Исследование процессов позитивных систем на основе качественной экспоненциальной устойчивости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исследование процессов позитивных систем

15

7. Слита О. В., Ушаков А. В. Достаточные алгебраические условия параметрической инвариантности выхода линейной стационарной системы в первом приближении // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 6. С. 16—22.

Ольга Валерьевна Слита

Анатолий Владимирович Ушаков

Сведения об авторах канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Поступила в редакцию 13.12.12 г.

УДК 62-51

В. В. Григорьев, В. И. Бойков, С. В. Быстров, А. И. Рябов, О. К. Мансурова

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОЗИТИВНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ*

Введено понятие качественной экспоненциальной устойчивости для класса динамических позитивных дискретных систем, на основе которой проводится оценка качества сходящихся и расходящихся процессов.

Ключевые слова: динамические системы, устойчивость, оценка качества, метод Ляпунова, модульные функции, позитивные системы.

Введение. Целью настоящей работы является расширение понятия качественной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости на более широкий класс динамических систем, а именно на позитивные системы — системы сравнения, позволяющие анализировать различные виды устойчивости и неустойчивости многосвязных систем, оценивать качество сходящихся и расходящихся процессов.

Если свойство асимптотической устойчивости определяет сходимость или расходимость процессов в течение времени, то свойство экспоненциальной устойчивости определяет скорость сходимости или расходимости процессов, характеризуя тем самым быстродействие системы. Выполнение условий качественной экспоненциальной устойчивости позволяет судить о средней скорости сходимости или расходимости процессов, а также о текущих отклонениях поведения процессов от осредненного, что дает информацию о характере поведения переходных процессов (колебательность, перерегулирование).

Разработка аналитических и вычислительных технологий для анализа устойчивости и неустойчивости систем сравнения, и как следствие — многосвязных систем, а также качества процессов является практически необходимой задачей исследования. Современные аппаратные средства вычислительной техники и компьютерные технологии анализа поведения многосвязных динамических систем позволяют реализовать эффективные алгоритмы построения систем сравнения на базе функций Ляпунова, получаемых при синтезе многосвязных систем. Использование модульных функций Ляпунова значительно упрощает процедуры исследования поведения позитивных систем [1—3]. Полученные на основе этих функций условия

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 гг. (государственный контракт № 16.740.11.0553).

экспоненциальной и качественно экспоненциальной устойчивости и неустойчивости позволяют судить о поведении процессов и их качестве для многосвязных систем [4—6].

Постановка задачи. Получим матричные неравенства и уравнения типа Ляпунова при использовании модульных функций Ляпунова применительно к стационарным дискретным системам, все значения которых принимают неотрицательные значения. К классу позитивных относятся, например, системы сравнения, используемые для анализа свойств многосвязных систем на основе метода векторных функций Ляпунова.

Пусть движение линейной дискретной системы задано разностным уравнением

v(m +1) = Лv(m) , (1)

где V — к-мерный вектор состояния системы, все переменные которого принимают только неотрицательные значения при любом значении т= 0,1,2,...; Л — (кхк)-матрица с неотрицательными элементами.

Введем модульную функцию Ляпунова для системы (1) в виде

У(у) = £ро,-|М, (2)

1=0

где Ро1 — положительные весовые коэффициенты, а V,- — переменные вектора состояния

позитивной системы V2, ..., Vk] ). Учитывая неотрицательность значений переменных

вектора состояния V- > 0, знак модуля в выражении (2) можно опустить и переписать его в более компактной матричной форме

V(V) = PоV, (3)

где Ро =[ро1, Р02,..., Рок ] — (1хк)-матрица с положительными элементами. В дальнейшем,

хотя и будем пользоваться более простой формой записи модульной функции Ляпунова, необходимо помнить, что первообразной является первичная форма задания (3). Поэтому следует оговорить, что если А — квадратная (кхк)-матрица, то соотношение

V (Лv) = Р0 Лv (4)

справедливо только в том случае, если элементы матрицы А неотрицательны.

Матричные неравенства и уравнения для линейных позитивных систем. Приведем матричное неравенство и уравнения типа Ляпунова, определяющие локальное достаточное условие экспоненциальной устойчивости позитивной системы, на основе выражения (4). Запишем неравенство для предшествующего и последующего значений модульных функций Ляпунова на траекториях движения позитивной системы

V (Лv(m) )<ХУ^(т)), 0< X <1. (5)

Элементы матрицы Л неотрицательны, следовательно, неравенство (5) можно переписать в виде

Р0Лv(m) < ХР^(т) . (6)

Полученное неравенство должно выполняться при любых т и любых неотрицательных значениях вектора v(m), поэтому оно эквивалентно матричному неравенству

Ро Л <ЪРо, (7)

которое следует понимать так: каждый элемент матрицы строки Р0Л меньше соответствующего элемента матрицы Р0, умноженного на значение параметра X, либо равен ему.

Если выполняется матричное уравнение

РоЛ-ХРо = 0о, (8)

где Q0 — (1хк)-матрица с неотрицательными элементами, то из него следует матричное неравенство (7). Выражение (8) является модифицированным уравнением типа Ляпунова для анализа экспоненциальной устойчивости позитивных систем с неотрицательными значениями переменных состояния и элементов матрицы описания движения системы.

Исследование процессов позитивных систем 17

Назовем пару P0 Av, |—ov пучком линейных форм с положительными элементами, где v е Мk . Установим минимаксные свойства этого пучка, записанного в виде неравенства:

|_< P-Av <|+ (m). (9)

Pov

Представим матрицу А в виде A = [abüj,...,ak], где ai — матрица-столбец размерности (kx1). Тогда значения |+ и в выражении (9) могут быть определены следующим образом

|+= maxi jp-^j, (10)

l_= min- {p0^}. (11)

При А = |+, согласно соотношению (10), из (9) следует выполнение неравенства, являющегося условием экспоненциальной устойчивости. Таким образом, получаем значение параметра А, определяющего оценку быстродействия позитивной системы. Согласно определению экспоненциальной устойчивости [1], p = Cj/Q . Значения С1 и С2 определяются из минимаксных свойств пучка линейных форм (10) и (11) с положительными элементами

Pov

C1 <--< C2, (12)

IOv

¡0 = [1,1,. ., 1] — (1хк)-матрица с единичными элементами. Следовательно, значения С1 и С2 определяются выражениями

C1 = min {Po-} , (13)

i

C2 = max {Po-} . (14)

i

Дадим геометрическую интерпретацию локальных достаточных условий экспоненциальной устойчивости позитивной системы при использовании модульных функций Ляпунова. Часть пространства Вк, содержащего все векторы с неотрицательными значениями элементов,

будем обозначать Я+ (Р+ ^ Рк ) . На рисунке, а для случая к=2 дана интерпретация модульной

функции Ляпунова.

Поверхность постоянного уровня (прямая линия), определяемая уравнением

Р0\ = Р0\(т),

отсекает в Я+ область с заштрихованными границами. Поверхность постоянного уровня

1о* = С,У (у(т)), г = 1,2, (15)

определяет минимаксные ограничения для модульной функции Ляпунова, определяемой матрицей Ро. На рисунке, б показано, что для экспоненциально устойчивой системы в случае вы-

2

полнения локальных достаточных условий при 0 < 1 при любом значении у(т) е Я+ последующее значение вектора у(т) будет принадлежать заштрихованной области, т.е. области, отсекаемой от Я+ поверхностью

Р0 А = ^у(т). (16)

Другими словами, если поверхность, ограничивающая область расположения последующих значений вектора состояний системы

РоУ = V (у(т)), (17)

проходит через конец вектора у(т), то значение ее постоянного уровня уменьшается X раз (Х<1) в соответствии с (16).

На рисунке двойной штриховкой обозначена область расположения вектора состояния через г интервалов дискретности. С увеличением числа интервалов т при Х<1 эти области стягиваются к началу координат, следовательно, и значения вектора состояния стремятся к нулю.

Виды устойчивости дискретных позитивных систем. Перепишем модифицированное уравнение Ляпунова для стационарного случая позитивной системы

Ро А-ХР0 =-00, (18)

когда элементы матрицы А не зависят от интервала дискретности. При Х=1 получаем уравнение типа Ляпунова для стационарных позитивных дискретных систем, позволяющее проводить анализ устойчивости линейных стационарных дискретных систем, когда матрица А имеет неотрицательные элементы.

Сформулируем утверждение, являющееся аналогом теоремы Ляпунова.

Утверждение 1. Пусть заданы позитивная система и квадратная матрица А с неотрицательными элементами и вектор у(0) е Тогда для того чтобы позитивная система была асимптотически устойчивой, достаточно, чтобы для какой-либо матрицы 0о с положительными элементами при Х=1 решение Р0 уравнения типа Ляпунова (18) содержало только положительные элементы.

Достаточное условие утверждения 1 позволяет получить простой алгоритм анализа устойчивости стационарных дискретных систем. Задаваясь произвольной матрицей 0о с положительными элементами, решаем линейное матричное уравнение (18) относительно неизвестной матрицы Р0 и проверяем, чтобы ее элементы были положительными. Решение уравнения Ляпунова (Х=1) имеет вид

Р0 = 00(1 - А)-1, (19)

где матрица (I - А) имеет обратную, если собственные числа А лежат в единичном круге.

Утверждение 2. Пусть заданы позитивная система и квадратная матрица А с неотрицательными элементами и вектор у(0) е Тогда для того чтобы позитивная система была экспоненциально устойчивой, достаточно, чтобы для какой-либо матрицы 00 с положительными элементами, при 1 решение Р0 уравнения типа Ляпунова (18) содержало только положительные элементы.

Исследование процессов позитивных систем

19

Решение уравнения Ляпунова ( X < 1) имеет вид

Ро = Qo(I -XA)-1, (20)

где матрица (I - XA) имеет обратную, если собственные числа A лежат в единичном круге

радиуса X с центром в начале координат.

Утверждение 3. Пусть заданы позитивная система, квадратная матрица A с неотрицательными элементами и вектор v(0) е R+ . Тогда для того чтобы позитивная система была качественно экспоненциально устойчивой, требуется существование параметров г >0 и -1 <в + г < 1. При этом достаточно, чтобы для какой-либо матрицы Qo с положительными элементами решение Р0 уравнения типа Ляпунова (18) при этих значениях содержало только положительные элементы

P)( A-в I) - rP0 = -Q0.

Решение уравнения Ляпунова при X=1 имеет вид

P0 = Q0(A - (в-г )I)-1, (21)

в — среднее значение скорости сходимости процессов к положению равновесия, а г — отклонение от среднего значения траектории. Отметим, что модифицированное уравнение Ляпунова (20) при X = 1 совпадает с уравнением (19), а (21) при значениях параметров в =0, г<1 совпадает с уравнением (20) и при в =0, г=1 — с уравнением Ляпунова (19). Поэтому можно сделать вывод, что при выполнении условий качественной экспоненциальной устойчивости позитивных дискретных систем выполняются условия экспоненциальной и асимптотической устойчивости позитивных систем.

Заключение. Условия качественной экспоненциальной устойчивости позволяют строить мажоранты и миноранты [4, 6], дающие оценки как сходимости процессов, так и колебательности (отклонений и средней составляющей) процессов. В случае в + г >1 имеет место качественная экспоненциальная неустойчивость, что позволяет прогнозировать поведение процессов в аварийных ситуациях.

список литературы

1. Григорьев В. В., Коровьяков А. Н. Анализ процессов в многосвязных дискретных системах на основе векторных функций Ляпунова // АиТ. 1984. № 4. С. 38—47.

2. Григорьев В. В., Коровьяков А. Н. Исследование качества многосвязных дискретных систем на основе метода сравнения // Там же. 1988. № 9. С. 58—66.

3. Григорьев В. В., Дроздов В. Н., Лаврентьев В. В., Ушаков А. В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л.: Машиностроение, 1983. 245 с.

4. Григорьев В. В. Качественная экспоненциальная устойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 1—2. С. 18—23.

5. Grigoriev V. V., Mansumva O. K. Qualitative exponential stability and instability of dynamical systems // 5th IFAK Symp. on Nonlinear Control Systems (N0LC0S'01). St. Petersburg, 2001.

6. Григорьев В. В., Дудров П. В., Медынский Ю. В. Построение систем сравнения и оценка качества процессов подсистем // Науч.-техн. вестн. СПбГУ ИТМО. 2006. Вып. 33. С. 3—7.

Сведения об авторах

Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

20

В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова

Владимир Иванович Бойков

Сергей Владимирович Быстров —

Александр Игоревич Рябов

Ольга Карибековна Мансурова

канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

канд. техн. наук; Национальный минерально-сырьевой университет „Горный", Санкт-Петербург; доцент; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Поступила в редакцию 13.12.12 г.

УДК 62-51

В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ*

На основе частотных методов исследования систем с распределенными параметрами сформулирован модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости линейных систем.

Ключевые слова: экспоненциальная устойчивость, распределенные параметры, частотные методы.

Введение. Критерий устойчивости Найквиста [1, 2] относится к частотным критериям устойчивости линейных непрерывных систем с постоянными параметрами, он позволяет для систем с одним входом и выходом и единичной обратной связью по амплитудно-фазочастотным характеристикам (АФЧХ) разомкнутого контура устанавливать свойство асимптотической устойчивости замкнутой системы. Однако свойство асимптотической устойчивости не позволяет судить о скорости сходимости процессов системы к положению равновесия. Экспоненциальная устойчивость позволяет оценивать быстродействие системы по степени сходимости процессов к положению равновесия. Модификация критерия Найкви-ста дает возможность установить свойство экспоненциальной устойчивости для линейных непрерывных систем с постоянными параметрами и тем самым оценить их быстродействие. Модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости распространяется на линейные системы с распределенными параметрами.

Модификация критерия Найквиста для линейных непрерывных систем с постоянными параметрами. Рассмотрим линейную непрерывную систему, передаточная функция разомкнутого контура которой Ж(я) представляет отношение двух полиномов

ад

W (s) =

A(s)

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 гг. (государственный контракт № 14.740.11.1080).