CC BY
6УДК 517.53
ПОСТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
ИЗ Lp - ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ (0 < p < +да) О.В. Охлупина
ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»
В работе описан класс субгармонических в полуплоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp - пространствам (0 < p < +да).
Ключевые слова: субгармоническая функция, мера, гармоническая функция, характеристика Неванлинны.
Введём предварительно следующие обозначения: C+ - верхняя полуплоскость комплексной плоскости, Cp = {z е C :Im z > р}, р > 0, z = x + iy, SH (C+ ) - множество субгармонических функций в C+.
Рассмотрим класс SHP (C+) (0 <а<+ш>, 0 <p <+да) субгармонических в C+ функ-
f \p
ций u, для которых: J y"-1 I J u +(x + iy)dx dy <+да; lim supyu (iy)> 0;
0 V-® у y^+<»
j U (
y >y0 -Ш
А. М. Джрбашян и Г. В. Микаелян (см. [1]) ввели факторы 2m rpdr
' где ^gC+ , -1 <3<+да. В случае 3= 0:
sup J |u (x + iy)| dx < Cyo < Vy0 > 0.
ap( z,C) = exP
a0
Ь ( г + ¡С- ¡г
(*.С)=^.
С-г
Основным результатом статьи является
Теорема. Субгармоническая функция и принадлежит классу 8Иа (С+ ), 0 < р < 4<»,
0 < а < , тогда и только тогда, когда в С+ и допускает представление: и(г)= 11п\ар (г,С) ё/(С) + И(г), где И (г) - гармоническая функция в С+ , удовлетво-
C+
Y
ряющая условию: J ya 11 J |h(x + iy)|dx dy <+да, ju(C) - неотрицательная мера в C+ , для
0 V-Ш У
которой | уруа 1пр (у) dy <+да, п (у) = /(С+у), ¡> —1 +1. о Р
Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях. Лемма 1. Пусть и - произвольная субгармоническая функция из класса 8Иа (С+),
0 < р < , п (у) = / (С+у ). Тогда справедливы оценки:
+<ю (\р (\р
а) | Уа-1 | \и (х + ¡У)| dx I ёу < С | уа-11| и+(х+¡у)dx ёу,
\-ш у 0 \-ш у
+« I +«
б) \ уру—-1пр (у) йу < С \ у—-11 \ и+(х + ¡у) йх йу <+«.
0 0 V-« У
Лемма 2. Пусть п (у) = ц(С+). Тогда условие | уруа-1пр (у) йу <+«
п
равносильно следующим: ^
(—+р)
<+«, ^пр(2к)р' <+« .
¿=0 2-" ¿=1
к (—+р)
Лемма 3. Пусть и - произвольная субгармоническая функция в С+, допускающая представление и(г)=| 1п|ад(г,С)|йц(С) + И(г), где ц(С) - неотрицательная мера в С+ ,
С+
для которой | уруа-1пр (у) йу <+«, п (у) = ц(С+), 0 < р <+«, И (г) - гармоническая функ-
+« / +«
V
ция в С+ , удовлетворяющая условию | у" 11 | |И(х + ¡у)|йх йу <+«, где ¡¡> ——1 +1. То-
0 V-« У р
гда и е 8Ир (С+), 0 < — < +«.
Доказательство теоремы.
1. Необходимость. Пусть и е 8Ир (С+), 0 < р <+« . Покажем, что и допускает представление из леммы 3. Рассмотрим разность и (г)- Ур (г) = И (г) и покажем, что она является гармонической функцией.
Пусть Д - круг радиуса г, 0 < г < 1. Д = Д П С+ . По теореме Рисса для Д запишем представление субгармонической функции и :
= + , где У(2) - гармоническая функция в Д,
4-
11п|<^ — - субгармоническая функция в Д, при этом точка г так выбрана из Д,
4-
чтобы | 1п С - г йц (С) .
Рассмотрим фактор ар (, Се С +, -1 < 3 < +« :
а,
( г,С) = ехр
21тС -1
г3 йг
а
^ I 21111
(гС)=а (гСОле'ехр I-!
0 (г + ¡С-¡г) 2ЬтС г3йг
. ¡1
| Т йг
=ехр г!
0 (г + ¡С-¡г)
1
. \р+1
( г + ¡С - ¡г )
21тС
йг
ехр I! (г+¡с- ¡г)
21тС • ехр 1-!
г3йг
(г + ¡С - ¡г)
. \р+1
= а0 (ехр
21тС
1
• + ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡2)
. N.¡+1
йг
0
0
о
г
с - г
Покажем, что а0 (2,С) = =-. Пусть С = ^ +¡Л . Тогда, подбирая главную ветвь лога-
С-а
рифма, получаем:
[ Т+С^ = [ ё 1п (г+¡ (С-г)) = 1п (г+¡ (С-г ))|
= 1п (21шС + < (С-г))- 1п (<■ (С- г )) = 1п2'"С +''Сг > = 1п
21тС
21тС
21тС О
' (С-г)
С учётом этого получим, что:
21тС
а.
( г,с) = ехр —^1 = ехр 1п
г + ¡С-¡г
1311 ар( а,С)| =131 Вернёмся к разности
С-*
С-г
+ Яе
21тС
т
С-г
С-г ]_£-г С-гI С-г
Р
\Р+1
• + ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡г)
ёг
И (г) = и (г) - 11п а (г, С)(С) :
= и(2)-\
1п
С-г
+ Яе
21тС
т
• + ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡г)
. чр+1
- \
ёг >
У
ё/(С) =
(г)-| 1п|С-#/(С) Шр^тё/(С)-
4 ) Ьг С а
-|Яе
21тС
т
• + ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡г)
. чР+1
ёг
ё/(С)
г1 1 Функция I 1п=-г ё/(С) является гармонической (1п =- - аналитическая функ-
вг С - а С - а
ция в С+ , поэтому её вещественная часть - гармоническая функция в С+ ).
С-г
С-г
> 1, г,С ^ С +. Прологарифмируем обе части неравенства:
1п |С-г + 1пр^ < 0,
1С-г
1—гё/(С)> 11п|С — ^ё/(С)>-да. Следовательно, Д. С - А д.
11п_1 | ё/(С)<
к С-А
Рассмотрим функцию
21тС
Рр( а,С)= \
1
+ ¡С- ¡г ( г + ¡С- ¡г)
. чР+1
ёг =
о
г
о
о
г
0
+«
J г -Х- 1Г
г + ¡С - ¡г
1 -
( г + ¡С - ¡г )
. ¡1
+« л
йг - « -1-
211с г + ¡С- ¡г
1—
( г + ¡С- ¡г )
. ¡1
йг =
= ФД г ,С)-^з( г С)
Функция Фз (г, С) (при фиксированных С е С+ ) голоморфна в
С \ {г = С - 0 < h < +«}, а на луче {г = С + ¡И, 0 < И < +«} постоянна. Действительно:
( V"
+« 1
Фз(С+¡И,СН-
г + И
1 -
(г + И )3
+« л
йг =
Л ( -у
0 ^ +1
1 -
и (г+1
V VИ у у
йг =
Сделав замену < = —, посчитаем:
+« | ! <+о
1 -
<+1
й<=с .
Очевидно, что интеграл сходится, если ¡> 0.
По теореме единственности голоморфная функция Фр (г,С) всюду постоянна. Функция г, С) (при фиксированных Се Ор +) голоморфна в
С \ {г = С - 0 < h < +«|, в частности, в С+ .
Следовательно, | Яе^ (2,С)йц(С) гармонична в С+ .
ог
В силу произвольности г е(0;1), получим, что И (г) является гармонической функцией в С+ .
Покажем, что И (г) удовлетворяет условию:
+« I +«
! у" 11 ! И (х + ¡у) йх йу <+« . 0 V-« У
Рассмотрим разность и (г) - Vр (г) = И (г). Т.к. и (г) < и + (г) , то по лемме 1:
И+ ( г) < и + ( г) + Vp + ( г) < и + ( г) + С |
С у+1
1т С
С-г
йц(С)
У
Лр
Лр
! И+(х + ¡у)йх <1 ! и+(х + ¡у )йх + С (р)
V-« У V-« У
Воспользуемся теоремой о среднем значении.
+«
! мо\
г \
1т С
С
- г
¡+1
йх
И = ! И (С) йт2 (С)
\С-Щ < к
0
+
С
—да <
жЯ2И (R)= J h (Ç)dm2 (C)= J [h+(Ç)—h-(Ç)ym2(Ç)--
\Ç—iR\<R \Ç—iR\<R
2R R
0 — R
JJ[h+(£ + Щ)—h (£ + iV)~]dÇdV
2R R 2r R
J J h~(<^ + v) dd < J J h+ (Ç + iv) dÇdv + nR
0 -R
2R R 2r R
J J |h (£ + v)\ dÇdv< J J h+(^ + iv) dÇdv + С
0 -R
0 -R 0 -R
Устремляя R к бесконечности, получим:
+да f +да Лр +да f +да Лр
J ya—1IJ \h (x + /y)^ dy <J ya—1 |J u+(x + iy)dx ,
dy +
+C,( p )J ya—1 J d^(C)J
/ y+1 Y +œ' ImC
^ — z
dx
dy
Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого вытекает из принадлежности функции u ( z ) классу SHp (С+), 0 < p <+да, сходимость второго доказана в лемме 3.
+да i +да \p
Следовательно, J yа—11 J |h (x + iy) dx dy < +да.
0 V—да У
2. Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 3. Теорема доказана.
Список литературы
1. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморф-ных функций. - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 153 с.
2. Хейман, У., Кеннеди П. Субгармонические функции. - М.: Мир, 1980. - 304 с.
Сведения об авторе
Охлупина Ольга Валентиновна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: helga131081@yandex.ru
CONSTRUCTION OF THE PARAMETRIC REPRESENTATION FOR A CLASS OF SUBHARMONIC FUNCTIONS WITH CHARACTERISTIC FROM LP -WEIGHT SPACES (0 < p < +да)
0
O.V. Okhlupina
Bryansk State engineering-technological University
The class of subharmonic functions in the half-plane with the Nevanlinna characteristic from Zp-weight spaces is described in this paper.
Keywords: subharmonic function, measure, harmonic function, Nevanlinna's characteristic.
References
1. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Introduction to the theory of the Zp-weight classes of meromorphic functions. - Bryansk: Group of companies «Ten», 2009. - 153 p.
2. Heyman W., Kennedy P. Subharmonic functions. - M.: Mir, 1980. - 304 p.
About author
Okhlupina O.V. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate professor of Department of Mathematics, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: helga131081@yandex.ru.
