Построение оптимальной трассы ограниченной кривизны в неодносвязной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ТРАССЫ ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНЫ В НЕОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

ПЛЕХОВА А. А.

Предлагаются условия оптимальности и метод решения задачи о построении в неодносвязной многоугольной области кратчайшей гладкой трассы, составленной из дуг окружностей, отрезков и сопрягающих их клотоид.

1. Постановка базовой задачи на классе SCK

Рассмотрим класс линий SCK , составленных из отрезков (Si), фрагментов клотоид (Kt) и дуг окружностей (Ci) вида

p = S\K\C\K'iS2K2C2K2S3 ... KnCnK'nSn+i , n > 1, (1) которые в общих точках удовлетворяют условию трансверсальности. Радиусы этих окружностей r и параметры клотоид а считаем фиксированными,

причем фрагменты клотоид Kt, K■, примыкающие к

одной дуге Ci, конгруэнтны и рассматриваются на интервале от точки с нулевой кривизной (в точке сопряжения с отрезком) до точки с требуемым радиусом кривизны. Угол поворота клотоиды на

этом интервале не превышает п/2 .

Пусть Pt,sCK [ A, B] — множество линий класса SCK , которые лежат в классе эквивалентности путей [т], представленном ломаной минимальной длины т, а L(p) — длина пути р.

Базовая задача SCK . Для данной ломаной т = ACB найти

Р* = arg min L(p); (2)

p є Рт, SCK[A,b].

Поскольку ломаная т — кратчайшая в [г], из [1] следует, что решение задачи (2), если существует, содержит минимум один (n = 1) фрагмент вида (1). Обобщение этой задачи на случай многофрагментного (n > і) пути вида (1) назовем стандартной задачей

на классе SCK^.

Рассмотрим клотоиду, заданную натуральным уравнением

a

Р = -, (3)

s

где а — параметр; s — длина дуги; р — радиус кривизны, и расположенную на плоскости Zxy традиционным образом, т.е. так, что она касается оси абсцисс в начале координат z , где ее радиус кривизны равен бесконечности. Пусть ее фрагмент — дуга ZM расположена в I квадранте и касается в точке M

окружности O радиуса r .Тогда ее параметрическое уравнение имеет вид

( 2 A ( 2 A

x = J cos 0 s 2a VJ ds, У = J sin 0 s 2a VJ

Найдем координаты центра окружности O и точки M. Поскольку угол поворота Да кривой (3) на дуге ZM не превышает п/2, точка M лежит на дуге с угловой мерой п/2 относительно точки D', где OD — перпендикуляр к оси абсцисс. По определению кривизны к дуги имеем

, da

к = —,

ds

(5)

где а — угол касательной к оси абсцисс. Используя (3), получаем s/а = da/ds, а значит, угол поворота

клотоиды на фрагменте дуги ZM длины s = а / r составит

Да = -

2r 2

С учетом (4) координаты точки M равны

Sr

xM = j cos

0

Sr

( s2 ^

2a

V J

ds, sr =—, r

yM = j sin

0

( s 2 ^

2a

V

ds,

(6)

(7)

откуда получаем координаты точки O :

Гxo = xm - r sin^a);

[ y0 = Ум + r cos^a).

Проведем через нее окружность радиуса R = yo:

(8)

a г і s2 а / a

R = j sinl — Ids+r cos| —- . a V2a J V2r2J ,

(9)

a

а точку ее касания с осью абсцисс обозначим D .

Пусть A — произвольная точка на оси абсцисс, лежащая левее точки Z, а C' — произвольная точка на окружности O радиуса R, полярный угол которой YA относительно луча OD удовлетворяет условию Дa<YA <п/2 . Тогда по построению линия p = AD u arcDC' є SC однозначно определяет линию q = AZ u arcZM u arcMC' є SCK ; операцию перехода от p к q назовем сглаживанием (линии класса SC ) клотоидой.

2. Решение базовой задачи

Решение задачи (2) построим, опираясь на решение аналогичной задачи для класса SC [1].

Лемма. Если в базовой задаче SC точка C расположена внутри круга радиуса R на расстоянии r < R от центра, то условия связи и оптимальности примут вид

R - r sin(x-a)= a sina, (10)

a sina = Asin p, (11)

22

РИ, 1999, № 3

2x =a+8-p, (12)

где стороны и углы определены относительно точек A, B и C. В этом случае базовую задачу SC обозначим SCrR , а ее решение — p*rR .

Теорема. Если решение q* базовой задачи (2) для радиуса r существует, оно задается (нормальным или сингулярным)решением p*rR оптимизационной базовой задачи SC относительно параметров A, B,a,p,%

для радиусов r и R вида (9), определяемым условиями связи и оптимальности (10)-( 12), к которым применена процедура сглаживания клотоидой. При этом

разность длин кривых p*rR и q* равна AL = 2% + (A + B+a + p)(R-r), т.е. константе, а положение точек Z и м определяется относительно точки касания d и луча OD соответственно отрезком

длины х0 из (8) и углом Aa из (6).

Трудоемкость получения решения задачи на классе SCK по решению p*rR задачи на классе SC требует порядка 30-40 операций. При этом существенно важно, что при решении задачи (2) для общего случая (1) эти действия следует выполнять только один раз.

3. Решение задачи SCt

В этом случае оптимальная трасса имеет вид

p* = S1C1S2C2...C„S„+1, n > 1. (13)

Не теряя общности, положим, что решение (13) существует и все фрагменты

Фі = SiCiSi+1, St = Ei-iD, Ci = arcD-Ei,

трассы p* определяют нормальные решения. Для каждого из этих фрагментов остаются в силе условия связи и оптимальности [1] для точек, лежащих на касательных.

Алгоритм.

1.Пусть a — некоторый угол, задающий граничное условие задачи SCa для точек A и C1. Он

определяет окружность O1, положение которой удовлетворяет условиям связи и оптимальности, а также прямую E1E1 (для любой точки которой EJ фрагмент AD1 u arcD^1 u E1E1 является оптимальным

решением задачи SCa для A и E1), исходя из соотношений

х1

= a + arcsinl 1---sina

R

(14)

arcC^1 = n/2+a-x. (15)

2. Зная точку E1 и ориентацию касательной E1E(,

определяемую вектором, ортогональным к O1E1 , получаем окружность O2 , проходящую через C2 и касающуюся E1E1, а по ней — подобно пункту 1 — точку E2 и соответствующую касательную E2E’2, и т.д. до EnE’n .

3. Полученную трассу обозначим pa :

pa= AD1 u arcD^1 u E1D2 u... u EnBa ,

где Ba — точка на EnE'n такая, что EnBa= EnB.

По построению этого алгоритма получаем, что при Ba= B трасса pa доставляет решение задаче SC . Однако поскольку угол a выбран произвольно, угол p(a) = ABEnE'n , в общем, не равен нулю, но является непрерывной функцией малой вариации относительно угла a (и наоборот, так как точки A, B входят в постановку задачи симметрично). Поэтому в некоторой окрестности a=(a1,a2) начального угла a содержится решение поставленной задачи, т.е. такой угол a* є a , что в{а)= 0 . Для построения этой окрестности достаточно варьировать угол a с шагом Aa (a-1 =a-Aa, a1 =a + 2Aa,...), пока не получим пару прямых вида EnE'n и EnE"n, содержащих между собой точку B . Если шаг Aa достаточно мал, при некотором k = k* получим |p(a**)<A, где A —

требуемая точность решения. Если шаг Aa достаточно велик, на полученном интервале a с требуемой точностью A решение задачи минимизации p(a), aєa, можно эффективно получить методом хорд. При этом трудоемкость решения задачи SC в общем случае можно оценить величиной

KSC И102 n / A (операций) . (16)

Литература. 1. Плехова А.А. Метод оптимального решения базовой задачи о кратчайшем скруглении / Информатика. К.: Наук. думка, 1998. С.124-12б.

Поступила в редколлегию 28.08.99 Рецензент: д-р физ.-мат. наук Смеляков С.В.

Плехова Анна Анатольевна, аспирантка Института Проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: методы оптимизации, геометрическое проектирование. Адрес: Украина, 310000, Харьков, ул. Калининградская, 9, тел. 10-27-82.

РИ, 1999, № 3

23