Критерии для ограниченных и вполне ограниченных множеств в f-алгебрах голоморфных функций, характеризуемых посредством максимальных функций, в полуплоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

и для любого K = 1, 2,... справедливы оценки

1

в частности

Vmes/3£ 1

uF — u

(K)

= O(eK),

Wl((0,t1)xCE)

л/mesße

Vmes Д v0 + (-1)raCrv0 - u

V0 - u° I W21((0,ti)xC£) = O(e),

W21((0,ti )xC£)

= O(e), r = 2,3,

где ше8^£ = 0(е2), Се = ие П {х\ Е (0,Т)}; функции у10 — Т-периодические по Х\ решения соответствующих .задач из (14).

Автор приносит благодарность проф. А. 0. Шамаеву за ряд ценных замечаний, сделанных при работе над статьей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлова М.В., Панасенко Г.П. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. 31, № 10.

2. Panasenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems I // Russ. J. Math. Phys. 1994. 2, N 3. 325-352.

3. Panasenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems II // Russ. J. Math. Phys. 1996. 4, N 1. 87-116.

4. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний / Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

Поступила в редакцию 28.11.2006

1

УДК 517.538

КРИТЕРИИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ И ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ В F-АЛГЕБРАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ, ХАРАКТЕРИЗУЕМЫХ ПОСРЕДСТВОМ МАКСИМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ, В ПОЛУПЛОСКОСТИ

Д. А. Ефимов

1. Вводные замечания и основные результаты. В верхней полуплоскости D = {z = x + iy Е C

| y > 0} рассмотрим классы Mq(D),q > 0 (см. [1] для q = 1), как множества всех голоморфных в D функций f (z), для которых

/ +СО X

llf llq = (у lnq (1 + Mf(x)) dx I < aq = min (1, q-1) , (1)

где Mf(x) = sup lf (x+iy)l — вертикальная максимальная функция. В работе [2] доказывается, что классы y>0

Mq(D) при каждом q > 0 образуют F-алгебры относительно инвариантной метрики pq(f,g) = lf — glq, т.е. являются полными метрическими пространствами, в которых операция умножения непрерывна. Кроме того, для любой функции f Е Mq(D),q > 0, вертикальные граничные пределы f+(x) = lim f (x + iy)

существуют для почти всех x Е R относительно лебеговой меры ц на R.

Подмножество L линейного топологического (в том числе, метрического) пространства X называется ограниченным, если для любой окрестности V нуля в X найдется действительное число а, 0 < a < 1, такое, что aL = {af, f Е L}<Z V. Подмножество L метрического пространства (X, р) называется вполне ограниченным, если для любого е > 0 найдется конечное подмножество {yi,...,yN} Q X (называемое е-сетью), для которого (J B(yk,е) Q L (здесь B(x,r) — открытый шар с центром в x радиуса r).

1<k<N

Теорема 1. Подмножество Ь С Мд(В),д > 07 ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

(а) существует такое число К > 0, что

+те

J 1пд(1 + М/(х)) йх < К (2)

для любой функции / £ Ь, т.е. множество Ь ограничено по метрике рд;

(б) для любого е > 0 существует такое 5 = 5(е) > 0, что

/1п' (1 + м/(х)) йх<е

Е

для любой функции / £ Ь и любого измеримого множества Е С Д с цЕ < 5, т.е. первообразные семейства функций 1пд(1 + М/(х)) равностепенно абсолютно непрерывны на Д.

Теорема 2. Множество Ь вполне ограничено в пространстве Мд(В),д > 1, тогда и только тогда, когда

(а) Ь ограничено в Мд(В);

(б) множество функций {/ +(х)},/ £ Мд(В), относительно компактно в топологии сходимости по мере ц;

(в) для любого е > 0 существует такое число А > 0, что

—А +те

^ (1 + М/Ш йх +/1п* (1 + м^)) йх<е

А

всех / £ Ь.

2. Доказательство теоремы 1. Необходимость. Рассмотрим произвольное ограниченное множество Ь С Мд(В), тогда для любого числа п > 0 существует такое число а = а(п), 0 < а < 1, что

+те

р1/а (а/, 0)=/ 1пд (1 + аМ/(х)) йх < п (3)

—те

для любой функции / £ Ь. Поскольку (1 + х)а < 1 + ах, 0 < а < 1,х > 0, то, используя (3), получим оценку

+те +те +те

J 1п«(1 + М/(х))йх^ У 1п«(1 + аМ/(х))«йх = ^ J 1п«(1 + аМ/(х)) йх < ^ = К < +оо

—те —те —те

для любой функции / £ Ь. Таким образом, множество Ь ограничено в пространстве Мд(В) относительно || • Уд, а следовательно, и относительно метрики рд, так что условие (а) выполнено.

Чтобы проверить выполнение условия (б), рассмотрим произвольное е > 0. Выбрав п = е/2д, как и выше, найдем такое число а = а(е), 0 < а < 1, что равенство (3) выполнено для всех / £ Ь. Тогда для любого измеримого множества Е С И. с учетом неравенства Минковского в Ьд(И,), д > 1, справедливы оценки

J 1п«(1 + М/(ж)) йх^ ! 1п9 + йх < J (ь ^ + 1п(1 + аМ/(ж))| йх <

Е Е Е

<

( ( 1 \/ /Т У^У ( 1 е1/д \

^Е1П9 — ^ + 1п«(1 + аМ/(ж))^ < \^(рЕ)1/д1п- +

ч

Если теперь выбрать 5 > 0 так, чтобы 50/q ■ ln(1/a) = e0/q/2, то [ ln«(l + Mf(x)) dx < (5l/q • In — + — I

J \ ao 2 J

1 e°/q\q fe°/q e0/q\q

2 \ 2 2

для любой функции f Е L и любого измеримого множества E С R, ßE < 5, т.е. условие (б) выполнено.

В случае 0 < q < 1 неравенство Минковского заменяется элементарным неравенством (a + b)q < aq + bq,a,b > 0, и все оценки остаются справедливыми (с другими константами).

Достаточность. Пусть для множества L из Mq(D), q > 0, выполняются условия (а) и (б). Рассмотрим произвольную окрестность V нуля в Mq(D) и шаровую окрестность B(0,е) = {g Е Mq(D) : р(д, 0) < е},е > 0, которая содержится в V. Согласно (б), существует такое число 5 = 5(е) > 0, что

J ln«(l + Mf(x))dx < | (4)

E

для любой функции f Е L и любого измеримого множества E С R, ßE < 5.

Поскольку выполнено условие (а), найдется такая конечная постоянная K > 0, что справедливо неравенство (2) для всех f Е L. В силу неравенства Чебышева для меры множества Ef = {x Е R | lnq(1 + Mf(x)) > K/5}, f Е L, справедлива оценка

5

fiEf^j^ J Ы(1 + Mf(x)) dx < S.

К

Тогда в неравенстве (4) можно положить Е — Е^ и И/(х) < ехр((К/5)1/с1) — 1 — С, т.е. И/(х)/С < 1 для всех х € R\Ef. Поэтому для любого числа а € И., 0 < а < 1, f € Ь, будет выполнена следующая цепочка неравенств:

llnq (1+ аМ,(x)) ^ (jlnq (1+ aMf М) .fe + / lnq (1 + aMf M) dx <

R\Ef

Inq (1 + Mm) ix + IInq (1+М (x»+ IInq (1+aMf (x>) (5)

El E2

где И\Ef — Е1 и Е2, Е1 — {х € И | М/(х) < 1}, Е2 — {х € И | 1 < М/(х) < С}. Применяя элементарное неравенство 1 + в^ < (1 + ¿)2в, 0 < I < 1, 0 < в < 1/2, для второго интеграла в правой части (5) и выбирая а — шт(1/2, (е/3К)1/<1 /2, (2(е/3к)1/д — 1)/С), получаем следующую оценку:

[ 1п9 (1 + аМ/(х)) + (2 а)9 К + [ 1п9 (1 + 1) йх <

] 3 3К )

е е е

^ 3 + 3 + Ж У 1п"(1 + м/(ж)) Лх к £•

Следовательно, аЬ С В(0,е) С V, и множество Ь ограничено в М9 (О) по определению.

3. Доказательство теоремы 2. Прежде чем доказывать теорему 2, наряду с квазинормой (в смысле Иосиды) (1) рассмотрим характеристику

' \ а

+ = [J lnq(1 + \f+(x)\) dx 1 < +^,aq = min (1,q-1) ,f e Mq(D).

Лемма. При д > 1 квазинорма || • | эквивалентна (в смысле Липшица) квазинорме || • || + на Мд(В). Доказательство леммы. Для произвольной функции / £ Мя(В) обозначим v(z) = 1п(1 + |/(х+гу)|).

+те

Тогда |^||Я"р = вир / Vя(х + гу) йх < Ц/||я < По известной теореме для субгармонических функций

У>0 —те

-- те

[3, гл. 1, теорема 6.8] функция v(z) имеет гармоническую мажоранту вида § РУ(х — Ь) йи(Ь), где V(Ь) —

—те

некоторая конечная мера на К и Ру(х — Ь) = — ядро Пуассона в В. Кроме того, из доказательства

этой теоремы следует, что гармонической мажорантой для функции v(z) в полуплоскости у > уо для некоторого уо > 0 служит функция

Uyo (z) = J Py-yo (x — t)v(t + iyo) dt, z = x + iy.

Семейство функций ^(Ь + гуо)}У0>о ограничено в Ьд(И) константой 11V15ир. Поскольку сопряженным к Ьд(^ является пространство Ьягде д' = д/(д — 1),д > 1 [4, гл. IV, § 8, п. 1], и ядра Пуассона РУ—У0 ^ РУ,уо ^ 0+ в пространстве Ьд то на основании теоремы Банаха-Алаоглу [4, гл. V, § 4, п. 2] семейство ^(Ь + гуо)}У0>о имеет слабый частичный предел при уо ^ 0+, совпадающий с и-(Ь) = 1п(1 + /-(х)), и (Я) < |М|Яир. Поэтому

uyo (z) ^ u(z) = J Py(x — t)v+(t) dt при yo ^ 0+

и v(x + iy) < u(z) = f Py(x — t)v+ (t)dt. Интегрируя по x левую и правую части последнего неравенства,

—ж

получаем соотношение < \\f ||+. По лемме из [5, гл. VIII, п. C] для гармонической мажоранты u(z)

функции v(z) справедливо неравенство

\u(z)\< (з + у) Vм(0),

где vM(х) = sup |4т f \v+(t)\dt — горизонтальная максимальная функция Харди-Литлвуда, I — интервал I эЫ 1 1 I

на R, \I\ — длина интервала I. Используя далее теорему Харди-Литлвуда [3, гл. I, теорема 4.3] о сравнении норм интегрируемых функций с нормами их горизонтальных максимальных функций, получим

||Mv||Lq(R) < ||Mu||Lq(R)

< 2||vMWLq(R) < 2AqWv+hq(R) = 2A q Hf ||+ < +

где Aq > 0 — некоторая конечная постоянная. Так как Hf ||q = ||Mv||Lq(R) для q > 1, то лемма доказана. Перейдем к доказательству теоремы 2.

Необходимость. Пусть множество L С Mq(D) вполне ограничено, тогда оно ограничено как всякое вполне ограниченное множество (см., например, [4, гл. II, § 1, п. 8]) и условие (а) проверено.

Для проверки условия (б) рассмотрим произвольную последовательность функций (gn), где gn = f+,n Е N, и (fn) С L. Вполне ограниченное множество L относительно компактно в пространстве Mq(D) [4, гл. I, § 6, п. 12]), поэтому из последовательности (fn) можно выделить подпоследовательность (fnk), сходящуюся к некоторой функции f Е Mq(D) по метрике pq. Из определения классов Mq(D) и неравенства \f +(x)\ < Mf(x) следует, что последовательность функций ln(1 + \f+k — f +\) сходится к нулю в метрике пространства Lq(R). Тогда, согласно [4, гл. III, § , п. 6], последовательность (gnk) сходится к функции f+ по мере f. Таким образом, относительная компактность множества {f +}fеl по мере f проверена.

Проверим выполнение условия (в). По определению вполне ограниченного множества для произвольного числа е > 0 в Mq(D) существует конечное множество функций {gi,...,gN} С Mq(D), обладающее свойством: для каждой функции f Е L существует такое натуральное число n, 1 < n < N, что

ЦУп — /||я < е/(4 • 3я). В силу принадлежности каждой функции дп, 1 < п < N, классу Мя(В) существует такое положительное число А £ И, что неравенства

—А +те

У 1пя(1 + Мдп(х)) йх + У 1пя(1 + Мдп(х)) йх <

—те А

справедливы для всех п £ N 1 < п < N. Записывая I/1 = 1дп — (дп — /)|, 1 < п < N, и используя элементарное неравенство

1пя(1 + 1а — Ь1) < 3я(1пя(1 + |а|) + 1пя(1 + |Ь|)), (6)

получаем оценки

—А / —А —А \

У \пя(1 +Mf(x))dx ^ 3я I У 1пя(1 + Мдп{х)) Лх + У 1пя(1 + М(дп - /)(ж)) <1х\ <

—те —те —те

+те / +те +те \

У 1пя(1 + М/(х)) йх < 3я I У 1пя(1 + Мдп(х)) йх + J 1пя(1 + М(дп - /)(ж)) (¿ж I <

А \А А /

откуда следует условие (в).

Достаточность. Пусть для множества Ь выполнены условия (а)-(в). Поскольку свойство полной ограниченности множества в полном метрическом пространстве равносильно тому, что из любой последовательности точек этого множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность, рассмотрим произвольную последовательность функций (/п),п £ N из множества Ь. Согласно условию (б), из последовательности (/+) С {/ +}fеЬ можно выделить подпоследовательность (/и-.), сходящуюся по мере /л к некоторой измеримой на И функции д. Согласно условию (а) и теореме 1, существует конечная постоянная К > 0, такая, что для функций (/пк) выполнено условие (2). Тогда

+те +те

-

1пя (1 + \f+ (x)\) dx ^ J 1пя (1 + Mf Пк(x)\) dx < K.

Переходя в последнем неравенстве к пределу при k ^ в силу теоремы П. Фату [6, гл. V, § 5, п. 5, теорема 8] получаем

У 1пя (1 + \g(x)\) dx < K. (7)

—ж

Опираясь на условие (а) теоремы 2 и условие (б) теоремы 1, на основании неравенства \f+(x)\ < Mf(x) заключаем, что первообразные семейства функций {1пя(1 + \f+к\)} равностепенно абсолютно непрерывны. Так как, согласно (7), функция 1пя (1 + \g(x)\) интегрируема, то в силу неравенства (6) первообразные семейства функций {1пя(1 + \f+k — g\)} также равностепенно абсолютно непрерывны. Теперь на основании известной предельной теоремы для пространств Ья(R) [4, гл. III, § 3, п. 6] имеем

У 1пя (1 + \f+k(x) — g(x)\) dx ^ 0 при k ^

откуда, используя (6), заключаем, что

У 1пя (1 + \f+k(x) — f+(x)\) dx ^ 0 при k,p ^ +TO.

Таким образом, Ц/пк — /пр ||+ ^ 0 при к,р ^ откуда ввиду доказанной леммы получаем, что последовательность (¡пк) фундаментальна по метрике ря. Итак, последовательность (/п) содержит сходящуюся подпоследовательность (/пк), и теорема 2 доказана.

Автор выражает искреннюю благодарность В. И. Гаврилову, предложившему тему и руководившему исследованиями, и А. В. Субботину за обсуждение результатов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ганжула Л.М. Об одной F-алгебре голоморфных функций в верхней полуплоскости // Math. Montisnigri. 2000. XII. 33-45.

2. Ефимов Д.А., Субботин А.В. Некоторые F-алгебры голоморфных функций в полуплоскости // Math. Montisnigri. 2003. XVI. 69-81.

3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

4. Данфорд Н, Шварц Дж.Т. Линейные операторы, общая теория / Пер. с англ. М.: ИЛ, 1962.

5. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. М.: Мир, 1984.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

Поступила в редакцию 13.12.2006

УДК 515.145.5, 515.146.39, 512.554.32

О ЦЕНТРЕ АЛГЕБРЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОГОМОЛОГИЙ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВ ПЕТЕЛЬ ОТНОСИТЕЛЬНО УМНОЖЕНИЯ ПОНТРЯГИНА

А. Ю. Онищенко

Введение. Пусть X — гладкое односвязное четырехмерное многообразие. На когомологиях его пространства петель О.Х умножение Понтрягина задает структуру ассоциативной, но, вообще говоря, некоммутативной алгебры. В данной работе вычисляется центр Н*(ОХ, относительно умножения Понтрягина в случае, когда второе число Бетти Ь2 — 62 (X) больше 1.

Эта задача допускает следующую переформулировку. В работе [1] построено умножение Уайтхеда-Самельсона, которое задает на гомотопических группах п*(О.Х) структуру градуированной алгебры Ли. Как известно [2], имеет место изоморфизм Н*(О.Х) = V(п*(ОХ)). Поэтому вычисление центра алгебры Н*(ОХ, сводится к вычислению центра универсальной обертывающей алгебры Ли V(п*(ОХ) ®

В работе [3] вычислена алгебра Ли Ь — п* (О.Х) ® для полных пересечений, частным случаем которых являются односвязные четырехмерные многообразия. Из этой работы следует, что для рассматриваемых нами многообразий Х градуированная алгебра Ли Ь задается одномерными образующими х 1 ,•••, хп, где п — ^2, и соотношением ^ е][хг,х]] — 0. Здесь матрица (ег]) определяется так. Умножение на двумерных когомологиях Х задает двойственное отображение А : Н4 (Х, ^ Н2 (Х, ® Н2 (Х, . Пусть у1,...,уп — базис Н2(Х,о^), а [Х] — фундаментальный цикл многообразия Х. Тогда А[Х] имеет вид ег]Уг ® у]. При гомоморфизме Гуревича элемент хг € П1(ПХ) = П2(Х) переходит в уг для всех г.

Всюду в дальнейшем гомологии и когомологии рассматриваются с коэффициентами в Также будем считать, что матрица (е^]) приведена (над к диагональному виду.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 1. В случае Ь2 > 2 центр алгебры V(Ь) тривиален. В случае Ь2 — 2 центр порождается элементами [х1,х2] и [х1,х1].

Заметим, что для случаев 62 — 0 и 62 — 1 центр 2(Н*(ОХ; может быть вычислен достаточно просто. При 62 — 0 когомологии пространства петель О.Х порождены двумя образующими: Н*(ОХ; = Л(хз) ®Р(уб), где Л(хз) — внешняя алгебра от трехмерной образующей, а Р(уб) — полиномиальная алгебра от шестимерной. В данном случае [хз,хз] — уб, [хз,уб] — [уб,уб] — 0. При 62 — 1 нетрудно показать, что Н*(ОХ; = Л(х1) ® Р(у4). Здесь все элементы коммутируют, поэтому 2(Н*(ОСР2; 0>)) = Л(х1) ® Р(у4).

Вернемся к общему случаю. Свободную градуированную алгебру Ли Ь — Ь(х1,...,хп) будем рассматривать как подпространство в свободной тензорной алгебре Т — Т(х1,... ,хп). При этом коммутатор