Модель и метод решения задачи поиска оптимального соединения при ограничении на кривизну Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исходя из предположения равенства полезностей решений P(z) для всех z є X в смысле моделей (1) и (7), составим и решим систему линейных уравнений

h ~ iz = h (z) \i (z), z є X, i = 1, n (19)

с неизвестными Iiz = ^i (z) . Полученные решения

!iz = h(z) \i(z)/h, z є X, i =1n (20)

являются исходными данными для решения задачи параметрической идентификации нелинейных ФП

частных критериев общего вида %i (x). Решение такой задачи может быть сведено к решению задач минимизации выпуклой функции одной или двух переменных без ограничений [2].

Предложенный новый вид ФОП расширяет возможности моделирования процессов принятия и выбора многофакторных решений, снижая при этом сложность задачи идентификации модели. Ее применение существенно упрощает задачу идентификации ФП частных критериев для классической аддитивной модели общей полезности.

Литература: 1. Петров Э.Т., Писклакова Б.П., Бескоровайный В.В. Территориально распределенные системы обслуживания. К.: Техника, 1992. 208 с. 2. Петров Э.Г.,

УДК 519.853

МОДЕЛЬ И МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ НА КРИВИЗНУ

ПЛЕХОВА А.А.

Ставится актуальная задача соединения двух точек в неодносвязной области трассой, на которую накладывается ограничение на кривизну. Строятся математическая модель этой задачи и алгоритм её решения,осно-ванный на необходимых и достаточных условиях экстремума.

При проектировании промышленных объектов возникают задачи соединения в неодносвязных областях, связанные с оптимизацией размещения разного рода коммуникаций между зданиями и иными естественными препятствиями ( например, водоемами). Важное место среди них занимает класс задач, где прямолинейные участки трасс должны проходить параллельно осям зданий — так называемые задачи манхеттеновой трассировки, причем во многих случаях использование класса ломаных оказывается недостаточным, как , например, при проектировании железнодорожных линий и некоторых типов трубопроводов, что требует вводить ограничение на кривизну.

1. Постановка задачи

На плоскости R2 дана система координат Oxy . Рассмотрим неодносвязную область р с r2 вида

Бескоровайный В.В., Писклакова В.П. Формирование функций полезности частных критериев в задачах многокритериального оценивания // Радиоэлектроника и информатика. 1997. №1. C. 71-73. 3. ВентцельЕ.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1988. 208 с. 4. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта. Проблемы и перспективы. X.: Вища шк., 1987. 170 с. 5. Петров Э.Г. Организационное управление городом и его подсистемами (методы и алгоритмы). X.: Вища шк., 1986. 144 с. 6. Овезгельдыев А.О., Петров К.Э. Компараторная идентификация моделей интеллектуальной деятельности / / Кибернетика и системный анализ. 1996. №5. С. 48-58. 7. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. 460 с. 8. Бескоровайный В.В. Идентификация параметров моделей многокритериального выбора решений // 4-я междунар. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации”(“Новые информационные технологии”); научные труды /ХТУРЭ, Харьков-Туапсе, 1998. С. 275-276.

Поступила в редколлегию 18.09.98

Рецензент: д-р техн.наук Нефедов Л.И.

Бескоровайный Владимир Валентинович, канд. техн. наук, доцент кафедры системотехники ХТУРЭ.Научные интересы: теория принятия решений; структурный синтез и оптимизация территориально рассредоточенных систем. Адрес: Украина, 310726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

F = C£F0 \ U Fi ; C£Fi с F0(i = l,2,...,n), (1)

где Fi(i = 0,1,2,..., n) — односвязные области, взаимно непересекающиеся при j > 1, границы которых составлены из р -ломаных, т.е. манхеттеновых[l] ломаных в F , образующих класс линий W. Длина этих линий определяется рассматриваемой далее метрикой

р(А.В) = |ХА - Хв| + |УА - YB|, (2)

порождающей пространство Rj2 [l].

Для описания трасс введем в рассмотрение [2] класс линий, составленных из отрезков, параллельных осям заданной декартовой системы координат Oxy и дуг окружности с угловой мерой п /2 и фиксированным радиусом г. Этот класс линий W является естественным обобщением функционального класса W — манхеттеновых ломаных; поэтому , для определенности, назовем его квазиманхеттеновым. При

этом считаем, что всякая линия Ю є W имеет стандартное представление в виде следующей последовательности:

Ю = sicis2c2 ... ck-1 . sk , (k > 1) , (3)

где si — это р1 - кратчайшая, т.е. отрезок в обычном смысле, параллельный одной из осей координат, а q - дуга окружности с угловой мерой п /2 , для которой векторы касательных в концевых точках параллельны осям координат и по направлению ( с точностью

до знака) совпадают со смежными р1 - кратчайшими, если имеются. Ясно, что длина этой дуги £ (ci) в

56

РИ, 1998, № 3

метрике (2) равна £(c;) = 2r. Поэтому дуга Cj является

кратчайшей в пространстве Rj2 .

Как и в случае ломаных класса W, можно выделить в W кратчайшие двух типов. Так, пусть координаты точек T,G є Rj2 удовлетворяют условию

В этом случае они лежат в диагонально противоположных вершинах квадрата GZTU, в который могут быть вписаны круги типа С', C " с центрами соответствующих окружностей в точках Z и U. При этом расстояние между точками G и Т равно 2r , граничные условия для дуги с с центром в точке U соответствуют р2 -кратчайшей GZT с последовательностью изменения координат (y, х) при ее ориентации от G к Т , а для дуги С” — соответственно (х, у).

Положим для определенности, что тип І,| є {x,y} , р1 -кратчайшей р; и вектора касательной т; определяется по правилу: ; = х, если соответсвующий

отрезок параллелен оси Ох , и ; = у — в противном случае.

Определение. Линию w є W вида (3) с началом и концом в точках ZbZ2 назовем с-канонической, если ее длина равна расстоянию p(ZbZ2) ; с-каноническую назовем с -кратчайшей, если она представляется р1 -кратчайшей, и с2 -кратчайшей типа с2; , если она имеет стандартное представление вида

s;cV(;Pє{x.y}, ; = рXФі;X ) > О .

Для фиксированной точки A є F может быть задано граничное условие т А , состоящее в том, что из

множества линий класса W с концом в А выделяется подмножество W / т А, касательный вектор для которых

в точке А с точностью до направления совпадает с т A .

Поскольку задача поиска оптимального пути в неодносвязной области многоэкстремальна, в соответствии с общей концепцией [3] регуляризации задач соединения приходим к вариационной задаче поиска оптимального соединения в классе эквивалентности путей [e] L с L(A,B) , определяющем множество линий из класса L с концами в точках А, В, гомотопных заданному пути е. Эта общая задача о

поиске геодезической в классе [e]L соответственно

типу ограничений определяет следующие важнейшие подзадачи:

Задача 1. (L=W) — базовая задача о поиске манхеттеновой ломаной минимальной длины и минимального числа изломов.

Задача 2. (L= W ) — базовая задача о поиске квазиманхеттеновой геодезической.

Задача 3. ( L= W / т A т в) - базовая краевая задача

о поиске квазиманхеттеновой геодезической.

Принципиальной особенностью задач 2 и 3 является то, что в силу специфики структуры (1) области F они могут не иметь решения, тогда как задача 1 всегда имеет решение, причем единственное в смысле

непрерывного семейства экстремалей [1]. Поэтому

актуальным представляется выявление необходимых и достаточных условий, анализ которых позволяет либо установить отсутствие решения, либо осуществить его конструктивное построение.

2.Необходимые и достаточные условия оптимальности

Допустим, что решение задачи 2 существует и представляется с-канонической линией

ю = s1c1s2...ck-1sk . Поскольку все канонические пути лежат в множестве допустимых деформаций Q [1],

ограниченном двумя каноническими р -ломаными q1 и q2 , то линия ю должна лежать в Q, где любой монотонный путь дает каноническую линию, а путь, полученный максимальными движениями, — каноническую линию, имеющую минимальное число изломов.

В множестве Q могут лежать подмножества трех типов:

— область типа поле, где пара точек может быть соединена с2 -кратчайшей;

— область типа трубка, где никакая пара точек не может быть соединена с2 -кратчайшей;

— множество типа нить, т.е. р1 -кратчайшая. Рассмотрим необходимые условия, которым должно удовлетворять множество Q, чтобы с-канони-ческая линия могла быть построена в нем посредством замены точек излома с2; -кратчайшими (соответствующие доказательства приведены в [2]).

Не теряя общности положим, что координаты точек А и В удовлетворяют условию

Ах (Вх, Ау (By .Для каждой р1 -кратчайшей С; С;+1 из q1 , параллельной оси Ох, построим область Ц ,взяв объединение сегмента с угловой мерой п / 2 и радиусом r и прямоугольника высотой (рис. 1, а, б).

Аналогично поступим для р1 - кратчайших DjDj+1 р -ломаной q2, которые параллельны.

(1) Допустим, что ни одна область G; не пересекается с q2 и что ни одна область G j не пересекается с q1. Тогда область R=Q\ (U Ц U G j ) образует поле,

так как каждая из канонических р -ломаных рх,Ру,

полученных максимальными движениями в R из А в В , допускает замену точек излома с2-кратчайшими. Поскольку одна из этих р -ломаных имеет минимальное число изломов в [ е] П W , соответствующая ей каноническая линия р* дает решение задачам 1 и

РИ, 1998, № 3

57

2. Решение задачи 1 получим, фиксируя начальный и конечный тип p1 -кратчайшей.

Ci____

Qi

Ci

Ci+1

______ Q

Ci-1

_______ Q

а Ci-i

Q

Dj-1

б

Рис. 1. Построение области Wj

(2) Допустим, что область Qi имеет пересечение

/

с q2 (рис.2,а), а область Qj не пересекается с q1.

Назовем эту ситуацию соединением поля с трубкой: здесь предельная дуга Z1Z2 , имеющая касание с С; Ci+1 в точке Z2 и касание с точкой Dj, определяет точку Z1 и соответствующую область 5 , ограниченную отрезками Z1Z0,Z0Dj-1,Dj-1Dj и дугой D jZ1. Очевидно, что если некоторая каноническая p -ломаная имеет точки в 5 , она не реализуема в с-линию посредством замены р2 -кратчайшей с изломом в Q , если только не будет сдвинута влево из области 5 . В подобном случае можно говорить ,

что множество Q в окрестности Dj имеет структуру поле-трубка. Следовательно, необходимые условия преобразования канонической p -ломаной в с-кано-ническую линию для структуры поле-трубка имеют вид:

U1:5п (С ;-1С j) = ф — условие поворота в трубку из

области; U 2: Q'(5) п (С1-1С1) = ф — условие сохранения поля до трубки. Ясно, что аналогичные условия имеют место для перехода из трубки в поле.

(3) Рассмотрим случай сужения трубки (рис.2, б). Если p -ломаная имеет фрагмент Z2Z3Z4 , пересекающий прямоугольник DjDj+1Dj+2M , его можно заменить эквивалентным по длине , но уже допустимым для построения с-линии фрагментом Z2z3z4 .

В случае расширения трубки на участке Q+1Cj+2Cj+3 ситуация не влечет каких-либо осложнений для преобразования p -ломаной в с-линию.

(4) Ортогональные трубки. Если в случае (2) выполнено условие U1, но условие U2 не выполнено, имеем структуру с-трубки, где на участке между сечениями Ci-1 и Ci+1 возможна реализация лишь

с2 -кратчайшей типа С2у .

(5) Нити. Сочленение трубка-нить одного типа переводят трубку в нить; сочленение трубки и нити различных типов не обеспечивает реализации с-линии. Соединение типа поле-нить подобно случаю

(2) определяет область 5 с границей CiZ2Z1Dj-1 и

условия реализуемости, аналогичные U1 и U2 .

Таким образом, по известному множеству Q , задающему область возможного размещения произвольных канонических линий для точек А и В в F , последовательный просмотр составляющих его полей, трубок и нитей с сопутствующим сжатием области Q за счет введения в рассмотрение множеств

типа 5 позволяет выделить подмножество Q с Q, всякая каноническая p -ломаная из которого может быть преобразована в с-каноническую линию. Далее, в случае задания граничных условий для

одной или обеих точек А,В пополним область Q соответственно одной или двумя нитями произвольно малой, но конечной длины в точках А, В, причем

так, чтобы их тип соответствовал векторам тА, тВ . Полученную область обозначим Q* .

Теорема 1. Для существования решения задач 1-3

в области Q достаточно, чтобы областьQ

(соответственно Q*) была связной. При этом длина и число составляющих решение с2-кратчайших равно соответственно длине и числу изломов решения p„

базовой задачи о построении в Q ,Q* p -ломаной минимальной длины и минимального числа изломов.

58

Рис.2. К анализу объединения поля с трубкой: а — трубка не имеет сужения; б — трубка имеет сужение

РИ, 1998, № 3

В случае, когда кратчайшая р -ломаная p* e[e]W определяет более одной канонической области, т.е. последовательность вида Qi,Q2,...,Qm, при построении решения задач 2,3 необходимо осуществить соединение с-канонических линий, лежащих в областях Q,Q;+1, между собой по соответствующей нити Ni подобно тому, как это делалось для канонических р -ломаных [1]. Замену нити Ni областью Vi , где граница Li отстоит от Ni на минимальном расстоянии di, при котором объединение QU становится связным, назовем минимальным расширением области QU на участке (i, i+1).

Для определенности положим, что di = 0, если подобного расширения производить не требуется. Отсюда вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 2. Если минимальное расширение существует, то оптимальное решение задач 2,3 в классе

[e]w по длине отличается от оптимальной р -ломаной

m-1

р* de]w не более, чем на d* = 2 Z di .

L J i=i

3.Алгоритмы решения поставленных задач

Решение задач 2,3 предлагается искать с помощью алгоритма, состоящего из следующей последовательности процедур.

Алгоритмі.

Процедура 1. Выделение канонических областей. Начальные и конечные точки Mi,Ni областей QbQ2,...Qm с линейной трудоемкостью могут быть получены спомощью алгоритмапостроения р -ломаной минимальной длины и минимального числа изломов р*

в классе [e]w , р* = P1*UP1*2UP2'U...UPm, где P* с Qi -соответствующие канонические р -ломаные.

Процедура 2. Построение области QU . Рассмотрение вершин границы Lj, (j=0,1.2,...,n) в прямоугольнике с вершинами М^ N i дает область Qi, после чего выделение областей QbQ* производится как описано выше. Область QU получается их объединением с соответствующими р1 -кратчайшими.

Процедура 3. Построение оптимальной с-линии. Если область QU связна, построение в ней р -ломаной минимальной длины и минимального числа изломов ( по процедуре1) р* дает аналог решения: замена r -окрестностей ее точек излома дугами в силу приведен -ных теорем дает искомое решение — с-линию q,.

Этот алгоритм сходится по построению и при наличии допустимого расширения обеспечивает построение решения задач 2,3 с трудоемкостью, которая ( соответственно процедурам) по порядку величины соответствует трудоемкости [2] решения задачи о построении р -ломаной минимальной длины и минимального числа изломов % ~ an1n2, где a — некоторая константа; n1n2 — характеристики густоты вершин границ области F в окрестности пути е.

В случае, когда граничное условие для точки В не задано, а сама точка В должна лежать на некоторой сети h с F , получим задачу 4 — аналог задач 2,3 с подвижным концом. Решить ее можно перебором экстремалей, определяемых классами эквивалентности путей, не имеющих самопересечений, которые получаются решением задачи о поиске кратчайшей в классе т , т(0) = А , т(1) = B|BeH , где начальная точка В может скользить по Н. Для решения этой задачи предлагается следующий

Алгоритм 2.

(1) Решая задачу 2 (или 3), для начального значения В с помощью алгоритма 1 получаем

экстремаль р*.

(2) Отмечаем фрагмент р^ экстремали р*, лежащий в ее последней (считая от А) канонической области Q, где v= р^ (0).

(3) Решаем базовую задачу 4 для аналога выпуклой области; для этого ищем экстремаль в конусе Q є з Q, порождаемом с-каноническими ограниченной длины є = Др*Д, которые исходятиз уи опираются на фрагмент Hqs сети Н в Qs. Если функция цели для получению решения рє не лучше, чем для р^ , переходим к (5).

(4) Заменяем фрагмент р^ на рє, исключаем возможные наложения, обозначаем полученный путь р* и переходим к (2).

(5) Принимаем путь р* за решение задачи 4.

Теорема 3. Алгоритм 2 с полиномиальной трудоемкостью дает решение задачи.

Литература: 1. Стоян Ю.Г., Смеляков С.В. Нахождение оптимального пути в неодносвязной области на одном классе

ломаных в r2 // Укр. геометр. сб. 1981. Был. 24. С. 108-116. 2.

Смеляков С.В., Алисейко А.А Модель и метод решения задачи о построении пути минимальной длины при ограничении на кривизну. Харьков, 1993. 19с. Деп. в ГНТБ Украины, 10.03.93; № 430. 3. Смеляков С.В, Алисейко АА. Глобальная и локальная регуляризация геометрических построений при решении задач соединения. Харьков, 1990. 44с. Деп. В УкрНИИН ТИ, 27.08.90; № 90.

Поступила в редколлегию 31.07.98 Рецензент: д-р физ.-мат. наук Смеляков С.В.

Плехова Анна Анатольевна, аспирантка института проблем машиностроения НАН Украины (отдел математического моделирования). Адрес:Украина, Харьков, ул. Калининградская, 9, тел. 95-95-36.

РИ, 1998, № 3

59