CC BY
41
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
Развитие образования
Гильмутдинов Р. З. Gilmutdinov К. Z.
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Цифровые технологии и моделирование», ФГБОУВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
Ушаков В. В. Ushakov V. V.
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Цифровые технологии
и моделирование», ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
Иваньо Я. М. Ъапуо Уа. М.
доктор технических наук, профессор кафедры «Информатика и математическое моделирование», проректор по научной
работе, ФГБОУ ВО «Иркутский государственный аграрный университет», г. Иркутск, Российская Федерация
УДК 378.147.3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ВООБРАЖЕНИЯ
Для развития пространственного воображения в математике, вообще говоря, требуются наглядность и геометрически ясные методы. Пространственное воображение на основе высшей математики можно развивать по различным методикам. Прежде всего, существуют готовые уравнения и геометрические изображения различных фигур и пространственных тел, называемых в математике кривыми или областями. Можно использовать метод проекций на координатные плоскости, которые используются в чертежах. И один из самых распространенных - метод сечений, который использует сечения фигур плоскостями, линиями. Причем предпочтения в учебной литературе отдается сечениям плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Фактически можно использовать различные сечения, например, сечения, параллельные координатным осям или проходящие через начало координат и т.д. Сечения дают достаточно полную информацию, но в зависимости от сложности области заранее неизвестно, сколько и каких сечений необходимо использовать для получения полной информации об областях, фигурах. В данной статье применяются несколько иные методы, которые хорошо согласуются как с теорией проекций, так и с теорией сечений. В контексте сечений можно сказать, что мы рассматриваем широкий класс областей, для которых достаточно знать образующие сечения, которые фактически являются характеристическими, т.е. дают полную информацию об области, фигуре. Способ, который рассматривается здесь, назовем методом суперпозиции. Он развивает пространственное воображение на основе геометрических образующих линий фигур и четкого аналитического описания поверхностей, то есть фактически фигур с образующими и направляющими кривыми, определения которых даются в статье. Данные геометрические многообразия, получаемые методом суперпозиции, образуют достаточно широкий класс областей. Достаточно сказать, что в эти классы поверхностей входят, в частности, уже известные цилиндрические поверхности — поверхности вращения; поверхности скольжения кривых по эллипсу, гиперболе, параболе и другим кривым, а также известные в учебной литературе поверхности второго порядка. Появляется возможность не только изучать готовые поверх-
Development of educaton
ности и фигуры, но и понимать геометрические способы их образования в самом процессе, то есть в движении. Вообще говоря «движением» в широком смысле мы можем называть сам процесс получения, вывода математического знания, то есть образования фигуры, процесс вывода формулы или процесс получения логического умозаключения. В математике сам процесс вывода дает наглядность, логичность и понимание математических знаний в силу последовательности логически связанной информации. С другой стороны, понятность и наглядность построения плоских фигур и пространственных поверхностей помогают сформировать у учащихся не только способ их образования, не только развивают пространственное воображение, но и дают возможность определенной классификации пространственных многообразий, в данном случае — поверхностей. На наш взгляд, актуальным является системное развитие пространственного воображения. Этому способствуют определенно подобранные математические методы и вычисления, чему и посвящена данная статья.
Ключевые слова: пространственное воображение, наглядные фигуры, области и поверхности, математика, аналитическая геометрия, образующие и направляющие, метод суперпозиции, функционал Минковского.
MATHEMATICAL FUNDAMENTALS OF DEVELOPING SPATIAL IMAGINATION
To develop a spatial imagination in mathematics, generally, clarity and geometrically clear methods are required. Spatial imagination based on higher mathematics can be developed by various methods. First of all, there are ready-made equations and geometric representations of various figures and spatial bodies, called curves or domains in mathematics. You can use the method of projections to the coordinate planes used in the drawings. One of the most common methods is the cross-section method, which uses cross-sections of figures with planes, lines. And preferences in the educational literature are given to sections by planes parallel to the coordinate planes. In fact, different cross sections can be used, for example, sections parallel to the coordinate axes or passing through the origin, etc. The sections give enough information, but depending on the complexity of the domain, it is not known in advance how many and which sections should be used to obtain complete information about domains and figures. In this paper, several other methods are used which are in good agreement with both the theory of projections and the theory of cross sections. In the context of sections, we can say that we are considering a wide class of domains for which it is sufficient to know the generating sections, which are in fact characteristic, ie, give complete information about the domain, the figure. The method that is considered here is called the superposition method. It develops spatial imagination on the basis of geometric generatrix lines of figures and a clear analytic description of surfaces, that is, in fact figures with generators and guiding curves, the definitions of which are given in the article. These geometric varieties obtained by the superposition method form a wide class of domains. These classes of surfaces include, in particular, already known cylindrical surfaces — surfaces of revolution; slip surfaces of curves along an ellipse, a hyperbola, a parabola, and other curves, and second-order surfaces known in the literature. There is an opportunity not only to study the finished surfaces and figures, but also to understand the geometric ways of their formation in the process itself, that is, in motion. Generally, «movement» in a broad sense can be called the process of obtaining, inferring mathematical knowledge, that is, forming a figure, the process of deriving a formula or the process of obtaining a logical conclusion. In mathematics, the output process itself provides visibility, consistency and understanding of mathematical knowledge by virtue of a sequence of logically related information. On the other hand, the comprehensibility and visibility of constructing planar figures and spatial surfaces help to form in students not only the way of their formation, not only develop spatial imagination, but also enable a certain classification of spatial varieties, in this case — surfaces. In our opinion, the systemic development of spatial imagination is topical. This is facilitated by specifically selected mathematical methods and calculations, which is the subject of this article.
Key words: spatial awareness, visual figures, areas and surfaces, mathematics, analytical geometry, basing and directing lines, the method of superposition, the Minkowski functional.
В развитии геометрического пространственного воображения важны такие составляющие, как наглядность самой пространственной фигуры и ясные принципы образования такой фигуры (области). Пространственные тела, а точнее их свойства и геометрические образы, недостаточно усваиваются учащимися, если они даются в готовом конечном виде, отсутствует сам процесс их получения или построения. Заметим, что если есть достаточно ясный и наглядный способ построения (образования) таких фигур, то они воспринимаются и усваиваются более четко и естественно. И более того, идеальный случай для высшего образования, если геометрический способ образования областей сопровождается математическим описанием — составлением уравнений их границ.
Известно, что рисунки плоских фигур воспринимаются более легко, чем пространственные, что понятно с точки зрения их представления и воспроизведения. Наша идея состоит в том, что пространственные фигуры образуются на основе движения плоских кривых. А реализовать эту идею помогает метод суперпозиции кривых и поверхностей, полученный одним из авторов [1, 2]. В этом методе как раз геометрическая наглядность сопровождается четким математическим описанием самого процесса образования поверхностей — сопровождением получения уравнений поверхностей и фигур. Надеемся, что метод будет полезен как в развитии пространственного воображения, так и в развитии абстрактного мышления. Считаем, что в данном методе заложены широкие возможности прикладного характера в инженерно-технических направлениях, в физике, химии, в задачах линейного программирования, в начертательной геометрии и графике в целом. Перейдем к изложению метода.
Цилиндрическая поверхность. В качестве цилиндрической поверхности берется поверхность, полученная движением прямой (образующей) вдоль некоторой кривой (направляющей), плоскость которой не параллельна данной прямой. Для примера
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
Развитие образования
возьмем некоторую кривую на плоскости КйУ с уравнением ф(х,у) = 0, в пространстве это же уравнение определяет цилиндрическую поверхность с образующей — прямой, параллельной оси 0Z. Так, уравнение эллипса
в пространстве определяет цилиндрическую поверхность — эллиптический цилиндр, образующая которого параллельна оси 0Z.
Поверхность вращения. Поверхностью вращения будем считать поверхность, образованную вращением кривой (образующей) вокруг некоторой прямой — оси вращения. За направляющую в данном случае можно взять окружность, описанную любой точкой образующей. Аналитически все это описывается следующим образом.
Пусть образующая на плоскости Y0Z имеет вид f{y,z) = О, 0Z — ось вращения. Тогда в пространстве любая точка образующей удовлетворяет условию Р{0,Y,Z):/(Y,Z)=0. Вращая точку P(0, Y, Z) вокруг оси 0Z, получаем точки окружности Р' x,y,z ; х2 +у2-Y2, z = Z. Тогда уравнение поверхности вращения имеет вид f^]x2 + y2,z^j=0. Если точка P(0, y, z) некоторой образующей f(y,z) = О будет скользить по образующей кривой ф(х,у) = О (например эллипс, гипербола и т.д.), рассмотрим, как аналитически запишется уравнение такой поверхности.
Поверхность вращения с переменным радиусом. По аналогии с радиусом вращения введем переменный радиус вращения R = R{x,y) вокруг оси 0Z. Тогда вопрос можно сформулировать следующим образом: как запишется уравнение поверхности, если образующую f{y,z) = 0 «вращать» вокруг оси 0Z с переменным радиусом R = /г^.у).
Если за радиус вращения взять функционал Минковского R = р{х,у), то можно аналитически вывести уравнение таких поверхностей. Перейдем к изложению данного результата.
Область замкнута, если она вместе с внутренними точками содержит и все точки границы. Стандартные обозначения: D — открытая область, D — замкнутая область.
Development of educaton
Область звездная, если из условия (*,>>) е D следует (Ах,Лу) еД где 0 < Л < 1.
Функционалом Минковского р^{х,у) для каждой точки плоскости (x, y) относительно звездной замкнутой области D называется следующее число:
pD(x,y) = min{i,: (х,у) е XD,X >
где ID = {(Ax, Ay): (x,y) e Ъ}. _
Другими словами, преобразование XD — это «^-расширение» области D относительно начала координат. Области Ж> — это подобные фигуры, где X — коэффициенты подобия. Функционал Минковского уOj)(x,y) — это коэффициент подобия X: область D следует расширить в X раз, чтобы точка (x, y) лежала на границе области XD. Смысл обозначений 10£)(х,у), р(х,у), р будем считать одним и тем же.
Перечислим свойства функции Рп(х,у):
1) функция р = р(х,у) непрерывна по (x,
y); '
2) функция р = р(х,у) однородна, т.е. к-р(х,у)=р(кх,ку);
3) справедливы соотношения
D = {(х,у):р(х,у) < 1 \Ъ = {(х,у):р(х,у)< 1}, dD = {(x,y)\ р{х,у) = 1} . По аналогии можно считать, что D — это единичный круг переменного радиуса р(х,у)-1. Естественным является следующий практический способ вычисления
PD^y).
Пусть граница 3D, состоящая из точек
(xj), задается в виде: Ф(х,у) = 0. Тогда для
^ 2 любой точки плоскости М(х,у)е R существует единственная точка М (х,у)е dD, где х - хр, у - ур. Это означает, что р — корень уравнения
Ф
i \
X у р'р
= 0.
Пример 2). Если (х,у) е R2
dD = J(jcJ) : = 1Г Т0 Х = *Р>У = УР
и
р2а2 рАЪ
2 2 1 х У
Пример 3). Если граница задается параболой Э£) = {(Зс,У):х2 + |5'| =1}, то для (х,.у)е./г2,
2 | |
х = рЖ,у = рУ, ^ + И = р2_ лу\_х2=0>
\у\ + л]у2+4х2
Р2 Р
Нетрудно увидеть, что все полученные функции рв(х,у) обладают свойством однородности.
Поверхности, образованные методом суперпозиций. Пусть определены непрерывные кривые — L2 (образующая), L1 (направляющая) :
Ц ={(л:1,л:2)е Я2 : р(х1,х2) = 1},
Х2 = {(х3,х4)<е Я2 : ф(х3,х4) = 0 },
где р{х\,х2) = Ро{хЪхг) и D — односвязная область.
В уравнении ^(хз,х4) = 0 произведем замену — вместо х4 подставляем х.2Р(х\,Х2), где е Л: /7(0,^2) = 1. В этом случае каждой точке (хз,3с4>: ф^х^м) = 0 соответствует непрерывная кривая ь = ^хъх2,хъ)&в? ■.
= Х2Р(Х\,Х2) = х4}, причем плоскость кривой перпендикулярна оси Ох3. Учитывая, что подобные непрерывные кривые соответствуют каждой точке, получаем непрерывную поверхность
= {(xhx2,;
Условие разрешимости последнего уравнения и есть возможность нахождения р(х,у).
Пример 1). Пусть задана граница BD - {(£,50: I^I + IjI -1} , можно считать Ф(х,у) = И + |у| -1 = 0, так как для любой точки (х,у) е R существует р: х = хр, у = ур, то
1*1 Ы i i i i
— + — — 1 = 0, р=х+Ы.
р р
,х3)е Я : <р(хъ,х2р(х1,х2))
Такой метод образования поверхности назовем методом суперпозиции.
Еще раз отметим, что каждая точка (х3, х4) кривой ф(х3,х4) = 0 «вращается» вокруг оси Ох3 фактически по кривой — по границе расширенной области, подобной области D (р(х1,*2) = 1). Все известные поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостные гиперболоиды и т.д. — получаются в случаях, когда образующими и направляющими
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
кривыми являются эллипс, гипербола, парабола или прямая. Можно образовать достаточно простые поверхности и на основе других линий.
Очевидны математические и геометрические описания следующих типов поверхностей:
| л: | +1 у | )2 +1 г |2 = 1; х2 + ( | у |3 +1 г |3 )' = 1;
уА (.Л _2 V
Г 2 -
4 + ^
= 1.
К примеру, верхняя часть поверхности, заданной первым уравнением, изображена через графический калькулятор на рисунке 1. Нижняя часть этой поверхности симметрична верхней относительно плоскости XoY.
Поверхности в примере имеют четко определенные границы, они геометрически понятно описываются указанным методом — методом суперпозиции известных канонических кривых. А для наглядности, например, первую поверхность можно представить в виде совмещенных простых геометрических фигур — одинаковых конусов, это известная детская игрушка юла. Подобные поверхности могут иметь применения в
Развитие образования
строительстве и архитектуре, технике, в частности в теории механизмов и машин и т.д. Широкий класс таких поверхностей и фигур с их свойствами достаточно легко представляется в воображении за счет мысленного движения образующей по направляющей кривой, что можно изобразить и на рисунке. Даже более сложные кривые можно изобразить, имея элементарные знания в разделе математического анализа «Исследование функций и построение их графиков».
В работе [1] показаны некоторые пути расширения классов поверхностей методом суперпозиции. В качестве области D для функционала Минковского можно брать неограниченные области, а «расширение» можно рассматривать не по всем переменным, а по некоторым — по тем переменным, которые в области D ограничены. Приведем функционалы, получаемые из некоторых уравнений.
Если
Ф
,У
= 0,
то Ф{х,у)~ хеу-1=0, тогда р = хеу. Или
Ф{х,у) =
г \
х 1 — у-1
Р
= 0, р =ху.
Рисунок 1. Поверхность, полученная методом суперпозиции
Development of educaton
Вывод
Данный подход к изучению поверхностей и областей в аналитической геометрии, четкие геометрические описания существенно помогут развитию пространственного воображения студентов [3, 4]. Кроме того, данный подход способствует повышению качества математического образования, профессиональной направленности обучения по техническим направлениям, связанным с начерта-
Список литературы
1. Гильмутдинов Р.З. Аналитическое описание поверхностей по их направляющим и образующим // Вестник БИСТ (Башкирского института социальных технологий). 2016. № 1 (30). С. 111-114.
2. Гильмутдинов Р.З. Аналитическое описание поверхностей методом суперпозиции // Наука сегодня: теоретические и практические аспекты: сб. ст. Междунар. науч.-практ. конф. М.: Изд-во «Перо», 2015. С. 132-137.
3. Ушаков В.В., Карабельская И.В., Нуриева Р.Я. Формирование образно-пространственных представлений студентов в вузе // Инновации и перспективы сервиса: сб. науч. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. / УГУЭС. Уфа, 2012. Ч. II. С. 198-200.
4. Ушаков В.В., Карабельская И.В., Кашфутдинов А.Д., Узянбаев Р.М. Проблема информационно-графического образования в России // Актуальные проблемы науки и техники — 2016: матер. IX Междунар. науч.-практ. конф. молодых ученых. Уфа: Изд-во «Нефтегазовое дело», 2016. С. 262-263.
тельной геометрией, графикой. В результате возникает дополнительная возможность для дальнейшей реализации Федерального государственного образовательного стандарта.
Данный метод суперпозиции поверхностей получен одним из авторов при расширении интегральных представлений аналитических функций в кратно-круговых комплексных областях.
References
1. Gilmutdinov R.Z. Analytical Description of Surfaces by Their Guiding and Forming // Bulletin BIST (Bashkir Institute of Social Technologies). 2016. No. 1 (30). P. 111-114.
2. Gilmutdinov R.Z. Analytical Description of Surfaces by the Method of Superposition // Science Today: Theoretical and Practical Aspects: Coll. of Articles of the International Scientific and Practical Conference. M.: Publishing House «Pero», 2015. P. 132-137.
3. Ushakov V.V., Karabelskaya I.V., Nu-rieva R.Ya. Formation of Figurative-Spatial Representations of Students in the University // Innovations and Service Perspectives: Coll. of Scientific Articles of the IX International Scientific and Technical Conference / UGUES. Ufa, 2012. Part II. P. 198-200.
4. Ushakov V.V., Karabelskaya I.V., Kashfutdinov A.D., Uzyanbaev R.M. The Problem of Information and Graphic Education in Russia // Actual Problems of Science and Technology — 2016: Coll. of Art. of IX International Scientific and Practical Conference of Young Scientists. Ufa: Publishing House «Oil and Gas Business», 2016. P. 262-263.
