CC BY
10
Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 3, С. 54-57
УДК 517.98
НЕРАСШИРЯЮЩИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
З. А. Кусраева
Установлено, что для универсально полной векторной решетки Е равносильны следующие условия: (1) булева алгебра порядковых проекторов Р(Е) ст-дистрибутивна; (2) любой нерасширяющий алгебраический оператор в Е строго диагонален; (3) любой нерасширяющий проектор в Е порядково ограничен.
Ключевые слова: векторная решетка, универсальная полнота, ¿-базис, локально одномерная векторная решетка, нерасширяющий оператор, строго диагональный оператор, порядковый проектор, ст-дистрибутивность.
Оператор Т в векторной решетке Е называют алгебраическим, если для него существует аннулирующий полином, т. е. существуют такие п £ N и ао,...,ап £ Ж, что ^>(Т) = 0, где := а0 + а^ + ... + апгп. Алгебраический оператор с аннулирующим полиномом <р(г) = г2 - г называют проектором. Проектор Р называют порядковым, если образ 1т(Р) и ядро кег(Р) служат взаимно дополнительными полосами. Булеву алгебру всех порядковых проекторов в Е обозначим символом Р(Е). Говорят, что Р(Е) а-дистрибутивна, если для любой двойной последовательности (пП)ТО)П)ТОем в Р(Е) выполняется \/пем Л тем Пп,т = Л Т емм V пем пп,Т (п). Ниже все векторные решетки предполагаются вещественными и архимедовыми. Необходимые сведения имеются в [3, 7].
Оператор Т в Е называют строго диагональным, если существуют попарно дизъюнктные порядковые проекторы Р1,..., Рт и вещественные числа а\,..., ат такие, что Т = т=1 а%Р«. В этом определении можем предполагать без ограничения общности, что Р1 + ... + Рп = 1е и а1,..., ат попарно различны. Нетрудно заметить, что множество всех строго диагональных операторов в Е образует /-подалгебру ортоморфизмов ОгШ(Е). Напомним также, что оператор Т в Е именуют нерасширяющим, если ж±у влечет Тж^у для всех ж, у £ Е. Если Е — решетка с проекциями, то Т будет нерас-ширяющим в том и только в том случае, когда Т коммутирует со всеми порядковыми проекторами. Наконец, напомним, что универсально полная векторная решетка или расширенное К-пространство — порядково полная векторная решетка, в которой существует супремум любого дизъюнктного множества положительных элементов. Теперь все готово для формулирки основного результата данной настоящей заметки.
Теорема. Пусть Е — универсально полная векторная решетка. Следующие утверждения равносильны:
(1) булева алгебра Р(Е) а-дистрибутивна;
(2) всякий нерасширяющий алгебраический оператор в Е порядково ограничен; © 2013 Кусраева З. А.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 8210, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-01-00623-а.
(3) всякий нерасширяющий алгебраический оператор в Е строго диагонале;
(4) всякий нерасширяющий проектор в Е является порядковым проектором.
Этот результат связан с проблемой Э. В. Викстеда [12]: В каких векторных решетках все нерасширяющие линейные операторы автоматически порядков ограничены? Историю вопроса и обзор основных результатов можно найти в [4] и [10]. Наиболее полно исследован случай универсально полной векторной решетки. В частности, А. Е. Гутман получил следующий результат [9]:
Теорема Гутмана. В универсально полной векторной решетке любой нерасширяющий оператор порядково ограничен в том и только в том случае, когда в ней булева алгебра порядковых проекторов а-дистрибутивна.
Разумеется, в части необходимости этого утверждения было бы интересно ограничится более узким классом операторов. Основной результат данной заметки утверждает, что необходимость в теореме А. Е. Гутмана остается в силе, если ограничиться нерасширя-ющими алгебраическими операторами, и даже нерасширяющими проекторами.
Доказательство основано на понятии (-базиса, см. [4]. Пусть Е — универсально полная векторная решетка со слабой единицей 1. Множество Е := {е7 : 7 £ Г} С Е называют (1-независимым, если для любого порядкового проектора р в Е множество {ре7 : 7 £ Г, ре7 = 0} линейно независимо. Максимальное по включению (-независимое множество называют ((-базисом. Понятие (-базиса можно ввести и для произвольной векторной решетки (см. в [4, 5]), однако оно нам не потребуется. Простейший пример (-независимого множества — одноточечное множество {1}. Универсально полная векторная решетка Е со слабой порядковой единицей 1 называется локально одномерной, если {1} является (-базисом в Е. Потребуется несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Универсально полная векторная решетка Е локально одномерна в том и только в том случае, когда булева алгебра проекторов Р(Е) а-дистрибутивна.
< Следует из теоремы Гутмана с учетом [2, теорема 2.1] и [11, теорема 3.2]. >
Лемма 2. В любой порядково полной векторной решетке существует (-базис.
< См. [4, предложение 6.2]. >
Лемма 3. Пусть Е := {е7,7 £ Г} — фиксированный (-базис в универсально полной векторной решетке Е. Тогда для любого х £ Е существует разбиение единицы (р^ в Р(Е) такое, что имеет место представление
х = 4 Р( е7, (1)
£€Н 76Г
где а^ — некоторые числа (зависящие от х), причем для любого имеется лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов а^.
< См. [4, с. 33] и [3, предложение 5.1.1 (3)]. >
Лемма 4. В универсально полной векторной решетке Е для любой ненулевой полосы В С Е существует ненулевая полоса Во С В, в которой существует (-базис, состоящий из слабых единиц в Во.
< См. [4, теорема 6.4]. >
Лемма 5. Порядково ограниченный оператор в векторной решетке строго диагона-лен в том и только в том случае, когда он является нерасширяющим и алгебраическим.
< См. [8, теорема 3.3]. >
56
Кусраева З. А.
< Доказательство основного результата.
(1) ^ (2) вытекает из теоремы Гутмана.
(2) ^ (3) выполняется в силу леммы 5.
(3) ^ (4) Пусть Р — нерасширяющий проектор в Е. Тогда Р алгебраичен в силу (3), а потому и строго диагонален. По определению Р допускает представление
= г=1 агрг, где а1,..., ат — вещественные числа, а рг,..., рт — попарно дизъюнктые порядковые проекторы. Умножив обе части указанного представления на р¿, получим ргР = агрг. Так как (Ррг)2 = Р2р2 = Ррг, то и агрг должен быть проектором, поэтому а2рг = агрг или рг(а2 — аг) = 0. Если рг = 0, то либо аг = 1, либо аг = 0, следовательно, Р — порядкоый проектор, как сумма попарно дизъюнктных порядковых проекторов.
(4) ^ (1) Предположим, что Р(Е) не является а-дистрибутивной и построим нерасширяющий проектор, не являющийся порядковым проектором. Пусть Е = {е7}7бг — некоторый (-базис в Е, который существует по лемме 2. В силу леммы 1, Е не является локально одномерным, следовательно, Е = {1}, где 1 — фиксированная слабая порядковая единица в Е .В силу леммы 3, для элемента х £ Е существует разбиение единицы (р«)«62 такое, что
х = ^ ХМр« е7,
¿62 76Г
где множество {7 £ Г : а^ = 0} конечно для каждого Учитывая лемму 4, можно предположить без ограничения общности, что 1 £ Е. Зафиксируем такой индекс 70 £ Г, что 1 = е70, и определим оператор Р : Е ^ Е формулой
Рх := X а^0р«е7о (х £ Е).
«62
Как видно, Р корректно определен, линеен и идемпотентен (Р = Р2). Кроме того, непосредственно из определения видно, что Р коммутирует с порядковыми проекторами, следовательно, Р является нерасширяющим.
Покажем, что Р не является порядковым проектором. Это делается аналогично [4, пример 7.11]. Возьмем какую-нибудь полосу В в Е и рассмотрим элемент х £ В для которого х = р_в1 + рве7о. Согласно лемме 3, имеем: Рх = рве7о = х. Отсюда видно, что Р не является проектором на полосу В. Так как выбор В произволен, то приходим к противоречию, показывающему, что решетка Е локально одномерна. >
Следствие 1. Пусть Е — универсально полная векторная решетка, причем Р(Е) не является а-дистрибутивной. Тогда в Е существует проектор, коммутирующий с порядковыми проекторами, но не являющийся порядковым проектором.
< Следует непосредственно из основной теоремы. >
Следствие 2. Пусть (П, — безатомное пространство с мерой, обладающее
свойством прямой суммы. Тогда в векторной решетке Ь0 := Ь(П, (классов
эквивалентности) всех измеримых функций существует проектор, коммутирующий с порядковыми проекторами но не являющийся порядковым проектором.
< Согласно [10, 5.3.3] булева алгебра Р(Ь0) а-дистрибутивна тогда и только тогда, когда она атомична. >
Литература
1. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность // Докл. АН СССР.—1979.—Vol. 248, № 5.—C. 1033-1036.
2. Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность, их непрерывность и мультипликативное представление // Линейные операторы и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр.—Л.: ЛГПИ, 1981.—C. 3-34.
3. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.
4. Abramovich Yu. A., Kitover A. K. Inverses of disjointness preserving operators // Memoirs of the American Mathematical Society.—2000.—Vol. 143, № 679.
5. Abramovich Yu. A., Kitover A. K. d-Independence and d-basis in vector lattices // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.—1999.—Vol. 44, № 5-6.—P. 667-682.
6. Abramovich Yu., Wickstead A. The regularity of order bounded operators into C(K) // Quart. J. Math. Oxford, Ser. 2.—1993.—Vol. 44.—P. 257-270.
7. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—London: Acad. Press Inc., 1985.
8. Boulabiar K., Buskes G., Sirotkin G. Algebraic order bounded disjointness preserving operators and strongly diagonal operators // Integral Equations and Operator Theory.—2006.—Vol. 54.—P. 9-31.
9. Gutman A. E. Locally one-dimentional K-spaces and a-distributive Boolean algebras // Siberian Adv. Math.—1995.—Vol. 5, № 2.—P. 99-121.
10. Gutman A. E., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. The Wickstead problem // Siberian Electronic Math. Reports.—2008.—Vol. 5.—P. 293-333.
11. McPolin P. T. N., Wickstead A. W. The order boundedness of band preserving operators on uniformly complete vector lattices // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.—1985.—Vol. 97, № 3.—P. 481-487.
12. Wickstead A. W. Representation and duality of multiplication operators on Archimedean Riesz spaces // Comp. Math.—1977.—Vol. 35, № 3.—P. 225-238.
Статья поступила 25 июля 2013 г. КУСРАЕВА ЗАЛИНА АНАТОЛЬЕВНА
Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: zali13@mail.ru
ALGEBRAIC BAND PRESERVING OPERATORS Kusraeva Z. A.
It is shown that for a universally complete vector lattice E the following are equivalent: (1) the Boolean algebra of band projections P(E) is a-distributive; (2) every algebraic band preserving operator in E is strongly diagonal; (3) every band preserving projection in E is a band projection.
Key words: Vector lattice, universally complete vector lattice, d-basis, locally one-dimensional vector lattice, a-distributivity, band preserving operator, strongly diagonal operator, band projection.
