CC BY
12
Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2004, Том 6, Выпуск 3
УДК 517.98
О НЕРАСШИРЯЮЩИХ ОПЕРАТОРАХ А. Г. Кусраев
Юрию Григорьевичу Решетняку к его семидесятипятилетию
Обсуждается булевозначный статус проблемы Э. В. Викстеда о порядковой ограниченности нерасширяющих линейных операторов. Дается булевозначное доказательство того, что в расширенном пространстве Канторовича все нерасширяющие линейные операторы порядково ограничены тогда и только тогда, когда оно локально одномерно или, что равносильно, когда оно имеет ст-дис-трибутивную базу.
1. Введение
Вопрос о том, всякий ли нерасширяющий линейный оператор в пространстве Канторовича автоматически порядково ограничен, был поставлен Э. В. Викстедом в статье [16]. Первый пример неограниченного нерасширяющего линейного оператора был анонсирован Ю. А. Абрамовичем, А. И. Векслером и А. В. Колдуновым в [1, теорема 1]. Позже те же авторы [2, теорема 2.1] и П. Т. Н. Макполин и Э. В. Викстед [15, теорема 3.2] показали, что все нерасширяющие операторы в расширенном К-пространстве автоматически порядково ограничены в том и только в том случае, если это К-пространство локально одномерно. Тем самым, проблема Э. В. Викстеда была сведена к строению локально одномерных К-пространств.
В этой связи возник вопрос, сформулированный Э. В. Викстедом в [11]: не совпадают ли класс локально одномерных К-пространств и класс дискретных К-пространств? Отрицательный ответ был найден А. Е. Гутманом в [13]: существует непрерывное (безатомное) локально одномерное К-пространство (см. также [6, 14]). А. Е. Гутманом дано также описание баз расширенных локально одномерных К-пространств: ими оказались в точности ст-дистрибутивные полные булевы алгебры.
Кроме того, в булевозначном анализе хорошо известно, что локальная одномерность расширенного К-пространства связана со строением поля действительных чисел " внутри булевозначной модели У(в). Точнее говоря (см. [8]), расширенное К-пространство в соответствии с теоремой Гордона можно представить как спуск булевозначного поля действительных чисел ", а образом стандартного поля действительных чисел Ж (при каноническом вложении стандартного универсума V в булевозначный универсум У(в)) служит подполе ЖЛ поля ". При этом несложно убедиться (и это хорошо было известно в других терминах), что "| локально одномерно в том и только в том случае, если ЖЛ = ". Суммируя все сказанное, можно сформулировать следующий результат.
© 2004 Кусраев А. Г.
Теорема А. Для произвольной полной булевой алгебры В равносильны следующие утверждения:
Л (1) V(B) =" = ЖЛ;
Л(2) В является ст-дистрибутивной;
Л(3) К-пространство В (Ж) := локально одномерно;
Л(4) в К-пространстве В (Ж) := каждый нерасширяющий линейный опе-
ратор порядково ограничен.
Настоящая работа посвящена булевозначному доказательству этой теоремы. Ниже в §3, §4 и §5 приведем обоснование эквивалентностей А (1) ^ А (4), А (1) ^ А (3) и А (1) ^ А (2) соответственно. Оказывается, что все эквивалентные условия теоремы А сводятся к свойствам чисел и кардиналов внутри подходящей булевозначной модели.
Необходимые сведения из булевозначного анализа и теории векторных решеток содержатся в книгах [3, 7, 8, 10, 12]. Автор выражает благодарность рецензенту, указавшему на существенный пробел в первоначальном определении локального базиса Гамеля из 4.3.
2. Вспомогательные сведения о булевозначных числах и кардиналах
Приведем необходимые определения и факты из булевозначного анализа. Подробности, см. в [8].
2.1. Всюду ниже В — полная булева алгебра с нулем 0 и единицей 1, а V(B) — соответствующий булевозначный универсум, в котором булева оценка истинности произвольной формулы теории множеств ^>(г>1,..., г>га) с константами Ж1,...,ЖП £ V(B) обозначается символом |^(Ж1, . . . , Жга)]. При этом [р(ж1,..., жп)] £ В и истинность утверждения р в модели V(B) означает по определению [р(ж1,..., жп)] = 1.
В силу принципа максимума существует элемент " £ V(B), для которого [" — поле действительных чисел ] = 1. Если формула р(ж) представляет собой формальную запись аксиом архимедова упорядоченного поля (для ж), то она эквивалентна ограниченной формуле. Так как для поля Ж действительных чисел р(Ж) истинна, то согласно ограниченному принципу переноса (см. [8]) будет [ р(ЖЛ) ] = 1, т. е. [ЖЛ — архимедово упорядоченное поле ] = 1. Можно считать при этом, что ЖЛ — плотное подполе поля " в модели V(B). При этом 1 = 1Л служит единицей поля ", если 1 — единица поля Ж.
Спуском поля " называют множество "| := {ж £ V(B) : [ж £ "] = 1}, на котором определена структура коммутативного упорядоченного кольца следующим образом. Если алгебраические операции и порядок в " обозначим временно символами ф, 0, ©, а в "| — как обычно, символами +, ■, ^, то определение сложения, умножения и отношения порядка на множестве "| выглядят так:
г = ж + у [ г = ж ф у ] = 1, г = ж ■ у [ г = ж 0 у ] = 1, ж ^ у [ ж © у ] = 1 (ж, у, г £ "|).
Умножение элементов "| на действительные числа можно определить правилом: у = Аж у = АЛ ■ ж [у = АЛ 0 ж] = 1 (ж, у £ А £ Ж).
2.2. Теорема Гордона. Пусть " — поле действительных чисел в модели V(B). Тогда "| (с указанными в 2.1 операциями и порядком) представляет собой расширенное К -пространство с порядковой единицей 1. Более того, существует булев изоморфизм х
булевой алгебры В на базу Р("|) такой, что для любых ж, у £ и Ь £ В справедливы эквивалентности:
х(Ь)ж = х(Ь)у Ь ^ [ж = у ]
х(Ь)ж ^ х(Ь)у Ь ^ [ж ^ у].
2.3. Если элемент ст £ V(B) таков, что [ст : " ^ "] = 1, то существует единственное отображение Б : ^ "|, для которого
[Б(ж) = ст(ж)] = 1 (ж £"|).
Отображение Б называют спуском ст и обозначают символом ст |; оно обладает свойством экстенсинальности:
[ж = у] < [Б(ж) = Б(у)] (ж,у £"1).
Как видно из 2.2, экстенсиональность Б означает, что для любых ж, у £ и Ь £ В из х(Ь)ж = х(Ь)у вытекает х(Ь)Б(ж) = х(Ь)Б(у).
Наоборот, если имеется экстенсиональное отображение Б : ^ "|, то существует
единственная функция ст : " ^ " внутри V(B), для которой Б = ст|. При этом говорят что ст — подъем Б и пишут ст = Б|. Таким образом, спуск и подъем устанавливают биекцию множества всех экстенсиональных операторов из в и множества всех элементов ст £ V(B), удовлетворяющих условию [ст : " ^ "] = 1 (см. правила сокращения стрелок из [8, теорема 3.3.12]). Последнее множество обозначим символом ^(")|.
2.4. Пусть Бх("|) — множество всех экстенсиональных отображений из в "|. Это множество можно снабдить структурой унитарного модуля над кольцом "|, если ввести в нем алгебраические операции поточечно. Множество ^(")| также можно снабдить структурой модуля над "|. Это делается точно также, как в 2.1.
Указанная в 2.3 биекция между Бх("|) и ^(") | является изоморфизмом модулей.
< Требуемое легко усматривается из следующих равенств:
(Б + Т)|ж = (Б + Т)ж = Бж + Тж = Б|ж ф Т|ж = (Б| Ф Т|)ж (ж £ Щ);
(а ■ Б)|ж = (а ■ Б)ж = а ■ (Бж) = а 0 (Б|ж) = (а 0 Б|)ж (а, ж £ "|).
В этих соотношениях символами ф и 0 обозначены как кольцевые операции в ", так и модульные операции в ^ (")|. То же относится и к использованию символов + и ■ в щ и Бх("|). >
2.5. Пусть формула Огё(а) означает, что а — ординал, т. е. а — транзитивное множество, вполне упорядоченное отношением £. Эта формула ограничена, поэтому
(1) Огё(а) ^ V(B) |= Огё(аЛ).
Можно показать, что утверждение «наименьший предельный ординал» также можно записать ограниченной формулой, поэтому
а — наименьший предельный ординал
V® |= «аЛ — наименьший предельный ординал».
Множество неотрицательных целых чисел и := {0,1, 2,... } — наименьший предельный ординал, поэтому V(B) |= «иЛ — наименьший предельный ординал». Таким образом, если Но — множество неотрицательных целых чисел внутри V(B), то
(2) иЛ = Но.
Аналогично обстоит дело с множеством рациональных чисел <^. Именно если Q — множество рациональных чисел внутри V(B), то (3) = Q.
2.6. С кардиналами внутри модели V(B) дело обстоит иначе. Пусть формула Сагё(ж) обозначает, что ж — кардинал, т. е. ординал не равномощный никакому предшествующему ординалу. Можно показать, что если [Сагё(аЛ)] = 1, то Сагё(а). Однако обратная импликация может нарушиться, а ординал может потерять свойство быть кардиналом при каноническом вложении в V(B).
В действительности для бесконечных кардиналов А < к можно подобрать такую полную булеву алгебру В, что V(B) |= | АЛ | = | кЛ | (см. [12, теорема 5.1]). Это обстоятельство называют смещением кардинальных чисел. Возможен такой выбор В, что |= 2Ша = и^+1 для некоторых а < в (см. [12, теорема 2.11]). Так устанавливается совместимость гипотезы континуума и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами Цермело — Френкеля.
2.7. Булеву ст-алгебру В называют ст-дистрибутивной, если для любой двойной последовательности (Ьп,т)п,т£-щ в В выполнено условие:
/У Ьп,т = Ьп,^(п).
пбМ тбМ пбМ
Это равносильно тому, что для любой двойной последовательности (Ьп,т) верно двойственное соотношение
Ьп,т = Ьп,^(п).
пбМ тбМ пбМ
Другие эквивалентные формулировки см. у Р. Сикорского [9].
2.8. Для полной булевой алгебры В равносильны следующие утверждения:
(1) В ст-дистрибутивна;
(2) ^Б) |= (Но)к° = (иш)Л;
(3) ^Б) |= Р(Но) = Р(и)Л.
< См. Дж. Белл [12, стр. 58]. >
3. Булевозначное представление нерасширяющих операторов
В этом параграфе покажем, что А(1) ^ А (4). С этой целью вначале получим булевозначное представление нерасширяющих операторов как действительных функций действительного аргумента.
3.1. Всюду в этом параграфе буквой О обозначаем расширенное К-пространство "|. Напомним, что О — также точное /-кольцо с единицей 1.
Линейный оператор Б : О ^ О называют нерасширяющим (или сохраняющим полосы), если для любых и, V £ О из и ± V следует и ± Бг>. При этом Б будет нерасширяющим
в том и только в том случае, если п о Б = Б о п для любого порядкового проектора п в О.
Пусть Епё^ (О) — множество всех нерасширяющих линейных операторов в О. Ясно, что Епё^ (О) — векторное пространство. Более того, Епё^ (О) будет точным унитарным модулем над кольцом О, если определить оператор дТ формулой дТ : ж ^ д ■ Тж (ж £ О) . Это следует из того, что умножение на элемент О представляет собой нерасширяющий оператор и композиция нерасширяющих операторов есть нерасширяющий оператор. Обозначим символом Епё^Л (") элемент V(B), изображающий пространство
всех Мл-линейных отображений из R в R. Тогда EndRA (R) — векторное пространство над полем R внутри V(B), а EndRA (R)j — точный унитарный модуль над G.
3.2. Линейный оператор в K-пространстве G будет нерасширяющим в том и только в том случае, когда он экстенсионален.
< Как видно из теоремы Гордона и из 2.3, экстенсиональность линейного оператора Т : G ^ G означает, что для любых ж £ G и п £ P(G) из равенства пж = 0 следует пТж = 0. Если взять ж := п^у, то получим пТп^ = 0 или, что то же, пТ = пТп. Заменив в этом равенстве п на п^, получим Тп = пТп, поэтому пТ = Тп. Тем самым, оператор Т нерасширяющий согласно 3.1. Наоборот, для нерасширяющего оператора Т непосредственно из определений видно, что из пж = 0 следует пТж = 0. >
3.3. Модули Endn (G) и EndRA (R) j изоморфны. Изоморфизм устанавливается путем сопоставления нерасширяющему оператору его подъема.
< Оператор Т £ EndN(G) экстенсионален ввиду 3.2, потому имеет подъем т := Т|, который представляет собой единственную функцию из R в R, удовлетворяющую условию [т(ж) = Тж] (ж £ G), см. 2.3. Используя это условие и определение структуры кольца в Rj, можно написать
т(ж 0 у) = Т(ж + у) = Тж + Ту = т(ж) 0 т(у) (ж, у £ G),
т(Ал 0 ж) = Т(А ■ ж) = А ■ Тж = Ал 0 т(ж) (ж £ G, А £ R).
Отсюда видно, что [т : R ^ R — Мл-линейная функция ] = 1, т. е. [т £ EndRA (R)J = 1.
Если т £ EndRA (R)j, то спуск тj : G ^ G — экстенсиональное отображение (см. 2.3). В
точности те же соображения, что и выше, убеждают, что ^-линейность т внутри V(B) влечет линейность оператора тj. С учетом 3.2 заключаем, что тj — нерасширяющий оператор. Теперь требуемое следует из 2.4. >
3.4. В предложении 3.3 возникла следующая ситуация. В поле действительных чисел R рассматривается упорядоченное подполе P С R, содержащее Q. Тем самым R является векторным пространством над полем P и имеет базис Гамеля, который обозначим символом E. Множество всех P-линейных функций в R обозначим символом Endp(R). Для полноты приведем два хорошо известных факта.
(1) Пусть P — плотное подполе поля R. Общая форма P-линейной функции f : R ^ R дается формулой
f (ж) = ^2 жеф(е), ж = ^2 жее,
е££ е££
где вторая формула — разложение ж по базису Гамеля E, а ф : E ^ R — произвольная функция, принимающая лишь конечное число ненулевых значений.
< Выводится непосредственно из определения и свойств базиса Гамеля. >
(2) Произвольная P-линейная функции f : R ^ R допускает представление
f (ж) = сж (ж £ R) для некоторого с £ R тогда и только тогда, когда она ограничена
сверху или снизу на некотором интервале ]а, b[c R, а < b.
< Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности предположим, что
функция f ограничена сверху числом M на интервале ]а, b[. Тогда открытое множество {(s,t) £ R2 : а < s < b, M < t} не имеет общих точек с графиком f, следовательно, график f не может быть плотным в R2. Но если функция f не допускает требуемого представления, то ее график плотен в R2. Это устанавливается точно также, как и для
функционального уравнения Коши, см. [4, глава 2, теорема 3]. >
3.5. Теперь приведем два следствия для нерасширяющих операторов, которые получаются булевозначной интерпретацией предложений 3.4 (1, 2).
(1) Нерасширяющий оператор Т £ EndN (G) порядково ограничен в том и только в том случае, когда он имеет представление Тж = g ■ ж (ж £ G) для некоторого фиксированного g := gy £ G.
< Нужно лишь заметить, что подъем в 2.3 сохраняет свойство порядковой ограниченности, и применить 3.4(2) внутри V(B). >
(2) Для того чтобы каждый нерасширяющий линейный оператор в G := Rj был порядково ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы V(B) |= R = RA.
< Если RA совпадает с полем действительных чисел R внутри V(B), то EndRA (R) j — множество всех R-линейных функций в R. Но R-линейная функция в R имеет вид f (ж) = сж (ж £ R), поэтому EndN (G) состоит из порядково ограниченных операторов согласно (1).
^: Если RA = R, то базис Гамеля E векторного пространства R над RA содержит хотя бы два различных элемента ei = е2. Определив функцию fo : E ^ R так, чтобы fo(ei)/ei = fo(е2)/е2, можно продолжить ее до RЛ-линейной функции f : R ^ R, которая не может быть ограниченной в соответствии с 3.4(2). Но тогда спуск доставляет нерасширяющий линейный оператор, который не будет порядково ограниченным, см. (1). >
4. Локально одномерные K-пространства
В этом параграфе покажем, что A(1) ^ A(3). Как вспомогательное средство здесь вводится понятие локального базиса Гамеля.
4.1. Пусть G — расширенное K-пространство с фиксированной порядковой единицей 1. Элемент е £ G+ именуют локально постоянным относительно f £ G+, если е = sup^6S А^п^f для некоторого числового семейства (А^)^6= и семейства (п^)^6= попарно дизъюнктных порядковых проекторов в G. Расширенное K-пространство G называют локально одномерным, если все элементы положительного конуса G+ являются локально постоянными относительно . Как видно, G будет локально одномерным в том и только в том случае, когда все элементы G+ локально постоянны относительно произвольной порядковой единицы е £ G. В самом деле, достаточность очевидна, а для обоснования необходимости нужно заметить, что для произвольного ж £ G+ можно выбрать разбиение единицы (п^)^6з так, чтобы элементы п^ж и п^е были ненулевыми кратными элемента п^1, если только п^ж отличен от нуля. Но тогда п^ж будет кратным элемента п^е.
4.2. Для того чтобы K-пространство G := Rj было локально одномерно, необходимо и достаточно, чтобы V(B) |=R = RA.
< Равенство [R = RA] = 1 имеет место в том и только в том случае, когда Rj = RA j (см. [8, 3.3.3]). Тем самым, нужно только убедиться, что локальная одномерность G равносильна равенству G = RAj. Однако, согласно [8, 3.1.1] множество RA j состоит из всех перемешиваний вида mixt6R(bttA), где (bt)t6R — произвольное разбиение единицы в B. Отсюда с учетом структурных свойств расширенного K-пространства G (см. [8, 5.2.2 и 5.2.3]) вытекает, что равенство G = RA j равносильно возможности представления каждого элемента ж £ G в виде o-^t6RA tx(bt)l для подходящего разбиения единицы (bt)t6RA в B. Последнее же равносильно условию локальной одномерности G, так как полагая п := x(bt), указанное представление можно записать в виде
ж = o-V] t^l + o-V] t^l = sup t^l — sup (—t)^l,
t€RA,t>0 t€RA,t<0 teRA,t>0 teRA,t<0
причем ж+ = 8ир{£п£1 : £ £ ЖЛ, £ > 0} и ж = 8ир{ — £п*1 : £ £ ЖЛ, £ < 0}. >
4.3. Итак, расширенное К-пространство О = локально одномерно лишь в том случае, когда [векторное пространство К над полем ЖЛ одномерно] = 1. В этой связи интересно выяснить, какая конструкция в расширенном К-пространстве О = соответствует базису Гамеля векторного пространства К над полем ЖЛ. Будем считать, что
О наделено единственной мультипликативной структурой, при которой О — коммутативная упорядоченная алгебра с кольцевой единицей 1.
Будем говорить, что ж, у £ О различны на проекторе п £ Р(О), если для любого порядкового проектора р £ Р(О) равенство рж = ру влечет пр = 0. Как видно, последнее равносильно соотношению п(О) С |ж — у|^.
Подмножество Е С О назовем локально линейно независимым, если для произвольного ненулевого порядкового проектора п в О, любых попарно различных на п элементов в1,..., еп £ Е и чисел А1,..., Ап £ Ж из условия п(А^1 + ■ ■ ■ + Апеп) = 0 вытекает справедливость равенства А& = 0 для всех к := 1,...,п. Максимальное локально линейно независимое множество в О называют локальным базисом Гамеля К-пространства О.
В любом расширенном К-пространстве О существует локальный базис Гамеля.
< Достаточно применить лемму Куратовского — Цорна к упорядоченным по включению множествам всех локально линейно независимых множеств в О. >
4.4. Пусть О := К|, Е £ и [Е С К] = 1. Тогда [Е — линейно независимое множество в векторном пространстве К над полем ЖЛ ] = 1 в том и только в том случае, когда Е| — локально линейно независимое множество в О.
< ^ Положим Е' := Е| и предположим, что Е' — локально линейно независимое множество. Пусть для натурального п формула р(п,т, ст) формализует утверждение: т и ст — отображения из п в ЖЛ и Е соответственно, ст(к) = ст(1) при различных к и 1 из п и Екеп т(к)ст(1) = 0. Обозначим через ф(п) формулу (Ут)(Уст)(р(п, т, ст) ^ (Ук £ п)т(к)) = 0. Тогда линейная независимость Е внутри У(^ означает справедливость равенства
1 = [(Уп £ НЛЖп)]= Д[ф(пЛ)].
пбМ
Итак, нужно показать, что для любого натурального п £ N имеет место равенство [ф(пЛ)] = 1. Вычисление булевых оценок с учетом структуры формулы ф и правил [8, 2.3.8] приводит к следующей эквивалентной форме последнего равенства:
Д {[(Ук £ пЛ)т(к) = 0] : т,ст £ У(18); [р(пЛ,т,ст)| = 11.
Возьмем теперь произвольные т, ст £ У'-”’-' и п £ N для которых [р(пЛ,т, ст)]| = 1. Тогда [т : пЛ ^ ЖЛ] = 1 и [ст : пЛ ^ Е] = 1, причем [ст(к) = ст(1) при различных к и 1 из пЛ
и ЕкепЛ т(к)ст(1) =0] = 1.
Пусть £ : п ^ ЖЛ| и в : п ^ Е' — модифицированные спуски т и ст соответственно, см. [8, 3.5.5]. Тогда
1 = [(ум £ п°)(к =1 ^ ст(к) = ст(1)] = Д [ст(к°) = ст(1Л)] = Д [в(к) = в(0]Ь
к,1еп к,1еп
к=1 к=1
стало быть, в(к) и в(1) различны на единичном проекторе при разных к и 1. Кроме того,
1Т п—1 -п п-
^£(к)в(к) = 0 = ^ т(к)ст(к) = 0
к=0
кеп
Л
поэтому ЕП=о Ь(к)в(к) = 0. Так как Ь(к) £ Жл | для всех к £ п, то существует разбиение единицы (6«)«65 в В и для каждого к £ п существует числовое семейство (А«,к)«65 такие, что
Ь(к) = о-£ А^,^х(6«)1 (к := 0,1,..., п - 1).
«65
Подставляя эти выражения в равенство ^П—о Ь(к)в(к) = 0, получим
П—1 / \ П—1
0 = X) ( °-^ А«,кХ(6«^ I в(к) = °-^ Х(6«^ А«,кв(к)
к=0 \ «65 у «65 к=0
Итак, х(6«) ЕП—0 А«,кв(к) =0 и, так как в(к) и в(1) различны на проекторе х(6«) при
различных к, 1 £ п, то по определению локальной линейной независимости будет А«,& = 0 (к =0,1,..., п — 1). Тем самым, Ь(к) = 0 (к =0,1,..., п — 1), следовательно,
1 = Л Р(к) = 0] = Д [т(кл) = 0] = [(Ук £ пл)т(к) = 0],
кбп кбп
что и требовалось.
^ Пусть [Е — Жл-линейно независимое множество в = 1. Рассмотрим функции Ь : п ^ Ж и в : п ^ Е;, а также их модифицированные подъемы т, а £ У(в), см. [8, 3.5.5]. Тогда [т : пл ^ Жл ] = 1 и [а : пл ^ Е] = 1, причем Ь и в служат модифицированными спусками т и а соответственно. Внутри У(в) выполнена формула
(Ук, 1 £ пл)а(к) = а(1) Л ^ т(кл)а(кл) =0 ^ (Ук £ пл)т(к) = 0.
к6пл
Подсчет булевой оценки этой формулы дает
-т П -п П— 1
6:= Д [в(к) = в(1)1 л X)Ь(к)в(к) = 0 [ь(к) = 0].
к,ІЄп,
к=1
и-к=1
к=0
Теперь если п ^(к)з(к) = 0, причем 5(к) и 5(7) различны на проекторе п при различ-
ных к, 1 Є п, то согласно 2.2 будет п ^ х(67), и вновь по 2.2 пі(к) = 0 для всех к Є п. Так как п = 0, то £(к) =0 (к = 0,..., п — 1). Тем самым, Е' — локально линейно независимое множество в С. >
4.5. Если множество Ео С С локально линейно независимо, то Е := Ео| будет ЖЛ-ли-нейно независимым множеством в К.
< Согласно 4.4 достаточно доказать, что множество Е0 := тіх(Ео) = Е| = ЕоЦ локально линейно независимо. Возьмем ненулевой порядковый проектор п в С, попарно различные на п элементы еі,..., еп Є Е' и числа Аі,..., Ап Є Ж, удовлетворяющие условию п(Аіві + ■ ■ ■ + Апеп) = 0. Существует разбиение единицы (6^) в В и семейства (д^,к) С Ео, для которых ек = 0-Е^ х(6«)д«,к. Ясно, что р := пх(6ч) = 0 для некоторого индекса п. Элементы д^д,''' , 5П,га попарно различны на проекторе р и р(Аідч,і + ■ ■ ■ + Апдп,п) = 0. В силу локально линейной независимости Ео получаем Аі = ■ ■ ■ = Ап = 0. >
4.6. (1) Пусть С := Е Є У(в) и [Е С К] = 1. Тогда [Е — базис Гамеля векторного пространства К над полем ЖЛ] = 1 в том и только в том случае, когда Е| — локальный базис Гамеля в С.
< Следует из 4.4 и 4.5. >
(2) Расширенное К-пространство О будет локально одномерным тогда и только тогда, когда {1} — локальный базис Гамеля в О.
< Следует из 4.2 и (1). >
4.7. Понятие локального базиса Гамеля, введенное в [15], отличается от рассматриваемого в этой работе и соответствует интерпретации множества Е и {0}, где [Е — базис Гамеля векторного пространства ^ над полем Жл] = 1. Кроме того, определение локального базиса Гамеля из [15] и [7] некорректно.
5. Дедекиндовы сечения и цепные дроби в булевозначной модели
В этом параграфе покажем, что А(1) ^ А (2). Для этого необходимо выяснить, как ведут себя дедекиндовы сечения и цепные дроби в булевозначной модели.
5.1. Для любых двух множеств а С и а С имеет место эквивалентность
(а, а) —дедекиндово сечение ^ [(ал,ал) —дедекиндово сечение] = 1.
< В самом деле, формула р(а, а, 0>), утверждающая, что множества а С Q и а С Q образуют сечение, ограничена, поэтому можно применить ограниченный принцип переноса. >
5.2. Если булева алгебра В а-дистрибутивна, то У(в) |= ^ С Жл.
< Заметим, что это как раз означает, что А (2) ^ А(1). Допустим, что булева ал-
гебра В а-дистрибутивна. Тогда по 2.8 (3) Р(шл) = Р(ш)л. Согласно 2.5 (3), верно также Р(0л) = Р(0)л. Для обоснования требуемого включения нужно лишь показать, что если [Ь £ = 1, то [Ь £ Жл] = 1. Пусть [Ь £ ^] = 1, т. е. Ь — дедекиндово сечение внутри
у(в). Тогда внутри У(в) справедлива формула:
(За £ Р(<^л))(За £ Р(<^л))р(а, а, 0л) Л Ь = (а, а),
где р — то же, что и в 5.1. Вычисление булевой оценки этой формулы с учетом отмеченного выше соотношения Р(<^л) = Р(0)л дает
1 = V V [р(ал, ал ^л)]л[Ь = (а,а)л 1.
аС<0>аС<3
Подберем разбиение единицы (6«) С В и два семейства (а«) и (а«) в Р(<^) так, чтобы
6« < [р(ал,ал ^л)1Л [Ь = (а«, а«)л 1.
Отсюда следует, что Ь = ш1х« 6«(а«, а«)л, причем 6« ^ [р^^а^, 0>л)]. Если 6« =
0, то [р^^а^, 0л)] = 1, так как для ограниченной формулы ^(ж1,...,жга) оценка [^(#л,..., жп)1 принимает лишь два значения 0 и 1 в силу правил преобразования булевых оценок относительно полных булевых гомоморфизмов [8, 2.2.3 (2)]. Согласно ограниченному принципу переноса [8, 2.2.9] справедлива р(а«, а«, <^), т. е. (а«, а«) — дедекиндово сечение. Теперь ясно, что 6« ^ [Ь = (а«, а«)л £ Жл], поэтому [Ь £ Жл] = 1. >
5.3. Теперь докажем импликацию А (1) ^ А (2). Воспользуемся разложением числа в цепную дробь. Положим
I:= {Ь £ Ж : 0 < Ь < 1, Ь иррационально},
I:= {Ь £ ^ : 0 < Ь < 1, Ь иррационально}.
Известно, что существует биекция А : I ^ Нм, которая сопоставляет числу Ь последовательность неполных частных А(Ь) = а : N ^ N его разложения в цепную дробь:
1
Ь =----------------1--------.
а(1) +
а(2) +
а(3) + ...
Для последовательностей а : N ^ N и в : N ^ I рассмотрим ограниченную формулу р(а,в,Ь, ^, утверждающую, что в(1) = Ь—1 и при всех п £ N имеют место соотношения
а(п) =
1
в(п + 1) = —^ — а(п), в(п)
в(п)
где [а] — целая часть числа 0 < а Є Ж, выражаемая ограниченной формулой ^(а, [а], Н):
[а] Є N Л [а] ^ а Л (Уп Є Н)(п ^ а ^ п ^ [а]).
Тогда равенство А(£) = а означает существование последовательности в : N ^ I, для которой выполняется р(а,в,і, Н). Биекцию А назовем разложением в цепную дробь. По принципу переноса внутри у(Б) существует разложение в цепную дробь А : I ^ (Но)^0.
5.4. Ограничение А на 1л совпадает с А л, т. е. У(в) |= (УЬ £ !л)А(Ь) = Ал(Ь).
< Требуемое верно лишь тогда, когда для каждого Ь £ I справедливо А(Ьл) = А(Ь)л. В силу данного выше определения биекции А нужно обосновать справедливость внутри У(в) формулы: (Зв £ !мл)р( А(Ь)л,в,Ьл, Nл).
По определению А существует последовательность а : N ^ I, для которой выполнено р( А(Ь),а,Ь,N). Ввиду ограниченности формулы р выполняется также 1 = [р( А(Ь)л,ал,Ьл, Nл)]. Заметим, что ал : Nл ^ Iл С I, т. е. [ал £ 1^л] = 1. Сумми-
руя сказанное, можем написать
[(Зв £1мл)р( А(Ь)л,в,Ьл,Nл)] ^ [р( А(Ь)л,ал,Ьл,Nл)] = 1. >
5.5. Если ¥(в) |= К = Жл, то булева алгебра В а-дистрибутивна.
< В силу нашего предположения внутри У(в) выполняется I = !л. Таким образом, А и Ал — биекции, А продолжает А л и образы у них совпадают. Ясно, что тогда совпадают и области определения (и вообще А = Ал), поэтому (^)л = ^л)м . Отсюда в силу 2.8 вытекает а-дистрибутивность В. >
1
6. Заключительные замечания
Итак, утверждение теоремы А сводится к простым свойствам действительных чисел и кардиналов. Но даже тем, кто свободно владеет техникой (спусков и подъемов) булевозначного анализа, приведенное доказательство может показаться громоздким по сравнению со стандартным доказательством, содержащимся в работах Ю. А. Абрамовича, А. И. Векслера и А. В. Колдунова [2], П. Т. Н. Макполина и Э. В. Викстеда [15], А. Е. Гутмана [13]. Однако смысл изложенного выше не в упрощении имеющегося в этих работах доказательства, а в том, что булевозначный взгляд на задачу обнаруживает новые взаимосвязи. Об этом еще несколько замечаний.
6.1. Так как внутри У(в) пространство Жл-линейных функций в К допускает полное описание (см. 3.4(1)), использующее базис Гамеля, то и пространство Епё^(К|) может
быть полностью описано с использованием строгого локального базиса Гамеля. Однако при этом возникнут некоторые проблемы с однозначностью.
6.2. Размерность £(R) векторного пространства R над полем МЛ представляет собой кардинал внутри V(B). Объект £(R) содержит важную информацию о связи булевой алгебры B и множества действительных чисел R. Ввиду свойств булевозначных ординалов имеет место представление £(R) = mix^ 6^а^, где (6^) — разбиение единицы в булевой алгебре B, а (а) — некоторое семейство стандартных кардиналов. Это представление — своего рода «декомпозиционный ряд» булевой алгебры B, причем главные идеалы [0, 6^] «а^-однородны» в определенном смысле.
6.3. Если класс линейных нерасширяющих операторов заменить на класс аддитивных нерасширяющих операторов, то эквивалентность A(1) ^ A (4) в теореме A уже не выполняется. Более того, в любом расширенном K-пространстве существуют нерасширяющие аддитивные неограниченные операторы. Это связано с тем, что ни в какой булевозначной модели неверно V(B) = R = QA'.
6.4. Свойство функции А, установленное в 5.4, принято называть абсолютной определимостью. Е. И. Гордон [5] называет непрерывную функцию абсолютно определимой, если она обладает аналогичным свойством. Абсолютно определимыми являются функции ex, ln ж, sin ж, cos ж. В частности, эти же функции существуют внутри булевозначного универсума, как функции из R в R и служат продолжениями по непрерывности соответствующих функций ехрЛ(-), 1пЛ(-), sin^-) и cos^-), действующих из RЛ в R\ Практически все функции, имеющие конструктивное определение, абсолютно определимы.
6.5. Рассмотрим нерасширяющий оператор S : Rj ^ Rj, удовлетворяющий экспоненциальному функциональному уравнению Коши S(ж + y) = S(x)S(y) для любых ж, y £ Rj. Если, кроме того, S удовлетворяет условию S(Аж) = S(ж)Л при любых 0 < А £ R и ж £ Rj, то будем говорить, что оператор S экспоненциален. Если а — подъем S, то а экспоненциален внутри V(B), поэтому в классе функций, ограниченных сверху на ненулевом интервале, либо а = 0, либо а (ж) = ecx (ж £ R) для некоторого c £ R. Отсюда выводится, что условия A (1-4) теоремы A равносильны следующему:
A (5) любой нерасширяющий экспоненциальный оператор в B(R) := Rj порядково ограничен (и, следовательно, имеет вид S(ж) = ecx (ж £ Rj) при некотором c £ Rj, или тождественно равен нулю).
6.6. Аналогичная ситуация возникает, если отображение S удовлетворяет логарифмическому функциональному уравнению Коши S(жу) = S(ж) + S(y) для любых 0 ^ ж, у £ Rj и условию S (жЛ) = AS (ж) при любых А £ R и ж ^ 0. (Соотношение 0 ^ ж означает, что 0 ^ ж и ж^ = Rj.) Такое отображение назовем логарифмическим. Тем самым, еще одно эквивалентное условие можно сформулировать так:
A (6) любой нерасширяющий логарифмический оператор в B(R) := Rj порядково ограничен (и, следовательно, имеет вид S(ж) = c 1пж (0 ^ ж £ Rj) при некотором c £ Rj .
6.7. Вместо разложения числа в цепную дробь в § 4 можно было бы использовать двоичное разложение. Но тогда пришлось бы строить биекцию P(ш) на некоторое множество действительных чисел и пользоваться 2.8(3) вместо 2.8(2).
Литература
1. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность // Докл. АН СССР.—1979.—Т. 248, № 5.—С. 1033-1036.
2. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность, их непрерывность и мультипликативное представление // Линейные операторы и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр.—Л.: ЛГПИ, 1981.—С. 3-34.
3. Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: ГИФМЛ, 1961.—407 с.
4. Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными.—М.: Физматлит, 2003.—432 с.
5. Гордон Е. И. Элементы булевозначного анализа.—Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1991.—91 с.
6. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.—С. 63-211.
7. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
8. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Булевозначный анализ.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1999.—383 с.; Англ. пер.: Dordrecht: Kluwer, 1999.—322 p.
9. Сикорский Р. Булевы алгебры.—М.: Мир, 1969.—375 с.
10. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—New York: Acad. press, 1985.—xvi, 367 p.
11. Abramovich Yu. A., Wickstead A. W. The regularity of order bounded operators into C(K). II // Quart. J. Math. Oxford. Ser. 2.—1993.—V. 44.—P. 257-270.
12. Bell J. L. Boolean-valued Models and Independence Proofs in Set Theory.—New York etc.: Clarendon press, 1985.—xx, 165 p.
13. Gutman A. E. Locally one-dimensional K-spaces and a-distributive Boolean algebras // Siberian Adv. Math.—1995.—V. 5, № 2.—P. 99-121.
14. Gutman A. E. Disjointness preserving operators // Vector Lattices and Integral Operators / Ed. S. S. Kutateladze.—Dordrecht etc.: Kluwer, 1996.—P. 361-454.
15. McPolin P. T. N., Wickstead A. W. The order boundedness of band preserving operators on uniformly complete vector lattices // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.—1985.—V. 97, № 3.—P. 481-487.
16. Wickstead A. W. Representation and duality of multiplication operators on Archimedean Riesz spaces // Compositio Math.—1977.—V. 35, № 3.—P. 225-238.
Статья поступила 16 августа 2004 г.
Кусраев Анатолий Георгиевич, д. ф.-м. н. г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН E-mail: kusraev@alanianet.ru
