Огибающая однопараметрического семейства поверхностей как особенность отображения ортогональным проецированием гиперповерхности, заданной в 4-х мерном пространстве параметрическими уравнениями, на гиперплоскость Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.9:621.9.07:621.833

ОГИБАЮЩАЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ КАК ОСОБЕННОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕЦИРОВАНИЕМ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ В 4-Х МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ, НА ГИПЕРПЛОСКОСТЬ

А. А. Ляшков, В. Я. Волков, В. С. Прокопец

Аннотация: В работе приводится исследование отображения ортогональным проецированием гиперповерхности в 4-х мерном пространстве, заданной параметрическими уравнениями, на координатную гиперплоскость. Определены условия, которым удовлетворяют дискри-минантное множество и контур гиперповерхности. Устанавливается также, что кривые, получаемые в пересечении гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатным плоскостям, содержащими ось, вдоль которой выполняется отображение, имеют экстремальные точки, принадлежащие контуру гиперповерхности. Такое свойство используется для расчета точек контура и очерка гиперповерхности численными методами без использования дифференциальных характеристик гиперповерхности. Полученные результаты применяются при определении огибающей однопараметрического семейства поверхностей.

Ключевые слова: контур поверхности; очерк поверхности; дискриминантное множество; характеристика; ребро возврата.

Введение

Производство ряда изделий машиностроения связано с технологическими процессами формообразования геометрически сложных поверхностей деталей. Эффективное решение задач формообразования поверхностей, обрабатываемых по методу огибания, может быть проведено с использованием известных методов [1], [2] и другие. Во многих из них для выполнения расчета требуется вывод соответствующих зависимостей применительно к различным исходным данным. Часто такие зависимости имеют форму трансцендентных уравнений. Все это усложняет процесс профилирования инструмента.

Вместе с тем, эффективное решение задач формообразования сложных поверхностей может быть выполнено с применением методов геометрического моделирования средствами компьютерной графики [3] и другие. В этом случае важная роль отводится разработке геометрических моделей соответствующих поверхностей, а также установлению особенностей их отображения ортогональным проецированием [4].

Вопросам исследования отображения ортогональным проецированием поверхности на плоскость посвящено значительное количество работ: [5, 6, 7, 8, 9, 10] и другие. В них, в основном, определяются некоторые дифференциальные характеристики очерка двумерной поверхности или алгебраической поверхности большей размерности. Так в работе [7] предлагается определять точки контурной линии по уравнениям поверхности, заданным в неявной форме, и уравнениям, содержащим дифференциальные характеристики этой поверхности. Для расчета предлагается использовать методы вычислительной математики и методы нелинейного программирования. Что является не

простой задачей. Анализа контурной линии и ее проекции не приводится.

Исследованию особенностей отображения алгебраических поверхностей различной размерности, в том числе и ортогональным проецированием, посвящены работы [5, 9, 10] и другие.

В работе [6] приведены несколько примеров получения дискриминанты гиперповерхности, заданной многочленом.

В настоящей работе приводится исследование отображения ортогональным проецированием трехмерной гиперповерхности, заданной параметрическими уравнениями, на координатную гиперплоскость.

Дифференциальные параметры контура и дискриминанты гиперповерхности

Пусть исследуемая гиперповерхность задана параметрическими уравнениями

х = Ми

у = Л (и ^рХ

(1)

= Ми, УМ, t = fM,

Или в векторной форме

г(и, У,Ф) = 0 (2)

Будем рассматривать отображение этой гиперповерхности ортогональным проецированием на координатную гиперплоскость xyz. . По аналогии с отображением двумерной поверхности будем называть отображение этой гиперповерхности на координатную гиперплоскость дискриминантным множеством функции (1) [2], а соответствующую ему двумерную поверхность в четырехмерном пространстве - контуром на заданной гиперповерхности относительно рассматриваемой гиперплоскости. Уравнение касательной гиперплоскости к ги-

перповерхности (1) в точке M(xo,yo,zo,to) будет A■ (X -x0)+B■ (Y -y0) + C ■ (Z -z0)+D■ (T -10) = 0 , (3)

которой идет вдоль вектора

где

f2u f2 v f2 p f\u flv flp

A = f3 u f3v f3p , B = f3 u f3v f3p

f4u f4v f4 p f4 u f4v f4 p

f\u flv flp f\u flv flp

C = f2 u f2v f2p , D = f2 u f2v f2p

f4u f4v f4 p f3u f3v f3p

A ■ (X - xo) + B ■ (Y - yo) + C ■ (Z - zo) = 0 ,

(5)

f2 u f3u Fu

где A = f2v f3v Fv

f2p f3p Fp

f3u f\u Fu flu f2 u Fu

B = f3v flv Fv , C = flv f2v Fv

f3p flp FP flp f2p Fp

D( f2, f3, F)

D(u, v,q>)

D( f3, A, F)

+

D( fx, f2, F)

D(u, v,p)

= 0 , (6)

t = ■

B C

B C

C A C A

A B A B

(7)

Это следует из приведенных выше уравнений касательных плоскостей к исходной гиперповерхности (3) и ее дискриминанте (4).

В качестве примера рассмотрим гиперповерхность (1), образованную однопараметрическим семейством плоскостей [6], которая задается уравнениями:

х = -u • sin р + v • cosp,

В точках контура касательные гиперплоскости к гиперповерхности параллельны координатной оси Т, что записывается в виде или

{и, ,,?) = Ли (/г, ■ А? — /г? ■ /з,) - (4)

Лги ' /з? — /г? ' Лзи ) + Л\?( Лги ' /з, — Л г, ' /з,) _ 0

Уравнения (4) устанавливает связь параметров и, V, ф и совместно с уравнениями (1) определяют контур гиперповерхности. Уравнение (4) можно рассматривать как уравнение двумерной поверхности в декартовых координатах и, V, ф . Отображение О: R3 ^ R4 этой поверхности, задаваемое уравнениями (1), выделяет на заданной гиперповерхности ее контур (двумерную поверхность) относительно гиперплоскости хуг.

Исследованию подлежат контур гиперповерхности, ее дискриминанта, а также сечения этой гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатной оси t.

Уравнение касательной гиперплоскости к дискриминанте гиперповерхности (1), определяемой первыми тремя уравнениями системы (1) и уравнением (4), относительно гиперплоскости хуг имеет вид

y = u ■ cosp + v■ Sin p, z = u + v,

(можно в 1-2 стр) (8)

t = p.

Тогда уравнение (4) будет иметь вид

1- v = 0. (9)

После подстановки (9) в (8) получим гиперповерхность, проекция которой на гиперплоскость xyz определяется уравнениями x = -u ■ sin p + cosp,

y = u ■ cosp + sin p, (можно в 1-2 стр) (10) z = u + v.

Модель этой поверхности представлена на рисунке 1. В соответствии с равенством (6) получим

|u ■ sin p( +|- u ■ cos p( + |u| = 0. Откуда следует,

что для u=0 на поверхности (10) выделяется ребро возврата, которое определяется уравнениями: x=cosq,y=sinq, z=v.

Откуда следует, что касательная плоскость к дискриминанте не определена, если

0(и, ,,?)

что соответствует ребру возврата на дискриминанте.

Если пересечь гиперповерхность (1) и ее контур гиперплоскостью t=const, то на контуре получим характеристику (по аналогии с [6]), касательная к

Рис. 1. Дискриминанта гиперповерхности (1)

Некоторые сечения гиперповерхности

Касательное пространство к заданной гиперповерхности в ее некоторой точке состоит из двухпа-раметрического семейства касательных к кривым этой поверхности. Выделим из этого множества ту из них, которая параллельна оси Т. Эта прямая t будет касаться плоских кривых, полученных в пе-

(12)

ресечении гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатным, содержащими ось T. Но такое свойство отражает необходимое условие существования условного экстремума на рассматриваемых кривых. Если выделить на гиперповерхности сечение координатными гиперплоскостями y=a, z=b, (а и b - некоторые вещественные числа), то параллельность t оси T выражает необходимое условие существования условного экстремума функции

х = f^uv,y)\у=a^z=b , (11)

а параметры u и v связаны зависимостью (4).

Для определения необходимых и достаточных условий существования условного экстремума функции (11) используем метод неопределенных коэффициентов Лагранжа. В данном случае функция Лагранжа будет иметь вид L(u, v,q>) = f3(u, v,q>) +

- f (u, v, V) - a] + X2 f (u, v, q>) - b]

Система уравнений, из решения которой следует искать точки условного экстремума, будет

f3u (u, V,V) + flu (U, V, V) + Л • f2u (u, v, V) = 0

fsv (u, v,V) + Л • fv (u, v, V) + Л • f2v (u, V, V) = 0,

f3v(u, v,V) + Л • flv(u, V,V) + Л2 • f2v(u, v,V) = (13)

f (u, v,v) - a = 0,

f2 (u, V,V) - b = 0-

После определения Äi и Ä2 из первых двух уравнений системы (13) и подстановки их в третье уравнение, получим

flu (f2v • f3v — f2V • f3v ) — f Iii f2u • f3v — f2v ' f3u ) + + flV (f2u • f3v — f2v • f3v ) = 0

Это равенство совпадает с (4) и определяет необходимое условие существования условного экстремума функции, задающей координату х, при наложении условий связи на координаты y и z.

Для определения достаточных условий существования экстремума вычислим второй дифференциал функции Лагранжа:

,2Г д2 L 2 d2 L . 2 d2 L 2

d L =—- du +—- dv +-- dV +

du dv dV

- 2 д L dudv + 2 d L dudV + 2 d L dvdV, dudv dudV dvdV

(14)

где

tfL dv

d2 l

= f3VV (u v,V) + Ä • flVV (u, v, V) + Ä2 •f2VV (u v V)

dV2 VV

= fu. (U, vV) + к-u, v,V) (u, v,V),

d2 L

dudv

d2 l =

J 3uv

dudV

d2 l

dvdV

= f3uV (u-v,v) + V fuV(u-v,v) +Ä2- f2 uä (u, v, v)-

= Aw^ v,v) + fvr ^ v,v) +Ä2• f2 vv v,v\

Ä =

Л =

A =

- f3v (U, V, V) - f2u (u V, V) + f3u ^ V, V) - f2v (u V, V)

- fiu (u v, V) • f2v (u V V) + fiv (u v, V) • f2u (u, V V) ''

f3v (U, V,V)- flu ^ V,V) - f3u (U, V,V)- flv ^ V,V) flv ^ V, V) - f2u ^ V,V) - flu ^ V V) - f2v (U, V V) '

dv = A• dv, flu (u, V, V) • f2V (u, V, V) - flv (u, V, V) • f2u (u, V, V) flv (u, v, V) • f2u (u, V, V) + flu (u, v, V) • f2v (u, V, V) '

du = -

(u, V,V) + flv(u, V,V)

fiu (u V,V)

-dV-

Из полученных выражений следует, что в уравнении для второго дифференциала перед dф находится достаточно сложная зависимость, знак которой определяет точку условного минимума или максимума соответствующего сечения. Это значит, что экстремальные точки могут иметь как максимальные так и минимальные значения.

Таким образом, кривые, получаемые в пересечении рассматриваемой поверхности плоскостями, параллельными плоскостям xz или yz, являются гладкими, если выполнено неравенство

|^и| +Ф 0,. Такие кривые выпуклы (вогнуты) в

случае выполнения равенства (4), но при

D( f2, f3, F)

D(u, v, v)

D( f3, fi, F)

D( fi, f2, F)

D(u, v,v)

* 0.

D(u, у,ф)

Для поверхности (7) при наложении условий связи на координаты у и z, а именно у=а, z=b¡ выражение для второго дифференциала имеет вид

d2 L =

sin V- cosV + v • cosV-2u • sin V +

2 2 cos V cos V - u—:--—(cosV- v• sinV + u• sinV)

sin V

sin 2 V

(dV)2

ТГГ = f3vv V,V) + flvv (u, V,V) +Ä2 • f2vv (u, V,V)-,

Следовательно, кривые, получаемые в пересечении поверхности (8) плоскостями у=а¡, z=b¡, имеют точки как условного минимума, так и максимума, что определяется знаком значений выражения в приведенной зависимости перед .

На основе проведенных исследований полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Если у трехмерной гиперповерхности, заданной параметрическими уравнениями, есть дискриминантное множество при ее ортого-

+

+

нальном проецировании вдоль оси t на координатную гиперплоскость, то точки этого множества могут состоять из:

1) совокупности точек, для которых

1\п (/2ч ' /з? — !г? ' ) —/ 2п ' /з? —

— Л2? ' Лзи ) + Л\? (/2и ' — ' ) _ 0

2) совокупности точек, в окрестности которых

г (и,,, ?) £ С1;

3) совокупности экстремальных точек на кривых, получаемых в пересечении гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатным плоскостям, содержащими ось, задающую направление проецирования.

Замечание: пункты 1 и 2 совместно, а пункт 3 самостоятельно, определяют дискриминантное множество, в состав которого входит и очерк гиперповерхности

Полученные результаты наряду с исследованием контура и дискриминанты трехмерной поверхности относительно гиперплоскости позволяют предложить методику расчета координат точек этих множеств, основанную на использовании численных методов определения условного экстремума одной из координат этой гиперповерхности, не требующей получения соответствующих дифференциальных уравнений. Наложение условий связи и выбор координаты, условный экстремум которой будет вычисляться, определяется зависимостью (12). Тогда контур К поверхности является объединением множества экстремальных точек, а именно

п I т

к=и I и тЬ л тах Л\ (и , ?)\*=

¡=\ V i=\ J

Уравнение (1) можно рассматривать как уравнение однопараметрического семейства конгруэнтных поверхностей, где ф - параметр семейства. Тогда это множество является неособой несамопе-ресекающейся гиперповерхностью. Особенность отображения ортогональным проецированием такой гиперповерхности вдоль ф- направления на координатную гиперплоскость, в соответствии с изложенным выше, является огибающей рассматриваемого семейства поверхностей. Для огибающей справедливы полученные результаты.

Заключение

Выполненные исследования отображения ортогональным проецированием трехмерной поверхности, заданной параметрическими уравнениями, на координатную гиперплоскость, позволяют получить полное представление о строении контура и дискриминанты этой гиперповерхности. На основе исследования сформулирована теорема, определяющая множества, в которых могут находиться точки контура и дискриминанты гиперповерхности.

Полученные результаты о расположении точек контура гиперповерхности относительно координатных гиперплоскостей, содержащих ось, вдоль которой выполняется проецирование, позволяют предложить методику расчета, основанную на численных методах, не требующую вывода соответст-

вующих дифференциальных зависимостей. Эта методика используется при расчете сечений огибающей однопараметрического семейства конгруэнтных поверхностей.

Библиографический список

1. Лашнев С. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ. / С. И. Лашнев, М. И Юликов. - М.: Машиностроение, 1975. - 392 с.

2. Чемборисов Н. А. Обзор методов профилирования червячной фрезы для зубчатых венцов / Н. А. Чемборисов, Т. Г. Девжеева // Металлообработка. - 2010. - № 4. - С. 2-6.

3. Моделирование формообразования сложных поверхностей деталей / А. А. Ляшков [и др.] // Металлообработка. - 2010. - № 4. - С. 36-42.

4. Ляшков А. А. Вспомогательные поверхности при моделировании формообразования деталей средствами компьютерной графики. / А. А. Ляшков, Ю. А. Канева // Вестник Кузбасского государственного технического университета. - 2011. -№ 5 (87). - С. 75-80.

5. Арнольд В. И. Особенности гладких отображений. - Успехи мат. наук. - 1968. - т.ХХШ, вып. 1(139) - С. 4-44.

6. Брус Дж. Кривые и особенности. / Дж., Брус, П. Джиблин. - М.: Мир, 1988. - 262 с.

7. Быков В. И. Определение контурной линии на поверхности, заданной уравнением в неявной форме. / В.И. Быков, В.В. Найханов // В сб.: Тезисы Всесоюзного научно-методического симпозиума "Применение систем автоматизированного проектирования конструкций в машиностроении". - Ростов-на-Дону. - 1983. - С. 40-41.

8. Ляшков А. А. Особенности отображений проецирования некоторых поверхностей. // Сборник трудов 7-й Международной научно-практической конференции "Современные проблемы геометрического моделирования" - Мелитополь: ТГАТА. - 2003. - С. 61-65.

9. Платонова О. А. Проекции гладких поверхностей. / О. А. Платонова // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. - 1984. - т. 10. - С. 135-149.

10. Платонова О. А. Особенности проекций гладких поверхностей / О. А. Платонова // Успехи мат. наук. - 1984. - т. 39, вып. 1. - С. 149-150.

ENVELOPE SURFACE AS FAMILY ONE-PARAMETER DISPLAY FEATURE OF ORTHOGONAL PROJECTION OF HYPERSURFACE DEFINED IN 4-DIMENSIONAL SPACE WITH PARAMETRIC EQUATIONS, THE HYPERPLANE

A.A. Lyashkov, V.Y. Volkov, V.S, Prokopetch

In the work is a study of orthogonal projection display in 4 's of hypersurface in dimensional space, given the equations parametric coordinate hyperplane. Sets out the conditions which meet the discriminant lot and path hypersurface. Also, that curves from crossing the hypersurface hyperplanes, parallel to the coordi-

nate planes containing the axis along which you are displaying are extreme points belonging to the contour of the hypersurface. This property is used to calculate the points of the path and the essay hypersurface numerical methods without the use of differential characteristic hypersurface. The results are applied in determining the envelope of one-parameter family of surfaces.

Ляшков Алексей Ануфриевич - кандидат технических наук, доцент кафедры "Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика" Омского государственного технического университета. Основные направления научной деятельности - геометрическое и компьютерное моделирование сложных поверхностей деталей. Общее количество опубликованных работ: 87

Волков Владимир Яковлевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой

"Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика" Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ). Основные направления научной деятельности многомерная исчислительная геометрия. Общее количество опубликованных работ более 200.

Прокопец Валерий Сергеевич - Советник РА-АСН д-р,техн.наук, профессор, заведующий кафедрой «Строительные материалы и специальные технологии» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - получение и применение в строительных материалах веществ с наноструктурными свойствами механо-активационного способа получения. Имеет более 170 опубликованных работ. E-mail:prokopets_ vs@mail. ги

УДК 621: 892

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРИОДИЧНОСТИ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ШАРНИРА ОПОРНОГО КАТКА ЭКСКАВАТОРА

С.В.Мельник, Г.А. Голощапов

Аннотация. Рассматривается возможность использования вероятностно-математической модели оптимизации периодичности технического обслуживания (ТО) пары трения скольжения применительно к подшипниковым узлам ходовой части строительных машин. Предложено теоретическое обоснование математической модели, разработана целевая функция оптимизации.

Ключевые слова: техническое обслуживание, периодичность, оптимизация, износ, эксплуатационные затраты.

Введение

Техническое обслуживание представляет собой комплекс работ для поддержания исправности или только работоспособности объекта. По отношению к подшипникам скольжения опорных катков экскаватора комплекс работ должен обеспечить снижение скорости изнашивания пары трения и обеспечить необходимый уровень вероятности безотказной работы в период между обслужива-ниями и в межремонтный период. Снижение скорости изнашивания увеличивает наработку деталей шарнира на отказ, повышает безотказность сборочной единицы, снижает простои экскаватора в эксплуатационных ремонтах. Вместе с тем, техническое обслуживание требует определенных материальных и трудовых затрат на выполнение комплекса работ. Чем больше объём работ и меньше периодичность технического обслуживания, тем больше затраты.

Основная часть

Долговечность деталей шарнира опорного катка (ось, втулка), определяется характером процес-

са изнашивания и его интенсивностью. Для основных элементов шарнира, отказ которых происходит в результате изнашивания, основными критериями работоспособности является достижение предельной величины износа Ипр. Ресурсы деталей -наработки до предельного износа зависят как от величины Ипр, так и от средней скорости изнашивания. Основным направлением увеличения ресурсов является снижение скорости изнашивания как своевременным проведением технического обслуживания (обеспечивающих восстановление среды протекания процесса), так и увеличением его периодичности за счёт повышения ресурса смазочного материала.

Наиболее наглядно влияние периодичности технического обслуживания на изнашивание и ресурс пары трения представляет графическая модель (рис. 1).