О существовании предельных режимов нелинейных разностных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 3

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.962.2

А. Ю. Александров, А. П. Жабко

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ*)

1. Введение. Многие задачи теории управления приводят к исследованию стационарных режимов, возникающих в системах дифференциальных и разностных уравнений под действием внешних возмущений [1-4]. С практической точки зрения, большой интерес представляет ситуация, когда указанные стационарные режимы асимптотически устойчивы в целом. Такое явление называют конвергенцией [1, 5].

Условия существования и устойчивости вынужденных стационарных колебаний хорошо изучены для нелинейных управляемых систем, находящихся под воздействием периодических или почти периодических возмущений [1, 3, 4, 6-10]. Известно [1, 4, 6], что если система с периодическими или почти периодическими правыми частями обладает свойством конвергенции, то у нее существует единственное периодическое или соответственно почти периодическое решение, которое асимптотически устойчиво в целом.

В [11-13] исследовалось асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с возмущениями, имеющими слабую вариацию.

Определение 1 [14, с. 125]. Векторная функция &(t), заданная при t ^ 0, обладает слабой вариацией, если для любых е > 0 и T > 0 существует такое N > 0, что при всех ti и t2, удовлетворяющих условиям ti ^ N, t2 ^ N, \ti —t2\ ^ T, выполняется неравенство ||Ф(^) — $(t2)|| < е.

Здесь и далее в работе || • || - евклидова норма вектора.

Функции, имеющие слабую вариацию, могут описывать колебательные процессы с нарастающими со временем периодами. Колебания такого рода играют важную роль в задачах механики и электродинамики [15].

Александров Александр Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 100. Научные направления: качественная теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости. E-mail: alex@vrm.apmath.spbu.ru.

Жабко Алексей Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 70. Научные направления: теория управления, робастная устойчивость, дифференциально-разностные уравнения. E-mail: zhabko@apmath.spbu.ru.

+ ) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-08-92208ГФЕН_a).

© А. Ю. Александров, А. П. Жабко, 2009

Было показано [11—13], что в системах дифференциальных уравнений, находящихся под воздействием ограниченных возмущений, которые обладают слабой вариацией, могут возникать новые типы стационарных режимов - асимптотические колебания [16]. При возрастании времени решения изучаемых систем стремятся к предельным функциям, имеющим тот же характер, что и возмущения (ограничены и обладают слабой вариацией), но при этом не являются интегральными кривыми рассматриваемых уравнений. Показано также [11-13], что для систем с возмущениями указанного типа кон-вергентность может быть доказана при более слабых предположениях по сравнению с известными условиями периодической или почти периодической конвергенции [1-3, 6, 10].

Цель настоящей статьи - распространить результаты, полученные в [11-13] для систем дифференциальных уравнений, на соответствующие разностные системы.

2. Постановка задачи. Пусть задана система

X (к + 1)=Х (к) + кГ (X (к)) + кФ(к). (1)

Здесь X(к) - п-мерный вектор, к > 0 - шаг дискретизации, целочисленный аргумент к во всех рассматриваемых в статье разностных уравнениях принимает значения 0,1,..., векторная функция Г(^) определена и непрерывна при Z € Е", возмущение Ф(к) представляет собой векторную функцию, заданную и ограниченную при к = 0,1,....

Будем предполагать, что Ф(к) - функция со слабой вариацией. Заметим, что в дискретном случае определение 1 принимает следующий вид:

Определение 2. Векторная функция Ф(к) обладает слабой вариацией, если для любого е > 0 существует такое N > 0, что при всех к ^ N выполняется неравенство ||Ф(к + 1) — Ф(к)|| < е.

В настоящей статье исследуем некоторые классы разностных систем вида (1), соответствующие системам дифференциальных уравнений, рассмотренным в [11-13]. Определим условия существования и устойчивости предельных режимов изучаемых систем.

Замечание 1. Из конвергентности системы дифференциальных уравнений может не следовать конвергентность соответствующей разностной системы.

Пример 1. Пусть задано скалярное уравнение

г = —г3 + а3, (2)

где а - некоторая постоянная. Известно [1], что при любом значении а решение г(£) = а

этого уравнения асимптотически устойчиво в целом. Таким образом, уравнение (2)

обладает свойством конвергенции.

Рассмотрим теперь соответствующее разностное уравнение

х(к + 1) = х(к) — кх3(к) + ка3. (3)

Пусть V(г) = (г — а)2. Нетрудно показать, что для любого значения а и для сколь угодно малого шага дискретизации к число Я > 0 можно выбрать так, чтобы при \г — а\ > Я выполнялось неравенство ДV > 0. Следовательно, уравнение (3) не является конвергентным.

Кроме того, не существует значения к > 0 такого, что при любой постоянной а решение х(к) = а уравнения (3) асимптотически устойчиво.

Действительно, переходя к уравнению в отклонениях у (к) = х(к) — а, имеем

у (к +1) = (1 — 3ка2)у(к) — 3кау2(к) — ку3(к).

Если шаг дискретизации к фиксирован, то, выбирая параметр а так, чтобы выполнялось соотношение 1 — 3ка2 < —1, получаем, что решение х(к) = а уравнения (3) будет неустойчивым.

Таким образом, для доказательства конвергентности разностных систем на их правые части нужно накладывать дополнительные условия по сравнению с известными условиями конвергентности соответствующих систем дифференциальных уравнений. Покажем, что в качестве таких дополнительных ограничений можно использовать достаточную малость шага дискретизации к, а также требование, чтобы вектор-функция Г^) удовлетворяла условию Липшица при всех Z € Е", т. е. чтобы существовала постоянная Ь > 0, для которой неравенство ||Г(Z') — Г)|| ^ ' — Z"|| справедливо

при любых Z,' Z" € Е".

Докажем, что если выполнены соответствующие предположения, то все решения разностной системы (1) стремятся при к ^ ж к предельной функции Ф(к), которая также ограничена и обладает слабой вариацией. Кроме того, она удовлетворяет системе

Г ^ ) + Ф(к) =0,

но при этом, вообще говоря, не является решением уравнений (1).

3. Потенциальная система. Пусть уравнения (1) представимы в виде

X (к +1) =Х (к) + к

дШ(Х(к))

~дг

+ кФ(к).

(4)

Здесь скалярная функция Ш ^) определена и непрерывно дифференцируема при всех Z € Е". По-прежнему считаем, что возмущение Ф(к) - заданная и ограниченная при к =

0,1,... векторная функция со слабой вариацией.

Будем предполагать, что функция Ш^) обладает следующими свойствами:

1) ЦдШ^)/дZ|| ^ ж при |^|| ^ ж;

2) Ш^)/№|| ^ —ж при ^|| ^ ж;

3) для любого С € Е" система дШ^)/дZ = С имеет единственное решение;

4) векторная функция дШ^)/дZ при всех Z € Е" удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица Ь > 0.

Рассмотрим функцию Ляпунова V^) = —Ш^). Из свойства 2) функции Ш(Z) следует, что V^^ +ж при ^|| ^ ж.

Вычислим приращение V^) на решениях системы (4). Имеем

ДУ = УГ(Х(к)) - Ш ( Х(к) + + /гфГ/с)

дZ

+к

= _л(™у(*™+вд) +

(дМГ(Х(к)) т (Х^) + ы (дш<£{к)) + Ф(&))) \ (д\Г{Х{к))

дZ

дZ

V дZ

Ф(к)

где в € (0,1). Значит, при к = 0,1,..., X(к) € Е" справедливы соотношения

дШ (X (к))

дZ

+к

дШ (X (к))

дZ

1|Ф(к)|| + к2Ь

дШ (X (к))

дZ

Ф(к)

2

2

дШ (X (к))

дZ

+ аіН(І + Н)

дШ (X (к))

дZ

+ а2Н .

Здесь аі, а2 - положительные постоянные. Если

ЬН < І,

то найдется число Я > 0 такое, что при IX(к)|| ^ Я и всех к = 0,1,... выполняется неравенство

Н

ДУ < --(1 -Щ

дШ (X (к))

дZ

Таким образом, функция V^) удовлетворяет всем требованиям дискретного аналога теоремы Йошизавы [5, с. 289-293; 17, с. 45-47]. Значит, система (4) равномерно диссипативна.

Рассмотрим теперь систему

дШ(г)

эг

Ф(к) = 0.

Используя свойства функции Ш(Z), получаем, что у данной системы существует единственное решение Z = Ф(к), причем функция Ф(к) задана и ограничена при к = 0,1,... и обладает слабой вариацией.

Обозначим через X(k,Xo,ko) решение системы (4), выходящее при к = ко ^ 0 из точки Xo.

Теорема 1. Если выполнено неравенство (5), то для любого числа г > 0 имеем (IX(k,X0,k0) — Ф(к)|| ^ 0 при к — к0 ^ ж равномерно относительно к0 ^ 0 и 11X0! ^ г.

Доказательство. С помощью замены переменных У (к) = X (к) — Ф(к) перейдем от системы (4) к системе

у(*+!,=УВД+*+,(Ч.,(к+

для которой функцию Ляпунова выбираем в виде

Ъ(к, г) = мг(Щк)) + - ш{г + щк)).

дл

Функция Vl(k,Z) обладает следующими свойствами:

1) (к, 0) = 0 при всех к = 0,1,...;

2) дV1 (k,Z)/дZ = 0 только при Z = 0;

3) VI(к, Z) ^ +ж при ^|| ^ ж равномерно относительно к = 0,1,...;

4) для любых чисел в и в, 0 < < в2, можно указать такое число ^ > 0, что если

в1 ^ №|| < в2, то VI(к, Z) > 7 при всех к = 0,1,....

Вычислим приращение функции Vl(k,Z) на решениях системы (6). Имеем

М-, = У*(Ч (аи,(^+1)) - *™) + (.(Ч - .(* + 1))-аи,(^+1» +

+ Ш (У (к) + Ф(к)) - Ш У (к) + Ф(к) + Н

(дШ (У (к) + Ф(к)) дШ (Ф(к)) \

дZ

дZ

+

2

2

+ h (awmk) + *m _ mvtMk))V эшщ + ip + щт +;)) _ и,(ф(Ц)

V dZ dZ

При этом справедливы соотношения

W(Y(k) + ^(k)) - W ( Y(k) + Ф(&) + h

fdW (Y (k)+^(k)) dW (V(k))\

dZ

dZ J

+

idW(Y(k) + ^(k)) аИ^(Ф(/г))у dW(^(k + l))

dZ

dZ

dZ

, (dW(Y(k) + ^(k))\* (dW(Y(k) + ФШ) dW(V(k))\

= -hl--------=--------j I---------az-------------az )

h

V dZ J V dZ dZ

С dW (y(k) + V(k) + Oh (aw{Y{k)+nk)) _ awmk))^ 1 ~dZ

dW (Y (k) + ^(k))\ (dW (Y (k) + ^(k)) dW (^(k))\

dZ

dZ

dZ

+

, (dW(Y(k) + ^(k)) dW(^(k))\* dW(^(k))

+ Ч-------------------------a—) dZ +

, (dW(Y(k) + 'i(k)) dW(^(k))Y (dW(^(k +1)) <9ЩФ(А;)Л ^

+ 1 dZ dZ ) 1 dZ dZ ) ^

< — h

dW (Y (k) + ^(k)) dW (^(k))

dZ dZ

+ Lh\\Y (k)||

Здесь в € (0,1). Положим

qi(k) = (1 + Lh)

+ Lh2

dW (Y (k) + ^(k)) dW (^(k))

dZ

dZ

+

dW(4(k + 1)) dW(^(k))

dZ dZ

dW(^(k + 1)) dW(^(k))

dZ dZ

q2(k) = ||*(k) - *(k + 1)||

dW (^(k +1))

dZ

+ \W(^(k +1)) - W(^(k))\.

Получаем, что при k = 0,1,..., Y(k) € E" выполняется неравенство

ДУ1 < —h(1 - Lh)

8W(Y(k) + Ф(») dW(^(k))

dZ dZ

+ qi (k)llY (k)|l + q2(k),

где неотрицательные функции qi(k) и q2(k) стремятся к нулю при k ^ж.

Зададим положительные числа е и г. Покажем, что величину K > 0 можно выбрать так, чтобы для решений Y(k, Yo, ko) системы (6) с начальными данными, удовлетворяющими условиям ko ^ 0, ||Y0|| ^ г, при k ^ ko + K имела место оценка ||Y(k,Yo,ko)\\ < е.

В силу равномерной диссипативности системы (4), существует такое в > 0, что если ko > 0, ||Yo|| < r, то ||Y(k,Yo,ko)|| < в при всех k > ko. Пусть

Л = inf V1(k,Z).

k=o,1,.., e^IIZIKjS

Находим S > 0 такое, что V_(k, Z) < Л/2 при k = 0,1,..., HZ|| < S.

2

2

2

д!¥(г + Ф(к)) д\¥(Я>(к))

эг эг

Правые части системы (6) стремятся к нулю, когда к ^ ж, а ||У(к)|| ^ 0. Поэтому вещественное число ¿1, 0 < ¿1 < ¿, и натуральное число К1 можно выбрать так, чтобы из выполнения неравенств к ^ К1, ||У(к)|| < 31 следовало, что ||У(к + 1)|| < 3.

По положительному числу

п = М Н(1 — ЬН)

к=0,1,..., Й1^||^||^,3

найдется натуральное число К2 такое, что 41(к)в + 42 (к) < п/2 при к ^ К2. Пусть К3 = шах{Кь К2}, К = К3 + [27/п] + 1, где

7 = яир У1 (k,Z).

к=0,1,..., ||2||^,а

Рассмотрим решение У (к) системы (6) с начальными данными, удовлетворяющими условиям к0 ^ 0, ||У(к0)| ^ г. Покажем, что существует натуральное число к такое, что к0 + Кз < к < к0 + К, ||У(к)|| < ¿1.

Действительно, если 31 ^ ||У(к)|| ^ в при к = к0 + К3, ...,к0 + К, то

У1(к0 + К,У(к0 + К))<У1(к0 + К^¥(к0 + Кг))-Г^(К-Кг)^0.

Приходим к противоречию.

Осталось показать, что ||У(к)|| < е для всех к ^ к. Предположим, что существует к > к, при котором ||У(к)|| ^ е. Тогда найдутся числа к1 и к2, к < к1 < к2 ^ к, такие, что ¿1 < ||У(к1)| < 3, ||У(к2)| > е и ¿1 < ||У(к)|| < е при к = к,1 + 1,...,к2 — 1. В силу выбора чисел ¿ и К2, имеем

Л < У1{к2,¥{к2)) < У1(къУ(к1)) <

Снова получаем противоречие. Теорема доказана.

Пример 2. Пусть Ш(Z) = —(1 + ^||2)“, где а - положительная постоянная. Тогда при 1/2 < а ^ 1 функция Ш(Z) будет обладать свойствами 1)-4), а все решения системы (4) при к ^ ж будут стремиться к предельной функции Ф(к) = ш(к)Ф(к). Здесь скалярная функция ш(к) является единственным вещественным решением уравнения

2а(1+ ш2(к))а-1ф) = ||Ф(к)|.

4. Система прямого управления. Рассмотрим теперь систему

X (к +1) = X (к) + Н (AX (к)+Ъ1 (а(к))+Ф(к)), а (к) = с* X (к), (7)

где X(к) € Е"; Н > 0 - шаг дискретизации; А - постоянная матрица; Ъ и с - постоянные векторы; ](£) - непрерывная и неубывающая при £ € (—ж, +ж) скалярная функция, причем /(0) = 0; возмущение Ф(к) - заданная и ограниченная при к = 0,1,... векторная функция, обладающая слабой вариацией. Будем считать, что матрица А - гурвицева. Разностные уравнения (7) являются дискретным аналогом дифференциальных уравнений, описывающих систему прямого регулирования с одним нелинейным стационарным блоком [2].

Пусть функция I(£) при всех £ € (—ж, +ж) удовлетворяет условию Липшица с константой Ь. Кроме того, предположим, что числа в ^ 0, ^ > 0 и постоянную симметричную положительно-определенную матрицу Н можно выбрать так, чтобы при Z € Е", С € (—ж, +ж) имело место неравенство

2Z*Н(AZ + ЪС)+вСс*(AZ + ЪС)+Сс*Z < —^||2.

Замечание 2. Условия существования требуемых чисел в,1 и матрицы Н хорошо известны. Они представляют собой критерий абсолютной устойчивости соответствующей невозмущенной системы автоматического регулирования [2].

Положим

5

V^) = Z* HZ + в JI (т)^т, £ = с* Z.

0

Вычислим приращение функции V^) на решениях системы (7). Имеем

а (к+1)

ДV = X *(к +1)HX(k +1)— X *(k)HX(k)+в J I (т )йт =

а(к)

= 2НX*(к)Н(AX(к) + Ъ1 (а(к))) + в1(а(к))с* ^(к) + Ъ1 (а(к))) +

ст(к+1)

+ 2НX *(к)НФ(к)+вН1(а(к))с* Ф(к)+^ У (I (т) — I (а(к))йт +

а(к)

+ Н2 (AX(к) + Ъ1 (а(к)) + Ф(к))* Н (AX(к) + Ъ1 (а(к)) + Ф(к)).

Значит, при всех к = 0,1,..., X(к) € Е" выполняются неравенства

ДV < —1Н IX(к)||2 — На(к)1 (а(к)) + 2Н||Н|| IX(к)|| ||Ф(к)| + вНЦ(а(к))|||с||||Ф(к)|| +

+ Н2||Н|| ||AX(к) + Ъ1 (а(к)) + Ф(к)||2 + вЬ(а(к + 1) — а(к))2 <

< —1Н IX(к)||2 — На(к)1 (а(к)) + На1 IX(к)|| + Н2а2 (IX(к)||2 + X(к)|| + 1) ,

где а1, а2 - положительные постоянные.

Если Н < 7/а2, то найдется число Я > 0 такое, что при ||X(к)|| ^ Я, к = 0,1,..., будет справедлива оценка

Н

АУ^--(1-На2)\\Х(к)\\2.

Следовательно [5, с. 289-293; 17, с. 45-47], при достаточно малых значениях Н система (7) равномерно диссипативна.

Рассмотрим систему уравнений

AZ + Ъ1 (с* Z )+Ф(к)=0. (8)

Используя результы работы [12], нетрудно показать, что уравнения (8) имеют единственное решение Z = Ф(к), причем вектор-функция Ф(к) ограничена при к = 0,1,... и обладает слабой вариацией.

Пусть X(k, Xo,ko) - решение системы (7), проходящее при k = ko ^ 0 через точку Xo.

Теорема 2. Существует число ho > 0 такое, что для любого h € (0, ho) и любого r > 0 имеем ||X(k,Xo,ko) — ^(k)|| ^ 0 при k — ko ^ ж равномерно относительно ko > 0 и ||Xo|| < r.

Доказательство. Произведем в исследуемых уравнениях замену переменных Y(k) = X(k) — ^(k). Получим

Y (k +1) = Y (k) + h (AY (k) + bG(k,n(k)))+^(k) — ^(k +1), n(k) = c*Y (k). (9)

Здесь G(k, £) = f (£ + c**(k)) — f (c**(k)).

Функцию Ляпунова для системы (9) строим в виде

5

V1 (k,Z)= Z*HZ + в J G(k,r)dr, £ = c* Z.

o

В силу выбора чисел в,1 и матрицы H, для всех k = 0,1,..., Y(k) € E" справедливо соотношение

ДУ. < —YhWY(k)||2 — hn(k)G(k, n(k)) + ah2|| Y(k)||2 + q(k)(1 + ||Y(k)|| + h||Y(k)||),

где a = const > 0, а неотрицательная функция q(k) стремится к нулю при k ^ж. Пусть ho = j/a, h € (0, ho). Для любого S > 0 при k = 0,1,..., ||Y(k)|| ^ S имеем

a1||Y(k)||2 < V1(k,Y(k)) < a2|Y(k)||2, ДVl < —h(7 — ha)||Y(k)||2 + 'a3q(k).

Здесь a1, ci2, аз - положительные постоянные, причем a2 и аз, вообще говоря, зависят от выбора числа S.

Используя данные неравенства, а также то, что система (7) равномерно диссипативна, дальнейшее доказательство проводим аналогично доказательству теоремы 1.

5. Система непрямого управления. Пусть задана система

X(k + 1)= X(k) + h (AX(k) + bf (a(k)^(k)), a(k + 1) = &(k) + h (c*X(k) — gf (a(k)) + e(k)),

где X(k) € E"; a(k) € E1; h > 0 - шаг дискретизации; A - постоянная гурвицева матрица; b и c - постоянные векторы; g - положительный коэффициент; нелинейная характеристика системы f (£) является непрерывной при £ € (—ж, +ж) строго возрастающей функцией, причем f (0) = 0, f (£) ^ —ж при £ ^ —ж, f (£) ^ +ж при £ ^ +ж; функции Ф(k) и e(k) (первая - векторная, а вторая - скалярная) определены и ограничены при k = 0,1,... и обладают слабой вариацией. Будем считать, что функция f (£) при всех £ € (—ж, +ж) удовлетворяет условию Липшица с константой L. Уравнения (10) представляют собой дискретизацию непрерывной системы непрямого регулирования [2].

Пусть существуют числа а ^ 0, в ^ 0, Y > 0 и постоянная симметричная положительно-определенная матрица H такие, что а + в > 0 и для любых Z € E",

С € (—ж, +ж) имеет место неравенство

2Z*HAZ + Z (2b*H + ве +2а (g + c*A-1b) c*A-1) Z — вдС < —Y (|Z||2 + вС2) .

Кроме того, предположим, что

71 = д + с*А-1 Ъ> 0. (11)

Замечание 3. Условия существования требуемых чисел а, [3,1 и матрицы Н получены в работах Р. Калмана и В. А. Якубовича (см. [2, 18]).

Положим

5

у (ад = г Н + а{( - 2 + (т уі,

0

С помощью данной функции нетрудно показать, что при достаточно малых значениях Н система (10) равномерно диссипативна.

Далее рассмотрим систему

А% + Ъ/(£)+Ф(к)=0, (12)

с*^ - д/(£)+в(к)=0. ( )

Из свойств функции /(£) и выполнения неравенства (11) следует, что система (12) имеет единственное решение ^*, £)* = (Ф*(к), ш(к))*, причем векторная функция Ф(к) и скалярная функция ш(к) определены и ограничены при к = 0,1,... и обладают слабой вариацией.

Обозначим через (X*(к, Х0,а0,к0), а(к, Х0,а0,к0))* решение уравнений (10), выходящее при к = к0 ^ 0 из точки (X*, ао)*.

Теорема 3. Существует число Н0 > 0 такое, что для любого Н Є (0, Н0) и любого г > 0 имеем ||X(к, Х0, а0,к0) — Ф(к)|| ^ 0, \а(к, Х0, а0,к0) — и(к)\ ^ 0 при к — к0 равномерно относительно к0 ^ 0, ||Х0|| ^ г, \а0\ ^ г.

Доказательство. Пусть У (к) = Х (к) — Ф(к), г/(к) = а(к) — ш(к). Тогда

(13)

Y(к + 1) = Y(k) + hAY(k) + hbG(k, ф)) + Ф(к) - Ф(к + 1), п(к +1) = n(k) + hc*Y(k) — ghG(k, n(k)) + ш(к) — ш(к + 1).

Здесь G(k, £) = f (£ + w(k)) — f (w(k)).

Функцию Ляпунова для системы (13) выбираем в виде

€

4<k,z,i) = Z *HZ + а{( — c A-1Z)2 + ¿/ед,)

о

При всех k = 0,1,..., Y (k) G En, n(k) G (—ж, +ж) выполняется соотношение AVi < —Yh (||Y(k)||2 + !3G2(k,n(k))) — 2a.YihV(k)G(k,V(k)) +

+ ah2 (||Y(k)||2 + G2(k, v(k))) + q(k)(1 + h) (||Y(k)|| + |n(k)|),

где a - положительная постоянная, а неотрицательная функция q(k) стремится к нулю при k ^ж.

Пусть ho ^ y/a, ho ^ max{Yf3/a;2aYi/(aL)}, h G (0,ho). Тогда если решение (Y*(k),n(k))* системы (13) при k = ki,ki + 1,...,k2 удовлетворяет неравенству

¿1 ^ ||Y(k)|| + |n(k)| ^ S2 (¿1 и S2 - некоторые положительные числа), то для всех таких значений k справедливы оценки

М1 < Vi(k,Y(к), п(к)) < ¡12, ДУ1 < -h-мз + (1 + h)S2q(k),

где положительные постоянные М1, М2, Мз определяются по формулам

ш = min I Z*HZ + а (£ - c*A-1Z)2 + ß [ G(u,r) dr I ,

äi<||Z|| + |£|<ä2, \u\^M 1 V 0 /

M2 = max I Z*HZ + а (£ - c*A-1Z)2 + ß [ G(u,r) dr I ,

äi<||Z|| + |£|<ä2, \u\^M 1 V 0 /

М3 = A^„ mln , ,^(y (||Z||2 + ßG2(u,0) - ah (||Z||2 + G2(u,£))+2a71£G(u,£)) ,

Ä1<|Z| + |i|<Ä2, |u|<M V V /V / /

G(u,£) = /(£ + u) - /(u), M = sup |w(k)|.

fc=0,1,...

Дальнейшее доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1.

6. Система с несколькими нелинейностями. Предположим теперь, что система (1) имеет вид

П

xi(k +1) = xi(k) + h^^Pij /j (xj (k)) + h(fi(k), i = 1,...,n, (14)

j=1

где h > 0 - шаг дискретизации; pij - постоянные коэффициенты; /j (zj) - непрерывные при Zj € (-ж, +ж) строго возрастающие функции, причем /j (zj) ^ -ж

при Zj ^ -ж, /j(zj) ^ +ж при Zj ^ +ж; возмущения фi(k) заданы и ограничены при k = 0,1,... и обладают слабой вариацией. Будем считать, что функции /j (zj) при всех zj € (-ж, +ж) удовлетворяют условию Липшица.

Пусть существуют положительные постоянные А1 ,...,Xn, для которых квадратичная форма Z* (Р*Л + ЛР) Z отрицательно определена. Здесь Z = (z1,...,zn)*, P = (Pij)nj=1, Л = diag{A1,..., An}.

Замечание 4. Из выполнения данного предположения, в частности, следует, что матрица P является неособой.

Замечание 5. Условия существования требуемых чисел А1 ,...,An исследовались в [19-21].

Тогда с помощью функции Ляпунова

n z

V(Z)=£ Ai /i(T) dr

i=1 n

нетрудно показать, что при достаточно малых значениях Н система (14) равномерно диссипативна.

Рассмотрим уравнения

П

(гз ) + <Рг{к)=0, г =1,...,п. (15)

3=1

Функции /3 (23) непрерывны и строго возрастают от —ж до +ж, а ёе! Р = 0. Поэтому система (15) имеет единственное решение Z = Ф(к), причем вектор-функция Ф(к) = (ф1(к),..., фп(к))* ограничена при к = 0,1,... и обладает слабой вариацией.

Пусть X(к, Хо, ко) - решение системы (14), выходящее при к = ко ^ 0 из точки Хо.

Теорема 4. Существует число Н0 > 0 такое, что для любого Н € (0, Н0) и любого г > 0 имеем ||Х(к,Х0,к0) — Ф(к)|| ^ 0 при к — к0 ^ ж равномерно относительно ко > 0 и ЦХ0П < г.

Доказательство. Произведем в исследуемых уравнениях замену переменных у* (к) = ж*(к) — ф*(к), г = 1,...,п. Получим систему

Уг(к + 1) = у* (к) + Н^2рз Сз (к,Уз (к)) + ф*(к) — ф*(к +1), г =1,...,п, (16)

Здесь ах и а2 - положительные постоянные, а неотрицательная функция д(к) стремится к нулю при к ^ж.

Пусть Но = 1/а2, Н € (0, Но). Тогда для любых чисел ¿1 и ¿2, 0 < ¿1 < ¿2, найдутся положительные постоянные М1,М2,Мз такие, что если решение У (к) системы (16) при к = к1,к1 + 1,..., к2 удовлетворяет условию ¿1 ^ ||У(к)|| ^ ¿2, то при указанных значениях к справедливы оценки

Для завершения доказательства далее действуем так же, как и при доказательстве теоремы 1.

7. Заключение. В работе рассмотрены некоторые классы нелинейных разностных систем, находящихся под воздействием возмущений, обладающих слабой вариацией. С помощью прямого метода Ляпунова получены достаточные условия конвергентности изучаемых систем. Указаны уравнения для нахождения предельных функций, к которым при возрастании времени асимптотически приближаются все решения.

Отметим следующие свойства этих предельных режимов:

1. Как и возмущения, предельные функции ограничены и обладают слабой вариацией.

2. Предельные функции могут быть решениями изучаемых разностных систем только в случае, когда они являются постоянными.

3. Из доказательств теорем 1-4 следует, что указанные предельные режимы эвентуально асимптотически устойчивы [22].

П

3=1

При всех к = 0,1,..., У (к) € Е” имеем

”

ДУ1 ^ —На1(1 — На2)^ с?(к,у<(к)) + д(к)(1 + ||У (к)|| + НЦУ (к)||).

*=1

М1 ^ V! (к, У (к)) ^ Ц2, ДУ1 ^ —Мз + ч(к)(1 + ¿2 + ^2).

4. Если рассматриваемые возмущения устойчивы по Пуассону в положительном направлении (устойчивы P +) [15], то и предельные функции будут также устойчивы P +. Однако соответствующие разностные системы могут при этом не иметь устойчивых P + решений.

Пример 3. Пусть задана система

xi(k +1) = xi(k) + hx2 (k),

. г~ (17)

X2 (k +1) = X2 (k) — hxi (k) — hx2(k) + h sinV k.

Здесь возмущение Ф(к) = (0, sin л/к)* обладает слабой вариацией и устойчиво Р+. Если шаг дискретизации h достаточно мал, то все решения системы (17) при к —> оо стремятся к вектор-функции Ф(/г) = (sin у/k, 0)*, которая также обладает слабой вариацией и устойчива P+. Значит, для существования устойчивого P+ решения (xi(k),x2(k))* необходимо, чтобы имело место тождество x^(k) = 0. Но этому условию не удовлетворяет ни одно из решений системы (17).

Следует также отметить, что в настоящей статье рассматривались разностные системы, полученные из соответствующих систем дифференциальных уравнений с помощью метода Эйлера. Однако предложенные подходы к проблеме анализа асимптотического поведения решений нелинейных разностных систем могут применяться и в случаях, когда вычислительная схема строится методом Рунге-Кутты или Адамса.

Литература

1. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 632 с.

2. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / под ред. Р. А. Неле-пина. М.: Наука, 1975. 448 с.

3. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970. 352 с.

4. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем / пер. с румынск.; под ред.

B. П. Рубаника. М.: Мир, 1971. 312 с.

5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

6. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964. 368 с.

7. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. I. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний // Автоматика и телемеханика. 1964. Т. 25, № 7. C. 1017-1029.

8. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972. 246 с.

9. Красносельский М. А., Мовен Ж., Покровский А. В. Новые теоремы о вынужденных периодических колебаниях и ограниченных решениях // Докл. РАН. 1991. Т. 321, № 3. C. 491-495.

10. Дзюба С. М. О существовании и устойчивости единственного периодического режима // Автоматика и телемеханика. 1998. № 2. C. 15-22.

11. Александров А. Ю. Об асимптотическом поведении решений некоторых классов неавтономных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2000. Вып. 3 (№ 17).

C. 3-7.

12. Александров А. Ю. О существовании предельных режимов регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. 2002. № 12. C. 24-31.

13. Александров А. Ю., Тапинов П. Г. Об асимптотической устойчивости решений одного класса нелинейных систем // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2002. № 2. C. 25-30.

14. Персидский К. П. Избранные труды: в 2 т. Алма-Ата: Наука, Казах. отд., 1976. Т. 1. 272 с.

15. Зубов В. И. Аналитическое представление движений, устойчивых по Пуассону // Докл. РАН. 1992. Т. 322, № 1. C. 28-32.

16. Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.

17. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. СПб.: НИИ химии С.-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

18. Kalman R. E. Lyapunov funriions for the problem of Lur’e in automata œntrol // Ргос. Nat. Асаё. Sri. U.S. 1963. Vol. 49, N 2. P. 201-205.

19. Барбашин Е. А. О построении функций Ляпунова для нелинейных систем // Труды 1-го конгресса ИФАК. М., 1961. C. 742-751.

20. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами / пер. с англ.; под ред. В. М. Матросова, С. В. Савастюка. М.: Мир, 1994. 576 с.

21. Kazkurewicz E., Bhaya A. Matrix diagonal stability in systems and computation. Boston: Birkhauser, 1999. 272 p.

22. Ла Салль Дж. П., Раз Р. Дж. Новое понятие устойчивости // Труды 2-го конгресса ИФАК. М., 1965. Т. 1. C. 69-75.

Статья принята к печати 5 марта 2009 г.