Построение приближенного решения для задачи вязкоупругости в тонокм неоднородном стержне из материала Кельвина-Фойгхта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955.8

ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ В ТОНКОМ НЕОДНОРОДНОМ СТЕРЖНЕ ИЗ МАТЕРИАЛА КЕЛЬВИНА — ФОЙГХТА А. А. Егорова

1. Введение

Принятый в механике подход к выводу уравнений для неоднородных стержней связан с использованием гипотезы о возможности замены неоднородного стержня однородным. В ряде случаев дополнительно предполагаются выполненными те или иные гипотезы, накладывающие ограничения на структуру тензоров напряжений и деформаций. При этом имеется небольшое число работ, посвященных строгому математическому обоснованию указанного предельного перехода (см. например, [1-3]). Цель настоящей работы состоит в построении асимптотического ряда и выводе усредненных уравнений для трехмерной задачи теории линейной вязко-упругости в случае материала Кельвина — Фойгхта в стержне с диаметром сечения е С 1 и характерным размером неоднородностей также е. Показано, что усредненные уравнения продольных и крутильных колебаний стержня содержат интегральные члены типа свертки.

2. Постановка задачи

Рассматривается система уравнений движения неоднородной ли© 2007 Егорова А. А.

неинои вязко-упругой среды:

dxm

du dx0

dxm

A

mj

dtdxn

= fe( t,-.

(1)

где х € ие = М х (3£, ве = {х' = (х2,хз) | х'/е € в} в — двумерная ограниченная область с кусочно гладкой границей, с граничным условием

du

A

du

A

dve~ " V mj dxj mj KeJ dtdxj

,

(2)

SUe

с условием T-периодичпости u(t, x) по xi и начальными условиями

u\t=o = 0, u>t\t=o = 0. (3)

По повторяющимся индексам ведется суммирование от одного до трех. В (1)-(3) вектор u(t, x) трехмерный, T — число порядка 1, е = T/n, n — натуральное число, (п1,п2,пз) — внешняя нормаль к dUe, A£) — 3 х 3-матрицы с элементами almjkl(£), удовлетворяющими условиям

mj

Л S) = äkjml( 0 =

lk

(О, * = o,i;

(4)

для каждого г = 0,1 существует число к^ >0 такое, что для любой симметричной матрицы ||ект|| выполнено неравенство

(je m ^ me

к .

me m j

(5)

агт]к1{£)> р(0 суть 1-периодические по £1 функции, бесконечно дифференцируемые всюду вне совокупности £ гладких непересекающихся поверхностей £;; £ П дв = 0; о>1,к1(0, Р € вплоть до £, а на £ коэффициенты терпят разрыв I рода. На поверхности разрыва коэффициентов системы (1) заданы естественные условия сопряжения

ди л (х \ д2

u, где (ni,n2,n3) -

П"

A

о

mj

dx0

A

mj

u

dtdxо

,

(6)

jj вектор нормали к поверхности разрыва

x

е

д

д

x

u

е

x

x

u

a

a

jm

a

mj

Пусть ф = (ОД) х р. Предположим, что продолженные нулем вне области ^ тензоры а?тк1(£) и а}тк1(£) удовлетворяют следующим условиям симметрии:

тШ) = (-1 й<ч'+О, * = о, 1; рШ) = КО, (7)

где Ба£ = ( —1У2а ( —1У3а £з)> $пт — символы Кронекера. Считаем, что Ба((ОД) х в) = (ОД) х в-

Предполагается, что трехмерная вектор-функция имеет вид

¡е(г,х) = Ф(х'/^ф^г,^),

где Ф(£') — матрица жестких перемещений = (£1,^2)):

ад =

10 0 о

0 1 0 -а£3 0 0 1 <2

2\~!/2

в

ф(г,хг) = (ф1(г,х1),£2ф2(£г,х1),£2ф3(£г,х1),ф4:(г,х1) )Т,

фг(в, х) = 0 при достаточно малых в, фг(в,х{) — достаточно гладкие функции, Т-периодические по х\.

Решение задачи (1)-(6) отыскивается в классе Т-периодических по х вектор-функций, А^к {Ат1) — тензор модулей упругости (соответственно вязкости), р — плотность (как функция точки).

3. Построение формального асимптотического разложения

Формальное асимптотическое решение (ф.а.р.) задачи (1)-(6) ищем в виде ряда

гс / \

м(оо) ^ ^ £Ч+1 {х/£) ^^ + ^ Х1) х/е) (8)

где Мд1 — 3 х 4-матрицы, 1-периодические по 6, V — 4-мерная вектор-функция

V е3 Vз, vj= V (Ь,х!)^3 (еЬ, х\),у* (еЬ,Х!)^3 (Ь,^) , (9)

3=0

Vk (в, Х1) от е те зависят, гд1 — 3-мерные вектор-функции.

Подставим (8) в (1)-(6) и, применяя формулу дифференцирования

е

о (оо)

дvE

= е*нг, р. = ]Г (Ю)

е зие

¿= -2

Здесь и в дальнейшем применяем обозначения

диутз д^У дт\тз д^,

Пусть матрицы-функции являются 1-периодическими по 6 решениями рекуррентной цепочки задач

N0 = Ф,

Ь0Мд1 = т„( 0 + е е я ,

птА%щ{Щ1) = -А°т1Мд^1Пт, (6,6) € др, (п)

[ВДЕ = 0, + А^Щ^)^] |Е = 0,

^т = o,

где — интеграл по Я = (ОД) х в, умноженный на (тев^)-1,

д

де3

д

ТЧ1 = - — (А^М^), V = (Фт^г)д.

д^ш

Задача (11) может быть сформулирована в виде интегрального тождества: найти матрицу-функцию МЧ1 е Ш^Я); {Фт= 0 размера 3 х 4, удовлетворяющую для любой 4-мерной функции е (Я) интегральному тождеству

Здесь (Я) — пополнение по норме (Я) множества 1-перподн-ческнх по £1 матриц-функций ректор-функций) из СС (М х в). Лемма 1 из [1] утверждает, что существует единственное решение из ^^(ф) задачи (11).

Тогда при условии выполнения свойства (7) по лемме 2 из [1] матрицы Нд1 диагональны; Ноо = Н01 = Нц = 0, Н20 = (—^ТФ) < 0;

/Ех

Н02 =

/С

Н03 —

Н04 —

Е4,

/Со, \

С

(12)

-л

-л

С4

где >0, С, С, С, С4 — постоянные числа.

Положим ^оо = 0. Тогда в разложении (10) имеем

И_2 = о, о_1 = о,

И_1 = Ь0г0! + Ь дг01 ,

01

О0 — ЛтД

Л;

д_

дЬ V д£т

! д2г01 ^

т3

01

д2

А1 .—

дЬдх\' дКщ N д^

д£- ^ дЬд£- V т тд д£- У ЗЬдх1

Потребуем обращения И_1, Од в нуль, тогда получим задачу для вектор-функции 201:

Т I 7-19221 _ двт(0 д2у ь г01 +ь дГ - де аШ^-

[201 ]1«е£ = 0, |«=о = 0,

1 дЬдхг ■ д

(£2,£з) е дв,

["Э^г] 1геЕ ~~ [пщБтЦ) ]

(13)

где Бт(£) = Л^Ф+ЛтдЩг/д^д. В рассматриваемую задачу перемен-х

вида

ь

дШ

~дГ

Ь0Ш = -

О

я®, е е д\Е,Ь >0,

V

е

т

с краевыми условиями

dW

dv.

k

= -nmSm(Og(t), e дв,

и условиями сопряжения

[W = о,

при начальных данных

dW

dv.

kJ

= - [nmSm(0] Ike? g(t)

W0.

Существование решения этой задачи дает

Лемма 1. Пусть Rm(t) — непрерывно дифференцируемые по t вектор-функции со значениями в (L2(Q))3, Fm(£) e (L2(Q))3, m = 0,1,2,3, их компоненты являются 1 -периодическими по п удовлетворяют условиям Fj = Fm, Rjm = Rjm. Пусть функция g(t) непрерывно дифференцируема п равномерно ограничена в R. Тогда следующая задача:

Ь1Ш + LOu = {Fq + s^)g{t] + (До + #

t > 0, £ e (R x в) \ S, щ = (nmFmg(t) + nmRm * g(t)), G d/3,

№es = 0,

[f^"] leeE = [nmFm]ke-zg(t) + [nmRm] leer *g(t), U |t=o = о

имеет решение U в классе непрерывно дифференцируемых по t вектор-фупкцнй со значениями в W2(Q), если н только если выполнены условия

(ФTF0)q = 0, (ФTR0(t))q = 0 V t >0. (15)

U

(ФT U)q = 0), то оно единственно.

Здесь и далее * означает свертку двух функций по переменной t. Напомним, что по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3.

(14)

Доказательство. Обозначим через П0(£) 1-периодическое по £1 решение задачи

(&,Ы е др,

0 + д£т '

Д1 ЭПд _ р

' ' 'П! - 1 'Ш »у - 11! 1 11! ■

Г и1 .¿Шй _ „ р 1 I _ п

^^ т± mJ — и,

(16)

[По]|г = 0, <*Т««>д = 0.

Это задача упругости на ячейке периодичности, и ее решение определяется однозначно в силу выполнения условия разрешимости (15) (см. [4, лемма 1]). Далее рассмотрим следующую задачу:

ао,

эг

№ = о,

(&,£з) е др,

(17)

„ [дне птИт] — 0

при начальном условии

П|4=0 = П „(£). (18)

Задачи составного типа (17) рассмотрены в работах А. II. Кожанова (см. [2]). Здесь приводим схему доказательства разрешимости с помощью теории полугрупп.

Введем следующие пространства вектор-функций:

Н = ^ е (¿2(Я))3 : (ФтП) = 0, П 1-пернодпческая по 6} V = ^ е (Нх(Я))3 : (ФтП) = 0, П 1-пернодическая по 6}, с соответствующими скалярными произведениями

/С дО 1дР>к

Пг©4, (0,0)^ = у а^-щ-щ-К.

я я 3 ш

Заметим, что V С Н, V плотно в Н .Отождествим пространство Н с ему двойственным, тогда V С Н С V'. Пространство V является гильбертовым, и, более того, в силу положительной определенности а1 т?к1

норма, соответствующая этому скалярному произведению, эквивалентна обычной норме в (И1 (Я))3. Обозначим через У • У (соответственно через | -|) норму в V (соответственно в И).

Введем оператор В, действующий из Vй в Vй так, что

Я

Этот оператор линейный и ограниченный в гильбертовом пространстве И Определим линейный функционал действующий на пространстве Vй, следующим образом:

{¡(Ь),&) = Е10 (Ь)&1 % + I Е1т Ь

д©1

дет

Я Я

¿1£, 0е V.

Так как Ет — непрерывно дифференцируемые по Ь вектор-функции, то считаем, что линейный функционал ] определяет непрерывно дифференцируемую по Ь функцию.

Используя введенные выше обозначения, получим интегральное тождество для задачи (17):

/Ш

(В П,©)~+ (_©) =(/,©) У0еУ, (19)

V

где П(Ь) е Vй, удовлетворяющее начальному условию

= «о. (20)

Интегральное тождество (19) эквивалентно уравнению в операторном виде:

^ + = (21) Рассмотрим для начала однородное уравнение

1! + т = 0 (22) с начальным условием (20). Введем некоторые определения (см. [5]).

Определение 1. Пусть G(t) — полугруппа в гильбертовом пространстве H. Оператор A: H ^ H,

G(t)v — v

Av = lim—-, 23)

называется производящим оператором полугруппы G(t). Его область определения D(A) — это множество элементов v G H, для которых существует предел в правой части (23). Полугруппа называется сжимающей, если

II о v t > о.

AH называется диссипативным (соответственно аккретивным), если

Re(Av, ^ <0 V v G D(A) (соответственно >0).

A

гильбертовом пространстве H с областью определения D(A), плотной H.

A

H, то A диссниативеи н множество значений R(XI—A) оператора XI—A совпадает со всем пространством H при всех X > 0;

(Ь) если A — дисспиатпвиый оператор п существует X > 0 такое, что множество значений XI — A совпадает со всем пространством H, то AH

Лемма 2. Оператор —B, введенный выше, является производящим оператором некоторой сжимающей полугруппы G(t) в у.

Доказательство, (а) Используя положительную определенность п ы

и симметричность a mj , получим

/ñulduk t

o^j J

Q Q

> Ko J er!l(u)e¿(u)d£,

где

ь , ч 1 ( дик дит

СЫ = о

2 V д£т д^к

Таким образом, получили аккретивность оператора В. (б) Билинейная форма

ди1 дук

а"(и,у) = I а"т/' Я

удовлетворяет условию коэрцитивности в следующем смысле:

а0(и,и) + к0\и\2 > 7||ир V и е у. (24)

Действительно, в силу неравенства Корна (дQ можем считать кусочно гладкой по периодичности и) и свойств формы а°(и,ю) очевидна следующая цепочка неравенств:

а°(и,и) + Ко\и\2 ^ К° J етп{ иегп( и) ^ + Ко J и'и' ¿е ^ 7 |и"2

^т V

Я Я

Билинейная форма а°(и,ю) непрерывна, тогда по теореме о представ-

В

гильбертовом пространстве У и его область определения плотна в Н, соответственно вву.

(в) Докажем, что область значений оператора I + В совпадает со всем пространством V (I — тождественный оператор в V).

Так как выполнено условие коэрцитивности (24) для оператора В + XI, X ^ ко, то то лемме Лакса — Мильграмма для любого / из Н существует единственный вектор и из Н, удовлетворящий тождеству

(В + Х1)и = / при Х>к0. (25)

Отсюда следует, что множество {X е М \ X > ко} принадлежит резольвентному множеству оператора — В. Умножив скалярно в Н равенство и

(/, и) = (Ви, и) + Х(и, и) ^ 7||и||2 + (X — ко)\и\2

7|М|2 + (А - к0)\и\2 < |/| М, А > «о, |и| <

X — к

т. е. норма оператора (В + XI)ограничена положительной константой 1/(А — «о). Таким образом, оператор (В + А1)входит в пространство линейных непрерывных операторов из Н в Н при А > кд.

Из пп. (а), (б), (в) следует, что выполнены все условия теоремы —В

лугруппы. □

Продолжение доказательства леммы 1. Из леммы 2 следует, что решение однородного уравнения (22) с начальным условием (29) (а значит, и решение задачи (17), (18)) существует, оно будет непрерывно дифференцируемой по г вектор-функцией со значениями в пространстве У, а также стремящейся экспоненциально к нулю при г ^то (см. [2, 5]). При непрерывно дифференцируемой по г правой части решение задачи (21) с начальным условием (20) является непрерывно дифференцируемой по г вектор-функцией со значениями в пространстве у и выражается формулой

г

п = О(г)п0 + J о(г — в)/(в) ¿в, г > о,

о

где О(г) — сжимающая полугруппа, соответствующая оператору —В (см. [5]).

Единственность решения задачи (17), (18) с условием

(фтп(г, ОЬ = 0 V г >о (26)

можно доказать в силу энергетического неравенства (ср. [6]). Предположим, что П — разность двух решений задачи (17), (18). Тогда она будет удовлетворять однородной задаче. Умножим получившееся уравнение скалярно на П и проинтегрируем по периоду. После интегрирования по частям получим

1д_ г , ж аа г 0 9090

2 'II ./ ^ ^ .1 ^ ^ - (27)

я я

Так как верно неравенство

I а^еЦГ2)4(Г2К < ^ | ект(П)ект(П) ¿^

то

| а^1 ект{ПЦ(П) ¿С > ект(П)ект{П) ^ > 7/ атк 1 ект(ПЦ(П)

я Я Я

где 7 = «ок1. Тогда из уравнения (27) следует, что

1 а

^ / + 71 а1к1ект(П)е<(П)^0.

Я Я

Положим

Щ = / атк 1 ект(п

Я

Из последнего неравенства следует оценка

д/ т <

Отсюда получаем

Щ < е-^/(0). (28)

Так как /(0) = 0, вследствие (28) /(г) = 0. При условии (26) выполняется соотношение вложения

|П|2 ^ < с| |е(П)|2 ^,

ЯЯ

где )|2 = е^П)е!т(&) (по индексам т ведется суммирование от 1 до 3), постоянная с те зависит от П. Поэтому при (ФТП)я = 0 из условия /(г) = 0 следует {Щ, £) = 0.

Вернемся к задаче (14). Для непрерывно дифференцируемой и равномерно ограниченной вектор-функции д(£) непосредственной проверкой устанавливается, что

г

и(г,0 = У Щг - т)д{т)йг

является решением задачи (14), где П — решение задачи (17), (18). Это решение является непрерывно дифференцируемой по г вектор-функцией со значениями в ^^(Я), и оно единственно при выполнении условия (Фти)я = 0. □

Согласно лемме 1

г

V {т Х1 )

Яо1 (*-т,£) дтдх^ ^ (29)

о

будет решением задачи (13), где Z^(г,0 — решение задачи (16), (17) при

Во = 0, Вт = -Бт (£) = - (А^Ф + А1^ ^

Д0 = 0, Ет = 0, то =1,2,3,

и при таком выборе го1 имеем Н_1 = 0, Оо = 0.

Положим ^вд = 0. По аналогии с (29) векторы г^, q + I > 1, будем искать в виде

гч1 (г, хг, е) = гч1 (г, о* тч+1дх1 >

где матрицы Zql размер а 3 х 4 являются 1-периодическими по 6 решениями рекуррентной цепочки задач:

¿%г + ь= р^Х) + фМ*)> * > о, £ е д \ £, Пт(А°Я1 + А1Л)щ2ч1 = -пт(А°т1 + 41|)^,!-ь др,

{Zql (г,Ок = о,

[пт((А^ + ~ + = 0'

(ФтZql)Q = o V г > 0

(30)

с начальным условием Zql(£) = Zql(0,6, удовлетворяющим следующей

задаче упругости:

= ТЦ0 + Фд,ь С е Я

= + + г^)), ? е эр,

Кк = о,

[пт (А^у -д^- ~ ^ Ат1^4,'■-!)] ^ = О'

^ Т 2%)я = 0,

ч 2^ — 1-периодичная по 6.

(31)

Здесь мы использовали обозначения:

РА*,£) = -я4 1(-

д\ д

д дСт

А

ту

А

л14

д

4,1-1

Аи~01 ) 2~ р2ч-2,1,

дСт

дСу

д

^ = + 0 + АШ4,1-2 +

матрицы к41(г), д41 те зависят от переменной С и находятся из условий разрешимости соответствующих задач (см. лемму 1) по формулам

кч1(г) = <ф т Еч1(г,0 )я, д* = т S4l{ С) )я .

Лемма 3. Если выполнены условия симметрии (7), то матрицы д41, к41 (г) дпагопальны,

доо = Ш = коо = к01 = 0, д^Д) = М1 > О, ^^ = М4 > О,

(т,т) _ (т,т) _ к(г,г) _ Дг,г} _ п _ 9 4

д02 _ доз _ к02 _ коз _т — ¿,;>.

(32)

Доказательство. Диагональность матриц д41, к41(г) доказывается по аналогии с теоремой 1 в [3,4] и основывается на том, что решения 241 задач (30) удовлетворяют соотношениям

^ (*,0 = (-1) й™+2{т,п) (Ь,Ба£), а = 2,3.

Доказывается это подстановкой.

Найдем другое представление для матрицы

Имеем

д

'91

Так как

ф ^ = (Д]1Ф)Т = (л1™^1)" =

/8 д \ 302 = ^ Щ- (Фтй — (ЛГ01 + ^ + Фа) ^ .

дбт У

получим

6 / Ц

С другой стороны, рассмотрим задачу (16) для определения Zg1 при ^о = 0, Рт = -^А1т1Ф + А1^^-

Если мы возьмем + ^01 )Т в качестве пробной функции, то из интегрального тождества для этой задачи следует, что

/ д Т д \ О = + ЛГо1)Т^. —(ЛГо! + ^ + .

Сложив два последние равенства, получим новое представление для

902-

/В т д \

302 = (^-(^01 + + Ф&Г —(ЛГо1 + + Ф^)^ •

я

Обозначим ^01 = N1 + . Тогда

Далее,

последнее равенство следует из того, что

так как = N1 + 2О1(0, С) 1-периодична по Сь Кроме того,

44 ^ / ( д пхг г , д

^ > т + ф^)г4 + + ф&)14У)

2

д . д .

последней оценки следует, что /дС\ = 0 и, значит, ^д4 не зависит С

дд

И^,4 + Фг4 + — И^14 ) ) = 0.

Я

дС дС

Следовательно,

V ^ ) \ \ дс д£г /я

+ =0.

дЬ ) / я

Здесь второй и третий интегралы равны нулю, так как Фг4, не

зависят от 61, а подынтегральные функции периодичны по Таким образом, Шд4 удовлетворяет следующей системе уравнений:

+ ^ = 0. <2 + = 0, дЬ

откуда

д2^ _ _

— О-, —— —а.

дЬздЬ ' д^дЬя

Это противоречие доказывает 9Ц > 0. Рассмотрим теперь элементы 9о9^, ^о?матриц .д02, &02. Имеем

Используя свойства симметричности (4) для а^1, получим

„(2,2) _ / (л 11 дЩ{2 , „1 12\ ЦЬ 902 ~ \ д^ + т1 )

Л1;

8 1 -1 12

0Ьт\ тз дЬ

■з

1 11иуу01 , 1 12 т3 " ат1 I $2

°Ь3 / / (ОД) хдв

Если мы напишем интегральное тождество для решения Zo1 задачи (16) с пробной функцией ф = (6,0,0)т, то получим, что выражение выше равно нулю. Следовательно, 9^^ = 0. Аналогичными рассуждениями получим цепочку равенств

Л» = ((ль + = / (а? +

я

Ь

я

п

т

я

„о и

,1 и

дь) д^ /с

о и

ту

,0 11

,1 21

д \ дг&2) эь

дЬ) д^ д£т

д \ д^1¡2)

111_\ "-^01 г т* Ш) ¡4; Й

д

дСт

О 11 ту

,1 И

(ОД) хд@

д \ дА,

ту дь ) дС

(1,2)

01_

Учитывая задачу (17) для определения Ао1(Ь, С) при ^о = Ит = О, получим, что кд2^ = 0. Анадогично доказывается, что д^^, ^02^ = 0. Докажем, что д^^ = 0, к^= 0:

д,

Фт АЦ^+А^+А

,1 21/ 111

(К+ ^^

1 11

N

д и /

т

К+ 41т)

дСт

.1 11/

К+ ^ П

дК

02

дЯ§2

дСу дСу

,

О (1,2) 4

1

дК

1,

02

дЯ

1,

02

дСу

дСу

(1,2) 7о (1,2) 4 01 + Ан ^

+ 4/1

дК

1,

02

дА

1,

02

1

ту

(дК

дСу 1,

02_

дА

дСу 1,

02_

V дСу

о (1,2)4

1

V

дСу

дА

1,

02_

дСу

Я

(ОД) хдв С

Я

У

У

ту

ту

Я

= П

т

Я

Я

Я

С

= \ п

т

д

ту

к,

ДО I Д1 _

д дА

02

1

1

дСу д \ эг^

А

11

д

11 т

а1

ату

1

V дь) с) 6

1

1

д_

т

02

дСт

1

ту

ту дь) дСу

дЬ)~д£.

а1

т

а 1 А 1,

ат А

д \ дА1,2) 11 ° \ а^02

А

01

А А

01

'ПтЬ-

ту

1

т

1 11 Лт1

дь

,

1,

А

1,

01

Я

(ОД) хдв С

Я

Я

д

д

Отсюда и из интегрального тождества для Zo2 (см. задачи (31), (30) следует, что

(2,2) _ / ( 1 12 1 II (д^ ^ (1

= { ( + ( + ) "

ъ02

Из задачи (11) выводится, что второй столбец матрицы N01 имеет вид = (—£2,0,0)т (см. [4, лемма 3]). Второй столбец матрицы Z'¡•sl удовлетворяет однородному уравнению (см. (31)) и 1-пернодпчен по 6, следовательно, является жестким перемещением. Тогда выражение

Я70 (1,2)

а1

13 д^ 1 к1

равно нулю ввиду симметричности ат^' относительно своих индексов. Заметим еще, что = 0. Таким образом, получим 9цз'2^ = 0.

Так как второй столбец матрицы Zo2 тоже удовлетворяет однород-

г

му 1-иериодичному жесткому перемещению. Тогда выражение в скобках в формуле для к^будет равно нулю из-за симметричности тензоров Атз, и в силу ^ = 0. Аналогично доказывается, что

'з)==о. □

Решения задач (11), (30) выбраны так, что система (1)

переходит в соотношение

ьеи—ф фе = Ф

д2v д2v к20^+}102Щ+д02дЩ+к09Л')* дгдх2

дг2дх " д3гдх1 д^гдх\ дХ дЬдх\

дi^v А 2 Л д5v д5v дAv д5г

, . , 84 , 84 д5v , . . &iv \ 1 . ,

+ * + ЬшЩ + 904Ш4 + ко4{г) + (33)

я

Многоточие означает, что далее идут слагаемые с большей чем 2 степенью е. Условия (2), (3), (6) удовлетворяются с любой степенной точностью по е (при дополнительном условии у|4=о = 0, г>(|(=о = 0). Подставим в (33) ряд (8) и приравняем к нулю множители при каждой степени е. Учитывая вышеупомянутую лемму 2 из [1] и лемму 3, получим следующую рекуррентную цепочку задач для Т-пернодическнх по Ж1 первой и четвертой компонент вектора уэ :

у

хг)

дг2

дх^

■Мл

дЬдх\

' ^ (г)

дх

э и=о

■Мл

сЩ

т

= 0;

дЬдхл

4=0

к

*

дгдх

(34)

э 14=0

дг

= 0,

4=0

, Ег, Е2, М, М4 еЧ

положительные

где а = {р)^ а = (ар(£% + Ф)

постоянные (см. (12), (32)), а функции /(г, хД зависят от у1^, ^ < у, и их производных. Заметим, что / = ф1^^^, /£ = ^{Ь,х{).

Уравнения для второй и третьей компонент вектора у э выглядят

ег

перемасштабирование: сделаем переход к повой переменной т = ег и так же, как в предыдущем случае, приравняем к нулю множители при е.

] к=о -

\т

дт

д4у1.

= 0, г = 2,3;

т=0

(35)

дх

= ег, 1 = 2,3,

где функции /(т, хД зависят только от у1^, ^ < у, и их производных,

>зх

причем /1а = ф1(т,х ).

При сравнении задач (34), (35) с аналогичными задачами в случае нестационарной линейной упругости (т. е. без вязкости, см. [1])

д3у]

з

д2у4

д3у4

3

У

обнаруживаем, что вид уравнения в (34) отличается добавлением дополнительного слагаемого со сверткой, тогда как вид уравнения (35) остается таким же, как и в случае без вязкости. Коэффициенты вязкости участвуют только в правой части.

Лемма 4. Цепочка задач (34), (35) однозначно разрешима в классе Т-периодических по х\ вектор-функций.

4. Обоснование асимптотического разложения.

Оценки остаточного члена

Введем пространство Ь2(Се) всех Т-периодичных по XI вектор-функций из (Ь2 (Се))3. Пусть X — банахово пространство с нормой || • Ух• Обозначим

Ьр(0 М ;Х)

= |г - /(^[0,^ - X I ^I Ц/(г)их ^ < ю

Ь~(0 ,Ь;Х) = {г - /{г): [0^] - X | угах шах ||/(г) Цх < Пусть

к

ик = ^ е1+1{Мд1(x/е)Dqlv +Zql{г, х/е) * П( 11+1)1 V),

4,1=0

к— Я1+1 (36)

^ ' дгчдх1,

г=0 1

ЦмЦ^(0,^) хСе) = Цди/Щь?(СЕ) + ЦиЦЩ(С^ •

Теорема 1. Предположим, что

Тогда существует обобщенное решение задачи (1)-(6) такое, что

ди ■—'

2 € Ь°°(0,Ь; Ь2(Се)) п Ь2 (0,^; Ж,1 (С£)).

дг

Для любого К = 1, 2,... справедливы оценки В частности,

1 Ч 1 1

уп — и

и -иК 11^(0,^)хО'е) = 0(еК).

л/тев (3Е

«5 + (-1

= 0(е), г = 2,3,

где тев^^ = 0(е2), = П {х\ £ (О, Т)}; функции — Т-периодичные по х± в (0, то) решения соответствующих задач из (22):

Я2„,1 ЯЗ„Д .. Я3„,1

+ м^ + 4Д) (о * ¿А- =

<%2 ' Эх2 ' ' ' 02 '

V,

= ^ 14=о = 0;

0|4=и — ^о

д2у£ 9, ,9|

ь1

т а _ „/, / „, \ Я _ -3

ду

,,4

д у д у д у , д у + + + ® * = Ж1)'

уо |4=о = уо |4=о = Ех, М\, М±, 3, 3 >0 — постоянные,

а = {р)я > О, а4 = I р(0 (£2 + е32) ^ > 0.

Я

Оказывается, что в плоском случае поперечные колебания (и2) не зависят от тензоров вязкости в нулевом приближении, коэффициенты

д

а

запаздывания проявляются только в следующих приближениях (при степени е не меньше 1):

^ --р I I — I

дх!

V тев /3£

01

^((О,^) хСе

0(е

где функции ^ ^ определяются соответственно из задач (11), (17), а V2 — Т-пернодпческое по XI решение следующей задачи:

д

дт2

-I

дЧ

дх

I - »,(2,2) дйУ2 _ (зд " 21 дт2дх- 05

д\

,

дх

9оа дтдх* п

04

Фг

дтдх\'

г,

1 \т=0

г,

1 \т=0

= 0, т = еЬ\

здесь д,4'

%4, =

^04 (г) _

^04^ (г) определяются формулами

,1 21 — (м>

7о (I, Z03

,0 21

,1 21

д \ д7,

4 аЧ N

,0 21

7о (I,: 702

41

1 21 Л11

7

дь)

где матрицы N02, Nз, 7$3, 7§2, 7з, , были определены выше в задачах (11), (31), (30).

Задача (1)-(8) классическая, существование решения доказывается традиционными методами. Априорные оценки для разности ие — ик устанавливаются с помощью энергетических неравенств (см. [7]). При этом используются свойства положительной определенности тензоров упругости и вязкости, а также неравенство Корна для периодических стержней (см. [8]), где его постоянные коэффициенты будут

е

часть уравнения (1) для иЕ — Ц-к будет малой относительно некоторой степени параметра е, то, выбирая длину К отрезка ряда (36) достаточно большой, мы добьемся нужных оценок.

V

— а

Я

Выражаю благодарность профессору А. С. Шамаеву за постановку задачи и важные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Козлова, М. В., Панасенко Г. П. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1991. Т. 31, № 10. С. 1592-1596.

2. Кожанов А. И. К теории уравнений составного типа: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1993. 26 с.

3. Panasenko G. P. Asymptotic analysis of bar systems. I // Russ. J. Math. Phys. 1994. V 2, N 3. P 325-352.

4. Panasenko G. P. Asymptotic analysis of bar systems II // Russ. J. Math. Phys. 1996. V 4, N 1. P. 87-116.

5. Санчес-Паденсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

6. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

7. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике: Пер. с франц. М.: Наука, 1980.

8. Олейннк О. А., Иоснфьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1990.

г. Якутск

15 января 2007 г.