CC BY
13
Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2005, Том 7, Выпуск 3
УДК 517.98+512.8
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И АВТОМОРФИЗМЫ В АЛГЕБРЕ ИЗМЕРИМЫХ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
А. Г. Кусраев
Юрию Федоровичу Коробейнику к его семидесятипятилетию
Устанавливается, что в алгебре (классов эквивалентности) всех комплекснозначных измеримых функций над локально сепарабельным пространством с мерой имеются существенно нетривиальные комплексные дифференцирования и нерасширяющие автоморфизмы, отличные от тождественного.
Настоящая заметка является продолжением работ [1, 2]. В ней устанавливается, что если пространство с мерой локально сепарабельно, то в соответствующей алгебре (классов эквивалентности) всех комплекснозначных измеримых функций имеются существенно нетривиальные дифференцирования и существенно нетривиальные нерасширяющие автоморфизмы. Напомним соответствующие определения.
Как обычно [3, 4], под пространством с мерой подразумевается тройка (П, Х,у), удовлетворяющая условиям: (а) если А С П и А П К £ Х для каждого К £ Х, удовлетворяющего условию у,(К) < +го, то А £ Х; (Ь) если А £ Х и у(А) = +го, то существует Ао £ Х такой, что А0 С А и 0 < у(А0) < +то; (с) если А £ Х, у(А) = 0 и А0 С А, то Ао £ Х.
Положим N := N (у) := {А £ Х : у(А) = 0}. Фактор-алгебра В (П, Х, у) := Х/М является ст-алгеброй, которую именуют алгеброй измеримых множеств по модулю множеств меры нуль. Функция у : В ^ Ки {+<^}, определяемая равенством у = у о р, где р : Х ^ В — фактор-гомоморфизм, счетно аддитивна, существенно положительна и локально конечна, см. [3, гл. 1, §6; 4, 2.1.10].
Пару (В, у) называют нормированной булевой алгеброй, если В — булева ст-алгебра и у — конечная строго положительная счетно аддитивная мера на В. Нормированную булеву алгебру (В, у) наделяют метрикой р^(х, у) := у(х А у) и несложно проверить, что метрическое пространство (В, р^) полно, см. [5].
Говорят, что пространство мерой (П, Х, у) локально сепарабельно, если Х содержит семейство (П )^6з попарно непересекающихся множеств конечной меры, удовлетворяющих следующим двум требованиям:
(1) для каждого измеримого подмножества А £ Х конечной меры существуют счетное множество индексов 0 С 2 и множество нулевой меры Ао £ N такие, что
А = Ао и Г У (А П П Л;
Чев '
© 2005 Кусраев А. Г.
(2) для каждого индекса £ £ 2 пространство с мерой В £ := В(П^, Х^, у£), где Х^ : = {А П П£ : А £ П} и у^ ограничение у на П^, сепарабельно.
Если выполнено только условие (1), то говорят, что (П, Х,у) обладает свойством прямой суммы, и в этом случае является полной булевой алгеброй.
Пусть Ь° := Ь°(П, Х,у) (соответственно, Ь° := Ь°(П, Х, у)) — пространство классов эквивалентности всех измеримых вещественнозначных (комплекснозначных) функций на П.
Допустим, что Ь — алгебра (ниже — одна из алгебр Ь°, Ь°, Ь^ и Ь^). Линейный оператор О : Ь ^ Ь называют дифференцированием, если для любых /, д £ Ь выполнено условие О(/д) = О(/)д+/О(д). Эндоморфизм алгебры — линейный мультипликативный оператор в ней. Биективный эндоморфизм называют автоморфизмом. Подчеркнем, что дифференцирование и автоморфизм в комплексных алгебрах -линейны, а в вещественных алгебрах И-линейны.
Ненулевое дифференцирование, а также отличный от тождественного отображения автоморфизм принято называть нетривиальными. Дифференцирование (авторморфизм) Б в Ь назовем существенно нетривиальным, если для любого порядкового проектора
п £ Р(Ь) из пБ = 0 (соответственно пБ = п/^) следует п = 0. Основной результат
заметки сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема. Пусть (П, Х,у) — локально сепарабельное пространство с безатомной мерой. Тогда справедливы утверждения:
(1) в Ь° (П, Х, у) имеются существенно нетривиальные дифференцирования;
(2) в Ьо (П, Х, у) имеются существенно нетривиальные дифференцирования;
(3) в Ь^(П, Х,у) имеется единственный нерасширяющий автоморфизм — тождественное отображение;
(4) в Ьо (П, Х, у) имеются существенно нетривиальные нерасширяющие автоморфизмы.
< Утверждение (3) верно для произвольного пространства с мерой со свойством прямой суммы без предположения локальной сепарабельности. В самом деле, автоморфизм Б алгебры Ь0 должен быть положительным оператором, так как при 0 ^ / £ Ь0 выполняется Б(/) = Б(у/ ) = (Б(у/))2 ^ 0. Но нерасширяющий положительный оператор имеет вид Б/ = д/ (/ £ Ь0) для некоторого 0 ^ д £ Ь0, причем д2 = д ввиду мультипликативности Б. Тем самым, д — функция, тождественно равная единице и Б = /^о. Оставшаяся часть устанавливается ниже в леммах 1-6. >
Булеву ст-алгебру В называют ст-дистрибутивной, если для любой двойной последовательности (6п,т)п,тоем в В выполнено условие:
/У Ьи,т = Ьи,^(и) •
габМ тбМ «бМ
Другие эквивалентные определения имеются в [6]. Скажем, что разбиение единицы В С В вписано в разбиение единицы С С В, если для каждого Ь £ В найдется такой с £ С, что Ь ^ с.
Лемма 1. Полная булева алгебра В ст-дистрибутивна в том и только в том случае, если в каждую последовательность двухэлементных разбиений единицы в В можно вписать разбиение единицы.
< Можно показать (см. [6, п. 19.1], что булева ст-алгебра В будет ст-дистрибутивной в том и только в том случае, если для любой последовательности (Ь«)габм в В выполнено
условие:
\/ Д е(п)Ь„ = 1,
е6{_1;1}К «еш
где 1Ь = Ь и (—1)Ь := Ь* := 1 — Ь, а 1 := 1_в — единица алгебры В. Но в силу принципа исчерпывания это условие равносильно требуемому, см. также [7]. >
Лемма 2. Декартово произведение полных булевых алгебр ст-дистрибутивно в том и только в том случае, если каждый сомножитель — ст-дистрибутивная булева алгебра.
< Необходимость очевидна; докажем достаточность. Если В — декартово произведение семейства булевых полных алгебр (Ва)абА и 1а — единица алгебры Ва, то можем считать, что Ва служит главным идеалом в В, порожденным элементом 1а. Возьмем произвольную последовательность (Ьга)габм в В и последовательность двухэлементных разбиений единицы ({Ьп Л 1 а, Ь« Л 1 а})гаш в Ва. Согласно лемме 1 в Ва существует разбиение единицы (а^ )£б5(а), вписанное в указанную последовательность двухэлементных разбиений единицы. Если В := {а£ : £ £ 2(а), а £ А}, то В — разбиение единицы в В, вписанное в последовательность двухэлементных разбиений единицы ({Ь«, Ь«})габм. >
Лемма 3. Пространство с мерой (П, Х, у) будет локально сепарабельным в том и только в том случае, если булева алгебра В (П, Х, у) изоморфна декартову произведению сепарабельных нормированных булевых ст-алгебр.
< Следует из определений в силу [4, теорема 1.2.11]. >
Лемма 4. Сепарабельная нормированная булева ст-алгебра В ст-дистрибутивна в том и только в том случае, если она атомна или, что то же самое, изоморфна булеану Р(А) для некоторого непустого множества А.
< Неочевидная часть леммы утверждает, что ст-дистрибутивная сепарабельная нормированная булева алгебра В атомна. Докажем это пользуясь леммой 1. Возьмем счетное плотное в В множество В С В .В силу леммы 1 существует разбиение единицы (а£ )£б~ в В такое, что для любого £ £ 2 существует Ь^ £ В, для которого либо а£ ^ Ь^, либо а£ ^ Ь*. Возьмем теперь произвольный элемент Ь £ В и подберем последовательность (Ь«) С В, сходящуюся по метрике к Ь. Для фиксированного £ £ 2 положим
Ж1(£) := {п £ N : а£ ^ Ьп} и Ж2(£) := {п £ N : а£ ^ Ь«}. Так как Ж1(£) и Ж2(£) = N, то
по крайней мере одно из множеств ^(£) и ^2(£) бесконечно. Если ^(£) бесконечно, то имеется подпоследовательность (Ь«к), для которой а£ ^ ЬПк (к £ N). Переход к метрическому пределу с учетом непрерывности решеточных операций в нормированной булевой алгебре дает а£ ^ Ь. Если же бесконечно множество ^(£), то по аналогичной причине а£ ^ Ь*, следовательно, а£ — атом алгебры В. Положим А:= {а£ : £ £ 2} \ {©}. Так как А — разбиение единицы, то для любого ненулевого элемента Ь £ будет
следовательно, Ь Л а = © для некоторого а £ А. Отсюда видно, что а ^ Ь. Теперь ясно, что булева алгебра В атомна и изоморфна булеану Р(А). >
В связи с установленной леммой важно подчеркнуть, что существуют и базатомные ст-дистрибутивные полные булевы алгебры (см. [4, 5.1.8]).
В следующих двух леммах Ь — расширенное К-пространство (вещественное или комплексное) с фиксированной единицей. Тогда в Ь имеется единственная мультипликативная структура, превращающая Ь в /-алгебру, в которой порядковая единица служит кольцевой единицей. Базу Ь (т. е. булеву алгебру всех порядковых проекторов в Ь) обозначим символом Р(Ь). О комплексификации вещественных К-пространств и соответствующих понятий см. [8].
Лемма 5. Предположим, что для любого ненулевого порядкового проектора п £ Р(Ь) существует ненулевой порядковый проектор р £ Р(Ь), р ^ п, такой, что в алгебре рЬ имеется нетривиальное дифференцирование (нетривиальный нерасширяющий автоморфизм) . Тогда в алгебре Ь имеется существенно нетривиальное дифференцирование (существенно нетривиальный нерасширяющий автоморфизм).
< Если Б — нетривиальное дифференцирование в Ь, то для проектора п0 := V{п £ Р(Ь) : пБ = 0} будет п0Б = 0 и п0 = /^. Тем самым, дифференцирование п0Б существенно нетривиально в полосе п*(Ь). Отсюда видно, что при соблюдении условий леммы в каждой ненулевой полосе пространства Ь имеется полоса с существенно нетривиальным дифференцированием. В силу принципа исчерпывания для булевых алгебр существуют разбиение единицы (р£) С Р(Ь) и семейство (Б£) такие, что р£Б£ — существенно нетривиальное дифференцирование в полосе р£(Ь). Оператор Б := о-^£ р£Б£ будет искомым существенно нетривиальным дифференцированием в алгебре Ь. Утверждение относительно автоморфизмов устанавливается теми же рассуждениями. >
Лемма 6. Существует порядковый проектор п £ Р(Ь) такой, что булева алгебра Р(пЬ) является ст-дистрибутивной и для любого ненулевого проектора р £ Р(Ь), р ^ п*, в /-алгебре рЬ имеется нетривиальное дифференцирование (нетривиальный нерасширяющий автоморфизм) .
< В силу леммы 2 и принципа исчерпывания существует наибольший проектор п £ Р(Ь), для которого булева алгебра Р(пЬ) ст-дистрибутивна, в то время как в Р(п*Ь) нет ст-дистрибутивных компонент. Тем самым, требуемое вытекает из установленного в [2] факта, что если Р(рЬ) не является ст-дистрибутивной, то в рЬ имеются нетривиальное дифференцирование и нетривиальный нерасширяющий автоморфизм. >
Замечания. (1) Понятно, что нетривиальные дифференцирования и автоморфизмы, о которых идет речь в установленной теореме, не могут быть порядково ограниченными, а значит, и регулярными. Следовательно установленный результат дает пример расширенного К-пространства, в котором имеются квалифицированные нерасширяющие нерегулярные операторы — дифференцирования и автоморфизмы. Первый пример нерегулярного нерасширяющего линейного оператора в расширенном К-пространстве был построен в [9, 10].
(2) Задача об описании расширенных пространств Канторовича, в которых всякий нерасширяющий линейный оператор автоматически порядково ограничен, была поставлена в [11] и решена в [7, 12]. Булевозначный подход к этому кругу вопросов см. в [1]. Дальнейшие подробности можно найти в [4, 13].
(3) Если мера у атомна, то пространство Ь0 := Ь° (П, Х, у) дискретно, стало быть, изоморфно Е := См для некоторого непустого множества М. В этом случае нетривиальных дифференцирований и нерасширяющих автоморфизмов в Е нет. В то же время в Е имеются существенно нетривиальные кольцевые (т. е. не являющиеся С-однородными) дифференцирования и автоморфизмы. В самом деле, если 5 и а — соответственно нетривиальные дифференцирование и автоморфизм в С (см. [14]), то существенно нетривиальные дифференцирование и нерасширяющий автоморфизм Е можно определить путем сопоставления комплекснозначной функции х : М ^ С композиций 5 о х и а о х соответственно.
(4) Для сравнения с основным результатом отметим, что в пространстве (классов эквивалентности) существенно ограниченных измеримых функций Ь^(П, Х,у) нет нетривиальных дифференцирований и нетривиальных нерасширяющих автоморфизмов.
Литература
1. Кусраев А. Г. О нерасширяющих операторах // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, № 3.—С. 48-58.
2. Кусраев А. Г. Дифференцирования и автоморфизмы в расширенной комплексной алгебре // Сиб. мат. журн.—2005.—Т. 46, № 5.
3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1984.—752 с.
4. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
5. Владимиров Д. А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.—318 с.
6. Сикорский Р. Булевы алгебры.—М.: Мир, 1969.—375 с.
7. Gutman A. E. Disjointness preserving operators // In: Vector Lattices and Integral Operators (Ed. S. S. Kutateladze).—Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers, 1996.—P. 361-454.
8. Schaefer H. H. Banach Lattices and Positive Operators.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1974.—xi+376 p.
9. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность // Докл. АН СССР.—1979.—Т. 248, № 5.—С. 1033-1036.
10. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность, их непрерывность и мультипликативное представление // В кн: Линейные операторы и их приложения. Межвузовский сборник научных трудов.—Л.: ЛГПИ, 1981.—С. 3-34.
11. Wickstead A. W. Representation and duality of multiplication operators on Archimedean Riesz spaces // Compositio Math.—1977.—V. 35, № 3.—P. 225-238.
12. Gutman A. E. Locally one-dimensional K-spaces and a-distributive Boolean algebras // Siberian Adv. Math.—1995.—V. 5, № 2.—P. 99-121.
13. Кусраев А. Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы анализа.—Новосибирск: Наука, 1990.— 344 с.
14. Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными. — М.: Физматлит, 2003.—432 с.
15. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Введение в булевозначный анализ.—М.: Наука, 2005.—525 с.
Статья поступила 30 июня 2005 г.
Кусраев Анатолий Георгиевич, д. ф.-м. н. г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН и РСО-А E-mail: [email protected]
