CC BY
33
1
УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМ СРАВНЕНИЯ И ОЦЕНКА КАЧЕСТВА
ПРОЦЕССОВ ПОДСИСТЕМ
В.В. Григорьев, П.В. Дудров, Ю.В. Медынский
Для многоканальных дискретных систем разработана методика построения систем сравнения для анализа качества процессов поведения подсистем в отдельности. На основе модульных функций Ляпунова задача анализа асимптотической и экспоненциальной устойчивости в целом для позитивных систем сведена к линейному матричному уравнению - аналогу уравнения Ляпунова для исследования дискретных систем.
1. Введение
Пусть задана динамическая система Б, состоящая из к взаимосвязанных подсистем Б;;. Поведение системы Б определяется уравнениями движения отдельных подсистем Бн, заданных разностными уравнениями
X(т +!) = ¥ х] (т))+ X ¥ чхз(т), (1)
} =1 }
где х { - п -мерный вектор состояния подсистемы Бн, ¥ (т, х ^ (т)) - п -мерные векторо-значные нестационарные функции, характеризующие динамические свойства отдельных подсистем, - матрицы с постоянными элементами, определяющие связи между
подсистемами. Составной вектор хТ = [хт,хт2,...,хтк ] размерности п, построенный из
векторов состояния отдельных подсистем, является вектором состояния системы Б.
Требуется установить, при каких условия данная система устойчива, и оценить качество процессов в подсистемах и в системе в целом.
2. Построение систем сравнения
Для каждой из подсистем выберем функцию Ляпунова из класса К выпуклых положительно однородных степени V функции, удовлетворяющих соотношениям
сЦ |х|V < V(х) < сЦх|V , с1 > 0, с2 > 0,
V (0) = 0, V (х ) = /V (х). Векторная функция Ляпунова при этом есть к-мерная векторная функция
V(х) = [),V2Уv(x2),...,VkУv(xk)]], (2)
элементами которой являются функции Ляпунова отдельных подсистем. На основе векторной функции Ляпунова сформулируем для системы общую функцию Ляпунова следующим образом:
Vo (х) = Ру (х), (3)
где Р0 = [01,р02,...,р0к] есть матрица строка размерности 1хк с положительными элементами.
Сопоставим системе (1) систему сравнения, определяемую линейными разностными уравнениями
и(т +1) = Л(т)и(т), (4)
П(т) = Рци(т), (5)
где о = [и1,о2,...,ок} - вектор состояния системы сравнения, п - скалярная функция, являющаяся выходом системы сравнения, Х(т) - квадратная матрица размером кхк с неотрицательными элементами. Предполагается что для системы сравнения выполнено условие и(0) = V(х(0)).
3. Анализ поведения процессов подсистем на основе систем сравнения
Рассмотрим задачу определения с помощью функции Ляпунова из класса К таких параметров системы сравнения, при которых справедливы неравенства
V(х(т)) < и(т), (6)
х(т)) < п(т), (7)
где и и п - вектор состояния и выходная скалярная переменная системы сравнения, соответственно. Векторное неравенство (6) понимается в смысле выполнения соответствующих неравенств для каждой из переменных векторов правой и левой части неравенства
^(х, (т))<ц (т), г = й). (8)
Теорема 1.
Пусть задана система (1), и для каждой подсистемы
х1 (т +1) = (т, х(т)) . (9)
При функциях Ляпунова Vi (хг) из класса К выполнены условия V(((т +1))< Х(т)((т)), (10)
где параметры Аи (т)> 0 при любых т. Тогда для векторной функции Ляпунова вида (2) справедливо неравенство (6), а для общей функции Ляпунова - неравенство (7), если при выполнении условия ц,0) = V(х(0)) элементы матрицы Я(т) вне главной диагонали определяются из соотношения
Лг1 = вир
'V ')'
, г * У (11)
V (xj)
Функции Ляпунова V (хг) из класса К являются выпуклыми положительно однородными функциями, для которых по лемме Фурасова справедливо неравенство
[('+х) (12)
для любых векторов х' и х' из . Совокупность условий
V (0)= 0, V ('х ) = /V (х) (13)
и (12) позволяет утверждать, что функции V (хг) порождают преобразованные нормы в пространстве Яп вида
14 = [ (х)}. (14)
Поэтому элементы матрицы Я(т) можно трактовать следующим образом: диагональные элементы Ягг (т) дают оценку сверху коэффициентов передачи подсистемы , а элементы Ху дают оценку сверху коэффициентов связей между г-ой и у'-ой подсистемами.
В случае квадратичных функций Ляпунова вида Vi (хг ) = хТ Ргхг вычисление коэффициентов производится по характеристическому уравнению
-мР ]=0
пучка квадратичных форм. При этом Л = ]/2, где
корня характеристического уравнения.
есть максимальное значение
I II2 _2 л2т 12
|х|| = р Л ах
Рис. 1. Оценочная трубка для множества траекторий
Из теоремы следует, что анализ исследуемой нелинейной системы сводится к анализу поведения системы сравнения, описание которой задается линейным нестационарным разностным уравнением. Вычисление решения этого уравнения - последовательностей и(т) и г/(т) при заданных начальных значениях - осуществляется ре-куррентно и не представляет труда. Поэтому для векторной и общей функции Ляпунова имеем оценки вида (6) и (7), соответственно, позволяющие косвенно судить о процессах в подсистемах и системе в целом. Например, для каждой из подсистем на основании неравенства V(х(т)) < и(т) можно построить «оценочные» трубки (рис. 1), ограниченные поверхностями
V (х ) = ч"(т ), (16)
где ц(т) есть решение уравнения (4), которые позволяют оценивать поведение траек-
торий каждой из подсистем по множеству начальных условий
Ях^ ={ (0): V ( (0))<и(0)}.
(17)
х
4. Оценка качества системы
Выяснение характера сходимости процессов в подсистемах и системе эффективнее производить, применяя прямой метод Ляпунова для изучения поведения системы сравнения. Формирование функции Ляпунова для системы сравнения может производиться различным образом. Однако положительность элементов матрицы Л(т) и неотрицательность значений переменных вектора состояния системы сравнения позволяет использовать функцию Ляпунова вида (2), относящуюся к классу модульных функций Ляпунова (V = 1) и являющуюся линейной функцией, что упрощает анализ поведения системы сравнения. Выбор элементов матрицы Р0 , определяющей задание функции Ляпунова (2), целесообразно производить на основании свойств системы сравнения (свойств матрицы Л(т)).
Приведем теорему, в которой получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости составной системы Б.
а)
Р0и = V (и(т))
б)
Рис. 2. Модульные функции Ляпунова
Теорема 2.
Пусть для системы (1) выполнены условия (теоремы 1), и функции Ляпунова удовлетворяют неравенствам
ОМ< V,(хг)< С^Ц",(г = 1,к), (18)
Сю10и< Ру< С2010о (19) где С1г и С2г (г = 1, к) - некоторые положительные постоянные, а С10 и С20 - положительные постоянные, удовлетворяющие соотношениям
С10 = т1пК } С20 = таХ(Р0г }. (20)
г г
Тогда для того, чтобы система (1) была экспоненциально устойчивой, достаточно чтобы существовало такое положительное число Хс < 1, что для любого т было бы справедливо уравнение Ляпунова
Р0А(т)-АсР0 =-а (т) (21)
при матрице Р0 с положительными элементами и матрице Q0 (т) с по крайней мере, неотрицательными элементами. При этом для системы (1) справедлива оценка процессов ||х(т|<р/Т||х(0| (22)
со значением
С*
Р= С*,
где
С* = тт{0гс1г}, С* = тах{р0гс2г}.
г г
Из выполнения уравнения (21) следует неравенство
Pov(m (24)
т.е. система сравнения экспоненциально устойчива с оценкой процессов
С
\o(m)|< С^ Am |и(0|, (25)
С10
k
где = . Система сравнения является как бы «мажорирующей» системой, даю-
i=1
щей оценку сверху поведения процессов исследуемой системы (1).
Дадим геометрическую интерпретацию локальных достаточных условий экспоненциальной устойчивости системы при использовании модульных функций Ляпунова. Часть пространства Rk, содержащую все вектора с неотрицательными значениями элементов, будем обозначать R+ ( R+ œ Rk ). На рис. 2а для случая k = 2 дана интерпретация модульной функции Ляпунова. Поверхность постоянного уровня, определяемая уравнением
Р0и = Pou(m),
отсекает в R+ область с заштрихованными границами. Поверхность постоянного уровня
I(р = CiV(u(m)), (i = 1,2) иллюстрирует минимаксные ограничения для модульной функции Ляпунова, определяемой матрицей P0 . На рис. 2б показано, что для экспоненциально устойчивой системы в случае выполнения локальных достаточных условий при 0 < A < 1 при любом значении u(m) е R+ последующее значение вектора u(m) будет принадлежать заштрихованной области, т.е. области, отсекаемой от R+ поверхностью Р0и = AV (u(m)).
Другими словами, если поверхность Р0о = V (u(m))
проходит через конец вектора u(m ), то значение постоянного уровня поверхности, ограничивающей область расположения последующих значений вектора состояния системы, уменьшается в A раз. Область расположения вектора состояния через i интервалов дискретности изображена на этом рисунке с двойной штриховкой. С увеличением числа интервалов m при A< 1 эти области стягиваются к началу координат, а, следовательно, и значения вектора состояния стремятся к нулю.
Литература
1. Григорьев В.В. Аналитический синтез регуляторов на основе качественной устойчивости.
2. Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л.: Машиностроение, ЛО, 1983. 245 с.
3. Григорьев В.В., Коровьяков А.Н. Анализ процессов в многосвязных дискретных системах на основе векторных функций Ляпунова. // Автоматика и телемеханика. 1984. №4. С 39-47.
4. Матросов В. М. Методы векторных функций Ляпунова в системах с обратной связью. // Автоматика и телемеханика. 1972. №9. С. 63-75
