CC BY
35
Отображение ортогональным проецированием четырехмерной гиперповерхности
А. А. Ляшков, В. С. Куликова
Во многих прикладных задачах, связанных с профилированием режущего инструмента, определяют огибающую семейства поверхностей. Наряду с классическим подходом [1 - 2] к определению огибающей, в последнее время используется и новый [3], использующий отображение ортогональным проецированием поверхности на плоскость: [4 - 6] и другие. Так, если спроецировать график однопараметрического семейства двумерных поверхностей в пространство Я4, то получим некоторую трехмерную гиперповерхность £. Дискриминанта этой гиперповерхности является огибающей рассматриваемого семейства. Исследование поверхности £ при задании ее параметрическими уравнениями и уравнением в неявной форме проведено в работах [7 -8], а его применение - в работах [9 - 10].
Отображение ортогональным проецированием четырехмерной поверхности и использование полученных результатов к определению огибающей двухпараметрического семейства поверхностей рассматривается ниже.
Пусть исходная четырехмерная гиперповерхность задана уравнением в неявном виде
Р(х, у, 2, и, V) = 0. (1)
Рассмотрим отображения ортогональным проецированием этой поверхности по направлениям осей и и V на соответствующие координатные гиперплоскости.
Уравнения гиперплоскостей, касательных к гиперповерхности (1) в некоторой ее точке М(х0,у0,2(у и 0у0), записываются в виде
Рх ■ (х -х0) + Ру ■ (у - Уо) + р ■ (2 - 20) + Ри ■(и - и0) + р ■ (У - ^ = (2)
В точках гиперповерхности, в которых касательные гиперплоскости параллельны оси 0и, выполняется условие
(X, у, 2, и, V) = 0. (3)
Будем рассматривать (3) как уравнение первой вспомогательной четырехмерной гиперповерхности Е}. Пересечение гиперповерхностей (1) и (3) определяют трехмерную гиперповерхность Е2 (рис.1), являющуюся криминан-той гиперповерхности при ее ортогональном отображении вдоль оси и.
Рис. 1 - Схема взаимосвязи гиперповерхностей Х1, Е^ ^ и криминантЕ2, Е3, Е4, где Е1 - исходная четырехмерная гиперповерхность; Е| и - первая и вторая вспомогательные четырехмерные гиперповерхности; Е 2, Е 3 и Е4- криминанты гиперповерхности Е1 при ее отображении на гиперплоскости ХУ2У, ХУ2И и ХУ2, соответственно
Четырех параметрическое множество плоскостей, касательных к гиперповерхности Е} (3) в ее некоторой точке К(х0,у0, 20, и0^0), записывается в виде
Рих ■ (х -х0) + Риу ■ (У - Уо) + Ри2 ■ (2 - 20) + Рии ■ (и - и0) + ^ ■ (v - V0) = 0. (4) Гиперплоскости (2) и (4) пересекаются по трехмерным гиперплоскостям, касающимся гиперповерхности Е 2. В точках гиперповерхности (1), в которых
касательные гиперплоскости параллельны оси 0¥, выполняется условие
Fv (х, у, 2, и, V) = 0. (5)
Полученное уравнение рассматриваем как уравнение второй вспомогательной четырехмерной гиперповерхности Е12. Пересечение четырехмерных гиперповерхностей (1) и (5) определяет трехмерную гиперповерхность Е3 , яв-
ляющуюся криминантой гиперповерхности £1 при ее ортогональном отображении вдоль оси 0¥ . Тогда четырех параметрическое множество плоскостей, касающихся гиперповерхности (5) в ее некоторой точке K(x0,y0,z0, и0У0), записывается уравнением в виде Рих ■ (Х -Х0) + Риу ■ (У - У0) + Рж ■ (z - z0) + Рии ■ (и - и0) + Риу ■ (у - у0) = 0. (6)
Пересечение трехмерных гиперповерхностей £3 и £3 задает двумерную поверхность £4, являющуюся криминантой гиперповерхности (1) при ее ортогональном отображении на гиперплоскость ХУ2 (по двум направлениям вдоль осей у и У).
Пусть точки М, N и К принадлежат не только соответствующим гиперповерхностям, но и двумерной поверхности £ 4 . Тогда касательная плоскость
к этой двумерной поверхности определяется в пересечении гиперплоскостей (2), (4), (6). Рассматривая уравнения (2) и (4) как систему линейных уравнений относительно (u-u0) и получим
- А ■ Р + А ■ Р
А ■ Р + А ■ Р
и - и0 =
>У - У0 =
А 0 А
где А = Рх ■(х-Х0) + Ру ■(У-У0) + Р ■(z-zo),
А, = Р ■ (х - х0) + Р ■ (у - у0) + Р ■ (х - z0), А = Р ■ Р + Р ■ Р .
1 их V 0 у иу V./ ,/ 0 у и V 0 ' ' и УУ У ии
После подстановки полученных выражений в равенство (6), получим уравнение касательной плоскости к поверхности £ 4
= 0. (7)
Тогда из приведенных уравнений следует, что криминанта гиперповерхности (1) при ее отображении ортогональным проецированием на гиперплоскости по направлениям осей 0П и 0У„ определяется системой уравнений (1), (3) и (5), при условиях
р.х Ри и Ру Р у Ри и Ру Р г Ри и Ру
(х - х0) ■ Р и Рии ии Р Уи +(у - у0) ■ Р иу Рии ии Р Уи + (z - z 0) ■ Р иг Рии ии Р уи
Р ух Р уу Р УУ Р уу Р уу Р УУ Р уг Р уу Р УУ
иу
ии
F+FÁ+F* 0 и
F F
uu vu
FF
* 0.
В качестве примера, иллюстрирующего достоверность полученных результатов, рассмотрим четырехмерную гиперповерхность, определяемую
уравнением
(х - R • cos u • cos v)2 + (y - R • cos u • sin v)2 + (z - R • sin u)2 = r2
(8)
Эта гиперповерхность получена отображением двухпараметрического семейства сфер радиуса г с центрами на сфере радиуса Я (рис.2) в гиперпространство ХУ2¥Ц .
Тогда в соответствии с (3) уравнение первой вспомогательной гиперповерхности будет
х • R • sin u • cos v + y • R • sin u • sin v + z • R • cosu = 0.
Откуда имеем
sin u = ± z
1
2 2 2 х2 + y2 + z
cos u = ±
1
2 2 X + y
2 2 2 X + y2 + z
(9)
(10)
После подстановки зависимостей из (10) в равенство (9), получим уравнение трехмерной гиперповерхности, являющейся криминантой гиперповерхности (1) при ее отображении на гиперплоскость вдоль оси 0¥:
х - R •
У
2 2 х + y
2 2 2 х + y2 + z
cos v>
y-R
s
22 х + y
2 2 2 х + y2 + z
sin v > +
+
z
"•y
z
2 2 2 х2 + y2 + z
(11)
Для исследования этой гиперповерхности рассечем ее гиперплоскостями. Так для Z=0, имеем
х2 + y2 ± 2R • (х • cos v + y • sin v) = r2 - R2. Графиком этого уравнения является двумерная циклическая поверхность с плоскостью параллелизма 0XY (рис. 3). Сечением гиперповерхности (11) гиперплоскостью V=0 является двумерная поверхность, определяемая уравнением
UV
VV
1
2
2
2
2
r
х - R ■
V
у
2 2 х + У
2 2 2 х + y2 + z
cos v> +
z
У
z
2 2 2 х + y2 + z
Ее график представлен на рис. 4.
Рассмотрим теперь отображение гиперповерхности (1) вдоль оси 0U. В этом случае уравнение второй вспомогательной гиперповерхности в соответствии с (5) получим в виде
х ■ R ■ sin u ■ cos v + y ■ R ■ sin u ■ sin v + z ■ R ■ cosu = 0. (12)
Откуда
sin v = ± y
У
i
22 х 2 + y 2
а cos v = ± y
i
22 х2 + y2
(13)
Трехмерная гиперповерхность (12) является криминантой гиперповерхности (1) при ее отображении вдоль оси 0и. Криминанта гиперповерхности (1) при ее отображении вдоль осей 0и и 0¥ находится в пересечении первой и второй трехмерных гиперплоскостей. После подстановки выражений из (10) и (13) в (9) уравнение этой криминанты будет
х2 + у2 + г2 = (Я ± г)2. (14)
Графиком этого уравнения являются две сферы с центром в начале системы
координат и радиусами (Я+г) и (Я-г) (рис. 5). После преобразований уравнение (14) можно представить в виде
(х2 + у2 + г2)2 -2 • (х2 + у2 + г2)(Я2 + г2) + (Я2 + г2)2 -4 • Я2 • г2 = 0.
Рис. 2 - Начальное положение сферы радиусом г с центром на сфере радиусом Я
2
2
2
r
Это уравнение определяет алгебраическую поверхность четвертого порядка. Она распадается на две поверхности второго порядка - две сферы.
Таким образом, проведенные исследования гиперповерхности и ее отображения ортогональным проецированием на координатные гиперплоскости позволили получить в общем виде огибающую двухпараметрического семейства поверхностей, а также необходимые условия ее существования.
Рис. 4 - Сечение трехмерной гиперповерхности гиперплоскостью У=0
Полученные результаты апробированы на модели четырехмерной гиперповерхности, полученной отображением двухпараметрического семейства сфер в пятимерное пространство. Приведены как аналитические зависимости, так и соответствующие компьютерные полигональные модели сечений трехмерной гиперповерхности и двухмерной дискриминанты четырехмерной гиперповерхности.
Литература:
1. Лашнев, С. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ [Текст]. / С. И. Лашнев, М. И Юликов. - М.: Машиностроение, 1975. - 392 с.
2. Litvin, F. L. Alfonso Fuentes Geometry and Applied Theory / Litvin, F. L. - Cembridge University Press, 2004. - 816 p.
3. Thom, R. Sur la theorie des envelopes / R. Thom // J. de math. pur et apple. - 1962. - Vol. 41. - № 2. - Р. 177-192.
4. Арнольд, В. И. Особенности гладких отображений [Текст].
- Успехи мат. наук. - 1968. - т.ХХШ, вып. 1(139) - С. 4-44.
5. Брус, Дж. Кривые и особенности. / Дж., Брус, П. Джиблин [Текст]. - М.: Мир, 1988. - 262 с.
6. Платонова, О. А. Проекции гладких поверхностей [Текст]. / О. А. Платонова // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. - 1984. - т. 10.
- С. 135-149.
7. Ляшков, А. А.Отображение ортогональным проецированием гиперповерхности на гиперплоскость [Текст]/ А. А. Ляшков, В. Я. Волков // Вестник Иркутского Государственного Технического Университета. - 2012. - № 2. - 18-22 с.
8. Ляшков, А. А. Отображение ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями [Текст] / А. А. Ляшков // Омский научный вестник. - 2012. - № 2(110). - 9-13 с.
9. Ляшков, А. А. Формообразование винтовой поверхности детали угловой фрезой [Электронный ресурс] / А. А. Ляшков // «Инженерный вестник Дона», 2012, №3. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/978 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
10. Ляшков, А. А. Семейство поверхностей, заданное формулами преобразования координат, и его огибающая [Электронный ресурс] / А. А. Ляшков, А. М. Завьялов // «Инженерный вестник Дона», 2013, №1. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1512 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
