О МЕРАХ ОДНОГО СУБГАРМОНИЧЕСКОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

О МЕРАХ ОДНОГО СУБГАРМОНИЧЕСКОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ

О.В. Охлупина

ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет»

На плоскости построен класс субгармонических функций с суммируемой характеристикой

Неванлинны с весом. Описаны представляющие меры данного класса функций.

Ключевые слова: субгармоническая функция, представляющая мера, характеристика Неванлинны.

Введение

Введём предварительно следующие обозначения: С - комплексная плоскость. Т(г, и) -характеристика Неванлинны субгармонической функции и, Т(г,и) =

1 Л"

— f_nu+(rcosф,smф)dф, и+ = тах(и,0). Пусть 5Наа(С) (а,а>0) - это класс функций и,

субгармонических в С, для которых Т(г,и)е-агайг < +х>.

Роль субгармонических функций в теории потенциала и математической физике, в таких разделах анализа, как комплексный и вещественный анализ, велика (см. [1]-[4]).

Р. Неванлинна и У. Хейман занимались описанием классов субгармонических в плоскости функций с характеристикой, имеющей степенной рост в бесконечности. В теории целых и мероморфных функций возникает вопрос о возможности получения аналогичных представлений для классов с весом, допускающих более сильный рост в бесконечности, в частности, экспоненциальный рост (см. [5]).

Формулировка основного результата а,а>0, х,^ ЕС, ^ Ф 0, р(1^1) = тах[о1^1а,1\, где [а] - целая часть вещественного числа а. Рассмотрим фактор модифицированного произведения К. Вейерштрасса (см. [1]):

Теорема 1. Пусть и Е 5На а(С), д - представляющая мера функции и. Тогда представляющая мера удовлетворяет условию:

г+сх, МОе-^,... ПЛ

к —7«—Л^+С (1)

где п(1) = 1г1 < ^

Справедливо обратное утверждение: пусть д - некоторая борелевская неотрицательная мера в С, удовлетворяющая (1), тогда можно построить в явном виде субгармоническую функцию класса БНаа(С), Уа'\ а' >-^ + аеа, для которой д будет являться представляющей мерой.

Доказательство вспомогательных утверждений Доказательство теоремы 1 проводится с использованием вспомогательных лемм. Лемма 1. Пусть ^(К) - неотрицательная монотонно растущая функция, для которой

^(х)е-ахайх < +х, (2)

где а>0. Тогда

итШ1-^ = о. (3)

К^х к

1

Лемма 2. Пусть ф(х) = аха, х Е И+, И+ = [х Е Я\х > 0}, ех = —. Тогда

еср(х+ех) = е<р(х) . ерю, где р(х) = о (1) при х ^ +х.

Лемма 3. Пусть и - произвольная субгармоническая функция в С, при этом она допускает представление в виде

2,1, Е С, КО - произвольная борелевская неотрицательная мера в С, такая, что

!+ -——йЬ < +< п(г) = К^г), а, о>0, И.(г) - гармоническая функция в С, для которой

|+< е-ага ^^(ге^йсрйг < +< Тогда и Е БНаа(С) У о'. о' > ^ + оеа.

Доказател ьство.

Обозначим Ур(г) = | 1п|Ар(г, £)| ¿КО. Тогдаи(г) = Ур(г) + И.(г).

Очевидно, что Ь.(г) принадлежит рассматриваемому классу. Покажем, что Ур(г) тоже входит в класс БНа(Т(С) при У о' = а (а) > о.

Справедлива оценка:

рШ

ЩАр(2,01 < йц(0.

р(1)

, ^0, г,^ ЕС,

(4)

поэтому и(г) < I

Для продолжения оценки функции осуществим разбиение комплексной плоскости на множества: Ак = [г Е С. 2к < И < 2к+1}, А0 = [г Е С. И < 1].

р(1)

Тогда и(2)<Ъ+=о$Лк \...... ¿КО-

Каждое из колец Ак раздробим на маленькие кольца и воспользуемся леммой 2. Пусть 5К]- = [г Е С.2к + ]2-ак < И < 2к + 0' + 1)2-ак], 0<] < [2(а+1)к+1], где [а] - целая часть числа а. Тогда Ак с и^о 8к у, где Ыа = [2(а+1)к+1].

Следовательно, |

Лк

р(1)

Чц(0<1%1Вк/

,рт

¿КО.

I

По лемме 2, получаем р(Ш)

2 р(111) 8к,] 1

Очевидно, что

¿ко <

р(Щ)

¿11(8^!) <

р(Щ)

п(2к + а + 1)2-ак), где С - точка из 8К}.

п(2к + (] + 1)2-ак) < С0 I'2к+°'+2)2

—ак

Поэтому I

Лк

0 }2к+а+1)2—ак р( ) 2

п(№ <С1к

р( )

к+'

п(г)(И, к = 0,1,....

р( )

п( ) ¿ .

Просуммировав выражение по к, получим

и^ХС!?-

р( )

п(Ь)йЬ.

(5)

Оценим последний интеграл. Согласно (5) имеем, что

+< и +< +<

| е-ага I и+(ге1(Р)й(рйг <С I е-ага | 0

р( )

п( ) ¿ ¿ .

п( ) ¿ = 1 + 2

Установив сходимость последнего интеграла, докажем лемму. Для этого представим

внутренний интеграл в виде суммы

+<ю ег +<ю

р( ) р( ) р( )

I (-) п(оа = I (-) п(оа + I (-)

1 1 ег

Докажем ограниченность второго интеграла константой независимо от . Действительно, = ехрр^) 1п^. Однако при ^ < е-1, < -1. Тогда ехрр(0 <

ехр(-р(г)). р(г) = [о' tа], поэтому р(£) > о^а — 1. Следовательно, ехр(-р^)) < Се ° 1 .

е-а1а < е_, о'> о, п(г) < е^аг2а,

а

+< +< +< Г ,глр(1:) Г , а Г п(г)е-а1

I (-) п(1)йКС I п(Ое-а<а й1 < С I —

■йг <+<

г

1

г

1

1

1

-и

а

ег

ег

ег

¡•er fr\P(^

Оценим интеграл I 1 = J (-) n(t)dt.

С учётом оценки для 12 получим, что

+<ю п +<ю er

¡^ ¡»+(ге^г< ¡ е--¡(f'^r

1 - п 1 1

Для вычисления наибольшего значения функции expp(t)(lnr — lnt) на отрезке [1; е г] положим х = lnr и у(х, t) = p(t)(x — lnt).

у'(х, t) =p (t) (x — lnt) — P() = aata-1(x — lnt) — ata-1 = aata-1 (x — ln (te^)) = 0

lnr = ln( tet = re~, ta = rae-1.

Указанная точка является точкой максимума, поэтому y(x,t) = Y (x,re a) =

ra

p (re-о) (lnr — lnre-a). max (Г) < ~r) 6, то

e r e r a e r e r

r ,r^p(t) r ( i\t r ra ra г

¡ (-) n(t)dt < ¡ (ea) n(t)dt = ¡ eean(t)dt = eea ¡ n(t)dt

1 1 1 1

+< e r +< e r

¡ e-(T'rae~ra ¡ n(t)dtdr = ¡ e-(a -l)ra ¡ n(t)dtdr

11

a

С учётом леммы 1 запишем, что 5 п(€)й1 < Сеа(ег^ага 1.

Используя последнюю оценку, выясним значения о', обеспечивающие сходимость интеграла е (а :

а'га -о(ег)а - — >0, га (а' -аеа-—) > 0, а' > — + аеа.

еа \ еа; еа

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть и - произвольная субгармоническая функция из класса БНа (Т(С), - произвольная мера функции и, при этом ¡1(0,^ = п^), 0 < t < +х>.

Тогда 5- -Га-^ < +х.

Доказател ьство.

Используя равенство Иенсена для субгармонических функций (см. [1]), достаточно оценить интеграл

Г+х/" сСп(г) -та

1 = С (I^dr)e-°<adt.

Проинтегрировав I по частям, получим:

+<

1 I e-ata fn(r)\ Г I 1 —a Г

= —a¿\—j-rdr) +j[—¡

+<

1 — a Г n(r) n(t) . „a

+ ¡ [-^¡^dr + ^U^dt 11

Согласно лемме 1, имеем:

a

I = Г + "-£) е-'"с* ^ Г^(С-?'» + "V)

По условию леммы I < С.

Ясно, что при 0 < а <1 лемма доказана, поскольку из условия (5) следует, что

С+х п(1)е—аьа ^

Предположим, что а > 1. Тогда, согласно лемме 1,

i

i

1

+<Ю а t +<ю

Г e-at fn(r) Г dt

j —j—drdtsc4

r

i i i

Т.к. a > 1, то f --—dt <

Ji ta

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1

Доказательство прямого утверждения теоремы 1 следует из леммы 4.

Справедливость обратного утверждения вытекает из леммы 3.

Из Теоремы 1 непосредственно вытекает

Теорема 2. Пусть a > 0,SHa m = ^a>oSHa a. Тогда

класс SHa т совпадает с классом субгармонических функций в С, представимых в виде u(z) = f lnlAp(z,Qld^(0 + h(z), где д - неотрицательная мера в С, такая, что /¿(Dt) = n(t), Dt = {z: Izl < t], а также

удовлетворяет условию f+™ —dt < +да, h - произвольная гармоническая функция в С, для которой существует а > 0: f+c°e-ai~a f^nlh(relv)l d<pdr < +да.

Список литературы

1. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. - М.: Наука, 1971. - 432 с.

2. Азарин В.С. Теория роста субгармонических функций. - Харьк. гос. ун-т им. А.М. Горького, Харьков: ХГУ, 1982. - 73 с.

3. Охлупина О.В. Потенциалы типа Грина и интегральные представления весовых классов субгармонических функций: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 01.01.01 / О.В. Охлупина; [Место защиты: Сарат. гос. ун-т им. Н.Г. Чернышевского]. -Брянск, 2012. - 118 с.

4. Брело М. Основы классической теории потенциала. - М.: Мир, 1964. - 215 с.

5. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморфных функций. - РИО БГУ, Брянск, 2009. - 153 с.

Сведения об авторе

Охлупина Ольга Валентиновна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, ФГБОУ ВО «Брянский государственный инженерно-технологический университет», e-mail: helga131081@yandex.ru

ON MEASURES OF A SUBHARMONIC CLASS OF FUNCTIONS

O.V. Okhlupina

Bryansk State engineering-technological University

A class of subharmonic functions with summable characteristic of Nevanlinna with weight is constructed on the plane. The representative measures of this class of functions are described. Keywords: subharmonic function, representing measure, the Nevanlinna characteristic.

References

1. Ronkin L.I. Introduction to the theory of entire functions of several variables, M.: Nauka, 1971. - 432 p.

2. Azarin V.S. The theory of growth of subharmonic functions, Har'kov: HGU, 1982. - 73 p.

3. Ohlupina O.V. Potentials of Green's type and integral representations of the weight classes of subharmonic functions: dissertacija ... kandidata fiziko-matematicheskih nauk : 01.01.01 /

O.V. Ohlupina; [Mesto zashhity: Sarat. gos. un-t im. N.G. Chernyshevskogo]. - Bryansk, 2012. -118 p.

4. Brelo M. Fundamentals of classical potential theory. - M.: Mir, 1964. - 215 p.

5. Shamoyan F.A., Shubabko E.N. Introduction to the theory of the weight Zp-classes of meromorphic functions. - Brjansk: Desyatochka, 2009. - 152 p.

About author

Okhlupina O.V. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate professor of Department of Mathematics, Bryansk State engineering-technological University, e-mail: helga131081@yandex.ru.