Научная статья на тему 'Отображение ортогональным проецированием четырехмерной гиперповерхности'

Отображение ортогональным проецированием четырехмерной гиперповерхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
190
36
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
СЕМЕЙСТВО ПОВЕРХНОСТЕЙ / ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ / ОГИБАЮЩАЯ / ОСОБЕННОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ / ДИСКРИМИНАНТА / А DISCRIMINANT / A FAMILY OF SURFACES / HYPERSURFACE / ENVELOPE / THE DISPLAY FEATURES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ляшков Алексей Ануфриевич, Куликова Виктория Сергеевна

Решается задача исследования особенностей отображения ортогональным проецированием четырехмерной гиперповерхности, заданной уравнением в неявном виде, на одну и две гиперплоскости. Для установления связи дискриминанты гиперповерхности и огибающей предполагается, что гиперповерхность получена отображением двухпараметрического семейства двумерных поверхностей в пятимерное пространство. Проведен анализ криминант четырехмерной гиперповерхности при ее ортогональном проецировании на координатные гиперплоскости по направлениям двух координатных осей. Пересечение трехмерных гиперповерхностей (криминант) определяет двумерную поверхность, являющуюся огибающей двухпараметрического семейства двумерных поверхностей. Установлены необходимые и достаточные условия существования этой огибающей. Полученные в общем виде результаты использованы для исследования дискриминанты четырехмерной гиперповерхности, созданной отображением двухпараметрического семейства сфер в пятимерное пространство.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ляшков Алексей Ануфриевич, Куликова Виктория Сергеевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Display of the orthogonal projection of a four-dimensional hypersurface

Problem research of display the orthogonal projection of four dimensional hypersurface defined by the equation in an implicit form one and two hyperplane. To communicate and bypass hypersurface Discriminants assumes that the hypersurface of the two-parameter family of two-dimensional display received surfaces in five-dimensional space. The analysis of kriminant four dimensional hypersurface orthogonal projection onto the coordinate hyperplane in two coordinate axes. The intersection of three dimensional hypersurfaces axiom (kriminant) defines a two-dimensional surface that is the envelope of the two-parameter family of two-dimensional surfaces. Are the necessary and sufficient conditions of existence of this envelope. The results obtained are used to study the Discriminants four-dimensional hypersurface, the display of two-parameter family of spheres in a five-dimensional space.

Текст научной работы на тему «Отображение ортогональным проецированием четырехмерной гиперповерхности»

Отображение ортогональным проецированием четырехмерной гиперповерхности

А. А. Ляшков, В. С. Куликова

Во многих прикладных задачах, связанных с профилированием режущего инструмента, определяют огибающую семейства поверхностей. Наряду с классическим подходом [1 - 2] к определению огибающей, в последнее время используется и новый [3], использующий отображение ортогональным проецированием поверхности на плоскость: [4 - 6] и другие. Так, если спроецировать график однопараметрического семейства двумерных поверхностей в пространство Я4, то получим некоторую трехмерную гиперповерхность £. Дискриминанта этой гиперповерхности является огибающей рассматриваемого семейства. Исследование поверхности £ при задании ее параметрическими уравнениями и уравнением в неявной форме проведено в работах [7 -8], а его применение - в работах [9 - 10].

Отображение ортогональным проецированием четырехмерной поверхности и использование полученных результатов к определению огибающей двухпараметрического семейства поверхностей рассматривается ниже.

Пусть исходная четырехмерная гиперповерхность задана уравнением в неявном виде

Р(х, у, 2, и, V) = 0. (1)

Рассмотрим отображения ортогональным проецированием этой поверхности по направлениям осей и и V на соответствующие координатные гиперплоскости.

Уравнения гиперплоскостей, касательных к гиперповерхности (1) в некоторой ее точке М(х0,у0,2(у и 0у0), записываются в виде

Рх ■ (х -х0) + Ру ■ (у - Уо) + р ■ (2 - 20) + Ри ■(и - и0) + р ■ (У - ^ = (2)

В точках гиперповерхности, в которых касательные гиперплоскости параллельны оси 0и, выполняется условие

(X, у, 2, и, V) = 0. (3)

Будем рассматривать (3) как уравнение первой вспомогательной четырехмерной гиперповерхности Е}. Пересечение гиперповерхностей (1) и (3) определяют трехмерную гиперповерхность Е2 (рис.1), являющуюся криминан-той гиперповерхности при ее ортогональном отображении вдоль оси и.

Рис. 1 - Схема взаимосвязи гиперповерхностей Х1, Е^ ^ и криминантЕ2, Е3, Е4, где Е1 - исходная четырехмерная гиперповерхность; Е| и - первая и вторая вспомогательные четырехмерные гиперповерхности; Е 2, Е 3 и Е4- криминанты гиперповерхности Е1 при ее отображении на гиперплоскости ХУ2У, ХУ2И и ХУ2, соответственно

Четырех параметрическое множество плоскостей, касательных к гиперповерхности Е} (3) в ее некоторой точке К(х0,у0, 20, и0^0), записывается в виде

Рих ■ (х -х0) + Риу ■ (У - Уо) + Ри2 ■ (2 - 20) + Рии ■ (и - и0) + ^ ■ (v - V0) = 0. (4) Гиперплоскости (2) и (4) пересекаются по трехмерным гиперплоскостям, касающимся гиперповерхности Е 2. В точках гиперповерхности (1), в которых

касательные гиперплоскости параллельны оси 0¥, выполняется условие

Fv (х, у, 2, и, V) = 0. (5)

Полученное уравнение рассматриваем как уравнение второй вспомогательной четырехмерной гиперповерхности Е12. Пересечение четырехмерных гиперповерхностей (1) и (5) определяет трехмерную гиперповерхность Е3 , яв-

ляющуюся криминантой гиперповерхности £1 при ее ортогональном отображении вдоль оси 0¥ . Тогда четырех параметрическое множество плоскостей, касающихся гиперповерхности (5) в ее некоторой точке K(x0,y0,z0, и0У0), записывается уравнением в виде Рих ■ (Х -Х0) + Риу ■ (У - У0) + Рж ■ (z - z0) + Рии ■ (и - и0) + Риу ■ (у - у0) = 0. (6)

Пересечение трехмерных гиперповерхностей £3 и £3 задает двумерную поверхность £4, являющуюся криминантой гиперповерхности (1) при ее ортогональном отображении на гиперплоскость ХУ2 (по двум направлениям вдоль осей у и У).

Пусть точки М, N и К принадлежат не только соответствующим гиперповерхностям, но и двумерной поверхности £ 4 . Тогда касательная плоскость

к этой двумерной поверхности определяется в пересечении гиперплоскостей (2), (4), (6). Рассматривая уравнения (2) и (4) как систему линейных уравнений относительно (u-u0) и получим

- А ■ Р + А ■ Р

А ■ Р + А ■ Р

и - и0 =

>У - У0 =

А 0 А

где А = Рх ■(х-Х0) + Ру ■(У-У0) + Р ■(z-zo),

А, = Р ■ (х - х0) + Р ■ (у - у0) + Р ■ (х - z0), А = Р ■ Р + Р ■ Р .

1 их V 0 у иу V./ ,/ 0 у и V 0 ' ' и УУ У ии

После подстановки полученных выражений в равенство (6), получим уравнение касательной плоскости к поверхности £ 4

= 0. (7)

Тогда из приведенных уравнений следует, что криминанта гиперповерхности (1) при ее отображении ортогональным проецированием на гиперплоскости по направлениям осей 0П и 0У„ определяется системой уравнений (1), (3) и (5), при условиях

р.х Ри и Ру Р у Ри и Ру Р г Ри и Ру

(х - х0) ■ Р и Рии ии Р Уи +(у - у0) ■ Р иу Рии ии Р Уи + (z - z 0) ■ Р иг Рии ии Р уи

Р ух Р уу Р УУ Р уу Р уу Р УУ Р уг Р уу Р УУ

иу

ии

F+FÁ+F* 0 и

F F

uu vu

FF

* 0.

В качестве примера, иллюстрирующего достоверность полученных результатов, рассмотрим четырехмерную гиперповерхность, определяемую

уравнением

(х - R • cos u • cos v)2 + (y - R • cos u • sin v)2 + (z - R • sin u)2 = r2

(8)

Эта гиперповерхность получена отображением двухпараметрического семейства сфер радиуса г с центрами на сфере радиуса Я (рис.2) в гиперпространство ХУ2¥Ц .

Тогда в соответствии с (3) уравнение первой вспомогательной гиперповерхности будет

х • R • sin u • cos v + y • R • sin u • sin v + z • R • cosu = 0.

Откуда имеем

sin u = ± z

1

2 2 2 х2 + y2 + z

cos u = ±

1

2 2 X + y

2 2 2 X + y2 + z

(9)

(10)

После подстановки зависимостей из (10) в равенство (9), получим уравнение трехмерной гиперповерхности, являющейся криминантой гиперповерхности (1) при ее отображении на гиперплоскость вдоль оси 0¥:

х - R •

У

2 2 х + y

2 2 2 х + y2 + z

cos v>

y-R

s

22 х + y

2 2 2 х + y2 + z

sin v > +

+

z

"•y

z

2 2 2 х2 + y2 + z

(11)

Для исследования этой гиперповерхности рассечем ее гиперплоскостями. Так для Z=0, имеем

х2 + y2 ± 2R • (х • cos v + y • sin v) = r2 - R2. Графиком этого уравнения является двумерная циклическая поверхность с плоскостью параллелизма 0XY (рис. 3). Сечением гиперповерхности (11) гиперплоскостью V=0 является двумерная поверхность, определяемая уравнением

UV

VV

1

2

2

2

2

r

х - R ■

V

у

2 2 х + У

2 2 2 х + y2 + z

cos v> +

z

У

z

2 2 2 х + y2 + z

Ее график представлен на рис. 4.

Рассмотрим теперь отображение гиперповерхности (1) вдоль оси 0U. В этом случае уравнение второй вспомогательной гиперповерхности в соответствии с (5) получим в виде

х ■ R ■ sin u ■ cos v + y ■ R ■ sin u ■ sin v + z ■ R ■ cosu = 0. (12)

Откуда

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

sin v = ± y

У

i

22 х 2 + y 2

а cos v = ± y

i

22 х2 + y2

(13)

Трехмерная гиперповерхность (12) является криминантой гиперповерхности (1) при ее отображении вдоль оси 0и. Криминанта гиперповерхности (1) при ее отображении вдоль осей 0и и 0¥ находится в пересечении первой и второй трехмерных гиперплоскостей. После подстановки выражений из (10) и (13) в (9) уравнение этой криминанты будет

х2 + у2 + г2 = (Я ± г)2. (14)

Графиком этого уравнения являются две сферы с центром в начале системы

координат и радиусами (Я+г) и (Я-г) (рис. 5). После преобразований уравнение (14) можно представить в виде

(х2 + у2 + г2)2 -2 • (х2 + у2 + г2)(Я2 + г2) + (Я2 + г2)2 -4 • Я2 • г2 = 0.

Рис. 2 - Начальное положение сферы радиусом г с центром на сфере радиусом Я

2

2

2

r

Это уравнение определяет алгебраическую поверхность четвертого порядка. Она распадается на две поверхности второго порядка - две сферы.

Таким образом, проведенные исследования гиперповерхности и ее отображения ортогональным проецированием на координатные гиперплоскости позволили получить в общем виде огибающую двухпараметрического семейства поверхностей, а также необходимые условия ее существования.

Рис. 4 - Сечение трехмерной гиперповерхности гиперплоскостью У=0

Полученные результаты апробированы на модели четырехмерной гиперповерхности, полученной отображением двухпараметрического семейства сфер в пятимерное пространство. Приведены как аналитические зависимости, так и соответствующие компьютерные полигональные модели сечений трехмерной гиперповерхности и двухмерной дискриминанты четырехмерной гиперповерхности.

Литература:

1. Лашнев, С. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ [Текст]. / С. И. Лашнев, М. И Юликов. - М.: Машиностроение, 1975. - 392 с.

2. Litvin, F. L. Alfonso Fuentes Geometry and Applied Theory / Litvin, F. L. - Cembridge University Press, 2004. - 816 p.

3. Thom, R. Sur la theorie des envelopes / R. Thom // J. de math. pur et apple. - 1962. - Vol. 41. - № 2. - Р. 177-192.

4. Арнольд, В. И. Особенности гладких отображений [Текст].

- Успехи мат. наук. - 1968. - т.ХХШ, вып. 1(139) - С. 4-44.

5. Брус, Дж. Кривые и особенности. / Дж., Брус, П. Джиблин [Текст]. - М.: Мир, 1988. - 262 с.

6. Платонова, О. А. Проекции гладких поверхностей [Текст]. / О. А. Платонова // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. - 1984. - т. 10.

- С. 135-149.

7. Ляшков, А. А.Отображение ортогональным проецированием гиперповерхности на гиперплоскость [Текст]/ А. А. Ляшков, В. Я. Волков // Вестник Иркутского Государственного Технического Университета. - 2012. - № 2. - 18-22 с.

8. Ляшков, А. А. Отображение ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями [Текст] / А. А. Ляшков // Омский научный вестник. - 2012. - № 2(110). - 9-13 с.

9. Ляшков, А. А. Формообразование винтовой поверхности детали угловой фрезой [Электронный ресурс] / А. А. Ляшков // «Инженерный вестник Дона», 2012, №3. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/978 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

10. Ляшков, А. А. Семейство поверхностей, заданное формулами преобразования координат, и его огибающая [Электронный ресурс] / А. А. Ляшков, А. М. Завьялов // «Инженерный вестник Дона», 2013, №1. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1512 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.