Однородные полиномы, средние степенные и средние геометрические в векторных решетках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 4, С. 49-53

УДК 517.98

ОДНОРОДНЫЕ ПОЛИНОМЫ, СРЕДНИЕ СТЕПЕННЫЕ И СРЕДНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ В ВЕКТОРНЫХ РЕШЕТКАХ1

3. А. Кусраева

Установлена связь однородного полинома со средними степенными и средними геометрическими.

Ключевые слова: векторная решетка, степень векторной решетки, однородный полином, линеаризация полинома, среднее степенное, среднее геометрическое.

Пусть Е — векторная решетка, У — произвольное векторное пространство, 5 — целое число ^ 1. Отображение Р : Е ^ У называется однородным полином,ом, степени з (или в-однородным полиномом), если существует з-линейный оператор Р : Е5 ^ У, именуе-

Р

Р (ж) = Р(ж, ...,ж) (1)

для всех ж £ Е. Равенство (1) показывает, что отображение Р : Е ^ У является композицией двух отображений

Е Е5 Д У,

где отображение Р з-линейно, а Д8 : Е ^ Е5 обозначает диагональное отображение

Дя(ж) = (ж, ...,ж) £ Е

Говорят, что полином Р : Е ^ У ортогонально аддитивен или ортоаддитивен, если для любых дизъюнктных ж, у £ Е выполняется Р(ж + у) = Р(ж) + Р(у). Напомним, что дизъюнктность элементов ж и у означает |ж| Л |у| = 0. Однородные ортогонально аддитивные полиномы подробно рассмотрены в [2].

Для любой конечной последовательности (ж1,... , ж^) в равномерно полной векторной решетке Е выражение вида /(ж!,...,ж^) может быть корректно определено, если только / £ Ж), т. е. / — положительно однородная (/(Лж) = Л/(ж) для всех ж £ и А £ М) непрерывная функция на Изучение таких выражений называется однородным функциональным исчислением, см. [5]. Функциональное исчисление позволяет, в частности, корректно определить в произвольной равномерно полной векторной решетке Е суммы &8 порядка з и геометрические средние

© 2014 Кусраева 3. А.

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект

№ 12-01-00623-а.

Для элементов х1,..., хм равномерно полной векторной решетки Е равенство

<53{х1,...,хм) :=р3{х!,...,хм):=

1

корректно определяет среднее степени в или су^^у порядка в, если в качестве непрерывной положительно однородной ВЗЯТЬ £^(¿1, . .., ¿л0 = ( " ((¿1; • • • £ так как р5 £ Н ). Аналогично вводится геометрическое среднее

м Л*

хг

0(х1, ...,хм) := ^(х1,...,хм) := ( Д |х»П

м=1 '

1

где функция ^(¿1,..., ¿дг) = ( П«=1 1^1) м ((¿ь • • • > ¿лг) £ И^) также непрерывна и положительно однородна.

Основной результат данной статьи устанавливает связь однородного полинома со средними степенными и средним геометрическим. Необходимые сведения из теории векторных решеток имеются в [1] и [6].

Теорема. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, У — выпуклое бор-нологпческое пространство, Р : Е ^ У — ортогонально аддитивный ограниченный в-однородный полином, Р : Е5 ^ У — порождающий его симметричный в-линейный оператор. Для любых х1,... £ Е+ к = тах{в, N} имеют место следующие равенства:

Р (6я(х1 ,...,хм)) = Р Ы + ... + Р (хм); Р (0(х1 ,...,хя)) = ^(х1,...,хя).

Доказательство опирается на понятие степени векторной решетки, введенное в [3, определение 3.1], и установленный в [7, теорема 4] результат о линеаризации ортогонально аддитивных полиномов. Сначала приведем необходимые сведения о степени векторной решетки.

Пусть 2 ^ в £ Ми Е — архимедова векторная решетка. Пара (Е50,© 5) называется вЕ условия:

(1) Е50 — векторная решетка;

(2) 05 : Е5 ^ Е50 — ортосимметричный решеточный в-морфпзм называемый кано-

в

(3) для любой (архимедовой) векторной решетки Е и любого ортосимметричного решеточного в-морфизма ^ : Е5 ^ Е существует единственный решеточный гомоморфизм 5 : Е50 ^ Е такой, что 5 о08 =

В [3] установлены существование степени векторной решетки и ее единственность с точностью до решеточного изоморфизма. В той же работе показано, что в случае, когда Е — равномерно полная подрешетка точной /-алгербы, степень допускает удобное описание.

Решеточно упорядоченная алгебра А (ху £ А+ для всех х, у £ А+) называется /-алгеброй, если из того, что х ± у и 0 ^ г £ А, следует хг ± у и гх ± у. Напомним, что /

/

Лемма 1. Пусть /-алгебра А с умножением • точна, а Е — подрешетка А. Тогда существуют подрешетка Е С А и изоморфизм г из Е50 на Е такие, что г(х1 0 ... 0 х5) = х1 • ... • х5 для всех х1,..., х5 £ Е.

< См. [3, теорема 4.1]. >

В частности, i(xsQ) = xs и, следовательно, получаем обычную степенную функцию, действующую из E в F. В случае равномерно толпой векторной решетки E имеем также (см. [3, теорема 4.1]):

F = E(s) := |xi ■ ... ■ xs : x¿ G E} = {x|x|s-i : x G E} ,

F+ = (E(s))+ := {|x|s : x G E} .

Нам также потребуется функциональное исчисление в /-алгебрах с единицей (см. [5, теорема 4.10]). Будем говорить, что / : RN н R — функция полиномиального роста, если / G C(RN) и существуют n G N и 0 ^ M G R, для которых что |/1 ^ M(1 + |ei| + ... + |eN|)П гДе 1 — функция, тождественно равная единице на RN. Символом A(RN) обозначим множество всех функций / : RN н R полиномиального роста, для которых существует предел lim^o /(tx)t-i равномерно на ограниченных множествах в RN.

Введем следующие обозначения: пусть (xi,..., xn) обозначает подрешетку в E, порожденную множеством {xi, ...,xn} С E, а т, — координатную функцию в RN, т. е. г, : (ti,... ,ín) н í¿.

Лемма 2. Пусть E — равномерно полная точная /-алгебра. Для любого x := (xi,... ,xn) G EN существует единственный мультипликативный решеточный гомоморфизм

X : / н Х(/) := /К ..., xn) (/ G A(RN)),

отображающий A(RN) в E, такой, что X(r¿) = x¿ (i = 1,..., N).

< См. [5, теорема 4.10]. >

Лемма 3. Пусть A — равномерно полная /-алгебра, s, N G Níí х =(xi,..., xn ) G AN. Тогда выполняются равенства:

N

Ss (xi ,...,xn )s = ^ |x,|s (xi,...,xN G A), (3)

i=i

N

©(xi ,...,xn )N = Ц |x, I (xi ,...,xn G A). (4)

i=i

< В силу леммы 2, Ф := X служит мультипликативным решеточным гомомрфизмом из A(Rn) в E. Если s > 1, то функция г/ входит в A(RN) и Ф(|t^í|s) = |)|s = |x,|s. Следовательно, учитывая равенство ps = |ri|s + ... + IrN|s5 выводим

Ss(xi,... ,xn)s = $(Ps)s = S(ps) = Ф(КГ + ... + |TN|s) = Ф(|пП + ... + $(|tn |s) = $(N)s + ... + $(|TN |)s = |xi|s + ... + |xn Is.

Тем самым установлено (3). Аналогично, используя соотношение qN = |ti| ■ ... ■ |tn|, приходим к цепочке равенств

©(xi,..., xn)N = $(q)N = $(qN) = $(|ri| ■ ... ■ |tn|) = |Ф(п)|- ... -|$(tn)| = |xi|- ... ■ |xn|,

доказывающей соотношение (4). >

Лемма 4. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, в, N £ N и в ^ 2. Тогда для любых х?,..., хм £ Е+ справедливы представления:

бв(хь...,хм Г® = X?® + ... + ХМ®, ©(х?, . . . ,Хм)М® = х? 0 ... 0 Хм.

< Пусть А — универсальное расширение Е, являющееся /-алгеброй с умножением •. В силу леммы 1, существует решеточный изоморфизм из Ена Е С А и ¿м из Ем ® на С С А. В то же время, привлекая лемму 3, можем написать следующие равенства:

65(жь . . . ,Жм) • • • • • . . . ,Жм) = XI • ... • Х\ + . . . + Ждг • . . . • Жм,

э раз э раз э раз

©(х?, . . . , Хм) • ... • ©(х?, . . . , ХМ) = X? • ... • Хм. "-*-'

N раз

Далее, в силу того, что б5(х?, ..., Хм) £ Ей ©(х? ,..., Хм) £ Е, левые части последних равенств входят в Е и С соответственно, следовательно, к ним можно применить ¿-1 и ¿м? - С учетом равенств (см. лемма 1)

Х? 0 ... 0 Хм = ¿м1 (Х1 • ... • Хм),

ж50 := ж 0 ... 0 ж = ¿71 (ж • ■ ^ ■ • ж),

а раз 5 раз

получим требуемое. >

Прежде, чем приводить доказательство основного результата, сформулируем теорему о линеаризации ортоаддитивных полиномов.

Теорема о линеаризации. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, У — выпуклое борнологическое пространство. Тогда любой ортоаддитнвный порядково ограниченный в-однородный полином Р из Е в У может быть представлен в виде

Р(х) = Б(хэ®) (х £ Е),

где Б : Е^ У — ограниченный линейный оператор.

< Доказательство основной теоремы. В условиях сформулированной теоремы применима теорема о линеаризации ортоаддитивных полиномов, в силу которой существует единственный ограниченный линейный оператор Б : Еэ® ^ У такой, что Р (и) = Б (и 0 .. .0 и) для вс ех и £ Е. Подставив в эту формулу и = б5(х?,..., хм) и привлекая лемму 4, получим следующее:

Р (65(х?,... ,Хм)) = Б (65 (Х1, ... ,Хм) 0 ... 0 ©з(Х1,... ,Хм)) = Б(х? 0 ... 0 х? + ... + хм 0 ... 0 хм) = Б(х? 0 ... 0 х?) + ... + Б (хм 0 ... 0 хм) = Р (х?) + ... + Р (хм).

Рассуждая подобным образом и подставляя на этот раз и := ©(х?,... ,хм), вновь на основе теоремы о линеаризации и леммы 4 заключаем:

Р (©(х? ,...,хм)) = Б(©(х? ,...,хм) 0 ... 0 ©(х1,...,хм)) = Б(х? 0 ... 0 хм) = Р(хь... ,хм).

Последнее равенство имеет место в силу того, что соотношения Р = Бо©5оД5 и Р = Бо©5 равносильны. >

Следствие. Пусть Е и Р — векторные решетки, причем Е равномерно полна. Тогда для любого порядково ограниченного в-однородного ортогонально аддитивного полинома Р : Е ^ Р имеют место равенства (2).

Литература

1. Alipraatis С. D., Burkiashaw О. Positive Operators.—N. Y.: Acad. Press, 1985.—xvi+367 p.

2. Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.-2006.-Vol. 38, № 3.-P. 459-469.

3. Boulabiar K., Busies G. Vector lattice powers: /-algebras and functional calculus // Comm. Algebra.— 2006.-Vol. 34, № 4.—P. 1435-1442.

4. Bu Q., Busies G., Kusraev A. G. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey // Positivity / Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.-Basel a. o.: Birkhauser, 2007.-P. 97-126.

5. Busies, G., de Pagter.B., van Rooij. A. Functional calculus on Riesz spaces // Indag. Math. (N. S.).— 1991.—Vol. 4, № 2.—P. 423-436.

6. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.—Berlin etc.: Springer, 1991.—395 p.

7. Кусраева 3. А. О представлении! ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн.— 2011.-Т. 52, № 2.-С. 315-325.

Статья поступила 6 марта 2014 г. Кусраева Залина Анатольевна

Южный математический институт ВНЦ РАН и PCO-A, научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

HOMOGENEOUS POLYNOMIALS, ROOT MEAN POWER, AND GEOMETRIC MEANS IN VECTOR LATTICES

Kusraeva Z. A.

It is proved that for a homogeneous orthogonally additive polynomial P of degree s e N from a uniformly complete vector lattice E to some convex bornological space the equations P(6s(xi,..., xN)) = P(xi) + ... + P (xN ^d P (0(x1;... ,xs)) = P(x1;..., xs) hold for all positive x1;... ,xs e E, where P is an s-linear operator generating P, while Ss(x1,..., xN^d 0(x1;..., xs) stand respectively for root mean power and geometric mean in the sense of homogeneous functional calculus.

Key words: vector lattice, homogeneous polynomial, linearization of a polynomial, root mean power, geometric mean.