координатных линий поверхностей конгруэнтных сечений принимаются сами конгруэнтные образующие кривые, а за другое семейство — траектории точек конгруэнтных кривых.
Впервые получены параметрические и векторные уравнения восьми рассматриваемых поверхностей, которые могут найти применение в технике и в архитектуре свободных форм. Впервые введен в рассмотрение новый подкласс поверхностей конгруэнтных сечений маятникового типа на цилиндрах.
Большинство формул поверхностей представлены в обобщенном виде, что дает возможность расширить виды возможных цилиндрических направляющих поверхностей и типы плоских конгруэнтных кривых. Некоторые поверхности заданы двумя разновидностями параметрических уравнений или в векторной форме. В одном случае за независимый параметр в параметрических уравнени-
< п
iH G Г
0 сл
n CO
1 o
У ->■
J to
u -
^ I
n °
о О
o7 n
Q.
CO CO
n
o 0
o 66
r 6
c О
• ) Ц
® w
a '
01 n
■ T
s У с о <D Ж
NN
2 2 о о 10 10 о о
1627
Рис. 15. Схема построения поверхности параболических конгруэнтных сечений маятникового типа на параболическом цилиндре (а); траектория движения точки пересечения координатных осей образующей параболы (b); поверхность параболических конгруэнтных сечений маятникового типа на параболическом цилиндре (с) Fig. 15. Generation of a pendulum type surface with congruent parabolic sections on a parabolic cylinder (a); the motion trajectory of the point of intersection of the coordinate axes of the generating parabola (b); a pendulum type surface with congruent parabolic sections on a parabolic cylinder (с)
ях принимается центральный угол направляющей
цилиндрической поверхности, а в другом — одна
из координат направляющей кривой цилиндра.
3 3 Все полученные уравнения новых поверх-о о
су су ностей конгруэнтных сечений на цилиндрах про-
сч сч верены на конкретных числовых примерах. Все
г г
2 Ф поверхности в статье построены с помощью ком-
Si ¡л пьютерного комплекса MathCad и AutoCad на ос-
Ц — нове «Банка поверхностей и кривых», созданного
М ¡¡2 в Инженерной академии Российского университета
¡¡2 ® дружбы народов.
¡1
Н S> ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ
j= § Предложения и рекомендации по примене-
О ф нию поверхностей конгруэнтных сечений
о i= Как указывалось ранее во введении, выделено < ние поверхностей конгруэнтных сечений в отдель-g с ный класс помогло упростить изложение методов £= конструирования поверхностей с плоской жесткой ^ образующей кривой [1, 22]. Представленные по-41 .ъ верхности могут быть интересны архитекторам или с § могут найти применение в машиностроительных CL ^ тонкостенных конструкциях, или при изучении тра-
^ — екторий движения тел при их колебательно-посту-
со <5
ср Е пательном движении.
сВ ° Некоторые архитекторы предлагают исполь-
-== зовать эти поверхности в архитектуре свободных
ся g форм. Способ формирования поверхностей конгру-
— 2 энтных сечений (профилей) позволяет активно при-
Э менять методы компьютерного моделирования при
^ ц создании и вариантном выборе соответствующих
х 5 форм конструкций и сооружений [22].
| В статье [23] также поддерживается идея исполь-
¡3 зования поверхностей конгруэнтных сечений в ар-
щ ¡¡> хитектуре свободных форм. Иногда их применение вызывается необходимостью решения структурных
и геометрических задач. Иногда на окончательный выбор влияет меньшая стоимость проекта. Но в основном сооружения в форме поверхностей конгруэнтных сечений остаются в виде концепт-проектов [23].
Архитектура свободных форм содержит много проблем геометрического характера, которые необходимо решать, их решение создаст новые возможности для оптимизации архитектурных проектов на практике [24]. В решении некоторых геометрических задач могут помочь поверхности конгруэнтных сечений.
Несколько поверхностей конгруэнтных сечений (рис. 16, а) легко состыковать между собой и получить новую инновационную форму конструкции (рис. 16, Ь) [25]. Если состыковать две поверхности, показанные на рис. 11, то можно создать новый объект для архитектуры сводных форм.
В качестве подвижных образующих жестких плоских кривых в основном используют кривые второго порядка [6-8, 25], но в ряде случаев необходимость требует применения более сложных кривых [22, 23, 26]. Выбору конгруэнтных кривых могут помочь параллельные исследования геометров [27].
ВЫВОДЫ
В энциклопедии [21] показано, что на настоящее время в разной степени изучены и предложены к использованию более 600 аналитических поверхностей, которые группируются в 38 классов. За последнее десятилетие появились новые аналитические поверхности, которые не включены в энциклопедию, но исследователи этих поверхностей уверены, что они будут нужны инженерам и архитекторам. В этом уверены и авторы, предлагая к рассмотрению новые формы поверхностей конгруэнтных плоских сечений, перемещающихся
1628
а b
Рис. 16. Циклическая поверхность конгруэнтных сечений маятникового типа: схема ее построения (а) и компьютерная модель (b)
Fig. 16. The cyclic surface of the pendulum type congruent sections: the generation pattern (а) and the virtual model (b)
по заданному круговому, эллиптическому и параболическому цилиндру вдоль направляющих синусоидальных, винтовых и винтообразных кривых, лежащих на этих цилиндрах. За жесткие образующие кривые приняты окружности, эллипсы и параболы. Авторы с учетом результатов, приведенных в их
предыдущих опубликованных работах, ввели в обращение около двух десятков новых поверхностей конгруэнтных сечений на цилиндрах. В дальнейшем может возникнуть необходимость в использовании других конгруэнтных кривых, что легко реализовать, используя материалы данной статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Filipova J., RynkovskayaM. Carved Monge surfaces as new forms in the architecture // MATEC Web of Conferences. 2017. Vol. 95. P. 17006. DOI: 10.1051/ matecconf/20179517006
2. Hyeng C.A.B., Yamb E.B. Application of cyclic shells in architecture, machine design, and bionics // International Journal of Modern Engineering Research. 2012. Vol. 2. Issue 3. Pp. 799-806.
3. Savicevic S., Ivandic Z., Jovanovic J., Grubisa L., Stoic A., Vukcevic M. et al. Experimental research on machine elements of helicoidal shell shape // Tehnicki vjesnik. 2017. Vol. 24. Issue 1. Pp. 167-175. DOI: 10.17559/TV-20150816201404
4. Brander D., Gravesen J. Monge surfaces and planar geodesic foliations // Journal of Geometry. 2018. Vol. 109. Issue 1. DOI: 10.1007/s00022-018-0413-7
5. Lopez R., Perdomo O. Minimal translation surfaces in Euclidean space // The Journal of Geometric Analysis. 2017. Vol. 27. Issue 4. Pp. 2926-2937. DOI: 10.1007/s12220-017-9788-1
6. Иванов В.Н. Геометрия циклических оболочек переноса с образующей окружностью и направляющими меридианами базовой сферы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2011. № 2. С. 3-8.
7. Кривошапко С.Н., Шамбина С.Л. К вопросу о поверхностях конгруэнтных сечений маятникового типа на круговом цилиндре // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. К. : КНУБА, 2011. Вып. 88. С. 196-200.
8. Pei D., Takahashi M., Yu H. Envelopes of one-parameter families of framed curves in the Euclidean space // Journal of Geometry. 2019. Vol. 110. Issue 3. DOI: 10.1007/s00022-019-0503-1
9. Rynkovskaya M.I., Elberdov T., Sert E., Ochsner A. Study of modern software capabilities for complex shell analysis // Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2020. Vol. 16. Issue 1. Pp. 45-53. DOI: 10.22363/1815-5235-2020-16-1-45-53
10. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М. : ГТТИ, 1953. 544 с.
11. Григоренко Я.М., Тимонин А.М. Об одном подходе к численному решению краевых задач теории оболочек сложной геометрии в неортогональных криволинейных системах координат // Доклады Академии наук Украинской ССР. 1991. № 4. Вып. 9. С. 41-44.
12. Cheng Y.P., Lee T.S., Low H.T., Tao W.Q. An efficient and robust numerical scheme for the SIMPLER algorithm on non-orthogonal curvilinear coordinates: CLEARER // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. 2007. Vol. 51. Issue 5. Pp. 433-461. DOI: 10.1080/10407790601009115
13. Cucakovic A., Jovic B., Komnenov M. Biomi-metic geometry approach to generative design // Periodica Polytechnica Architecture. 2016. Vol. 47. Issue 2. Pp. 70-74. DOI: 10.3311/PPar.10082
14. Prabhakaran R.T.D., Spear M.J., Curling S., Wootton-BeardP., Jones P., Donnison I. et al. Plants and architecture: the role of biology and biomimetics in materials development for buildings // Intelligent Buildings
< п
88
i H
%
G Г
S 2
о n
1 о y
J CD
U-I
n
O 3 о
0 i n
Q.
CO CO
n 0 0
0 6 r ® t (
• ) f5
® 5 л '
U1 П ■
S У С о <D X
f f
!!
2 2 О О 2 2 О О
1629
о о
N N О О N N
РЧ~РЧ~ г г
К <D
U 3
> (Л
С И
U m
ю щ
il <и <и
О ё
от от
International. 2019. Vol. 11. Issue 3-4. Pp. 178-211. DOI: 10.1080/17508975.2019.1669134
15. Бондаренко И.А. Об уместности и умеренности архитектурных новаций // Academia. Архитектура и строительство. 2020. № 1. С. 13-18.
16. Knott G., Viquerat A. Helical bistable composite slit tubes // Composite Structures. 2019. Vol. 207. Pp. 711-726. DOI: 10.1016/j.compstruct. 2018.09.045
17. Simenko E.V., Voronina M.V. Constructive methods of forming surfaces // International Journal of Applied Engineering Research. 2017. Vol. 12. № 6. Pp. 956-962.
18. Krivoshapko S.N., RynkovskayaM. Five types of ruled helical surfaces for helical conveyers, support anchors and screws // MATEC Web of Conferences. 2017. Vol. 95. P. 06002. DOI: 10.1051/matec-conf/20179506002
19. Bonafoni G., Capata R. Proposed design procedure of a helical coil heat exchanger for an Orc energy recovery system for vehicular application // Mechanics, Materials Science & Engineering Journal, Magnolithe. 2015.
20. Sokolova L.N.S., Infante D.L.R., Ermakova E. Helical surfaces and their application in engineering design // International Journal of Advanced Science and Technology. 2020. Vol. 29. Issue 2. Pp. 1839-1846.
21. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of analytical surfaces. Springer International Publishing Switzerland, 2015. 752 p. DOI: 10.1007/978-3-31911773-7
Поступила в редакцию 12 октября 2020 г. Принята в доработанном виде 4 декабря 2020 г. Одобрена для публикации 7 декабря 2020 г.
Об авторах: Сергей Николаевич Кривошапко — доктор технических наук, профессор, профессор-консультант Инженерной академии; Российский университет дружбы народов (РУДН); 117198, г. Москва, ГСП-8, ул. Миклухо-Маклая, д. 6; РИНЦ ID: 122866, ResearcherID: D-8406-2016, Scopus: 6507572305, ORCID: 0000-0002-9385-3699; [email protected];
Вячеслав Николаевич Иванов — доктор технических наук, профессор, профессор-консультант Инженерной академии; Российский университет дружбы народов (РУДН); 117198, г. Москва, ГСП-8, ул. Миклухо-Маклая, д. 6; SPIN-код: 3110-9909; [email protected].
22. Barton M., Pottmann H., Wallner J. Detection and reconstruction of freeform sweeps // Computer Graphics Forum. 2014. Vol. 33. Issue 2. Pp. 23-32. DOI: 10.1111/cgf.12287
23. Mesnil R., Douthe C., Baverel O., L'eger B., Caron J.-F. Isogonal moulding surfaces: A family of shapes for high node congruence in free-form structures // Automation in Construction. 2015. Vol. 59. Pp. 38-47. DOI: 10.1016/j.autcon.2015.07.009
24. Pottmann H., Eigensatz M., Vaxman A., Wallner J. Architectural geometry // Computers & Graphics. 2015. Vol. 47. Pp. 145-164. DOI: 10.1016/j.cag. 2014.11.002
25. Mesnil R., Santerre Y., Douthe C., Baverel O., Leger B. Generating high node congruence in freeform structures with Monge's surfaces // Conference of the International Association for Shells and Spatial Structures (IASS), 2015. 2015.
26. Abd-Ellah H.N., Abd-Rabo M.A. Kinematic surface generated by an equiform motion of astroid curve // International Journal of Engineering Research and Science. 2017. Vol. 3. Issue 7. Pp. 100-114. DOI: 10.25125/engineering-journal-IJO-ER-JUL-2017-13
27. Glaeser G., Calvache P. On two special classes of surfaces defined by one or more planar or spatial curves // 15th International Conference on Geometry and Graphics (ISGG 2012). 2012, 1-5 August, Montreal, Canada. 2013. Pp. 220-229.
.E о CL О
^ с Ю о
s «
о Е
feo
СП ^
V-
Z £ £
ОТ °
£
o (ñ
REFERENCES
1. Filipova J., Rynkovskaya M. Carved Monge Surfaces as New Forms in the Architecture. MATEC Web of Conferences. 2017; 95:17006. DOI: 10.1051/ matecconf/20179517006
2. Hyeng C.A.B., Yamb E.B. Application of cyclic shells in architecture, machine design, and bionics. International Journal of Modern Engineering Research. 2012; 2(3):799-806.
3. Savicevic S., Ivandic Z., Jovanovic J., Grubisa L., Stoic A., Vukcevic M. et al. Experimental research on machine elements of helicoidal shell shape.
Tehnicki vjesnik. 2017; 24(1):167-175. DOI: 10.17559/ TV-20150816201404
4. Brander D., Gravesen J. Monge surfaces and planar geodesic foliations. Journal of Geometry. 2018; 109(1). DOI: 10.1007/s00022-018-0413-7
5. Lopez R., Perdomo O. Minimal translation surfaces in Euclidean space. The Journal of Geometric Analysis. 2017; 27(4):2926-2937. DOI: 10.1007/ s12220-017-9788-1
6. Ivanov V.N. Geometry of the cyclic translation surfaces with generating circle and directrix meridians
1630
of the base sphere. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2011; 2:3-8. (rus.).
7. Krivoshapko S.N., Shambina S.L. On surfaces of congruent curves of the pendulum type on a round cylinder. Applied Geometry and Engineering Graphics. Kiev, KNUBA, 2011; 88:196-200. (rus.).
8. Pei D., Takahashi M., Yu H. Envelopes of one-parameter families of framed curves in the Euclidean space. Journal of Geometry. 2019; 110(3). DOI: 10.1007/s00022-019-0503-1
9. Rynkovskaya M.I., Elberdov T., Sert E., Ochsner A. Study of modern software capabilities for complex shell analysis. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2020; 16(1):45-53. DOI: 10.22363/1815-5235-2020-16-1-45-53
10. Goldenveizer A.L. Theory of elastic thin shells. Moscow, State publishing house of technical and theoretical literature, 1953; 544. (rus.).
11. Grigorenko Ya.M., Timonin A.M. On one approach to the numerical solution of boundary problems on theory of complex geometry shells in the non-orthogonal curvilinear coordinate systems. Reports of AS of Ukraine USR. 1991; 4(9):41-44. (rus.).
12. Cheng Y.P., Lee T.S., Low H.T., Tao W.Q. An efficient and robust numerical scheme for the SIMPLER algorithm on non-orthogonal curvilinear coordinates: CLEARER. Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. 2007; 51(5):433-461. DOI: 10.1080/10407790601009115
13. Cucakovic A., Jovic B., Komnenov M. Bio-mimetic geometry approach to generative design. Periodica Polytechnica Architecture. 2016; 47(2):70-74. DOI: 10.3311/PPar.10082
14. Prabhakaran R.T.D., Spear M.J., Curling S., Wootton-Beard P., Jones P., Donnison I. et al. Plants and architecture: the role of biology and biomime-tics in materials development for buildings. Intelligent Buildings International. 2019; 11(3-4):178-211. DOI: 10.1080/17508975.2019.1669134
15. Bondarenko I.A. On the appropriateness and moderation of architectural innovation. Academia. Architecture and Construction. 2020; 1:13-18. (rus.).
16. Knott G., Viquerat A. Helical bistable composite slit tubes. Composite Structures. 2019; 207:711726. DOI: 10.1016/j.compstruct.2018.09.045
Received October 12, 2020.
Adopted in revised form on December 4, 2020.
Approved for publication on December 7, 2020.
Bionotes: Sergey N. Krivoshapko — Doctor of Technical Sciences, Professor, Consultant Professor of the Engineering Academy; Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University); 6 Miklukho-Maklaya st., Moscow, 117198, Russian Federation; ID RISC: 122866, ResearcherlD: D-8406-2016, Scopus: 6507572305, ORCID: 00000002-9385-3699; [email protected];
Vyacheslav N. Ivanov — Doctor of Technical Sciences, Professor, Consultant Professor of the Engineering Academy; Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University); 6 Miklukho-Maklaya st., Moscow, 117198, Russian Federation; SPIN-code: 3110-9909; [email protected].
17. Simenko E.V., Voronina M.V. Constructive methods of forming surfaces. International Journal of Applied Engineering Research. 2017; 12(6):956-962.
18. Krivoshapko S.N., Rynkovskaya M. Five types of ruled helical surfaces for helical conveyers, support anchors and screws. MATEC Web of Conferences. 2017; 95:06002. DOI: 10.1051/matecconf/20179506002
19. Bonafoni G., Capata R. Proposed design procedure of a helical coil heat exchanger for an orc energy recovery system for vehicular application. Mechanics, Materials Science & Engineering Journal, Magnolithe. 2015.
20. Sokolova L.N.S., Infante D.L.R., Ermakova E. Helical surfaces and their application in engineering design. International Journal of Advanced Science and Technology. 2020; 29(2):1839-1846.
21. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer International Publishing Switzerland, 2015; 752. DOI: 10.1007/978-3-319-11773-7
22. Barton M., Pottmann H., Wallner J. Detection and reconstruction of freeform sweeps. Computer Graphics Forum. 2014; 33(2):23-32. DOI: 10.1111/ cgf.12287
23. Mesnil R., Douthe C., Baverel O., L'eger B., Caron J.-F. Isogonal moulding surfaces: A family of shapes for high node congruence in free-form structures. Automation in Construction. 2015; 59:38-47. DOI: 10.1016/j.autcon.2015.07.009
24. Pottmann H., Eigensatz M., Vaxman A., Wallner J. Architectural Geometry. Computers & Graphics. 2015; 47:145-164. DOI: 10.1016/j.cag.2014.11.002
25. Mesnil R., Santerre Y., Douthe C., Baverel O., Leger B. Generating high node congruence in freeform structures with Monge's surfaces. Conference of the International Association for Shells and Spatial Structures (IASS), 2015. 2015.
26. Abd-Ellah H.N., Abd-Rabo M.A. Kinematic surface generated by an equiform motion of astroid curve. International Journal of Engineering Research and Science. 2017; 3(7):100-114. DOI: 10.25125/engi-neering-journal-IJOER-JUL-2017-13
27. Georg G., Peter C. On two special classes of surfaces defined by one or more planar or spatial curves. 15th International Conference on Geometry and Graphics (ISGG 2012). 2012, 1-5 August, Montreal, Canada. 2013; 220-229.
< П
i н
%
G Г
S 2
0 œ
n со
1 о
y ->■ J CD
u-
^ I
n °
О 3
о s
о i n
Q.
СО СО
n S 0
о 6
A ГО
Г œ t (
• )
Ü
® w
л * (Л DO ■ r
s У с о (D *
NN
M M
о о to to о о
1631
