Об одной задаче поведения тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта при наличии сосредоточенных и распределенных сил и моментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

— Математика —

УДК 517.955.8 A.A. Егорова

об одной ЗАДАЧЕ поведения тонкого неоднородного стержня

из материала к ел ь в и на - ф о и гхт а при наличии

сосредоточенных и распределенных сил и моментов

Строится полное асимптотическое разложение трехмерной задачи теории линейной вяз коу пру гости, заданной в тонком неоднородном периодически перфорированном стержне, закрепленном с одного конца и испытывающем действие распределенных по торцу сил на другом конце.

С помощью меода усреднения, разработанного Н.С. Бахваловым и его учениками, выводятся усредненные \ равнения для продольных, поперечных и крутильных колебаний стержня. Формируется теорема об оценке разности точного решения исходной задачи и асимптотического решения усредненных уравнений.

Ключевые слови: асимптотический ряд, теория упругости, вязкоупругость, усреднение, материал Кельвина-Фойгхта, неоднородный стержень, ячейка периодичности, тензор упругости, приближенное решение.

I. Введение

В работе строится полное асимптотическое разложение трехмерной задачи теории линейной вязкоу пру гости, заданной в тонком неоднородном периодически перфорированном стержне, закрепленном с одного конца и испытывающем действие распределенных по торцу сил на другом конце (диаметр сечения стержня и характерный размер неоднородности - малые параметры одного порядка).

Принятый в механике подход к выводу уравнений для неоднородных стержней связан с использованием гипотезы о возможности замены неоднородного стержня однородным. В ряде случаев дополнительно предполагаются выполненными те или иные гипотезы, накладывающие ограничения на структуру тензоров напряжений и деформаций. При этом имеется небольшое число работ, посвященных строгому математическому обоснованию указанного предельного перехода (см., например [I, 2]). В настоящей работе будут приведены и использованы некоторые результаты из [1,2].

Хорошо известны экспериментальные значения компонент тензора упругости, чего нельзя сказать про значения тензора вязкости. Поэтому на практике для численных вычислений применяют так называемый упрощающий подход «сЫк», когда предполагается, что тензор вязкости пропорционален тензору упругости.

ЕГОРОВА Алена Андреевна - научный сотрудник НИИ математики при ЯГУ.

К - m аi I: alепа. egoro v а а;gmail.com

В настоящей работе рассматривается тонкий периодически перфорированный стержень, закрепленный с одного конца, к другому концу приложена распределенная по поверхности торца сила, действующая в произвольном направлении. Задачами данной работы являются построение и строгое обоснование асимптотического разложения решения по степеням малого параметра е. характеризующего толщину стержня и период перфорации. Уравнения этой задачи соответствуют теории линейной вязко-упругости в случае материала Кельвина-Фойгхта.

Решение исходной задачи будет представлено в виде суммы бесконечного числа членов степенного ряла по г. Каждое слагаемое этого ряда выражается через решения соответствующих вспомогательных задач упругости и задач типа задачи Соболева на «ячейке» периодичности, а также через функции типа «пограничного слоя», которые описывают поведение стержня в малой окрестности точки закрепления и точки приложения с ил.

Перемещения стержня в эффективной модели в поперечных направлениях и в продольном направлении, вообще говоря, связаны, но при наличии дополнительных условий симметрии система уравнений, описывающая усредненную модель, распадается на уравнения 2-го порядка для продольных и 4-го порядка для поперечных смешений. При этом левая часть уравнений для поперечных колебаний такая же, как в случае чистой упругости, т.е. она не зависит от тензоров вязкости. Зависимость от вязкости появляется за счет кручения, компоненты которого находятся из уравнения 2-го порядка для кручения.

В работе будут выведены усредненные уравнения для продольных, поперечных и крутильных колебаний стержня. Формулируется теорема о близости решений вия сопряжения

фициенты терпят разрыв I рода, На поверхности разрыва коэффициентов системы (1) заданы естественные усло-

усредненной и исходной задач.

Автор выражает благодарность профессору A.C. Ша-маеву за постановку задачи и важные замечания, сделанные при работе над этой статьей.

t)u с)2и

[м] = 0, [(А°(х/г)— + л1(х/г)

dtdx

)пт(х/г)} = 0,(8)

2. Постановка задачи

т) ' т)

) -----)

где (я., пг п^) - вектор нормали к поверхности разрыва.

Пусть = (0,1 )хр. Предположим, что продолженные нулем вне области у тензоры а^1 (Д ) и а^ (С,) удовлетворяют следующим условиям симметрии

Рассматривается система уравнений движения ли-

нейной вязко-упругой среды,

tiiSAW-Yf-*«*-*-

"* "<i = 0,1;

L и =

-Р

- лд'и Э

Vе 7

Эг +дх

'j0fx) du

4,

\

(9)

дх

/ j

+

/

+

э

/

Эх

¡71

А

х \ д2и

\

,(1)

т)

V

Vе 7

Э/Эх

/

= 0

/

где =(^,(-1)52Ч2Д-1)6зЧзХ 6ЛШ-символы Кро-некера, и считаем, что 5сх((0,1)х(3) = (0,1)х Э •

Предполагается, что трехмерная вектор-функция (

где хеС€ = (0,Г)хрЕ, р, = {х = (х2,х,)\х'/г е (3}, Р - имеет вид двумерная ограниченная область с кусочно-гладкой границей, удовлетворяющей условию Липшица, с гранич-

ными условиями

гее

Эи

Эу

(

= п

т

\

дх

V

j

j

где Ф(^) - расширенная матрица жестких перемещений

(о.7>ар,

= 0,(2) = *' = (*,,*,))

/

ди dv

(

= п

т

А1,(х1г)^А1(х1г) Э'"

\

дх

dtdx

r= fc(t,x)\ Tß)

Ф ($) =

\ о о

о

к

S2

О 1 0 -а\ 0 0 1

3

о

о

t Si

и

vo=0

/

(4)

а =

V

£2+с2 А

ß-¡г^2^3

Р р

-1/2

7

и начальным условием

f/U=0,i/, U= о (5)

По повторяющимся индексам ведется суммирование

V|/e (/, Х{) = 1 (г, л, ),е V2 (er, X,), е V3 (е/, х,),

от 1 до 3. В (1)-(5) вектор u(t, х) - трехмерный, Т- число у '(О,*,) = 0 при достаточно малых 9 , \\i '(6,х,) - до-

порядка 1,е= 77 и у п - натуральное число, (nr nv п}) -внешняя нормаль к ЭСГ , (£) - матрицы порядка 3Х3 с элементами a'mj (<;), удовлетворяющими условиям

статочно гладкие функции.

Здесь Ат/к' тензор модулей упругости (соотв.

вязкости), р - плотность как функция точки.

а

к! , у.

mj

(q) = = V£ е R\/ = 0,1; (6)

3. Вывод усредненных задач

для каждого / = 0,1 существует число к > 0 такое, что

к выполнено не-

для любой симметричной матрицы

равенство

т

a'mjkl(^)е1/m >Kiekmekm,i = 0,\.

(7)

а'т, (Д ), р(£) суть 1-периодические по функции, бесконечно - дифференцируемые всюду вне совокупности I гладких непересекающихся поверхностей I;

вплоть до I, а на I коэф-

lnöß=0; а'т"), р е С

3.1. Формальное асимптотическое разложение (ф.а.р.)

Формальное асимптотическое решение задачи (1)-(3)

ищем в виде ряда

/

оо

U ~

4.1=о

N4l(x/Z)

V

V

Wdxl

+ Z ,(/,Af,,.v/e)

(Ю)

где Nq, - матрицы размера 3x4, V есть 4-мерная вектор-функция

А.А. Егорова ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПОВЕДЕНИЯ ТОНКОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ МАТЕРИАЛА КЕЛЬВИНА-ФОЙГХТА ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИЛ И МОМЕНТОВ

= 1

£ 7 У

/

/»О

ЛИ)

V , = (V* (/, ), у; (£/, дс,), у; (е/, х), у; (г, ))

г

;

/

I ;

1/'

1" 7

у'(6.x ) от 8 не зависят, Г4// - трехмерный вектор.

Введем следующие обозначения

э

о э

д

д

т

■ <

т у-1

Подставим (10) в (1) - (5). Применяя формулу дифференцирования сложной функции, сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях £

оо

/ = -2

Э и Эу

оо

= Уе'С,;(12)

/ = -1

Здесь мы обозначили

4.1*0.4+1=1 + 1

э**'

э

Э/ 'Эх,

I ч

и

т

+ .

+ А 1'Ч/./-2 )

+

Э/ э^

т \

( + А1 —И

Х т 1 ^ >~<1.1-1

+

+ (Л, / 4- Д , —)—-+ (Л, , + Л,, — )—--р , ]

1;

Э/ Эх

Э/ Эх:

Эг

3

с, = I

т = 1 </./¿0.9+/=/+!

[

/V

л«7 ЛЬ /и I с]./—I

\

V

Э/'Эг!

+ .

/

/

+

41 N

\

ту

V

дГ1дх

г+ (< + <-)

Э. Эг„

+

/

Э/'ЭЕ

(д>|| + 4*1

Эг Эх

]

3.2. Задачи на ячейках периодичности для матриц-функций N

Сначала ищем матрицы N пусть они заданы в

виде:

N

я' л'я1

где Л^, - 1-периодические по матрицы, а Л^,, Л^, соответствуют пограничным слоям вблизи концов стержня х, = Г, л* = 0 соответственно.

Обозначим

э

Я'., = А0 " '»"

"у

ч-и

I

з

¥

т

где АЛ с отрицательными ц или 1 считаются равными

* Х т* ^^^

нулю. Матрицы N ( определим как 1-периодические по С,] решения рекуррентной цепочки задач:

К = ф.

дк

п_ А -

^еО\I

т т/

]

к,] 11=0.

д№

.(13)

= 0

7 > гО

где <.>0 интеграл по £) = (0,1)хр, умноженный на (юефГ1.

Задача (13) может быть сформулирована в виде интефального тождества: найти матрицу-функцию №д1 е (0), < Ф Т№я1 > , = 0, размера 3x4, удовлетворяющую для любой 4-мерной функции ф(^)е интегральному тождеству

< (а0 ^ + 4хм• --ф^-ф) >,= 0

к!

/

А

Здесь \У {{)) - это пополнение по норме №](()) множества 1-периодических по матриц-функций (вектор-функций) из С'(Рхр). Существование и единственность №, доказываются по индукции аналогично доказательствам теорем 1 и 2 из дополнения к [3].

Матрицы определим из рекуррентных по-

следовательностей задач при с]+1 > 0.

N

оо

0 х т 1

о.

1УЫ

1

ЯI * с/1 1

„ АО - АО п

т т) </■'-'

1

„ 4»

т ту ^

(14)

)

0

ЭЛ"

/7 /V1 + 4° № + 4° 4 )

0 лгО

т/

=0 л;.

ВЕСТНИК ЯГУ 20/0 там 7, Л? .?

N 00

= 0,

О \ • 2 Ч'

и Л

А)

Пт Лт/

дК - }0 Лг2 „

~ Лт\П ¡¡.¡-У'пП

СГ

(^з)еэр

л

Г 2

К

м

к,

< 15)

-|к]1е=0

где (_Л =(0,+«)хр, =(-вв.О)хр, А,;,./Г, - матрицы размером 6 х 4 с постоянными элементами, выбранные так. чтобы выполнялись неравенства

'со .а + 1 ><В

при

-I , я

<с-,? - ,

о

Г = I ,2

(16)

(Знак + соответствует г = 1, знак - для г = 2). Здесь с и с\ положительные константы, независящие

ог а.

Решением задачи (14) считаем матрицу-функцию )е удовлетворяющую следующему инте-

гральном} тож д е с т ву:

/

1(0 +<-.- |)

0

э\?| V

"" эс

ь,

/

ЭУ

4 =

(0.+- )х[1

(я;;)' ^

+

+1

Эс

/л

/

• »

о

\

/

I АГО

Ч\/с'.

для любой вектор-функции У (£, )е С" ((-оо,0]хР ), равной нулю при достаточно большом Существование решений задач (14),(15) и наличие матриц НУ.Н2^ таких, что выполнены условия (16), доказываются по аналогии с теоремами 2 и 3 из [I]. 4 и 5 из |4]. Отсюда следует,

что

- < ф' (о.с')ф(о.;') >"' (—i Ф' Сс)

С 'ч

'л' в ^

Для определения матрицы ¡г, решают сначала сле-

дующую задачу

",„ л!

ч>

щ.

ч<

(18)

[ (л

2

ч<

"Ч

ъ,

+ А.....V; ,_,)/!„] ^=0.

По аналогии с теоремой 2 из [ 1) можно доказать, что каждый столбец матрицы Д^ стабилизируется к некото-

ром) жесткому перемещению при

-Ноо, т.е. матри-

ца /V* стабилизируется к матрице Ф/;, где И постоянная матрица размера 6 * 4. Тогда матрица Л'.^ = Л^ДС,) - ФИ будет экспоненциально стремиться к нулю и удовлетворять задаче (15) при И] = -И.

При выполнении условия симметрии (9) по лемме 2 из [2] матрицы И являются диагональными;

о _ / о _ , о

С = ¿С = 0./72°0=<-рФ'ФхО:

/

К:

о _

Е,

\

0

о

\

/

I о _

с

\

о

о

V

с\

- /

/

с =

\

с-4

7

где У,.«/3 > 0,Сг(\.С3.С4 - постоянные чис-

ла.

При тех же условиях (9) из (1 7) пол\ чаем, что матри-

цы Н\, имеют общий вид (см. [ 1 ])

7 /

(* о о о

\

к. =

о

*

о о

о о * о 0 0 0 *

о

*

о о

о о

*

о

(А

с)\ 1 ,

ч 1

I/

7 I

ч

.(17)

/

(

4. ^ 4- 4 V0

\

I/

V

/

а именно, Л(1М = 0,

Но, =

0 0 0

0 0 0 0

о о о о

0 0 0 £4

0 0 0 0

0 0 0 о

\

)

А Л Егорова ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ПОВЕДЕНИЯ ТОНКОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ МАТЕРИАЛА КЕЛЬВИНА-ФОЙГХТА ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИЛ И МОМЕНТОВ

К:

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 jj < q; > 0

0 0 >

г 0 0 0 ^

0 - -.л 0 0

7 1 (С/Л) "гн ~ — 0 0 -•л 0

0 0 0

О ^ О

о

к.

¿т

О О

V

постоянные числа, /?"/""

это ма-

где КгК2,К:>*Ка -трипа размером 4 * 4, полученная из //' вычеркиванием

последних двух строк (доказательство см. [5, lemma 8,]). И наконец.

/

/'оо =

1 о о (л

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

0 0 0 0

V

0 0 0 0

/

(0,1,0.0) и

пятая и шестая строки матрицы h~] равны (0,0,1,0) соответственно (доказательство см. [5, lemma

6]).

3.3. Задачи на ячейках для z Д/,хгх/£ )

Положим г,.л = 0. Тогда получим

00

Н , =

э

1-й

^) = 0. (J . = п..А"

д /v

00 _

S

П)

д

-1

m м j -ч £

= о.

s,

и, =

_ г о

с)"

L z01 /-

+

Э/

э

ol.ovz.'tv

о

4 э:

V

/

г)/э.х

/

Л

а. =

о

//

я/

* "" "" эс э/эл

-V

mt -\у

э

////

S,

Э/rjq,

\

ч.

1

/

Вектор-функции zn(j+I>0 будем искать в

виде(см. лемма 1 ,[6]):

ч'

сГ^г

a-, )

rj.v " +' .V

/

с /л ,

далее * будет обозначать свертку двух функций по переменной I. По аналогии с Лг . положим:

где 1-периодические по С,, матрицы-функции,

соответствующие внутренней задаче, а / - экс-

поненциально стабилизирующиеся к нулю при £ -^>±оо (- для г - 1, + для г = 2) матрицы-функции. Т.е. матрицы-функции 2 удовлетворяют неравенству (16).

Обозначим

э

э

К,.,),

_/ 4ü . ^xm^i+z 4° , л' а

Г' =

A'WM Э ( 1¡ ^

~ А ,/S ) ~ ^Г- V —-

ОС.,. ос,

+ 4l Nr + 4] Zr0 )

Э

г 0

г 0

4-1-1

/

В соответствии с леммой 1 из [6] 7'/Дположим равным решению реккурентной цепочки задач:

io z" + ¿! — "' э/

Г)

*'=/>>.£)+ф*>). />о.^бум.

о

о

г)7 г)

r)v5

г)/

<

(19)

^ » ( I

, э c)z

Э

s,

с) I

I "7 0

<o z;;/>(7=o, V / >o,

с начальным условием Z'/(!'(q) = Z/;(0,<; ), удовлетворяющим следующей задаче упругости на ячейке периодичности:

г) Vo

-»...(•с .кс'е-13.

,7 -í' =

"m'V// -чг

¿s,

k; 1 = о.

m " пч "v^

¿s

/

о

, эл-

rn^ 'mi -jr

S/

ri

J1 Vo )1 = o

(20)

s,

ф ; z,;;1 >,, = o.

I Zuu - 1 - пер uo диче екая

по

£

Si

i!

где Z,,(/.£) матрицы-функции размером 3 x 4, здесь и ^ лсмма , [5]);

Матрицы не зависят от переменной С,

находятся из условий разрешимости задач (19) и (20) (см.

При выполнении условий симметрии (9) для тензоров упругости и вязкости матрицы имеют анало-

гичный матрицам вид, по лемме 2 из [6], в частности,

имеем:

£°оо = £°о. = к"оо = Го, = 0, £°02') = Л/, > 0,

1> у; =

-л

э

I \7\

т/ </./-

т

ОН.4) _ д А Л

£ 02 - М4 > 0,

(21)

ОС.') _ 0<г-г> _ 10(г г) _ /Угг) _ п и _ о ч #02 = £ 03 -к 02 - Л 03 - и, / - Д.).

Дополнительные прибавки и будут отвечать за граничные условия на торцах стержня хх = Т,х2 =0 соответственно. Рассмотрим сначала граничное условие на торце x^ = Т. Потребуем, чтобы при подставке ф.а.р. в основное уравнение и условие на боковой части стержня при одинаковых степенях е матрица-функция ни-

<

——

И К

(25)

т т/

К

+Ф

ч'

/

/7

т

,, К

\

т)

V

т! с/. / — I

Л

= 0.

Решая задачи (25), мы можем найти матрицы-функции чего не прибавляла. Т.е. в итоге мы получим следующую 2из задачи Коши для обыкновенного дифферен-

це почку задач:

эг1

я!

циального уравнения первого порядка:

д2

Эг

г)7' л

Э/

Ч> , - V1 -7! I _ -70

41

+ £7' = у4 71 I =7

Э/

Э2

I

э

и

Э/

(22)

1

Задачи (23), (25) аналогичны задачам (14). Дополнительные прибавки - матрицы размера 6*4- находятся из условия существования экспонен-

[^>4)11 = а

п

К

т

сК\

Л

Э/

Л

циально стабилизирующихся к нулю решений У задач (25),(23). По теореме 3 из [1] матрицы задаются формулами:

= 0

ч'

у 10 .

где £ { 1-периодическое решение задачи составного

1 /.ч _ ^ >^7" //ч & 'ч^/л & /ч ^ -! 1

кч,(/) =< Ф (0, £ ')Ф(0,4') >

типа:

тез р

фг (I >

/.'г'? = г'

Ч> ' ч.

«^=-«„м:,»^'е эр,

(.4

т т/

Эс

1У

э4

+ )с%+<Ф'(0,!;'Х(А° +

/

)

10

А

I/ -ЧК

(23)

1 1

Э/

- -I,1,(+++)+Ф, =о

= о.

]

Iч

т

^ /

а

V

К

лгде л (3

,0)хр

ф'(^)

= 0

А

д

(к+г::)+

00

ч'

ч!

I

Предположим, что тензоры упругости и вязкости задачи (22) пропорциональны, т.е.

(24)

\

V

Зк>0А:=М, т,] = 1,2,3.

В этом случае цепочка задач (22) превращается в за-

о

д2]

дачи упругости для матриц-функций У] = + —5- :

1// Эг

Лемма 1. Пусть для тензоров Ат/ и А\п/ выполнены условия симметричности (6). Тогда решения рекуррентной цепочки задач (23) удовлетворяют следующим соотношениям:

= « =23.

Л А. Егорова ОБ ОДНОЙ ЗА/ДАЧЕ ПОВЕДЕНИЯ ТОНКОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ МАТЕРИАЛА КЕЛЬВИНА-ФОЙГХТА ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИЛ И МОМЕНТОВ

Матрицы коэффициентов имеют такую же форму, как и

¿4 = 0. 8,о7 = 8о°Г,г = 1,23.4,

1г+3.г _ #01

= о, г = 2.3. & = г®/' = О- = 23

¿'г3 =

я>

-А

э

I

У

Эс

т

£еа\1,/>0

Лемма 2. Пусть для тензоров А и А выполнены

/V у т;

условия симметричности (6) и пропорциональности (24). Тогда решения рекуррентной цепочки задач (22) удовлетворяют следующим соотношениям:

птА'

т /77 /

дг2,

Ч> -

/

х2,«

[>;']!=о, к^

эг

2

1 , ,1 ^

т т/

г'л/^ин)

б

ар аг

т' т 1

гучл-Ш, а = 2,3.

У

61

<?./-! Л

Матрица

коэфф и ц иен т ов

V й

Л 7°

где К» = к 7°, +

ет общий вид как и у

,\гг _ » Огг =

Л01 09 ■

02

12 3 4 £,ГГ = к0гг

I уЛ—»,-т, а02

Я>

им е-т акже

V

Э/ '

V

0, г = 2,3.

Дополнительные прибавки + / > 0, отвечающие за фаничное условие на торце х, = 0, положим равным

Тогда мы можем здесь применить теорему 2 из [ 1 ] про разрешимость такого вида задач, доказательство которых следует из теорем 4 и 5 из [4].

Таким образом, задачи для матриц 2'1чг = 0.1,2 таковы, что при подстановке ф.а.р. в уравнения и краевые

решениям рекуррентной цепочки задач составного типа условия задачи (1)-(4) мы получаем следующее:

со смешанным граничным условием:

?)72

" Э/

дг

я' _

э

эу

»л^+А^Ъг;^ эр

Э/

4 ^(О^хдо

(28)

эг2

Э/

72

/=0

н =

Я, ^ГТ + ф£,'-— +

ц,1>0,д+1=1+2

с!Ггдх

а«*/*

Э/?+|Эл-

/

+ф*>)*" 1

э/^'а.х

Г)'

с

<6 эр.

</,/>0,<у+/ = / + 1

Э^Ч'

Э/*Эх,'

+ .

, _э?+/+ч

" Э/*+|Эх

э*+/+ч

+ф(о. $ ъ:, 'ко * +

где 1-периодическая по матрица-функция решение задачи для пограничного слоя:

Э,У2

я'

г2; = , ¿)£20

т \ т)

+ + )), £'е Эр,

/

= о,

/

т

Л

Э

\

т/

V

Л

= 0

" Iх, =0 = Xе(Ф(0, *'/е)(И;, ^г + *;,(/)* ) +

Э/"х

Э/

+ 0{е-«)) | _

Подставим сюда ряд (11) и в разложении (12) приравняем множители при каждой степени £ к соответствующему множителю в правой части уравнения (1) и условий (2)-(4). Тогда, учитывая значения матриц г = 0,1,2 (см. [1],(21), леммы 1,2), получим следующие рекуррентные цепочки Т - периодических по .г, уравне-

При выполнении условия пропорциональности (24) ний для первой и четвертой компонент вектора V,: для тензора вязкости мы получим вместо задач (28)

~)72

цепочку краевых задач упругости для V ~ ^ ^ •

2 I

э-ч

3 I

эч

-а

' дг

I

1

о v

дх

Э/Эл~

Э/Эл*,'

/ > 0, х, G (О, Г),

4. Обоснование асимптотического разложении.

Оценки остаточного члена

Введем следующие обозначения:

dv'

дх

э-у

7 +W, -'

'' 7 ' Э/Эл-,

эу

' ' д/дх.

К

(

I

V

V

/

/ IV, =0

V

/

öv'

(31)

э"

N. (лг/е)-- + Z,, (/, .t/e) *--—-

э/*э.г "' drw

I Ii = 0

LU„=o.

v<"=£E'v,

/ = 1,4.

dl

/ = 01')

Точка над функцией будет означать производную по

времени

где функции ¿Г/1ГЬ\ зависят от , при /, < / и их про-

//

»гч^'г) 1

и

i (< \ )

+ и

)

L с

Теорема 1. Пусть для тензоров упругости А и вязкости А1 выполнены условия симметричности (6)

ЕпМ, > О, 6Д0 = ■ (/)- функция от /. Заметим, что

^ ^ ^ | 4 V » Г » ^ ' ' 1 ^ » г» V» V-/» » V - • V iwri.fl ^«м II 1/ I V/ и I Г I I! ( 1У/

о (О V ('>А К ^ • и пропорциональности (24). Пусть и - обобщенное

решение задачи (1)-(5), и /г (/ ), Д (/) /сяк функции от х принадлежат пространству Е (С Г\ {л*, = Т )). Тогда

Уравнения для второй и третьей компонент вектора г; выглядят иным образом. Так как они зависят от переменной т = £/, то необходимо провести перемасштабирование: сделаем переход на новую переменную т = е/ и так же, как в предыдущем случае приравняем к нулю множители при степенях е. В результате получим

1

-<Р>

ЭУ

4 /

d4v

эх

f (т. д*|) - J, —f (т, -V,) = g\ (т. .V,),

дх

В частности.

1

и( — и

(Kl

= 0(е к).

И -! ((0./. )Х(

)

х > 0. .г. е (0. Г).

J/UL'sß

го -

,1

ir; ((о./, )х( ■ )

= 0(е),

/

dv

I

V

/

/

v, 0

= л; (X).

öv',

v,<т --v, > 1т d=

х = f/.

дх.

(с;) Эл-

_ /

(32)

1

V7

wt\vßt ]

V

о

.1

" , ((0./1 )Xf• )

= 0(е).

3 , г 4 •

if'dOy, )х(' I

(т,лг,) |т .() = 0, / = 2,3, j = 0,1,2. ...

<y)c> me,vßt. =0(е:), Ct = L/f п{.г, е (0, Г)}; функции V'q (/. л*|). Vq (f /, .Vj), Vq (t/, A"|), v'^ (/, л*, ) - решения сле-

те функции Сг (х, .г,), /' (X ), у' (I ). (т ), Г (Т ) зависят от г, при /, < / и их производных, причем

= ^о = ./; (/) - Ч/2 (х )./■ (X) = у 3 (X ),

9о ) = V ^ )• 9о3(т) = V6(т), /V = Ь* = г(; = ^ = 0 •

При сравнении задач (31),(32) с аналогичными задачами в случае нестационарной линейной упругости (т.е. без вязкости, см. [2]) обнаруживаем, что вид уравнения в (31) отличается добавлением дополнительного слагаемого со сверткой, тогда как вид уравнение (32) остается таким же как и в случае без вязкости. А коэффициенты вязкости участвуют только в правой части.

дующих задач:

- <

Р

>

öv

0

О

дг

+ Е.

Э: 1

дх

v'0 + M,iL4+e,(/)* 0 vo -

дх 1

I

I

dich;

Э/Эл*

г-0,

I

t > 0. Л- е (0, Г),

Е

, к w д2

+ а/

v

о

Э.т

Э/Эл-

+ е,(0*

Э'г'

0 =\|/i(0,

dtdx:

V,', = 0.

.г, = О

Э/

А Л Егорова ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ПОВЕДЕНИЯ ТОНКОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ МАТЕРИАЛА КЕЛЬВИНА-ФОЙГХТА ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ И РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИЛ И МОМЕНТОВ

— <

р

>

Э - V,

о

У

Э т2

Э4!2

V

О —

Эх

= 0.

•A^f =¥:(t).

Эх

I

л -V

л d-vj _ с

<

£ 2 S:

ЭхГ

f =v4t).

, öv;

vi = — = 0,

о

dx

I

vo = v¿ = о.

— <

P

>

о

л 2 3 л 4 3

э vp j

Эх2 ' дх;

О _

ах;

2 3

f = v°(t),

< £2 > Эл-г

VJ = _

1 о

дх

= 0,

I

vo = * о =

т > 0, .г, е (0, Г)

х, = 7\

.V, = 7'.

л*. = 0.

т = О.т =£/:

==0, т>0,л-е(0 .П

х, = 7\

X, = 7\

х = 0,

т = О.т =£/;

-а

д2г4

Эг

Л2 4 ЛЗ 4 "\3 4

+ л/ Э v" " Э

7 ' Ö/Эл-,2

f+еа vf+A/4(O^Ä+e4(/) * = о.

Э.Т

Э/ö.v;

/ > 0. л-. € (0,7"),

л3 4

rj V

°-=y4(/), X}=T,

dx

Э/Э.v

Э/Эл-

Vo -

V

4 • 4 _ n

о - vo - 0,

.V, =0

I = 0:

Постоянные

2

//м/ от t.

Доказательство теоремы 1 можно получить, подставляя вектор z/ ' в исходное уравнение (1) и граничные условия (2)-(5). Априорные оценки для разности ut - и* устанавливаются с помощью энергетических неравенств. При этом используются свойства положительной определенности тензоров упругости и вязкости, а также неравенство Корна для периодических стержней (см.[7]), где его постоянные коэффициенты будут зависеть от малого параметра е степенным образом. Так как правая часть у равнения (1) для и£ - ц{ Л ' будет малой относительно некоторой степени параметра £, то, выбирая длину К отрезка ряда (33) достаточно большой, мы добьемся нужных оценок.

Литература

1. Panasenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems I // Russ. J. Math. Phvs. - 1994. - Vol. 2. - № 3.'- P. 325-352.

v>

2. Козлова M B.. Панасенко Г.П. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне П Журнал, выч мат. и маг. физ. - 1991. - Т. 31. - № 10. - С. 1 592-1596.

3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.Г1. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

4. Oleinik O.A., losifyan O.A. On the asymptotic behavioral infininty of a solution of linear elasticity // Arch.Rat. Mech. and Anal. -1982. - V. 78. - M> 1. - P. 20-53.

5. Panasenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems II // Russ. J. Math. Phvs. - 1996.-Vol. 4.I. - P 87-116.

6. Егорова A.A.. Об одной задаче динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. -

2008.-Т. 63.-№2.-С. 10-23.

7. Олейник O.A.. Иосифьян I .A.. Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.:

Изд-воМГУ. 1990.-311 с.

A.A. Eg or ova

On the problem of behavior of a thin rod of inhomogeneous Kelvin Foyght material

under concentrated and distributed forces and moments

The author studies an issue constructing a complete asymptotic expansion for three-dimensional theory of linear \ iscoelasticity. given in a thin inhomogeneous periodically perforated bars fixed at one end and experiencing an action of distributed forces at its end at the other

end.

Using the method of averaging developed by N.S. Bakhvalov and his disciples there has been developed averaged equations for longitudinal, transv erse and torsional vibrations of a rod. A theorem on difference estimation of the exact solution of the original problem

and the asymptotic solutions of the averaged equations has been formed.

Key words asy mptotic expansion, theory of elasticity, viscoelasticitv, homogeni/ation. the material of Kelv in-I oyght. heterogeneous

core, periodicity cell, elasticity tensor, approximate solution.