Идентификация аддитивных моделей многокритериального выбора решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Automatica. 1976. Vol. 12, №2. P . 123-132. 5. Брайсон A., Xo Ю-ши. їрикладная теория оптимального управления. М.: Мир. 1972. 521с. 6. Козырев В.Г. Об асимптотике системы оптимального управления с двумя малыми сингулярно возмущающими параметрами // Динам.-системы. 1992. Вып. 10. С. 57-63.

їоступила в редколлегию 20.09.98 Рецензент: д-р техн. наук Гайский В.А.

Дубовик Сергей Андреевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, докторант департамента технической кибернетики Севастопольского государственного технического университета. Научные интересы: асимптотические методы! в оптимальном управлении, математическое моделирование, управление движением. Увлечения и хобби: книги, музыка, кино. Адрес: Украина, 335053, Севастополь, Студгородок, СевГТУ, тел. 23-50-14.

УДК 519.81

ИДЕНТИФИКАЦИЯ АДДИТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА РЕШЕНИЙ

БЕСКОРОВАЙНЫЙ В.В.

Рассматривается применение метода компаратор-ной идентификации для синтеза аддитивных моделей многофакторного оценивания. їредлагаются подход и метод идентификации аддитивных моделей, использующие новый вид функции общей полезности.

Современная теория принятия решений предполагает выбор альтернативного варианта на основе предпочтений лица, принимающего решения (ЛЇР), или с использованием формальных моделей. Важнейшей задачей формализации процесса выбора ре -шений можно считать определение метрики для их ранжирования. В качестве методологической основы для построения метрики традиционно используется теория полезности, в соответствии с которой для каждого из альтернативных вариантов х из допустимого множества х может быть определено значение его полезности (ценности) Р(х). їри этом для

х, у є X : х ~ у о Р(х) = Р(у);х ^ у о Р(х) > Р(у); х > у о Р(х) >= Р(у).

В моделях многокритериального выбора в основном используются функции общей полезности (ФОЇ), построенные на основе аддитивной или мультипликативной полезности видов

Р(х) = ZXi (х), (1)

i=1

Р(х) = Ші(х); Р(х) = n[i(х)] , (2)

і=1 і=1

где Р(х) — полезность альтернативы х; n — количе-

для аддитивной модели (1) во многих случаях может быть сведена к задаче оптимизации вида

*

х = arg max Р( х) (3)

хєХ

В общем случае и вектор весовых коэффициентов X и ФЇ частных критериев (х), і = 1, n требуют своего определения. Определение вектора весовых коэффициентов X традиционно осуществляется экспертным путем методами ранжирования, приписывания баллов, последовательных предпочтений или парных сравнений. Недостатками перечисленных методов считаются субъективизм и относительно невысокая точность оценок, их независимость от значений частных критериев. В качестве Ф Ї обычно выбирается линейное нормирующее преобразование частных критериев вида

%i* (х) = ki (х)

" ki (х) - ki нх N v ki нл - kiHX ,

(4)

где , kiHX — наилучшее и наихудшее значения i -

го критерия.

Линейное преобразование (4) в общем случае не позволяет отображать существующие представления о характере изменения полезности факторов решения, например, не имеет насыщения в окрестности

kim и, таким образом, не позволяет описывать убывание предельной полезности. Учесть нелинейность зависимостей |г- (х), i = 1, n можно с помощью ФЇ более общего вида. Среди них: ФЇ вида [1]:

^(х ) =

Г1ц(х) - ki нх ^'

ki нл - ki нх

(5)

где аг — коэффициент, определяющий вид зависимости. їри ai = 1 имеет место линейная зависимость, при 0 < ai < 1 — выпуклая вверх, при аг- >1— выпуклая вниз зависимости; и универсальная ФП вида [2]

ство частных критериев; Хг — коэффициент, характеризующий степень важности фактора (критерия

ki), ZXi = 1, Xi > 0 ; i = 1n , %i (х) = %i (ki (х)) - фун-i

кция полезности (ФП) критерия ki .

Наибольшее применение в практике принятия решений находят модели вида (1). Если определен

вектор предпочтений X = [Хг ] и известен вид всех функций полезности ^i (х), i = 1, n , то задача выбора

I i( х) =

fkj (х) ^ V kia

a + (1 - a) •

если 0 < ki (х) < kia,

\a,2 (6)

kj (х)

V1 - kia

если kia < ki < 1,

где kia, a — координаты точки перегиба ФП; 0 < a < 1; ai1, ai2 — коэффициенты, определяющие

a

РИ, 1998, № 3

53

вид зависимости соответственно на начальном и конечном отрезках ФП.

Учет нелинейности зависимостей f і (х), і = l, n с помощью ФП (5), (6) вносит новый элемент субъективизма, связанный с определением их параметров. К тому же в теории принятия решений существует направление [3], в соответствии с которым весовые

коэффициенты частных критериев X i, i = i, n нельзя считать постоянными. Исходя из этого встает вопрос о необходимости формирования такой ФОП Р(х), параметры которой определялись бы с меньшей долей субъективизма и с учетом зависимости вектора предпочтений X от варианта решения х є X , т.е.

Xi = fi (ki(х)), i = Vn .

В качестве функции общей полезности P(x), удовлетворяющей перечисленным требованиям, предлагается использовать модифицированную форму выражения (1) с переменными весовыми коэффициентами и линейной ФП вида

P(х) = ZXi(х)fi(х), (7)

i=1

где Xi (х) = fi (ki (х)) — значение весового коэффициента критерия ki для решения х є X ; f i (х) — значение линейной ФП критерия ki для решения х, которое может быть получено с помощью ФП вида (4) или (5), (6) для значений коэффициентов нелинейности, равных 1.

Задача идентификации ФОП вида (7) на порядок проще, чем для функции вида (1). В качестве аргументов этого утверждения могут быть использованы факты, что процесс решения задачи определения ФП fi (х), і = i,n характеризуется линейной временной сложностью и не вызывает затруднений, а решение задачи определения коэффициентов

Xi (х), І = l, n по сложности соизмеримо с решением

задачи идентификации ФП общего вида fi (х), і = i, n .

Для оценки компонент вектора предпочтений X можно использовать информацию о фактах выборов ЛПР среди альтернатив х,у є X . Этот подход базируется на методе компараторной идентификации [46], суть которого для рассматриваемой задачи состоит в следующем. ЛПР воспринимает в процессе выбора пару альтернативных вариантов х, у є X , которые формируют в его сознании некоторые субъективные

оценки их полезности р(х) и P(y). На основании этих оценок оно дает заключение об эквивалентности или предпочтительности решений.

По результатам сравнения ЛПР оценок пар вариантов х, у є X на множестве альтернатив х может быть сформировано одно или несколько бинарных отношений R(X) = {(х,у):х,у є X} с X х X : эквивалентности Re(X) = {(х,у): х,у є X, х ~ у}; строгого предпочтения Rs (X) = {(х, у): х, у є X, х у у}; нестрогого предпочтения Rn (X) = {(х, у): х, у є X, х > у}.

Предположим, что в результате сравнения альтернативных вариантов сформировано некоторое отношение R(X). Для определения вектора предпочтений X(z) выделим на отношенииR(X) его подмножество, включающее только пары, одним из элементов которых является Z , т.е.

Rz (X) = {(х, у) є R( X): х = z v у = z} .Для полученного отношенияRz(X) подобно [5], полагая X(х) = X(z) и X(у) = X(z), можно найти значение

X(z). В этом случае определение вектораX(z) может быть сведено к решению системы линейных уравнений или неравенств.

Для отношения эквивалентности RE (X) из условия Р(х) = Р(у), (х,у) є Rze(X) получим систему, включающую m +1 линейное уравнение вида

4j(X) - Z[fi(у) -fi(хт(z) = 0, (х,у) є Rze(X), j = 1m І

nm+\(X) = ZXi(z) = 1, Xi (z) > 0, i = 1 n , (8)

i

где m — мощность подмножества R^ (X).

Для отношений строгого R^ (X) и нестрогого rN (X) предпочтений получим соответственно

системы линейных неравенств и нормирующих условий вида

П j (X) - Z[f І (у) - f І Шч (z) < о, (х,у) є RS (X), j = їк,

І

Пк+1(X) - ZXi(z) =1 Xi(z) > 0 , i =1 n , (9)

i

где k — мощность подмножества RSz (X);

nj (X)-Z[fi (у)-fi (хт (z) < 0, (х, у) є Rzn (X), j = lj, i

41+1(X) -ZXi (z) = 1 Xi (z) > 0 , i = \~n , (10)

i

где і — мощность подмножества RN (X).

Первые части систем (8)-( 10) являются однородными подсистемами и задают множества плоскостей, проходящих через начало координат. Вторые их части (нормирующие условия) определяют секущую. Таким образом, выполняется условие Хаара и системы (8)-(10) в общем случае являются несовместными. Универсальным путем решения подобных систем является поиск так называемой чебышевской точки [7, 8]. Он позволяет свести исходные задачи к задачам линейного программирования.

Введя дополнительную переменную X n+l( z) в систему (8), можно сформировать систему ограничений |nj(X) |<Xn+i(z), j = 1,m в виде

54

РИ, 1998, № 3

-n j(X) + Xn+1(z) > 0, n j(X) + ^n +l(z) > 0, j = 1,m,

nm+1(X) = 2X;-(z) = 1, X,- (z) > 0, і = \n +1. (11)

і

Задача минимизации X n+\(z) ^ min в условиях ограничений (11) является типичной задачей линейного программирования и позволяет получить чебы-шевскую точку системы (8). Геометрически чебы-

шевская точка xo (z) в этом случае имеет наименьшее

по модулю уклонение |г| от всей системы плоскостей,описываемых уравнениями (8):

|r| = m і n max \ n j (X) = max X j j

Введем дополнительную переменную X n+\( z) в первые k ограничений системы (9) для бинарного

отношения RZ (X) и потребуем, чтобы выполнялись

условия n j (X) < Xn+\(z), j = \, k . Тогда отыскание чебышевской точки системы (9) сводится к задаче линейного программирования Xn+\(z) ^ min в условиях ограничений

-Пj(X) + Xn+1(z) > 0, j = 1,k,

nk+1(X) = TXi(z) = 1, Xi(z) > 0 , і = 1,n +1. (13) і

Если система (9) совместна, то

r = min max n j (X) < 0 и полученное решение Xo (z)

будет максимально устойчивым к возможным изменениям ее коэффициентов. Если же система (9) несовместна, то r > 0 и получаем чебышевское приближение, представляющее собой значение минимального уклонения для рассматриваемой системы. В этом случае для системы предпочтений, описываемой бинарным отношением Rz (X), не существует ни одного вектора весовых коэффициентов частных критериев X( z), удовлетворяющего (9).

Подобным образом к задаче линейного программирования сводится задача поиска чебышевского

решения (приближения) для отношения RN (X),

определяющего системы линейных неравенств и ограничений вида (10). При этом если система является совместной, то r < 0 и получим ее чебышевское решение. Для несовместной системы r > 0 и получим ее чебышевское приближение.

Недостатком решений в виде чебышевской точки (решения или приближения) является их ориентация исключительно на экстремальные ограничения

Xo(z) = arg min max <pj(X), (14)

X j

где Ф j (X) = n j (X) или Ф j (X) = |n j (X).| Альтернативой могут служить обобщенные решения систем (8) -(10), учитывающие удаление от всего множества

n j (X0)

(12)

ограничений. В частности, для отношения эквивалентности RE (X) в качестве решения системы (8) может быть выбран вектор с компонентами

X0 (z) = X*(z) /2X*(z), і = 1щ , являющимися решени-І

ями задачи

*

X (z)

arg m і n A X(z) - b 2

X

(15)

Здесь || AX(z) -b||2 — евклидова норма вектора невязки; A = [aj ] — матрица коэффициентов для системы (8), aji = [Я (y) -Яі (x)], j = 1,m, і = їй; j - номер пары (x, y) в подмножестве RE (X); am+1,і =1,

і = 1,n ; X(z) = [X;-(z)]T; b = [0,0,..., 1]T. Задача (15) может быть сведена к задаче квадратичного математического программирования без ограничений вида

f = [(1 - 2Xi(z))2 +2(2an Xi(z))2] ^ min (16) і j і J X , (16)

решение которой не вызывает затруднений.

Аналогично по (15)-(16) могут быть определены компоненты вектора весовых коэффициентов X( z)

для отношений строгого RS (X) и нестрогого RN (X) предпочтений на множестве альтернативных решений X . При этом для rN (X) элементы матрицы a определяются из условия

aji = [яі (y) Чі(x)] j =1,I al+1,i =1, i =1,n, (17) где j, l — соответственно номер пары (x, y) и их

количество в подмножестве RN (X).

Для отношения RS (X) элементами матрицы a являются

aji = fci (y) Чі(x)] j = 1,k, ak+1,i = 1 i =1,n, (18)

где j, k — соответственно номер пары (x, y) и их

количество в подмножестве RS (X).

Определив значения компонент вектора X(z) = [Xi (z)], і = 1, n для всех z є X, получим окончательное решение задачи идентификации ФОП в виде аддитивной модели (7). Предложенная ФОП может быть применена для идентификации моделей вида (1). С этой целью используем на первом этапе для оценки полезности решения x ФОП с переменными весовыми коэффициентами X; (x), і = 1, n и

линейной ФП частных критериев Я (x) вида (7).

Затем методом компараторной идентификации по схеме, описанной выше, определим значения координат вектора весовых коэффициентов X для модели вида (1) [8].

РИ, 1998, № 3

55

Исходя из предположения равенства полезностей решений P(z) для всех z є X в смысле моделей (1) и (7), составим и решим систему линейных уравнений

h ~ iz = h (z) \i (z), z є X, i = 1, n (19)

с неизвестными Iiz = ^i (z) . Полученные решения

!iz = h(z) \i(z)/h, z є X, i =1n (20)

являются исходными данными для решения задачи параметрической идентификации нелинейных ФП

частных критериев общего вида %i (x). Решение такой задачи может быть сведено к решению задач минимизации выпуклой функции одной или двух переменных без ограничений [2].

Предложенный новый вид ФОП расширяет возможности моделирования процессов принятия и выбора многофакторных решений, снижая при этом сложность задачи идентификации модели. Ее применение существенно упрощает задачу идентификации ФП частных критериев для классической аддитивной модели общей полезности.

Литература: 1. Петров Э.Т., Писклакова Б.П., Бескоровайный В.В. Территориально распределенные системы обслуживания. К.: Техника, 1992. 208 с. 2. Петров Э.Г.,

УДК 519.853

МОДЕЛЬ И МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ НА КРИВИЗНУ

ПЛЕХОВА А.А.

Ставится актуальная задача соединения двух точек в неодносвязной области трассой, на которую накладывается ограничение на кривизну. Строятся математическая модель этой задачи и алгоритм её решения,осно-ванный на необходимых и достаточных условиях экстремума.

При проектировании промышленных объектов возникают задачи соединения в неодносвязных областях, связанные с оптимизацией размещения разного рода коммуникаций между зданиями и иными естественными препятствиями ( например, водоемами). Важное место среди них занимает класс задач, где прямолинейные участки трасс должны проходить параллельно осям зданий — так называемые задачи манхеттеновой трассировки, причем во многих случаях использование класса ломаных оказывается недостаточным, как , например, при проектировании железнодорожных линий и некоторых типов трубопроводов, что требует вводить ограничение на кривизну.

1. Постановка задачи

На плоскости R2 дана система координат Oxy . Рассмотрим неодносвязную область р с r2 вида

Бескоровайный В.В., Писклакова В.П. Формирование функций полезности частных критериев в задачах многокритериального оценивания // Радиоэлектроника и информатика. 1997. №1. C. 71-73. 3. ВентцельЕ.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1988. 208 с. 4. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта. Проблемы и перспективы. X.: Вища шк., 1987. 170 с. 5. Петров Э.Г. Организационное управление городом и его подсистемами (методы и алгоритмы). X.: Вища шк., 1986. 144 с. 6. Овезгельдыев А.О., Петров К.Э. Компараторная идентификация моделей интеллектуальной деятельности / / Кибернетика и системный анализ. 1996. №5. С. 48-58. 7. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. 460 с. 8. Бескоровайный В.В. Идентификация параметров моделей многокритериального выбора решений // 4-я междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации”(“Новые информационные технологии”); научные труды /ХТУРЭ, Харьков-Туапсе, 1998. С. 275-276.

Поступила в редколлегию 18.09.98

Рецензент: д-р техн.наук Нефедов Л.И.

Бескоровайный Владимир Валентинович, канд. техн. наук, доцент кафедры системотехники ХТУРЭ.Научные интересы: теория принятия решений; структурный синтез и оптимизация территориально рассредоточенных систем. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

F = C£F0 \ U Fi ; C£Fi с F0(i = l,2,...,n), (1)

где Fi(i = 0,1,2,..., n) — односвязные области, взаимно непересекающиеся при j > 1, границы которых составлены из р -ломаных, т.е. манхеттеновых[l] ломаных в F , образующих класс линий W. Длина этих линий определяется рассматриваемой далее метрикой

р(А.В) = |ХА - Хв| + |УА - YB|, (2)

порождающей пространство Rj2 [l].

Для описания трасс введем в рассмотрение [2] класс линий, составленных из отрезков, параллельных осям заданной декартовой системы координат Oxy и дуг окружности с угловой мерой п /2 и фиксированным радиусом г. Этот класс линий W является естественным обобщением функционального класса W — манхеттеновых ломаных; поэтому , для определенности, назовем его квазиманхеттеновым. При

этом считаем, что всякая линия Ю є W имеет стандартное представление в виде следующей последовательности:

Ю = sicis2c2 ... ck-1 . sk , (k > 1) , (3)

где si — это р1 - кратчайшая, т.е. отрезок в обычном смысле, параллельный одной из осей координат, а q - дуга окружности с угловой мерой п /2 , для которой векторы касательных в концевых точках параллельны осям координат и по направлению ( с точностью

до знака) совпадают со смежными р1 - кратчайшими, если имеются. Ясно, что длина этой дуги £ (ci) в

56

РИ, 1998, № 3