Моделирование скоростных трасс с использованием функционала класса кривых SCK Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.754.530.1

МОДЕЛИРОВАНИЕ СКОРОСТНЫХ ТРАСС С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИОНАЛА КЛАССА КРИВЫХ SCK

А.А. Плехова, доцент, к.т.н., О.Г. Холева, ассистент, ХНАДУ

Аннотация. Представлены условия оптимальности и метод решения задачи о построении в неодносвязной многоугольной области кратчайшей гладкой трассы, составленной из дуг окружностей, отрезков и сопрягающих их клотоид, что может быть применено для скоростных трасс.

Ключевые слова: неодносвязная область, скоростные трассы, клотоида, кривые сложной конфигурации.

МОДЕЛЮВАННЯ ШВИДКІСНИХ ТРАС ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ ФУНКЦІОНАЛА КЛАСУ КРИВИХ SCK

Г.А. Плєхова, доцент, к.т.н., О.Г. Холєва, асистент, ХНАДУ

Анотація. Представлено умови оптимальності і метод розв ’язку задачі про побудову в неод-нозв’язній багатокутній області найкоротшої рівної траси, складеної з дуг кіл, відрізків і кло-тоїд, що їх сполучають, що може бути застосовано для швидкісних трас.

Ключові слова: неоднозв’язна область, швидкісні траси, клотоїда, криві складної конфігурації.

MODELLING OF HIGH-SPEED LINES WITH USE OF FUNCTIONAL OF SCK

CURVES CLASS

A. Plehova, Associate Professor, Candidate of Technical Science,

O. Kholeva, assistant, KhNAHU

Abstract. The conditions of optimality and the method ofproblem solving concerning the construction in not-coherent polygonial area of the shortest smooth line made of arches of circles, pieces and interfacing them clothoids that can be applied at high-speed lines construction are presented.

Key words: multiconnected area, high-speed lines, clothoid, curves of complex configuration.

Введение

В настоящий момент Министерство транспорта Украины особое внимание уделяет созданию скоростных дорог первой категории, которые свяжут Европу и Азию. Кроме того, они помогут увеличить грузооборот внутри страны, что приведет к увеличению валового дохода Украины. Задача проектирования скоростных дорог минимальной длины с безопасностью движения по ним является актуальной задачей.

Анализ публикаций

Проектированию скоростных дорог посвящены многие научные работы отечественных и зарубежных ученых. Плехова А.А. и Сме-лякова С.В. одними из последних в своих работах [1, 2] рассматривали вопросы проектирования скоростных трасс минимальной длины с учетом комфорта и безопасности движения для водителей. В отличие от моделей трасс в перечисленных выше работах, где трассы состоят из прямолинейных участков и связывающих их кривых типа параболы и окружности больших радиусов, в дан-

ной работе в качестве связывающих кривых рассмотрены кривые типа клотоид.

где а - параметр (масштабный множитель); 5 - длина дуги; р - радиус кривизны.

Цель и постановка задачи

Моделирование трассы, состоящей из прямолинейных участков и участков клотоид.

Методика исследования

Постановка базовой задачи на классе SCK. Рассмотрим класс линий SCK, составленных из отрезков ^,), фрагментов клотоид (К) и дуг окружностей (С,) , вида

Р = S1K1C1K/ S2 К2С2 R2 SзK

К КПСПКП ^,

п > 1

(1)

которые в общих точках удовлетворяют условию трансверсальности. Радиусы этих окружностей г и параметры а считаем фиксированными, причем фрагменты клотоид К,

К[, примыкающие к одной дуге С, конгруэнтны и рассматриваются на интервале от точки с нулевой кривизной (в точке сопряжения с отрезком) до точки с требуемым радиусом кривизны. Угол поворота клотоиды на этом интервале не превышает п / 2 .

Пусть Рт8СК [ А, В] - множество линий класса БСК, которые лежат в классе эквивалентности путей [/], представленном ломаной минимальной длины I, а L(p) - длина пути р.

Базовая задача 8СК. Для данной ломаной 1=АВС найти

Р = а^тіп L(р) .

Р^Рт,БСК [А,В]

(2)

Поскольку ломаная I - кратчайшая в [/], из [1] следует, что решение задачи (2), если существует, содержит минимум один (п=1) фрагмент вида (1). Обобщение этой задачи на случай многофрагментного (п>1) пути вида (1) назовем стандартной задачей на классе БСКг.

Рассмотрим клотоиду, заданную натуральным уравнением

Р =

(3)

Кривая расположена на плоскости Хху традиционным образом, т.е. так, что клотоида касается оси абсцисс в начале координат X, где ее радиус кривизны равен бесконечности. Пусть ее фрагмент - дуга ХМ, расположена в I квадранте и касается в точке М окружности О радиуса г . В этом случае ее параметрическое уравнение имеет вид

5

х = | cos

О

V 2а У

йи, у = | sin

О

V 2а У

Найдем координаты центра окружности О и точки М. Поскольку угол поворота Да кривой (3) на дуге ХМ не превышаетп / 2 , точка М лежит на дуге с угловой мерой п /2 относительно точки D1, где OD - перпендикуляр к оси абсцисс. По определению кривизны k дуги имеем

(5)

где а - угол касательной к оси абсцисс. Используя (3), получим 5 / а = dа / ds , а значит, угол поворота клотоиды на фрагменте дуги ХМ длины 5 = а / г составит

Да = -

2г2

(6)

С учетом (4) координаты точки М равны

■V

= | ^

О

5

г

V 2а У

„2 Л

й5,

(7)

У" = 1

й5, иг =—.

Тогда получаем координаты точки О

ГХо = Хм - гsin(Да);

1 Уо = Ум + г ^(Да).

(8)

Через точку О проведем окружность радиуса R = Уо ■

R =| sin

а / г ( 5 2 Л

V 2а У

йи + г cos I —- I, ( 9)

2г2

а точку ее касания с осью абсцисс обозначим D.

5

а

х

г

а

о

Пусть А - произвольная точка на оси абсцисс, лежащая левее точки Х, а С1 - произвольная точка на окружности О радиуса R, полярный угол которой уА относительно луча OD удовлетворяет условию Да<уА <п/2. Тогда по построению линия

р = AD и arcDC1 е БС однозначно определяет линию q = АХ и агсХМ и агсМС е БСК ; операцию перехода от р к q назовем сглаживанием (линии класса БС) клотоидой.

Решение базовой задачи. Решение задачи (2) построим, опираясь на решение аналогичной задачи класса БС [1].

Лемма 1. Если в базовой задаче БС точка С расположена внутри круга радиуса R на расстоянии г < R от центра, то условия связи и оптимальности примут вид

R - гsin(x-а) = аsinа, (10)

а sin а= Ь sin в, (11)

2 х = а + 5-р, (12)

где стороны и углы определены относительно точек А, В и С. В этом случае базовую

задачу БС обозначим через БСт, а ее решение - р*гК.

Теорема 1. Если решение q* базовой задачи (2) для радиуса г существует, оно задается (нормальным или сингулярным) решением р*гК оптимизационной базовой задачи БС относительно параметров А, В, а, в, £, для радиусов г и R вида (9), определяемым условиями связи и оптимальности (10)-(12), к которым применена процедура сглаживания клотоидой. При этом разность длин кривых р*гК и q* равна

ДЬ = 2^ + (А + В + а + в)^ - г), т.е. константе, а положение точек Х и М определяется относительно точки касания D и луча OD соответственно отрезком длины х0 из (8) и углом Да - из (6).

Трудоемкость получения решения задачи на классе БСК по решению р*гК задачи на классе БС требует порядка 30-40 операций. При этом существенно важно, что при решении

задачи (2) для общего случая (1) эти действия следует выполнять только раз.

Приближенный метод решения базовой задачи БСК в некоторых случаях требует строить или модифицировать решение, полученное на классе БС или БСК. С этой целью предлагается метод модификации пути р е БС клотоидой, допускающей естественную диалоговую реализацию, который позволяет сглаживать клотоидой любой требуемый фрагмент класса БС, где дуги окружностей имеют заданный радиус г .

Так, пусть D - точка касания прямой, проходящей через точку А, с окружностью О радиуса г, положение которой определяет оптимальное решение р* = AD и arcDCK базовой задачи БС для радиуса г . В этом случае линия минимальной длины в классе БСК, сопрягающая отрезок, идущий из точки А, и окружность О радиуса г имеет вид q = АХ и агсХМ и агсМСК , причем замена фрагмента р на q приводит к увеличению длины на величину

Д^ = IАХ + а |-

АХ + х0 . ( а

-------+ г • + гI — -ф

cosф V2г

.^соэ ф-1

АХ----------:—+ г (ф- tgф)

cos ф

(13)

+

(

+

£. - Хо

2г cos ф

Л

При этом, если р - оптимальное решение в классе БС, то и его модификация клотоидой, путь q, с уменьшением угла ф стремится к оптимальному решению в классе БСК, то и его модификация клотоидой, путь q, с уменьшением угла ф стремится к оптимальному решению в классе БСК, причем отклонение ^ф вида (13) можно оценить значением, не превосходящим 1 % при углах ф, не превышающих 5°.

Решение задачи БС. В этом случае оптимальная трасса имеет вид

р* = Б1С1Б2С2к СА+!,

п > 1. (14)

Не теряя общности, положим, что решение вида (14) существует и все фрагменты

Фг = Б,С,Б,+1, Бх = Е-Ц,, С, = агсЦ,Е, трассы

р* определяют нормальные решения. Для каждого из этих фрагментов остаются в силе условия связи и оптимальности [1] для точек, лежащих на касательных.

Алгоритм 1.

1. Пусть а - некоторый угол, задающий граничное условие задачи БСа для точек А и С1. Он определяет окружность О1, положение которой удовлетворяет условиям связи и оптимальности, а также прямую Е1Е1/ (для любой точки Е/ фрагмент АД и агсЦ1Е1 и Е1Е1/ является оптимальным решением БСа для А и Е1/), исходя из соотношений

(15)

х =а + аітаіпі 1-----------sin а

1 1 R

агсС1Е1 = п / 2 + а - х.

(16)

2. Зная точку Е1и ориентацию касательной Е1 Е1/ , определенную вектором, ортого-

нальным к О1 Е1 , получаем окружность О2 , проходящую через С2 и касающуюся Е1 Е1/ , а по ней - подробно (1) - точку Е2 и соответствующую касательнуюЕ2Е^, и т.д. до Е2Е^ .

3. Полученную трассу обозначим

ра = AD1 и arcD1E1 и E1D2 иarcD2Е2 и К и arcDnEn и Еп5а

где Ва - точка на ЕпЕ1п, такая, что

ЕА = ЕпВ .

По построению этого алгоритма получаем, что при Ва = В трасса ра доставляет решение задаче БС. Однако поскольку угол а выбран произвольно, угол в(а) = ^ВЕпЕ1п, в общем, не равен нулю, но является непрерывной функцией малой вариации относительно угла а (и наоборот, так как точки А, В входят в постановку задачи симметрично). Поэтому в некоторой окрестности

а = (а1, а2) начального угла а содержится решение поставленной задачи, т.е. такой угол а* є а, что Р(а) = 0. Для построения этой окрестности достаточно варьировать угол а с шагом (Ла а-1 =а-Ла, а1 =а + 2Ла,К ),

пока не получим пару прямых вида ЕпЕп и ЕпЕЩ, содержащих между собой точку В. Если шаг Да достаточно мал, при некотором k = к* получим |в(а^)| <Д, где Д - требуемая точность решения. Если шаг Да достаточно велик, на полученном интервале а с требуемой точностью Д решение задачи минимизации в(а), а е а можно эффективно получить методом хорд. При этом трудоемкость решения задачи БС в общем случае можно оценить величиной

kQ

102п / Л (операций). (17)

Решение задачи SCK1. Предложенный метод решения базовой задачи (2) на классе SCK позволяет естественным образом сводить общую задачу SCK1 поиска кратчайшей трассы вида (1) к модифицированной задаче SCrR и процедуре сглаживания клотоидой. При этом расчет производится только один раз, а значит, трудоемкость применения алгоритма 1 составляет k « (30 + 2kф )п = 70 • п

(операций), а уточнение решения за счет варьирования начального угла а требует порядка

k* « 200 • п / Л операций. (18)

Решение задачи SСР. Пусть SСР - класс линий, состоящий из отрезков $, фрагментов кубических парабол р и дуг окружностей Сі вида

р = S1рC1р/S2РСР2S зК

К РпСпРП Sn+l,

п > 1,

(19)

которые в общих точках удовлетворяют условию трансверсальности. Используя те же обозначения, что и выше, рассмотрим задачу сопряжения отрезков и дуг окружностей фрагментом параболы ХМ, уравнение которой в системе координат Хху имеет вид

У = ^. Х ^ Хтах = 2/5

6д

где q - заданный параметр, а хтах - предел монотонного убывания радиуса кривизны.

тах

Выводы

Разработан метод решения задачи о построе-

Базовая задача БСР (при п =1) для заданной нии в неодносвязной мн°гоугольн°й °бласти

ломаной ставится как (2) и с той же трудоем- кратчайшей гладкой трассы, составленной из

костью (по порядку величины) решается по- дуг окружностей, отрезков и сопрягающих

добно процедуре сглаживания клотоидой, их клотоид, что может быть применено для

как и задача в общем случае (п>1). При этом скоростных трасс. длина фрагмента параболы q* определяется

величиной

Литература

1. Плехова А.А. Метод оптимального решения базовой задачи о кратчайшем скруг-лении / А.А. Плехова // Информатика: сб. науч. тр. - К. : Наукова думка. -

1998. - Вып. 5. - С. 124-126.

при

t = (1 +12)3 2г

(21)

2. Смеляков С.В. Математична модель деяких завдань оптимізації на шляхах С.В. Смеляков, Ю.М. Стоян // Известия АН СРСР. Технічна кібернетика. - 1981. - С. 180-188.

а длина модифицируемой трассы класса БС (с кривой R и параметром Да = arctgt) уменьшается на величину

ЛЬ = 2(хг - 2sin Ла-1 + г •Ла) +^ - г)(А + В + а + Р).

Рецензент: В.В. Филиппов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 1 сентября

2011 г.