CC BY
22
УДК 004.9:621.9.07:621.833
ОТОБРАЖЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕЦИРОВАНИЕМ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ НА ГИПЕРПЛОСКОСТЬ
А.А. Ляшков1, В.Я. Волков2
Омский государственный технический университет, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.
2Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 3.
В работе приводится исследование отображения ортогональным проецированием гиперповерхности в 4 -х мерном пространстве, заданной в неявной форме, на координатную гиперплоскость. Определены условия, которым удовлетворяют дискриминантное множество и контур гиперповерхности. Установлено, что кривые, получаемые в пересечении гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатным плоскостям, содержащими ось, вдоль которой выполняется отображение, имеют экстремальные точки, принадлежащие контуру гиперповерхности. Определены необходимые и достаточные условия существования этих точек. Установленные свойства используются для расчета точек контура и очерка гиперповерхности численными методами без использования дифференциальных характеристик гиперповерхности. Полученные результаты применяются при определении огибающей однопараметрического семейства поверхностей и позволяют снизить трудоемкость ее расчета. Ил. 4. Библиогр. 10 назв.
Ключевые слова: контур поверхности; очерк поверхности; дискриминантное множество; характеристика; ребро возврата.
MAPPING OF HYPERSURFACE ON HYPERPLANE BY ORTHOGONAL ROJECTION A.A. Lyashkov, V. Y. Volkov
Omsk State Technical University,
11 Mir Av., Omsk, 644050.
Siberian State Automobile and Road Academy,
3 Mir Av., Omsk, 644050.
The article provides an investigation of mapping of the orthogonal projection of the hypersurface given implicitly in 4-dimensional space on the coordinate hyperplane. The conditions that meet the discriminant set and the hypersurface contour are determined. It is established that the curves obtained at the intersection of the hypersurface by hyperplanes parallel to the coordinate planes containing the axis along which the mapping is fulfilled, have extreme points belonging to the contour of the hypersurface. The necessary and sufficient conditions for the existence of these points are determined. The identified properties are used for calculating the contour points and hypersurface outlining by numerical methods without the use of differential characteristics of the hypersurface. The obtained results are used to determine the envelope of the one-parameter family of surfaces and allow to reduce the laboriousness of its calculation.
4 figures. 10 sources.
Key words: surface contour; surface outline; discriminant set; characteristic; edge of regression.
Производство ряда изделий машиностроения связано с технологическими процессами формообразования геометрически сложных поверхностей деталей. Эффективное решение задач формообразования поверхностей, обрабатываемых по методу огибания, может быть проведено с использованием известных [1, 2] и других методов. Во многих из них для выполнения расчёта требуется вывод соответствующих зависимостей применительно к различным исходным данным. Часто такие зависимости имеют форму трансцендентных уравнений. Всё это усложняет процесс профилирования инструмента.
Вместе с тем, эффективное решение задач фор-
мообразования сложных поверхностей может быть выполнено с применением методов геометрического моделирования средствами компьютерной графики [3] и других. В этом случае важная роль отводится разработке геометрических моделей соответствующих поверхностей, а также установлению особенностей их отображения ортогональным проецированием [4].
Вопросам исследования отображения ортогональным проецированием поверхности на плоскость посвящено значительное количество работ [5, 6, 7, 8, 9, 10 и другие]. В них в основном определяются некоторые дифференциальные характеристики очерка двумерной поверхности или алгебраической поверх-
1Ляшков Алексей Ануфриевич, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики, тел.: (3812) 653645, e-mail: 3dogibmod@mail.ru
Lyashkov Aleksei, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Descriptive Geometry, Engineering and Computer Graphics, tel.: (3812) 653645, e-mail: 3dogibmod@mail.ru
2Волков Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор кафедры начертательной геометрии, инженерной и машинной графики, тел.: (3812) 650036, e-mail: volkov_vy39@mail.ru
Volkov Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Descriptive Geometry, Engineering and Computer Graphics, tel.: (3812) 650036, e-mail: volkov_vy39@mail.ru
ности большей размерности. Так, в работе [7] предлагается определять точки контурной линии по уравнениям поверхности, заданным в неявной форме, и уравнениям, содержащим дифференциальные характеристики этой поверхности. Для расчёта предлагается использовать методы вычислительной математики и методы нелинейного программирования, что является непростой задачей. Анализ контурной линии и её проекции не приводится.
Исследованию особенностей отображения алгебраических поверхностей различной размерности, в том числе и ортогональным проецированием, посвящены работы [5, 9, 10] и другие. В [6] приведены несколько примеров получения дискриминанты гиперповерхности, заданной многочленом.
В настоящей статье приводится исследование отображения ортогональным проецированием трёхмерной гиперповерхности, заданной в неявной форме, на координатную гиперплоскость.
Дифференциальные параметры контура поверхности
Пусть исследуемая поверхность задана уравнением в неявном виде
Р(х,у,х,г) = 0. (1)
Исследованию подлежит отображение этой поверхности ортогональным проецированием на координатную гиперплоскость хуг. По аналогии с отображением двумерной поверхности будем называть это отображение этой поверхности на координатную гиперплоскость дискриминантным множеством функции (1) [2], а соответствующую ему двумерную поверхность в четырёхмерном пространстве - контуром на заданной гиперповерхности относительно рассматриваемой гиперплоскости. В точках контура касательные плоскости к гиперповерхности параллельны координатной оси I, что записывается в виде
К(х, у, х,г) = 0. (2)
Уравнение (2) будем рассматривать как уравнение ещё одной гиперповерхности (дополнительной). Пересечение гиперповерхностей (1) и (2) определяет двумерную поверхность, которая и является дискрими-нантным множеством гиперповерхности (1) на гиперплоскости хуг. Эта двумерная поверхность принадлежит гиперповерхности (1).
Уравнения касательных гиперплоскостей к гиперповерхностям (1) и (2) имеют вид:
рх(х - хо) + Ру(у - Уо) + Р2(г - г0) + + ^ - го ) = 0;
Рх(х - х0) + Ру(У - У0) + - 20) + + Р„(г-г0) = 0 .
В пересечении гиперплоскостей (3) и (4) получим двумерные плоскости, касающиеся контура рассматриваемой гиперповерхности. Уравнения проекций этих плоскостей на координатные гиперплоскости будут следующие:
(3)
(4)
(х - х0)
К К
+ (У -У0)
К К
К
(У - У0)
Кх К У
К. К
+ (х - х0)
гх гу
+(г - = 0;
Кх К К
(х - х0)
Ку Рх
К, К
К К
+ (Х - Х0) ;
гу 1 гх
+ (г - г0)Р2Р„ = 0 Если пересечь гиперповерхность (1) и её контур гиперплоскостью 1=оопвI, то на контуре получим характеристику (по аналогии с [6]), касательная к которой идёт вдоль вектора:
Ку Р2 К> К
К Рх
К К
Р
.. ~ .. (5)
Чу ргх Кгх
Это следует из приведённых выше уравнений проекций плоскостей, касающихся контура гиперповерхности.
Если в уравнении (4) =0, что означает параллельность гиперплоскости, касающейся поверхности (2), оси I, то из решения уравнений (3) и (4) получим
(6)
х - х0 У - У0 х - х0
КУ Кх Рх Рх КУ
Кх
Отсюда следует, что плоскость, касающаяся контура поверхности, перпендикулярна гиперплоскости хуг и проецируется на неё в прямую, касающуюся контура по линии, являющейся ребром возврата на этом контуре.
Сравнивая выражения (5) и (6), можно сделать вывод: касательная к характеристике на контуре гиперповерхности совпадает с касательной к ребру возврата на этом контуре. Отсюда следует, что ребро возврата является огибающей семейства характеристик.
В качестве примера рассмотрим гиперповерхность (1), заданную уравнением (6):
г4 + х ■ г2 + у ■ г + х = 0. (7)
Тогда уравнение (2) дополнительной гиперповерхности будет иметь вид
4 ■ г3 + 2 ■ х ■ г + у = 0. (8)
Пересечение гиперповерхностей (7) и (8) задаёт двумерную поверхность, проекция которой на гиперплоскость ху2 определяется уравнениями:
х = и;
у = -4 ■ г3 - 2 ■ и ■ г; х = 3 ■ г4 + и ■ г2.
(9)
+ (г - г0)Р2Р„ = 0;
Поверхность (9) называется «ласточкиным хвостом» [6], её модель представлена на рис. 1. Для Е№=0 на поверхности «ласточкина хвоста» выделяется ребро возврата, которое определяется уравнениями
х = -6г2,у = 8г3 ,х = -3г4 , а вектор касательной к
_ 2
нему задаётся координатами т = (-Ч;2Ч;-Ч ).
Предположим, что в окрестности точки (х0,у0,х0,г0) функция (1) имеет непрерывные частные производные первого порядка по х, у, г, I, а в са-
+
+
мой этой точке FzФ0. Тогда, как известно, существует параллелепипед с центром в этой точке, в пределах которого уравнение (1) эквивалентно выражению
7 = /(х,у,г). (10)
■ = 0.
(11)
Ребро возврата
Рис. 1. Модель поверхности «ласточкин хвост»
Условие (2) для случая, когда поверхность задана уравнением (10), имеет вид:
дг д/(х,у,г) аг" дг
Геометрический смысл этого выражения заключается в следующем. Касательная t к линии, полученной в пересечении гиперповерхности (1) с гиперплоскостями x=a, у=Ь (а и Ь - некоторые вещественные числа), параллельна координатной оси t и принадлежит гиперплоскости, параллельной оси t. А это значит, что соответствующая точка на этой кривой принадлежит контуру поверхности вдоль t - направления проецирования.
Аналогичный результат получим, если FxФ0 и поверхность задана в виде x = (при выполнении соответствующих условий). Тогда прямая t будет параллельна оси t и будет касаться в точке линии, полученной в пересечении гиперповерхности гиперплоскостями z=a, у=Ь.
Кроме того, равенство (11) выражает необходимое условие существования условного экстремума функции
7 = /(х,у,г)х=а,у=Ь. (12)
Для определения достаточных условий существования условного экстремума функции (12) используем метод неопределённых коэффициентов Лагранжа. В данном случае функция Лагранжа будет иметь вид
Ь = /(х,у,0 + Х1(х - а) + Х2(У - Ь) . (13)
Система уравнений, из решения которой следует искать точки условного экстремума, будет следующей: Ьх = Гх(х,у,1) + 11 = 0;
Ьу = 1у(х,у,г) + Х2 = 0;
Ь = Г(х,у,г) = 0; (14)
х - а = 0; у - Ь = 0.
Третье уравнение системы (14) определяет необходимое условие существования условного экстремума функции (12), которое совпадает с полученным ранее. Для определения достаточных условий экстремума вычислим второй дифференциал функции Лагранжа (13). Так как dx=0 и dy=0, то получим а2ь = /иЛ2, или с учётом (2)
а2Ь = - ^ ■ аг2.
(15)
Тогда из равенства (15) следует, что если > 0,
то точка исследуемого сечения поверхности плоскостью является точкой условного максимума, если
—
< 0, то соответствующая точка - точка условного
—г
минимума. Для Ftt=0 требуются дополнительные исследования.
Таким образом, кривые, получаемые в пересечении рассматриваемой поверхности плоскостями, параллельными плоскостям xz или yz, являются гладкими, если выполнены неравенства —| +—| + \—2\ ф 0,
Ф 0.
Такие кривые выпуклы (вогнуты) в случае выполнения равенства (2), но для Ft¿0.
Для поверхности (7) —и = 12 ■ г2 + 2 ■ х, а Fz=1. Следовательно, кривые, получаемые в пересечении поверхности (7) плоскостями х=а,, у=Ь, имеют как точки условного минимума, так и максимума, что определяется знаком значений функции Ftt , график которой показан на рис. 2.
—у —г + —г —х + —х —у
—гг —г —х —х —гу
Рис. 2. График функции Ftt и знаки ее значений
На рис. 3 и 4 в системе координат xyz приведены сечения гиперповерхности (7) различными плоскостями, иллюстрирующие полученные выводы.
На основе проведённых исследований полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема. Если у поверхности, заданной уравнением —(х,у,г, г) = 0 в неявном виде, есть дискрими-нантное множество при её ортогональном проециро-
X
+
+
1
вании вдоль оси I на гиперплоскость, то точки этого множества могут состоять из:
Рис. 3. Сечение гиперповерхности гиперплоскостями х=0, y=-1
Рис. 4. Сечения гиперповерхности гиперплоскостями х=-2, у=0
1) совокупности точек, для которых
Ку К Кх Кх Ку К = 0;Е„ * 0; / К + К _х + К К * 0;
Кгу Кгх Ггх Ггу
2) совокупности точек, для которых
К = 0; + К| + N = 0;
3) совокупности экстремальных точек на кривых, получаемых в пересечении гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатным плоскостям, содержащим ось, задающую направление проецирования.
Замечания: а) пункты 1 и 2 совместно, а пункт 3 самостоятельно определяют дискриминантное множество, в состав которого входит и очерк поверхности; б) дискриминантное множество гиперповерхности имеет ребро возврата, если Р=0; р1=0; Рп=0; касательная к нему идёт вдоль вектора
г = -
Fy F2
Fty Ftz
Fz Fx FF
FF
FF
Полученные результаты наряду с исследованием контура и дискриминанты трёхмерной поверхности относительно гиперплоскости позволяют предложить методику расчёта координат точек этих множеств, основанную на использовании численных методов определения условного экстремума одной из координат этой гиперповерхности, не требующей получения соответствующих дифференциальных уравнений. Наложение условий связи и выбор координаты, условный экстремум которой будет вычисляться, определяется зависимостью (12). Тогда контур I поверхности является объединением множества экстремальных точек, а именно
п ( т .
Ь = и I и ттлтох/(х,у,гдх=
}=Л г=1 , у=у.
Уравнение (1) можно рассматривать как уравнение однопараметрического семейства конгруэнтных поверхностей, где I - параметр семейства. Тогда это множество является неособой несамопересекающей-ся поверхностью. Особенность отображения ортогональным проецированием такой поверхности вдоль I-направления на координатную гиперплоскость, в соответствии с изложенным выше, является огибающей семейства поверхностей, для которой справедливы полученные результаты.
Таким образом, выполненные исследования отображения ортогональным проецированием трёхмерной поверхности, заданной уравнением в неявном виде, на координатную гиперплоскость, позволяют получить полное представление о строении контура и дискриминанты этой поверхности. На основе исследования сформулирована теорема, определяющая множества, в которых могут находиться точки контура и дискриминанты гиперповерхности.
Полученные результаты о расположении точек контура гиперповерхности относительно координатных гиперплоскостей, содержащих ось, вдоль которой выполняется проецирование, позволяют предложить методику расчёта, основанную на численных методах, не требующую вывода соответствующих дифференциальных зависимостей. Эта методика используется при определении сечёний огибающей однопараметри-ческого семейства конгруэнтных поверхностей, обеспечивая снижение трудоёмкости их расчёта.
Библиографический список
1. Лашнев С.И. Расчёт и конструирование металлорежущих 2010. № 4. С. 2-6 инструментов с применением ЭВМ. М.: Машиностроение, 1975. 392 с.
2. Чемборисов Н.А. Обзор методов профилирования червячной фрезы для зубчатых венцов // Металлообработка.
3. Ляшков А.А. [и др]. Моделирование формообразования сложных поверхностей деталей // Металлообработка. 2010. № 4. С. 36-42.
4. Ляшков А.А, Канева Ю.А. Вспомогательные поверхности
при моделировании формообразования деталей средствами компьютерной графики // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2011. № 5 (87). С. 75-80.
5. Арнольд В.И. Особенности гладких отображений // Успехи математических наук. 1968. Т. XXIII. Вып. 1(139). С. 4-44.
6. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. М.: Мир, 1988. 262 с.
7. Быков В.И., Найханов В.В. Определение контурной линии на поверхности, заданной уравнением в неявной форме // Применение систем автоматизированного проектирования конструкций в машиностроении: сб. тезисов Всесоюзного
науч.-метод. симпозиума. Ростов н/Д. 1983. С. 40-41.
8. Ляшков А.А. Особенности отображений проецирования некоторых поверхностей // Современные проблемы геометрического моделирования: сб. тр. VII междунар. науч.-практ. конф. Мелитополь: Изд-во ТГАТА. 2003. С. 61-65.
9. Платонова О.А. Проекции гладких поверхностей: тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1984. Т. 10. С. 135-149.
10. Платонова О.А. Особенности проекций гладких поверхностей // Успехи математических наук. 1984. Т. 39. Вып. 1. С. 149-150.
УДК 622.233.05:621.3
МЕТОДИКА РАСЧЕТА УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ КАК ОСНОВНОГО ФАКТОРА СТОЙКОСТИ ШАРОШЕЧНЫХ ДОЛОТ
А.О. Шигин1, А.В. Гилёв2
Сибирский федеральный университет, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.
Приведены исследования напряжений в опорах качения шарошечных буровых долот. Разработана методика расчёта нагрузок на опоры шарошек от осевого усилия при качении шарошки по поверхности забоя, ударных нагрузок при перекатывании шарошки с зубца на зубок, а также ударных нагрузок, возникающих при изменении физико-механических свойств горной породы. Разработана методика определения количества рабочих циклов до разрушения опор качения шарошечных долот, а также их расчётная стойкость при существующем комплексе нагрузок, зависящих от свойств породы и режимов бурения. Приведены результаты расчётов стойкости долот и рекомендации для её увеличения. Ил. 3. Библиогр. 6 назв.
Ключевые слова: усталостная прочность; опоры качения; стойкость шарошечных долот; ударная нагрузка; физико-механические свойства горных пород; ударная нагрузка при перекатывании зубцов шарошки.
METHODS TO CALCULATE FATIGUE STRENGTH AS A MAJOR FACTOR OF ROLLER BIT DURABILITY A.O. Shigin, A.V. Gilev
Siberian Federal University 79 Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041.
The authors carried out studies of stresses in the rolling contact bearings of roller cutter drill bits. They developed the methods to calculate loads on cutter bearings from the axial thrust under cutter rolling over the breast surface, impact loads under cutter rolling from one tooth to another, as well as impact loads that occur under the changing of physico-mechanical properties of rock. The authors also worked out the procedure for determining the number of work cycles before the destruction of rolling contact bearings of roller bits, as well as their design durability under the existing complex of loads, depending on the properties of rock and drilling modes. The article provides calculation results of bit durability and recommendations to increase it. 3 figures. 6 sources.
Key words: fatigue strength; rolling contact bearings; roller (cutter) bit durability; impact load; physico-mechanical properties of rocks; impact load under rolling of cutter teeth.
При бурении горных пород буровой инструмент и буровой став испытывают спектр сложных нагрузок. Наиболее сложным механическим узлом бурового става является буровой инструмент. Его детали испытывают сложнейшие по структуре и величине нагрузки, однако, он имеет ресурс, в основе которого лежат механические свойства материалов. В 80% случаев шарошечный буровой инструмент (ШД) отказывает в
работе по причине разрушения подшипниковых узлов [1].
Подшипники качения шарошек испытывают сложную циклическую нагрузку:
1) циклическая нагрузка на тело качения подшипника при качении шарошки по забою;
2) циклическая нагрузка при перекатывании шарошки с зубка на зубок;
1Шигин Андрей Олегович, кандидат технических наук, доцент кафедры горных машин и комплексов, тел.: 89131862659, e-mail: shigin27@rambler.ru
Shigin Andrei, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Mining Machinery and Complexes, tel.: 89131862659, e-mail: shigin27@rambler.ru
2Гилёв Анатолий Владимирович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой горных машин и комплексов, тел.: 89831542368, e-mail: anatoliy.gilev@gmail.com
Gilev Anatoly, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Mining Machinery and Complexes, tel.: 89831542368, e-mail: anatoliy.gilev @ gmail.com
