Потенциальное обтекание профиля с конечной толщиной задней кромки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м X 1 97 9 М 4

УДК 533.6.011.3:629.7.025.73

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ С КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНОЙ ЗАДНЕЙ КРОМКИ

Г. А. Павловец

Рассмотрена схема потенциального обтекания профиля при наличии за ним конечной зоны постоянного давления. Получено точное аналитическое решение задачи о симметричном обтекании полигонального профиля с конечной толщиной задней кромки. Исследуются особенности и асимптотический характер решения в окрестности задней кромки. Даны примеры численного расчета симметричных профилей, имеющих конечную толщину задней кромки, при аппроксимации границ зоны постоянного давления.

1. Схема течения. В последние годы в практической аэродинамике широко используются профили, имеющие конечную толщину задней кромки. При расчете потенциального обтекания таких профилей общепринятыми методами (см., например, [1]) возникают трудности, связанные с аппроксимацией контура профиля в области его задней кромки. Применяемые обычно способы состоят либо в представлении задней кромки угловой точкой, либо во введении конечного радиуса закругления задней кромки. Оба способа замены реального контура профиля приближенным вносят искажения в рассчитываемую эпюру давления на профиле и суммарные аэродинамические характеристики. Во многих случаях эти искажения достаточно малы, однако для профилей с большой относительной вогнутостью и профилей сверхкритического типа ошибки в вычислении аэродинамических характеристик профилей становятся заметными. Особенно это касается величины угла нулевой подъемной силы а0. Так, например, расчеты различными методами профилей, имеющих толщину задней кромки от 0,001 до 0,005 хорды,, дают различие в значениях угла я0 от 0,05° до 0,3°, а в отдельных случаях еще больше.

В настоящей статье для расчета потенциального обтекания профилей с конечной толщиной задней кромки рассматривается такая схема течения, когда за профилем имеется замкнутая зона с постоянным давлением (рис. 1). Для случая безотрывного обтекания профиля при малых углах атаки давление на задней кромке

профиля больше статического давления набегающего потока (/»>0) и, следовательно, в этом случае застойная зона с постоянным давлением должна быть конечной. Застойная зона BCD заканчивается точкой возврата С. Таким образом, введение за профилем зоны постоянного давления позволяет в принципе избавиться от неопределенности в удовлетворении условию Жуковского — Чаплыгина на задней кромке BD исходного профиля.

Поскольку давление в области BCD постоянно, то для профиля BAD при наличии застойной зоны, так же как и для контура

Рис. 1

СВАЭС в потенциальном установившемся потоке жидкости, оказывается справедлив парадокс Даламбера о равенстве нулю сопротивления. Соответственно подъемная сила профиля ВАО с конечной толщиной задней кромки и подъемная сила профиля СВАОС с жидким контуром равны между собой.

Задачи построения потенциального течения около тел при наличии конечной зоны постоянного давления рассматривались в ряде работ и монографий, посвященных аэродинамике струйных течений [2, 3, 4].

Ниже в рамках рассматриваемой схемы дано точное решение задачи о симметричном обтекании профиля, контур которого является полигональным. Полученное решение используется для аппроксимации границ застойной зоны за симметричным профилем с конечной толщиной задней кромки при численном решении задачи о потенциальном обтекании таких профилей.

2. Обтекание полигонального симметричного профиля с конечной толщиной задней кромки. Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании симметричного полигонального профиля при наличии за ним конечной зоны постоянного давления (рис. 2). Пусть й — толщина профиля, ¿ — толщина задней кромки, а и ¡3 — углы наклона прямолинейных участков контура профиля в его передней и задней части соответственно, Ксс — скорость потока на бесконечности. На свободной линии тока ВС скорость течения постоянна и равна некоторому значению У0 (соответственно давление равно рв). Поскольку течение симметрично, достаточно построить решение в ограниченной линией ОАИВСО' области верхней полуплоскости.

Примем, что на линии £МЯ5СО' функция тока ф равна нулю, а значения потенциала <р в точках Н и В соответственно равны О и В плоскости комплексного потенциала те; = ср + /4 области течения будет соответствовать верхняя полуплоскость.

Следуя методу Жуковского — Митчеля [5], введем в рассмотрение функцию

2 = ^ + = (2.1>

В плоскости Z область течения изобразится в виде многоугольника (см. рис. 2). Чтобы решить задачу, нужно найти кон-

формное отображение многоугольника в плоскости Z на верхнюю полуплоскость комплексного потенциала т.

Введем плоскость вспомогательной комплексной переменной £ так, чтобы области течения на ней соответствовала верхняя полуплоскость. Пусть в плоскости t бесконечно удаленной точке О течения соответствует точка ¿ = 0, точкам В и С границы застойной зоны соответствуют точки ¿ = —1 и ¿ = — с, угловым точкам

h H

Л А<У\W-

4 K 0

L4>

V А H

-dl

X

Н

В С

/1// /1 /V ' Т7Т7 >'/! /1 -гп

-1 -С

fo Ч>

©

Л А Н'

LY

tirftf/tttttt//

н

н

£<Х

-iß

® i.

Рис. 2

А и Н — соответственно точки а и сю. Найдем зависимости w и Z от переменной t. Нетрудно видеть, что

ю = —?о It. (2.2)

Для нахождения конформного отображения многоугольника в плоскости Z на верхнюю полуплоскость t воспользуемся формулой Кристоффеля—Шварца. Учитывая величину разрыва в точке И угла наклона вектора скорости, можем записать

С tdt

я J (t — a)Y{t + 1)(/+с) '

(2.3)

откуда получаем

V — = ez =

Vcodw в

Va V(t+\)(a + c) + V(t + c)(\+a) Va — t У а + с + Vc(l + а)

V(l-j-Я) (il-j-C)

Yt + l + Vj + с

i +Vc

a + ß

(2.4)

Формула (2.4) дает возможность определить величину и направление скорости течения во всей плоскости течения г и, в частности, на границе БАНВСО'. Связь между координатами точек г и t может быть найдена интегрированием выражения

В точке В имеем

(2.6)

(¡те У0 у '

Подставляя в (2.4) значение 1 = — 1 и учитывая (2.6), получим:

а = (а-Н)—===, (2.7)

У (1 + а)(а+ с)

_ л2 ±

(2.8)

2«-±-3 _ _ 2-

Ир I УТ=с \ 71 Г Vа + с + У_с±1 + а)

» V 1 + Ус ) [ У а У\~

с

Формулы (2.2), (2.4) и (2.6) дают решение рассматриваемой задачи в параметрическом виде. Для проведения вычислений необходимо найти связь между геометрическими параметрами обтекаемого полигонального тела и координатами точек образа обтекаемого контура в плоскости

Заметим, что при заданных значениях углов аир координата а точки А может быть выражена из соотношения (2.7) через величину с

(1 + С) „» + У(1 - су а' + 4 а»с (а + „

и~ 2 [(а + р») - а»] •

В результате семейство полученных решений будет определяться тремя константами: а, р и с.

Используя выражения (2.4^ и (2.5), найдем длины отрезков АН и НВ:

= (2.Ю)

а —со

После замены переменной и — аЦ в первом интеграле и и = —1/2' во втором получим

1 _ _ ч 2*+з

7 ¥о С( Уа + и + Уа + си \ *

1лн = УГа) ^-УТ^Та-) Х

о

' йи.

х У(а + и)(д-\-с)+ У(а + си)(\ + а)^ У а (1 — и) (1 — с)

(2.11)

о

-I2-

]

X

У(\ - и)(а + с) + У(\ - си)(\ +а)л2

У( 1 +аи) (1-е)

йи. (2.12)

На участке ВС границы течения

j , , . dz _ 1

где

, _ - ifiill arctg + V К V-Tlffff • <2',3)

Координаты точек границы ВС застойной зоны найдутся интегрированием выражения

t t z = z"+ jwdt = zB + ^ (2.14)

—i —1

Сделав замену переменной ¿ = (1— c)s—1, перепишем соотношения (2.13) и (2.14) в виде:

О = - 2 *-±1 arctg УЩ" + U. a,eg (Д^ , (2.15) + И-Ги'-OF' 0<s<1' <2-'6»

О

Действительная и мнимая части выражения (2.16) дают уравнение кривой ВС в параметрическом виде. При s=l(^ = — с) получим координаты точки С (хс, Ус = 0), причем

/ = (ХС - xB) = f f COS 6 {l%Clf)W ; (2.17)

о

-d, = - 4 = (УС - yB) =f j sin 6 jr^jrSf^ ■ (2.18)

о

Итак, решение задачи записано в квадратурах. Задавая значения параметра с(0<с<1), а также значения углов а и ¡3, по выписанным формулам можем подсчитать относительную скорость течения на границе застойной зоны и геометрические параметры обтекаемого полигонального тела и жидкого контура. В частности, для толщины тела имеем

А = 2/„«sin а =2/™ sin f) + d. (2.19)

Некоторые результаты вычислений приведены на рис. 3 и 4. На рис. 3 даны зависимости коэффициента давления в застойной зоне за рассматриваемым полигональным телом от относительной толщины задней кромки при а = {3. Эти зависимости носят существенно нелинейный характер и указывают на резкое уменьшение коэффициента давления рв для профилей небольшой относительной толщины уже при весьма малых d/A. Следует также заметить, что конечная зона постоянного давления за симметричным полигональным телом может иметь место не для любых d/h, а лишь при значениях d/h, меньших некоторого (с?/Л)шах. Это максимальное или предельное значение djh, при котором возможно решение, соответствует случаю бесконечной зоны постоянного давления, в которой р = 0, т. е. давление равно статическому давлению однородного невозмущенного потока. При этом параметр с стремится к нулю.

На рис. 4 приведены данные, характеризующие протяженность зоны постоянного давления за полигональным телом при малых значениях относительной толщины задней кромки. Кривые соответствуют случаю я = 0 и различным значениям угла р. Отметим,

го при изменении угла р в диапазоне от 0 до 15° величина

чт

изменяется незначительно.

ос.= р=30°

7 tgfi

2,5

2,0

1,5

ос = ¿7

0,05 Рис. 4

0.1

d/h

3. Особенности полученного решения. Выясним характер поведения решения при малых относительных толщинах задней кромки.

Этот случай 0(с1) представляет наибольший практический

интерес. Обозначим с0 = 1 — с (с0 -*■ 0).

Разлагая подынтегральную функцию в (2.18) в ряд по степеням с0, получим в линейном приближении

%с0 181а0Л (СОБ*= Со—ТУдг- • (3.1)

(3.2)

Аналогично для величины I протяженности застойной зоны получим

/ _ _£о. JPo. 1 + cos Г 2

Исключив с0 из выражений (3.1) и (3.2), получим для отношения длины застойной зоны к толщине задней кромки приближенную формулу

I __ 1 + cos р ,оо\

~й--2ЖГ ' V '

Если продолжить отрезок ИВ до пересечения с осью Ох, то расстояние от точки пересечения до задней кромки тела составит

р . Относя длину I застойной зоны к этой величине, при малых 3 получим

-'-2tgp=1 + cosi

cos

:2.

(3.4)

График, приведенный на рис. 4 и соответствующий точному решению задачи, показывает, что при малых р и ¿/Л протяженность застойной зоны может быть приближенно оценена с помощью простой формулы (3.4).

Коэффициент давления в застойной зоне при с0 -» 0 ведет себя как

<3.5,

Определим теперь длину отрезка 1нв (2.12). В рассматриваемом случае

о

Учитывая (3.1) и (2.6), для относительной толщины задней кромки при с0 -> 0 получим

сГ^с1-^ - ''"Р - , (3.7)

2[ ,-("г)2 '

где через (а, ¡5) обозначен интеграл в (3.6). Выражая из этого соотношения с0, можем записать

с0=-3р), (3.8)

рв=\ р), (3.9)

где Р), /^(а, р) — некоторые функции параметров а и 3.

Формула (3.9) дает представление о характере изменения давления в застойной зоне при малых относительных толщинах задней

кромки. Из нее следует, что при Р<-у- величина коэффициента

давления с ростом й резко падает, производная коэффициента давления по <1 при ¿ = 0 равна —со; наоборот, при р > тг/З^указанная производная равна нулю; наконец, при р = я/3 величина рв линейно уменьшается с ростом й (см. рис. 3).

Выясним теперь асимптотический характер поведения свободной линии тока ВС вблизи точки схода В. При з -»- 0 имеем

е = + +..., (3.10)

хв =

Фо (' СС« 6(1 — С)<15

5(1 -С)Р

Фо С сое! "Ко ) [1-

— То Г 6 С ~ с) а$

У УВ~ ) [1-Я (1-С)р ~

о

(3.11)

(3.12)

В системе координат Ох1у1, начало которой совпадает с точкой В, ось ОуХ1 направлена вдоль отрезка НВ и ось Охуг перпендикулярна ему, уравнение свободной линии тока ВС в окрестности точки В может быть записано в параметрическом виде

«М1-С) То(1-с) 4 а + 3 /■- зп

Откуда

Ух

».-¿^/итЬ- О-««

Таким образом, в окрестности точки схода В уравнение границы застойной зоны имеет вид степенной функции с показателем степени 3/2. Кривизна свободных линий тока ВС в точке В равна бесконечности. Этот результат хорошо известен в теории струйных течений [6].

Нетрудно показать также, что скорость течения на участке НВ контура в окрестности точки В изменяется по следующему закону:

= \ + . . (3.15) 1-0 - г 1 ' ч 2 Л 1 + а У ?0 (! — <0

Действительно, полагая I — — 1—г при е -»■ 0, имеем

I (ЗЛ6)

-1-Е

Соответственно

ии)

йг

Исключая из соотношений (3.16) и (3.17) параметр г, приходим к формуле (3.15).

4. Аппроксимация границы зоны постоянного давления. Из

рассмотрения точных аналитических решений задач обтекания тел при наличии конечной зоны постоянного давления следует: уравнение свободной линии тока ВС для произвольного профиля в окрестности точек схода В и точки С соприкосновения струек тока, обтекающих верхнюю и нижнюю поверхности профиля, может быть представлено в виде следующих разложений:

2>-УВ+У'в(Х-ХВ) + Ь(х-ХвГ* + ..., (4.1)

У= Ус + Ус (хс - х) + с (хс - х)3'2 +... - (4.2)

Здесь ув и ^ — производные функции у(х) в точках В и С.

Точное определение границ застойной зоны в случае произвольного профиля с конечной толщиной задней кромки является сложной задачей. Аппроксимируем границу ВС зоны постоянного давления следующей зависимостью:

X — Хс, I X — Х„ \3/2 / х — х \з/2

2— «Ученые записки» № 4 17

Для определения коэффициентов а, ¿ = 0, 1, 2, 3 имеем условия:

(4.4)

х = хв, У =ув,

х = хс, у = ус,

откуда получаем

Ау 'с + 2 у о

а0 = 2 ус — у в--з-(хс — хв);

а1 = 3(ув—ус) 4- 2 (ус+ув)(хс — хв);

2 у г + 4уо

а2 = -2 {ув - ус)--з 5 (хс - хв);

аз = 2(УВ -.Ус) + + (Хс - Хв).

Для симметричного профиля, установленного в потоке под нулевым углом атаки, у'с = ус = 0 и уравнение (4.3) свободной линии тока несколько упрощается

Хг — X у Я

с~ лв

+ [2 Ув+ ув(хс — хв)]

/ *-ЛГв \3/2

1 +2-

Рис. 5

Используя результаты, изложенные в п. 3, для случая малых относительных толщин задней кромки положим

* Уд

Хс-Хв= -41. (4.7)

Ув

Тогда выражение (4.6) принимает вид

1 Х — Хп 2 / X — ЛГо \ 3/2 о / хг — X \3/2

Для проверки точности рассмотренной аппроксимации был проведен расчет потенциального обтекания симметричных профилей, контуры которых определялись уравнением

У = ±СоУх( + 0<д;<1. (4.9)

Расчеты проводились комбинированным методом, предложенным в работе [1]. На рис. 5 изображены эпюры давления для трех профилей, толщина задней кромки которых 2 у в равна 0,004; 0,012; 0,02, значения константы С„ = 0,156. Как следует из расчетов, коэффициент давления на линиях ВС, аппроксимирующих границу зоны постоянного давления, практически постоянен.

Таким образом, аппроксимация формы границы зоны постоянного давления за профилем в виде (4.8) может быть использована для расчета профилей произвольной формы с конечной толщиной задней кромки при симметричном обтекании.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пав л овец Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 1344, 1971.

2. Чаплыгин С. А., Лаврентьев А. Л. О подъемной силе и сопротивлении длинного плоского крыла в предположении срыва с его верхней поверхности. Труды ЦАГИ, вып. 123, 1933.

3. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.,Физ-матгиз, 1961.

4. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. М., „Машиностроение", 1977.

5. К о ч и н А. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. I. М., Физматгиз, 1968.

6. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М„ „Мир", 1964.

Рукопись поступила 271/У 1978 г.