CC BY
8УДК 517.53
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ, ДЛЯ КОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ ПРИНАДЛЕЖИТ Lp - ВЕСОВЫМ ПРОСТРАНСТВАМ
(0 < p < +сю)
О.В. Охлупина
ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»
В работе установлено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи границы области и описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp - пространствам (0 < p <+сю) при достаточно общих условиях на весовую функцию.
Ключевые слова: субгармоническая функция, мера, гармоническая функция, характеристика Неванлинны.
Введем следующие обозначения. Пусть D = {z: |z| < 1 j - единичный круг на комплексной плоскости, Г - его граница. Пусть SH (D) - множество субгармонических в D функций.
Рассмотрим также характеристику Неванлинны T (r, u) субгармонической функции
1 "
u(z) (см. [1]). Если u е SH(D), то T(r,u) =— J u+ (гё^ф, где u+(z) = max{0,u(z)j .
2n — n
В первой части работы существенную роль играют факторы бесконечного произведения М.М. Джрбашяна, введенные им еще в 1945 году в работе [2]. Свойства этих бесконечных произведений приведены в монографии [3].
Пусть а > 0 . Рассмотрим класс SHa (D) функций u, субгармонических в единичном
C
круге D, для которых справедлива следующая оценка T (r, u)<-u—, 0 < r < 1, C - неко-
(1 — r )а "
торая положительная константа, зависящая только от u .
При а = 0 по классическому результату И.И. Привалова класс SH0 (D) совпадает с классом функций u , допускающих в единичном круге D представление
" (z )= Ы >ПШМ(С)+Ы1 — 2r co's^ r 2d^ ■ где i-i(£) - произвольная неотрицательная борелевская мера в единичном круге, для которой J(1 — <+да, - произвольная функция конечной вариации на [-n;n] ( см. [4]) .
D
При а> 0 метод, применяемый И.И. Приваловым при доказательстве представления класса SH (D), не проходит, так как функции класса SH (D) могут не иметь граничных значений на единичной окружности. Подход, применяемый в работе [5], позволяет получить аналог вышеуказанного представления класса SH0 (D) на всю шкалу SHa (D) при всех
а > 0. Для этого сначала введем хорошо известный класс О. Бесова В]'х на единичной окружности Г:
&Г =
11
\Ц [-ж;ж\: |—уП- &
< 2.
где А ,>(ев) = ^(е''(в+'))-2^(е'в) + ^(е'(в)), ве[-л;л\, I е[0;1\, 0 < 5
Для фиксированных г,£ е Б, 0, /3>-1 будем обозначать через Лр(г, С) фактор
в произведении М.М. Джрбашяна.
Основным результатом первой части работы является теорема
Теорема 1. Класс функций БНа (Б) совпадает с классом функций и, допускающих следующее представление в Б:
е'в) йв
и ( г ) = | 1п| Л/( г,£)\ &л(С)+ Яе
1 л
1-ГГ J
\/+1
2л-П(1 - е-в2 )3
где геБ, у/(е'в) - произвольная вещественнозначная функция из класса , /3>а,
а>-1, л(С) - неотрицательная борелевская мера в Б, удовлетворяющая условию:
п
(- )<
(1 -')
а+1
где п(г) = /(Бг).
Напомним, что Бг = {2 е С : |г| < г|, 0 < г < 1.
Доказательство Теоремы 1 основано на применении вспомогательных лемм 1 и 2. Лемма 1. Пусть и е 8На (Б), Бг ={г : |г| < г|, 0 < г < 1, п(г) = /(Д ). Тогда п(г)
С я
удовлетворяет оценке п (г)<-1—-. При этом интеграл Г(1 -1)/ 2 йп ^)<+да , при всех
(1 - г )а+ 0
0 < Я < 1, />а +1.
Лемма 2. Пусть Л/( , г, Се Б, - фактор произведения М.М. Джрбашяна, и -произвольная субгармоническая функция в Б, допускающая представление:
и(г) = | 1п|Л/ (г,С)&л(С)+ Н(г),
Б
где /(С) - неотрицательная борелевская мера в Б, п(г) = /(Бг), удовлетворяющаяусло-
вию п
( г )<
С
(1 - г)а+1
, />а, а>-1, Бг ={г : |г| <г|, 0< г < 1, Н(г) - гармоническая функ-
ция, для которой справедлива оценка | |Н(ге'ф)| йф < -
С
(1 - г)а
Тогда и е БНа( Б )
Во второй части работы полностью описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым П (0 < р < +х) -пространствам.
л
л
Пусть 2 = Гв1"', = Г . О - множество измеримых положительных суммируемых функций ю на (0;1), для которых существуют числа тю, , ^, причём тш, qс е(0;1) удовле-
со(Лг) , ч г
творяют оценке т -—/ \ - , г е( 0;1), .
с( г)
Функция o(t) имеет вид: <o(t) = expJg( ) , где — ао < s(x) < /Зш, 0<До< 1,
JC
0 - а < +сю.
¿У
Такие функции называют ещё медленно изменяющимися функциями. Важным частным случаем функции из О является степенная функция ) = ^, а > -1 (см. [3]). Введём также в рассмотрение следующий класс субгармонических функций:
H( D) =
u е
SH (D):
1 in
J<(1 — r)| J u +(rei dp
dr
,0< p<+да.
Lp< (D) - обычное весовое Lp - пространство, т.е.:
lp<( d) =
1 <(1 — r)| Jreip)dpi dr
1
\-ip
<+да
В данной части работы мы получим параметрическое представление класса функций u, вообще говоря, не имеющих ограниченную характеристику Неванлинны T (r, u), но, принадлежащих пространству Lp< (D), т.е. класса функций и для которых:
1
JTp(r,u)<(1 — r)dr <+™ , 0<p <+да, ®eQ. 0
Теорема 2. Для того, чтобы субгармоническая функция u принадлежала классу SHp (D), 0 <p <+да, <о eQ, необходимо и достаточно, чтобы в D u допускала представление
u (z ) = J In | Ap{ z,C) + h (z),
D
а
где Д - достаточно большое положительное число, зависящее только от со: Д > 1 н—<,
p
0 < ат < , i - произвольная борелевская неотрицательная мера в D, для которой:
1
Jo(1 — r)(1 — r)p np (r)dr <+™ ,
0
где n(r) = i(Dr), Dr = {z : |z| < r j, 0 < r < 1, h(z)- гармоническая функция в D, удовлетворяющая условию:
1 in
Jo(1 — r)| J |h(re'p)\dp
Y
dr < .
Список литературы
1. Хейман, У., Кеннеди П. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. - М.: Мир, 1980. - 304 с.
2. Джрбашян М.М. О каноническом представлении мероморфных в единичном круге функций / М.М. Джрбашян // ДАН Арм.ССР. - 1945. - Т. 3, № 1.- С. 3-4.
3. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморфных функций / Ф.А. Шамоян, Е.Н. Шубабко. - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 153 с.
4. Привалов И.И. Обобщение формулы Jensena. I / И.И. Привалов // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математики и естественных наук, 1935. - № 6-7. - С. 837847.
5. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и Характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР, математика. - Т. 13, №5. - 1978. - С. 405-422.
References
1. Heyman, W., Kennedy P. Subharmonic functions / W. Hayman, P. Kennedy. - M.: Mir, 1980. - 304 p.
2. Jrbashyan M. M., On canonical representation of meromorphic in the unit circle functions / M. M. Jrbashyan, DOKL Arm.SSR. - 1945. Vol. 3, No. 1.- Pp. 3-4.
3. F. A. Shamoyan, E. N. Shubabko. Introduction to the theory of the weight classes of meromorphic functions / F. A. Shamoyan, E. N. Shubabko. - Bryansk, 2009. 153 p.
4. Privalov I. I. Generalization of the formula Jensena. I / I. I. Privalov // news of Academy-criminal code of the USSR. VII series. Department of mathematics and natural Sciences, 1935. No. 6-7. - P. 837-847.
5. Shamoyan, F. A. Factorization theorem of M. M. Jrbashyan and Characterization of zeros of analytic functions with a majorant of finite growth / F. A. Shamoyan / Izvestiya an Arm. SSR, matematika. - Vol. 13, No. 5. - 1978. - Pp. 405-422.
Сведения об авторе
Охлупина Ольга Валентиновна, к. ф.-м. н., доцент, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», [email protected].
ABOUT REPRESENTATION OF SOME CLASSES SUBHARMONIC FUNCTIONS IN THE UNIT DISK FOR WHICH THE NEVANLINNA'S
CHARACTERISTIC BELONGS TO THE Lp -WEIGHT SPACES (0 < p <
O.V. Okhlupina
Bryansk state engineering-technological University
In this paper received a full description of the class of subharmonic functions in the unit disk, the Nevanlinna's characteristic of which has a power growth near the boundary region and describes the class of subharmonic functions in the unit disk, Nevanlinna's characteristic of which belongs to the Lp -weight -spaces under rather general conditions on the weight function.
Keywords: subharmonic function, measure, harmonic function, Nevanlinna's characteristic.
About authors
Okhlupina Olga Valentinovna , candidate of pH.-M. D., associate Professor, Bryansk state engineering-technological University, [email protected].
