Отображение ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 004.9:621.9.07:621.833 Д. Д. ЛЯШКОВ

Омский государственный технический университет

ОТОБРАЖЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕЦИРОВАНИЕМ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ______________________________________

В работе приводится исследование отображения ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями, на координатную плоскость. Устанавливаются необходимые и достаточные условия существования контурной линии и ее очерка. Определены необходимые и достаточные условия существования условных экстремумов на кривых, получаемых в пересечении заданной поверхности плоскостями, параллельными координатным, содержащим ось ортогонального проецирования. Эти результаты используются для расчета точек контура и очерка поверхности численными методами, не требующими использования дифференциальных характеристик поверхности.

Ключевые слова: контурная линия поверхности, очерк поверхности, линия складки, точка сборки.

Введение

Вопросам исследования отображения ортогональным проецированием поверхности на плоскость посвящено значительное количество работ [1—6] и другие. Так, в работе [3] предлагается определять точки контурной линии по уравнениям поверхности, заданным в неявной форме, и уравнениям, содержащим дифференциальные характеристики этой по-

верхности. Для расчета предлагается использовать методы вычислительной математики и методы нелинейного программирования. Что является не простой задачей. Анализа контурной линии и ее проекции не приводится.

Исследованию особенностей отображения алгебраических поверхностей, в том числе и ортогональным проецированием, посвящены работы [1, 5, 6] и другие.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012

В работе [2] приведены некоторые дифференциальные характеристики контурной линии и очерка алгебраической поверхности, заданной уравнением в неявном виде. Анализа дифференциальных характеристик поверхности в точках контурной линии не приводится.

В настоящей работе приводится исследование отображения ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями, на координатную плоскость. Определяется кривизна поверхности в точках ее контурной линии.

Дифференциальные параметры контурной линии

Пусть исследуемая поверхность задана параметрическими уравнениями

После подстановки (5) в (1) получим уравнение контурной линии поверхности относительно плоскости ху

Xі = /* [/(V), V],

ук = /2і [/(V), V ],

гк = /зк [/ (V), V ].

(7)

Касательной к линии (7) в точке К(х0,у0,г0) будет прямая вида

х - х 0 = ¥ - у 0 = £ - х 0 . хк У^

В этом уравнении координаты направляющего вектора касательной определяются из выражений

X = /.(ш, V), У = ^),

г = /з(и, V). Или в векторной форме

г(ш,^=0.

(1)

(2)

Будем рассматривать отображение такой поверхности ортогональным проецированием на координатную плоскость ху. Это отображение в начертательной геометрии принято называть очерком, а в работе [2] — дискриминантным множеством функции (1). Соответствующую ей линию на поверхности — контурной линией поверхности относительно рассматриваемой плоскости. В точках контурной линии касательные плоскости к поверхности параллельны координатной оси х, что записывается в виде

Р Р ш V

> ш

Рш

Рш РV

> /2 ш

Рш

Рш РV

> ш

Рш

(8)

(4)

Уравнение (3) или (4) устанавливает связь параметров и, V и совместно с уравнениями (1) определяют контурную линию поверхности. Эти уравнения можно рассматривать как уравнения в криволинейных координатах и и V некоторой кривой 1, принадлежащей параметрической области Р(и^). Тогда контурная линия 1 получается отображением кривой 1 на поверхность (1), т. е. (1с Р) с Я2 Р—®

-—с Ф) с Я3, где Р задается уравнени-ями (1).

Из анализа координат (8) можно сделать следующие выводы:

1) касательная к контурной линии поверхности занимает общее положение и проецируется в касательную к очерку, если

4 • 4 - /2, • /.V = 0, г * 0, Р * 0,

* 0

Такие точки называются точками линии складки. Ими и исчерпывается очерк поверхности;

2) касательная к контурной линии перпендикулярна координатной плоскости ху («вертикальна»), если

4 • /.V - /ш • /.V = 0, г * 0 Р * 0,

Рш РV + Рш Р.

0 (3) /.ш /.V /ш 4

Рш Рv + Рш Р.

4 /.V 4 /2v

=0.

(9)

Исследованию подлежат контурная линия поверхности, ее очерк, а также сечения этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям хх и ух.

Если Ри(и^)Ф0, и в окрестности точки (х0, у0, х0) функция (3) имеет непрерывные частные производные первого порядка по х, у, х, то уравнение Р(и^)=0 разрешимо в виде функции

ш/).

(5)

Подставив (5) в (3), получим тождество Р[/^),у]=0. Из которого следует

Р

Р + Р ■ / = 0 или / =---------------------—.

V ш V V г-<

Рш

Рис. 1. Полигональная модель гиперболического параболоида

к

или

В этом случае обыкновенной точке на контурной линии поверхности соответствует точка возврата на очерке. Такая точка называется точкой сборки.

В качестве примера на рис. 1 приведена поверхность (1), заданная уравнением [2]

х _ и + V, у _ и ■ V, х _ и - V.

Тогда уравнение (2) связи параметров будет Р(и^) = и - V _ 0.

Это значит, что контурная линия на этой поверхности получается отображением прямой, заданной в декартовых координатах и¡V, на эту поверхность.

Теперь вычислим кривизну исследуемой поверхности в точках ее контурной линии.

Кривизна поверхности в точках контурной линии

Определим кривизну рассматриваемой поверхности в точках ее контурной линии. Как известно [7], формула для полной (гауссовой) кривизны поверхности (1) имеют вид:

К _

Ь ■ N - М2

е ■ а - р 2

(10)

а = ху2 + у2 + *2,

Р _ хи ■ ^ + уи ■ уV + хи ■ ^

Г ■ Г ■ Г Г ■ Г ■ Г

Ь ____ ии и V ]М ___ и V

а - р2 ' л/е ■ а - р

Г ■ Г ■ Г

N _

и V и V

а - р

Учитывая, что поверхность задана параметрическими уравнениями, а также то, что в точках контурной линии поверхности вдоль г-направления выполняется условие (2), получим

Ь _ а ■ хии - Ь ■ у ии N _ а ■ х„ - Ь ■ уvv

л/е ■ а - р2 ' л/е ■ а - р2

а ■х ^ - Ь ■ у^

М_

л/р"

где а _ уи ■ ^ - хи ■ уV , Ь _ хи ■ zv - хи ■ xv .

Тогда, после подстановки полученных выражений в зависимость (10), получим

К_

_ (а ■ хии - Ь ■ у ии)(а хуу-Ь ■ у„) - (а ■ х^ - Ь ■ у ^)

(е ■ а - р2)2

с) если ги хгу=0, то точка особая как на исходной кривой, так и на поверхности, а также на ее очерке;

й) если а ■х2и - уии)(а ■ х„ - уш) -- (ах^ - Ь )2 > 0 ,

то соответствующая точка поверхности — эллиптическая.

Для рассматриваемой поверхности числитель в выражении полной кривизны поверхности равен — 4, а следовательно, точки контурной линии — гиперболические.

Некоторые плоские сечения поверхности

Касательное пространство к заданной поверхности в ее некоторой точке состоит из однопараметрического множества касательных к кривым этой поверхности. Выделим ту из них, которая параллельна оси х. Эта прямая t будет касаться плоских кривых, полученных в пересечении поверхности плоскостями, параллельными координатным, содержащим ось х. Но такое свойство отражает необходимое условие существования условного экстремума на рассматриваемых кривых. Если выделить на поверхности сечение плоскостью у=а (а — некоторое вещественное число), то параллельность t оси х выражает необходимое условие существования условного экстремума функции

а , (11)

х _ /Ди, V)| у

а коэффициенты квадратичных форм, входящих в формулы (10), определяются из зависимостей

Е _ хи + уи + х2,

а параметры и и V связаны зависимостью (4).

На рис. 2 показаны соответствующие кривые и касательная к ним в точке контурной линии при отображении поверхности вдоль оси х.

Для определения необходимых и достаточных условий существования условного экстремума функции (11) используем метод неопределенных коэффициентов Лагранжа. В этом случае функция Лагранжа будет иметь вид

Ь(х,у) _ /Ди, V) + !■ /2(и,V) - а].

(12)

Система уравнений, из решения которой следует искать точки условного экстремума, будет

Ьи _ 4(и,V) + !■ /и(и,V) _ 0, К _ 4(и, V) + 1^ 4, (и,V) _ 0, /¡(и, V) - а _ 0.

(13)

X

Анализируя полученное выражение, можно установить следующее:

a) если (а хии - Ь ■ уии)(а ^х„ - Ь ■ у„) _ 0 , то гауссова кривизна в точках контурной линии поверхности отрицательна и точка на поверхности является гиперболической;

b) если г(u/v)^C2, то соответствующая точка поверхности — параболическая;

Рис. 2. Полигональная модель гиперболического параболоида и сечение ее плоскостью, перпендикулярной оси у

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012

Выразив из первого уравнения системы (13) 1

4U, v)

l = --

f2v (U V)

и подставив его во второе уравнение, получим

(14)

f 4 — К К = 0

1у 2и 1и 2у

Эта зависимость определяет необходимое условие существования условного экстремума функции (11), причем в точках контурной линии поверхности (1), так как соответствует зависимости, определяющей условие касания «вертикальной плоскости» с этой поверхностью.

Для определения достаточных условий существования условного экстремума вычислим второй дифференциал функции Лагранжа. Он имеет вид

d L = Laudu2 + 2Lardudv + LvVdv2

(15)

где Luu = fluu(U v) + 1' f2uu(u,v).

Lvv = С(u- V) + 1' f2w(u- v).

Luv = 4v(u- v) + 1' 4v(u,V)-

Подставив полученные зависимости с учетом (14) в уравнение (15), получим

d L =

dv2

■ А

где

А = (4u4 44u)

(4 )2

2(4v4 f2uvf1u )f2v +

+ (4u4 f2vv4)'

(16)

2 dv2 d2L = —r(2u).

где

d2L =

dv2

в = (4и4 - 44и) К- - 2(4у4 - 4у4)4 +

К1и

+ (4и4 — К1ууК2и).

После подстановки соответствующих зависимостей для производных получим

Тогда, если А<0, то точка исследуемого сечения поверхности плоскостью является точкой условного максимума, если же А>0, то соответствующая точка — точка условного минимума.

Подставив в полученную зависимость выражения для производных с учетом, что поверхность задана уравнениями (8), получим

Отсюда следует, что сечения поверхности (8) плоскостями у=а( имеют точки как условного минимума так и максимума, совпадающие с точками контурной линии при проецировании вдоль оси г. Это хорошо видно из рис. 2.

Если условие связи наложить на координату х и определить условный экстремум координаты у, т.е. у = /2(и, у)х=а , то второй дифференциал будет

Рис. 3. Полигональная модель гиперболического параболоида и сечение ее плоскостью, перпендикулярной оси X

d2L = fr(-2).

4

Из полученного равенства следует, что сечения рассматриваемой поверхности плоскостями x=at имеют только точки условного максимума, что следует и из рис. 3.

Таким образом, кривые, получаемые в пересечении рассматриваемой поверхности плоскостями, параллельными плоскостям xz или yz, являются гладкими, если выполнены условия | гц | + |rv|^0. Такие кривые имеют экстремальные точки, совпадающие с точками контура поверхности, в случае выполнения равенства (3), но для А^0 или БФ0. Точки таких кривых называют точками складки при проецировании по направлению оси z.

Точки поверхности, удовлетворяющие условиям (9), являются точками сборки проецирования по z-направлению. Точке складки соответствует регулярная точка на очерке поверхности, а точке сборки — особая точка. В то же время точка сборки на поверхности является ее регулярной точкой.

Все это должно быть учтено при выборе численного метода расчета огибающей семейства плоских кривых.

Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.

Теорема. Точки дискриминанты поверхности (1) могут входить в состав множеств:

1) совокупность точек, для которых

4 • 4 - 4 • 4 = ° г„* ° 4 * °

Fu Fv + Fu Fv ф 0

4 4 4 4

Fu Fv + Fu Fv

4 4 4 4

2) совокупность точек, для которых

4 • 4 - 4 • 4 = °, г„* °, 4 * °.

= °;

3) совокупность экстремальных точек на кривых, получаемых в пересечении поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям, содержащим ось, задающую направление проецирования.

2

B

2

2

Полученные результаты позволяют предложить методику расчета точек контурной линии поверхности, основанную на использовании численных методов определения условного экстремума, не требующей получения соответствующих дифференциальных уравнений. В этом случае выполняется расчет экстремума, например, координаты у при наложении связи на координату х, а независимой переменной является координата х.

Тогда контур Ь поверхности является объединением множества экстремальных точек, а именно

п

I _ • (тт~тах/;(и,ш^_а),х _ /3(и, v).

I _1

Выводы

Выполненные исследования отображения ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями, на координатную плоскость, позволяют получить более полное представление о строении дискриминантной кривой этой поверхности. На основе исследования сформулирована теорема, определяющая множества, в которых могут находиться точки очерка поверхности.

Полученные результаты о расположении точек контурной линии относительно координатных плоскостей, содержащих ось, вдоль которой выполняется проецирование, позволяют предложить методику расчета, основанную на численных методах, не требующих вывода соответствующих дифференциальных зависимостей.

Библиографический список

1. Арнольд, В. И. Особенности гладких отображений / В. И. Арнольд. — Успехи мат. наук. — 1968. — Т. XXIII, вып. 1(139) - С. 4-44.

2. Брус, Дж. Кривые и особенности / Дж., Брус, П. Джиб-лин. — М. : Мир, 1988. — 262 с.

3. Быков, В. И. Определение контурной линии на поверхности, заданной уравнением в неявной форме / В. И. Быков,

B. В. Найханов // Применение систем автоматизированного проектирования конструкций в машиностроении : Тезисы Все-союзэ науч.-метод. симпозиума. — Ростов-на-Дону, 1983 —

C. 40 — 41.

4. Ляшков, А. А. Особенности отображений проецирования некоторых поверхностей / А. А. Ляшков // Современные проблемы геометрического моделирования : сб. тр. 7-й Межд. науч.-пр. конф. — Мелитополь : ТГАТА, 2003. — С. 61—65.

5. Платонова, О. А. Проекции гладких поверхностей / О. А. Платонова // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1984. — Т. 10. — С. 135 — 149.

6. Платонова, О. А. Особенности проекций гладких поверхностей / О. А. Платонова // Успехи мат. наук. — Т. 39, вып. 1. — С. 149 — 150.

7. Погорелов, А. В. Геометрия / А. В. Погорелов. — М. : Наука, 1984. — 268 с.

ЛЯШКОВ Алексей Ануфриевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

Адрес для переписки: 3dogibmod@mail.m

Статья поступила в редакцию 02.12.2011 г.

© А. А. Ляшков

Информация

Стипендии для обучения в магистратуре и аспирантуре

в Германии

Фонд имени Генриха Бёлля (Heinrich-B^l-Stiftung) ежегодно предоставляет учебные гранты иностранным студентам, обучающимся в немецких вузах. Претендовать на стипендию фонда может любой иностранный студент, независимо от изучаемого предмета, допущенный к учебе в магистратуре или аспирантуре в одном из вузов Германии.

Будущий стипендиат фонда должен иметь законченное высшее образование, минимум — бакалаврское. Обратите внимание на то, что студенты магистерских программ, продолжительность которых составляет один год, к участию в конкурсе на стипендию не допускаются.

Одним из главных условий для подачи заявки в Фонд имени Генриха Бёлля является наличие документа, подтверждающего факт зачисления соискателя в государственный или имеющий государственную аккредитацию вуз Германии. При этом заявка на получение стипендии должна быть подана до начала обучения. И, наконец, будущие стипендиаты фонда должны отлично владеть немецким языком и быть в состоянии подтвердить это соответствующими сертификатами.

Студенты магистратуры могут подавать заявку на стипендию два раза в год: до 1 марта и до 1 сентября. При подаче заявки к 1 марта выплата стипендии начинается с октября текущего года, к 1 сентября — с апреля следующего года.

Для аспирантов действует лишь один срок подачи документов — до 1 сентября; выплата стипендии начинается, соответственно, с апреля следующего года.

Максимальная сумма выдаваемой фондом стипендии составляет 585 евро в месяц. Сверх этого каждому студенту ежемесячно выплачивается фиксированная сумма в размере 80 евро на покупку книг и другой учебной литературы. Помимо финансовой помощи фонд организует для стипендиатов многочисленные семинары по научным и общественно-политическим темам, а также тренинги, направленные на укрепление их лидерских и управленческих качеств.

Подробная информация о процедуре подачи заявки опубликована на сайте фонда: http://www.boell.de/ scholarships/scholarships.html

Источник: http://www.rsci.iu/grants/grant_news/297/231955.php (дата обращения: 10.04.2012)

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

13