CC BY
12
Синтез кинематических поверхностей на основе эллиптического
поворота плоскости
Я.А. Кокарева
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Аннотация: В статье рассмотрен алгоритм формообразования кинематических поверхностей с постоянной площадью сечения на основе сложного эквиаффинного преобразования плоскости - эллиптического поворота. Определены функциональные зависимости параметров эллиптического поворота для формирования однопараметрического семейства эквиаффинных линий на плоскости. При этом полученные семейства линий могут не включать в себя линию-прообраз и линию-образ при заданных постоянных параметрах поворотов. Определены условия получения линии-прообраза и линии-образа при заданном параметре семейства и параметрические уравнения смещения геометрического центра кривой. Определены условия образования центральных поверхностей. Установлено, что полученные поверхности могут быть периодическими. Определены области допустимых значений параметров и функций, входящих в параметрические уравнения однопараметрических семейств кривых. Показано, что в качестве замкнутого контура можно использовать не только аналитически определенную кривую, но и полилинию (например, многоугольник). Приведены примеры кинематических поверхностей.
Ключевые слова: кинематическая поверхность, эквиаффинные преобразования, алгоритм, эллиптический поворот, аффинно подобные кривые, параметрические уравнения, линия-образ, линия-прообраз.
Геометрическая модель часто является первым этапом к конструированию и исследованию сложных физических и математических моделей, поэтому играет важную роль в процессе моделирования. Особенное место занимает формообразование поверхностей с заданными геометрическими или дифференциальными характеристиками, аналитические модели которых позволяют проводить численное моделирование конструкций, деталей, процессов и явлений.
Данные исследования являются обобщением и продолжением работ [13] в области конструирования поверхностей кинематическим способом на основе эквиаффинных преобразований плоскости (ЭПП), несущей каркас образующих плоских кривых. Ранее были получены параметрические уравнения в общем виде с произволом выбора образующей кривой и
функций, определяющих траекторию движения точки, для поверхностей с плоскостью параллелизма ХОУ. Целью дальнейших исследований стало исследование траекторий точек и получение алгоритма синтеза параметрических уравнений кинематических поверхностей с каркасом эквиаффинно подобных кривых.
В настоящей работе изучаются траектории движения точек и конструирование поверхностей на основе эллиптического поворота плоскости.
Алгоритм задания кинематической поверхности на основе ЭПП
Рассмотрим эквиаффинное преобразование плоскости (ЭПП). Зададим параметрические уравнения эквиаффинно преобразуемых линий-прообразов на плоскости xOy уравнениями (1):
р = рОХ
q = q(v\ ( )
а эквиаффинно преобразованных линий-образов с заданными значениями параметров ЭПП уравнениями (2):
= xi (p(v) q(v)) y = yi ^Х q(v))-
Каждое ЭПП имеет дополнительные параметры формы и движения. Функционально задавая их изменение от параметра и, получим однопараметрическое семейство эквиаффинно подобных линий на плоскости x'Oy':
хэ = хэ (p(par(u), v), q(par(и), v)),
(3)
Уэ = Уэ (p(par (иХ v), q(par (и), v J.
Заметим, что семейство (3) в общем случае может не содержать ни линий (1), ни линий (2), однако все линии будут эквиаффинно подобны между собой и линиям (1) и (2).
Задавая движение плоскости х'Оу' вдоль линии 1(и), можно получить разнообразные типы кинематических поверхностей, главным свойством которых будет являться постоянство площади сечения в плоскости х'Оу': X = х(и, V, Хэ (и, V), уэ (и, V)),
у = y(u, V, Хэ (u, V ), Уэ(u, V ^ (4)
г = г(и, V, Хэ (и, V), Уэ (и, V)).
В качестве уравнений (1) может использоваться совокупность линий, представляющая собой замкнутый контур (полилиния).
Исследование плоской траектории движения точки в поле (3) является важной задачей для дальнейшего формирования поверхности, так как совокупность траектории движения точки в плоскости с траекторией движения самой плоскости будет задавать конечное уравнение движения точки в пространстве.
Однопараметрические семейства эквиаффинно подобных кривых при эллиптическом повороте плоскости
Эллиптической поворот представляет собой сложное преобразование [4, 5]: сжатие/растяжение точки вдоль оси Оу' с коэффициентом s, поворот точки на заданный угол ф, растяжение/сжатие точки вдоль оси Оу' с коэффициентом 1/s. Параметрические уравнения эллиптического поворота (2) рассмотрены в [6].
Уравнения однопараметрического семейства эквиаффинно подобных кривых на плоскости при эллиптическом повороте имеют вид:
хэ = p(v)cos((p(u ))- q(v )s(u )sin(<^(w )),
Уэ = P(v )-(Ц sin(Ku)) - q(v) cos(3()). (5)
s(u )
Рассмотрим траектории движения точки при v = v0 = const (обозначим p(v0 )= m, q(v0) = n). Тогда уравнения (5) примут вид:
J
xT = m cos(<(u))- ns(u )sin(<(u )),
yT = m—^r sin(<(u)) - n cos(<(u)). (6)
s(u )
Анализ уравнений (6) показывает, что при s(u) = const траекторией движения будет являться эллипс с коэффициентом сжатия/растяжения, равным s, а при (p(u) = const траектория представляет собой гиперболу. Таким образом, функция (p(u) является функцией скорости движения точки на первоначальной траектории при совершении эллиптического поворота, тогда как функция s(u) является функцией деформации этой траектории.
В практических целях иногда удобно преобразовать вид функций к следующим:
((u) = <1(u), s(u) = sf2(u), (7)
для получения линий в определенных сечениях с заданными параметрами эллиптического поворота плоскости.
После преобразований (7) уравнения однопараметрического семейства эквиаффинно подобных кривых на плоскости (5) запишутся в следующем виде:
хэ = p(v)c0s(<pfi(u)) - q(v )sf2(u )sin (<1(u )),
Уэ = p(v)-^\ sin((1(u)) - q(v) cos((1W) (8)
sf2 (u )
Ограничения на параметры уравнений (8): s ф 0, f2(u) ф 0.
Анализ уравнений (8) показывает:
1. Все кривые (2) являются центральными при условии, что линии (1) заданы каноническими уравнениями без смещения геометрического центра относительно начала координат системы x'Oy'. В противном случае траектория смещения геометрического центра задается уравнениями (9):
Хгц = Х0 cos'
((f1 (u)) - У0sf2 (u)sin((f1 (u)),
Угц = Х0—П~\ ^П((1 (u)) - У0 cos((1 ((). (9)
sf2 (u )
1
2. Для получения линии-прообраза (1) при значении параметра т£ = щ
достаточно соблюдения условия (10):
/ и ) = — ,(к = 0,1,2,...). (10)
р
Задание на этом этапе периодических функций дает возможность задавать периодические и псевдопериодические поверхности (под псевдопериодическими поверхностями будем понимать такие поверхности, которые через регулярный промежуток Ди в сечении и = и0 будут иметь линию (1), но в целом отсеки поверхности не будут тождественны друг другу).
3. Для получения линии-образа (2) при значении параметра и = и0 необходимо и достаточно, чтобы / (и0) = 1, /2 (и0) = 1.
На рис. 1 и рис. 2 показаны примеры плоских однопараметрических семейств (8) с траекторией движения произвольной точки. В качестве линий-прообразов (1) на рис. 1 использованы окружности, а на рис. 2 - замкнутый контур, представляющий собой букву «Г», высота которой равна 10 единиц, длина верхней полки - 6 единиц, толщина - 1 единица. Заметим, что в качестве образующей линии можно взять произвольный замкнутый контур. Параметры поля (5) следующие: ^ = 0.5, р = ж/3. Для преобразования контура «Г» используются линейные функции (7).
а б в
Рис. 1. Примеры однопараметрических семейств (8): а)/1=/2=ы, и=1..2; б)
/1=/2=и, х0=1, Уо=2, и=1..2; в)/^¡т.,^=008^ м=-1..1
б -4 -2 0 2 4 6
Рис. 2. - Пример однопараметрических семейств (8) с контуром-полилинией
На рис. 1а приведен пример, когда линия-прообраз (1) не входит в семейство (3), на рис. 1б - траектория смещения центра эквиаффинно подобных линий при задании смещения центра в уравнении (1), на рис. 1 в -
семейство (3) с центральными кривыми и входящей в семейство линией (1). Пунктирными линиями обозначены траектории произвольных точек.
На рисунке 2 видно, что линия-прообраз (1), обозначенная красным контуром, не входит в семейство (3). Фигура вращается вокруг точки (0, 0). Расчет площади каждого полигона по формуле Гаусса показал, что площади фигур действительно остаются неизменными и равными 15 ед. .
Синтез параметрических уравнений кинематических поверхностей с эквиаффинными сечениями на основе эллиптического поворота
плоскости
Для синтеза уравнений (4) следует воспользоваться известными методами формообразованию кинематических поверхностей [7, 8, 9, 10].
Таким образом, для формирования параметрических уравнений (4) со свойствами эквиаффинности сечений необходимо выполнить следующие действия:
1. Задать замкнутую линию-прообраз (1) с учетом геометрического центра линии.
2. Подобрать тип функциональных зависимостей /¡, /2 для изменения параметров эллиптического поворота, то есть задать однопараметрическое семейство (5)/(8).
3. Задать тип кинематической поверхности и определить закон движения плоскости инциденции кривой для синтеза уравнений (4).
В таблице 1 представлены примеры некоторых кинематических поверхностей (4) с сечениями (5)/(8).
1
Таблица 1 - Примеры поверхностей (4) на основе ЭПП
№ п/п
Тип поверхности
_(4)_
Кривая-прообраз (1)
Направляющая линия
Значение параметров
Изображение поверхности (4)
С плоскостью параллелизма П(А, В, С)
Окружность
Парабола
А=1, В=-3, С=-4,
/ =81Ш, /2= 008^ б=0.5, ф=п/3, Я=1, у=0..2я, u=0..1
Винтообразная с нормальной плоскостью сечения
Окружность
Винтообразная с направляющей
прямой цилиндрической поверхностью, в
основании которой лежит астроида
а=4, Ь=5, /1=и, /2= ^ б=0.5, ф=п/3, Я=2, у=0..2я, u= л/6..11л/6
Вращения
Окружность
Эллипс
я=6, Ь=9, г=1, / =81т,
/2= 3^-^
б=0.5, ф=п/3, у=0..2я, u= 0..2п
Литература
1. Кокарева Я.А. Конструирование каналовых поверхностей с переменной образующей и плоскостью параллелизма на основе эквиаффинных
1
2
3
преобразований плоскости // Геометрия и графика. 2017. Т. 5. № 1. С. 12-20. DOI: 10.12737/25119.
2. Кокарева Я.А. Линейчатая поверхность эквиаффинных сечений // Инженерный вестник Дона. 2015. № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2015/3355.
3. Кокарева Я.А. Поверхности конгруэнции эквиаффинных образов окружности // Инженерный вестник Дона. 2016. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3863.
4. Nomizu K., Sasaki T. Affine Differential Geometry // Cambridge University Press, 1994. 268 p.
5. Графский О. А. Виды аффинных преобразований и их композиции // Геометрия и графика. 2016. Т. 4. № 3. С. 11-16. DOI: 10.12737/21529.
6. Кокарева Я. А. Аналггичш та комп'ютерш моделi поверхонь конгруенцш першого порядку прямих: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01. Макивка, 2011. 203 с.
7. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. М.: Издательство Физико-математической литературы. 2002. 472 с.
8. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. М.: Либроком, 2010. 560 с.
9. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании // Геометрия и графика. 2014. № 3. С. 7-13. DOI: 10.12737/6519.
10. Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: A Practical Guide. Academic Press. 1992. 473 p.
References
1. Kokareva Ya. A. Geometrija i grafika. 2017. V. 5. № 1. pp. 12-20. DOI: 10.12737/25119.
2. Kokareva Ya. A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2015/3355.
3. Kokareva Ya. A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3863.
4. Nomizu K., Sasaki T. Affine Differential Geometry. Cambridge University Press, 1994. 268 p.
5. Grafskij O.A. Geometrija i grafika. 2016. V. 4. I. 3. pp. 11-16. DOI: 10.12737/21529.
6. Kokareva Ya. A. Analitichni ta komp'juterni modeli poverhon' kongruencij pershogo porjadku prjamih [Analytic and computer aided modeling of surfaces of first order linear congruences]: dis. ... kand. tehn. nauk: 05.01.01. Makiyvka, 2011. 203 p.
7. Golovanov N. N. Geometricheskoe modelirovanie [Geometric modeling]. Moscow/ Fizmatlit Publ. 2002. 472 p.
8. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Enciklopedija analiticheskih poverhnostej [Encyclopedia of analytical surfaces]. Moscow. Librokom Publ. 2010, 560 p.
9. Sal kov N. Geometrija i grafika. 2014. V. 2. I. 3. pp. 7-13. DOI: 10.12737/6519.
10. Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: A Practical Guide. Academic Press. 1992. 473 p.
