CC BY
134. Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. 191, № 2. 3-42.
5. Харламов М.П., Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. 2, № 2. 25-40.
6. Морозов П.В. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова уравнений Кирхгофа // Матем. сб. 2004. 195, № 3. 69-114.
7. Топалов П. Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела // Матем. сб. 1996. 187, № 3. 143-160.
8. Морозов П.В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша // Матем. сб. 2002. 193, № 10. 113-138.
Поступила в редакцию 12.10.2006
УДК 517.955.8
О ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ ТОНКОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ МАТЕРИАЛА
КЕЛЬВИНА-ФОИГХТА
А. А. Егорова
В работе строится полное асимптотическое разложение трехмерной задачи теории линейной вяз-коупругости, определенной в области, представляющей собой тонкий неоднородный стержень (диаметр сечения стержня и характерный размер неоднородности — малые параметры одного порядка). Подобные вопросы для задачи теории упругости рассмотрены в [1, 2]. Цель настоящей работы состоит в выводе усредненных уравнений продольных, крутильных и поперечных колебаний стержня (для функций, зависящих только от одного пространственного переменного). Показывается, что эти уравнения содержат интегральные члены типа свертки.
Рассматривается система уравнений движения неоднородной линейной вязкоупругой среды
/ x \ д2u д ( i x \ du \ д ( / x \ d^u \
L'u s t) W + (<* ü wj + (7) ШГ,) s (1)
где x E U£ = R x ߣ, ߣ = {x\x/e E ß}, ß — двумерная ограниченная область с кусочно-гладкой границей, с граничным условием
du ( ди д2 u \
- . [Alj{x,e)— + AUx/e)^ j |We = 0, (2)
с условием Т-периодичности u(t, x) по xi и начальными условиями
u\t=o = 0 , ut\t=o = 0. (3)
По повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3. В (1)—(3) вектор u(t,x) трехмерный; Т — число порядка 1; е = Т/n, n — натуральное число; (ni,n2,Пз) — внешняя нормаль к дß; Am(£) —
матрицы порядка 3 x 3 с элементами almjkl(£), i = 0,1, удовлетворяющими условиям
a%mj(i) = a%km\i) = ajm(i), i = 0, 1;
для каждого г = 0,1 существует число Кг > 0, такое, что для любой симметричной матрицы вкт выполнено неравенство а^^в^ет ^ ат1(0, р(0 суть 1-периодические по £1 функции, бесконечно дифференцируемые всюду вне совокупности £ гладких непересекающихся поверхностей £ П д@ = 0; ат(£), р Е Свплоть до £, а на £ коэффициенты терпят разрыв I рода. На поверхности разрыва коэффициентов системы (1) заданы естественные условия сопряжения
[u] = 0,
где (п!,п^,пЗз) — вектор нормали к поверхности разрыва.
Пусть Q = (0,1) х в- Предположим, что продолженные нулем вне области Q тензоры 0^(0 и атг(£)
~mj
удовлетворяют следующим условиям симметрии:
= (-1)*™ атзк1(0, г = 0,1; р(Ба£) = р(£),
где £«£ = (£1, (-1)Й2а(-1)Й3а £э), и считаем, что ЗД0,1) х в) = (0,1) х в. Предполагается, что трехмерная вектор-функция ¡£ имеет вид
/е(г,х) = Ф(х'/е)фе (г,Х1),
где Ф(£') — матрица жестких перемещений (£' = (£ь£2),х' = (х2,хэ)):
100 0
ф(0 = 010 -а£э
001 <2
2 , ¿2\-1/2
a = & +
,T
(5)
ф(Ь,х1) = (ф1 (¿,х1 ),е2 ф2 (еЬ,х1 ),е2 ф3 (еЬ,х1 ),ф4 (1,х1))
фг(в,Х1) = 0 при достаточно малых в; фг(в,х1) — достаточно гладкие функции, Т-периодические по хь
10 к ( А 1 к т ] \Ат]
Решение задачи (1)—(3) отыскивается в классе Т-периодических по х1 вектор-функций; А^т^ (А,1-^) —
тензор модулей упругости (соответственно вязкости), р — плотность (как функция точки). Формальное асимптотическое решение задачи (1)—(3) ищем в виде ряда
u
-Y, £'+1 [Nqi(x/e)Dqlv + zql(t,xl,x/e)
q,l=0
(6)
Здесь = дд+1 у/дЬ4дх^; М^ — матрицы размера 3 х 4, 1-периодические по £1; V есть 4-мерная вектор-функция:
£
j=0
eJv i
(7)
где V] = (у1(£, x1),v^(eí, х1 ),у3(е^ х1 ),у4(¿, х1))т, ук(в, х1) от е не зависят; Хф — 3-мерные вектор-функции.
Пусть матрицы-функции являются 1-периодическими по £1 решениями рекуррентной цепочки задач
Г N00 = Ф;
9 r ,о dNqi дСт{ т> dÇj
) = Tql(0+<bhql, & G Q\E;
ПтА°гпз^Г~ = -AmlNq,l-lnm, (6,6) S д(3]
0 <Мф = _ о
mj gç m
[Лу |s = 0, [(Amj^f + AniW9>i_i)nm]|E = 0;
(8)
l (ФТNql)0 = 0,
где (,)q — интеграл по Q = (0,1) х в, умноженный на (mes в)
-1.
д
Snl = + AunNq>l_2 - pNq_2X, Tql = -Sql(0 ~ —(A^N^y, hql = (ФTSql)Q .
, _ Л0 dNq,l~ 1 , Л0
д(п
Задача (8) может быть сформулирована в виде интегрального тождества: найти матрицу-функцию
Мф € W2í(Q), {ФТ = 0, размера 3 х 4, удовлетворяющую для любой 4-мерной функции ^>(£) € ^2^) интегральному тождеству
((^ + Ц) Ф^)) = 0.
v
Здесь — пополнение по норме ^^(ф) множества 1-периодических по £1 матриц-функций (вектор-
функций) из С 1(М хв). Лемма 1 из [1] утверждает, что существует единственное решение из ^^(ф) задачи (8). По лемме 2 из [1] матрицы Нф диагональны (доказательство см. в [3]);
hoo = hoi = hn = 0, h20 = (-рФ1 Ф) < 0, h012'1) = Ei > 0,
= E4 > 0, h{0r2r) = h0r3,r) = 0, h0r4,r) = -Jr < 0, r = 2,3,
где A(rj) есть (r,j)-й элемент матрицы A.
Положим ^00 = 0. Векторы zq¡, q + l > 0, будем искать в виде
zql(t,xi,0= Zql(t,0 * D(q+1)lv = f Zql(t - 3,0D(q+1)lv(s,Xi)ds
0
(здесь и далее * означает свертку двух функций по переменной t); матрицы Zql размера 3 х 4 являются 1-периодическими по £1 решениями реккурентной цепочки задач
(9)
' _д_ rAl dZqi ^
dtd£j
nm{A% + = ~nm{A°ml + ¿ > G dl3>
[Zql(t,£)]s = 0; j
■n ÍÍA° A1 d\dZ4l + ÍA° A1 d\7
nm ^ [Amj + Amj — j -щ- + + Aml — j ZJq>i_i
ФТZql)Q =0, V t > 0
(10)
с начальным условием Zql(0, £), удовлетворяющим следующей задаче упругости на ячейке периодичности:
_д_, ! dzql(o,Q-
осЛ at.
Пт.А
dZql( 0,0 díj
[Zql(0,£)]s = 0;
= -nm[Almj^ + A^N^ + Zqj_i(0,0)) , С e dfc
mj
di
Пт\ Alnj -777 h Á^nj—^r h ^ml^ei-l
mj
d£j
mj d£j
(11)
(Ф1 Zql(0,£)) Q = 0; ^ Z(0, £) — 1-периодическая по £1 функция (задача (11) аналогична задаче (8)), где
д
Pql{t,0 = -Rqi{t,0 -
Mt,0 = (A°y + + (< + Ah|)zffiI_2 - pzq.2)b
dt) д£ д f л1 dNql , л1
Tql = ~Sll(0 ~ + AmlNq,l~l + AmlZq,l~l{^i O) >
д
= + + ALn(Nq¡l.2 + zqtl_2(o,0),
d£j
kql(t) = (ФТ Rql(t,£))Q, 9ql = (ФТ Sql(£))q, матрицы kql(t),gql не зависят от переменной £.
s
Имеют место следующие леммы.
Лемма 1. Существует единственное решение задачи (10) в классе непрерывно дифференцируемых по t функций со значениями в W^Q)-
Доказательство леммы проводится с помощью теории сжимающих полугрупп (см. [4]). Лемма 2. Если выполнены условия симметрии (5), то матрицы gqi, kqi(t) диагональны,
900 = gol = koo = koi = 0, g(2;1) = Mi > 0,g(42'4) = M4 > 0,g(r2'r) = g£r) = k£r) = k£r) = 0,r = 2,3. (12)
Лемма доказывается аналогично [2, теорема 1].
Решения Мф, задач (8), (10) выбраны так, что система (1) с учетом (6) переходит в следующее соотношение:
Ф ( Е ея+1-2 + V + кд1(1) * у) - ф£ ) - 0. (13)
Условия (2)—(4) удовлетворяются с любой степенной точностью по е (при дополнительном условии V|^=0 = 0,уу|^=0 = 0). Подставим в (13) ряд (7) и приравняем к нулю множители при каждой степени е. Тогда, учитывая (9) и (12), получим следующую рекуррентную цепочку Т-периодических по х1 задач для , г = 1, 2, 3, 4:
дуГ
уГз\*=о = г = 1'4;
д2у] д2у] д3уг (гг) д3
+Ы+Мгшк+* =т х);
дуг 1 1 1 (14)
^\т=о = -д^г\т=о = 0, г = 2,3;
d2vr cjSj
где аг = {р)д, г = 1, 2, 3, а4 = {а(£| + £э2)р)д, Е1,Е4,М2,М3,.2— положительные постоянные, а функции ] зависят от ,]1 < ] и их производных. Заметим, что /0 = фг.
Лемма 3. Цепочка .задач (14) однозначно разрешима в классе Т-периодических по х1 вектор-функций.
Введем пространство Ь2(С£) всех Т-периодических по х1 вектор-функций из (Ь2(С£))'э. Пусть X —
банахово пространство с нормой ||-||х . Обозначим
/ г Í1 \ 1/Р
Lp(0,ti; X) = {t » f (t) : [0,ti ] ^ X If (t) dt) < P = ™},
Пусть
L~(0,ii;X) = {t ^ f (t) : [0,ti] ^ X|vrai max \\f (t)\\x < ж].
te(o,ti) x
к к-1
u(K) £q+l (Nqi(x/e)Dqlv + Zqi(t,x/e) * D(q+1)lv) , v(K) = ^ eivi,
q,l=0 i=0
\\u\w21((0,ii)xCE) = \\du/dt\\b2(C£) + \u\w1(C£) . Теорема. Предположим, что
Тогда существует обобщенное решение задачи (1)-(4), такое, что
ди д2 и _____'
u£,^GLoo(0,i1;^21(C£)),^£GLoo(0,i1;L2(C£))nL2(0,i1;^21(C£)),
и для любого K = 1, 2,... справедливы оценки
1
в частности
Vmes/3£ 1
uF — u
(K)
= O(eK),
Wl((0,t1)xC£)
л/mesße
Vmes Д v0 + (-1)raCrVo4 - u
V0 - u° I W21((0,ti)xCE) = O(e),
W,i((0,ti )xCE)
= O(e), г = 2,3,
где mes(0е = 0(е2), Се = ие П {х\ Е (0,Т)}; функции у10 — Т-периодические по Х\ решения соответствующих .задач из (14).
Автор приносит благодарность проф. А. С. Шамаеву за ряд ценных замечаний, сделанных при работе над статьей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Козлова М.В., Панасенко Г.П. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. 31, № 10.
2. Panasenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems I // Russ. J. Math. Phys. 1994. 2, N 3. 325-352.
3. Panasenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems II // Russ. J. Math. Phys. 1996. 4, N 1. 87-116.
4. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
Поступила в редакцию 28.11.2006
1
УДК 517.538
КРИТЕРИИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ И ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ В F-АЛГЕБРАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ, ХАРАКТЕРИЗУЕМЫХ ПОСРЕДСТВОМ МАКСИМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ, В ПОЛУПЛОСКОСТИ
Д. А. Ефимов
1. Вводные замечания и основные результаты. В верхней полуплоскости D = {z = x + iy Е C
| y > 0} рассмотрим классы Mq(D),q > 0 (см. [1] для q = 1), как множества всех голоморфных в D функций f (z), для которых
/ +СО X
llf llq = (у lnq (1 + Mf (x)) dx I < aq = min (1, q-1) , (1)
где Mf(x) = sup lf (x+iy)| — вертикальная максимальная функция. В работе [2] доказывается, что классы y>0
Mq(D) при каждом q > 0 образуют F-алгебры относительно инвариантной метрики pq(f,g) = lf — glq, т.е. являются полными метрическими пространствами, в которых операция умножения непрерывна. Кроме того, для любой функции f Е Mq(D),q > 0, вертикальные граничные пределы f+(x) = lim f (x + iy)
существуют для почти всех x Е R относительно лебеговой меры ц на R.
Подмножество L линейного топологического (в том числе, метрического) пространства X называется ограниченным, если для любой окрестности V нуля в X найдется действительное число а, 0 < a < 1, такое, что aL = {af, f Е L}<Z V. Подмножество L метрического пространства (X, р) называется вполне ограниченным, если для любого е > 0 найдется конечное подмножество {yi,...,yN} Q X (называемое е-сетью), для которого (J B(yk,е) Q L (здесь B(x,r) — открытый шар с центром в x радиуса r).
1<k<N
