CC BY
31
СИСТЕМЫ И
ПРОЦЕССЫ
УПРАВЛЕНИЯ
УДК519.853
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ СОЕДИНЕНИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ТРАСС
ПЛЕХОВА А.А.
Рассматриваются основные особенности моделирования задач поиска оптимальных связывающих сетей для случая, когда составляющие их трассы должны удовлетворять ограничениям на кривизну и лежать в заданной области сложной геометрической формы. Этот класс задач возникает при проектировании автомобильных дорог, железнодорожных и трамвайных линий; родственные им задачи возникают при проектировании инженерных сетей (теплосети, водопровод).
Развитие соответствующих САПР существенно затруднено из-за отсутствия эффективных методов моделирования и оптимизации соединений подобного типа. Для решения этой проблемы в работе строится модель основных типов ограничений на кривизну и поток и на ее основе формулируется основная оптимизационная задача о поиске оптимальной трассы, к решению которой и сводится общая задача оптимизации соединений с ограничениями на кривизну и поток.
1. Особенности моделирования задач соединения с ограничениями на кривизну
На концептуальном уровне под задачей соединения [1,2] понимают задачу, связанную с поиском в данной области F трасс, описываемых различного рода коммуникациями, которые связывают данный набор точек, если их более двух. Совокупность трасс называют сетью S. При этом на трассы, составляющие искомую сеть, накладываются определенные ограничения 0, характеризующие технологические требования , и требуется, чтобы эта сеть S была наиболее эффективна в смысле некоторого принципа оптимальности R(S), или функционала f(S), определяющего стоимость сооружения и эксплуатации трасс.
Так, в «простейшем» случае рассматривают евклидову задачу Штейнера [3], которая состоит в поиске кратчайшего дерева на плоскости, соединяющего заданное множество точек. Однако даже эта задача является нерешенной [3] в смысле ее NP-полноты: использование известных необходимых условий оптимальности позволяет находить точное решение лишь для числа точек, не превышающего
нескольких десятков. Вместе с тем, в плане моделирования прикладных задач, где области, допустимые для прокладки сетей, неодносвязны, а образующие сеть трассы должны удовлетворять ряду ограничений геометрического характера и минимизировать неаддитивный функционал, получаем, что даже оптимальное решение задачи Штейнера в силу своей неадекватности может оказаться хуже эвристического, но допустимого решения, поскольку составляющие сеть Штейнера отрезки должны быть модифицированы так, чтобы они лежали в данной неодносвязной области Fи представлялись гладкими кривыми. При этом основной, традиционно рассматриваемый критерий эффективности - суммарная длина трасс — уступает место фактору полноты учета ограничений Q, в связи с чем ценность оптимального дерева Штейнера, даже в качестве начального приближения, вообще становится проблематичной. При этом сметная стоимость трассы перестает определяться ее длиной, поскольку проявляются дополнительные затраты, зависящие от используемых радиусов кривых (например, на уширение дорог и сооружение виражей) занимаемой территории (препятствующей прокладке иных трасс).
Поэтому данный класс задач, связанный с моделированием и оптимизацией трасс с различными ограничениями на кривизну, как и родственный ему класс задач поиска оптимальных ломаных с ограничениями на угол поворота и подсоединения, непосредственно не сводится к известным задачам поиска кратчайших трасс [ 1]. Учитывая чрезвычайную актуальность этих классов задач для приложений, а также отсутствие эффективных моделей и методов их решения на ЭВМ, можно сделать вывод о необходимости развития моделей и методов оптимизации, которые были бы ориентированы на решение основных классов задач соединения с ограничениями на геометрические и топологические параметры трасс, возникающих в практике проектирования автомобильных дорог [4], железнодорожных и трамвайных линий [5,6], тепловых [7], газовых, водопроводных, канализационных и других видов инженерных сетей.
Наиболее эффективным подходом к решению этой проблемы можно считать тот [1,2], который основан на синтезе комбинаторных и вариационных методов и ориентирован на оптимизацию сетей на множестве допустимых трасс. Его суть состоит в рассмотрении иерархической системы моделей. Модели нижнего уровня ориентированы на решение базовых задач поиска оптимальной трассы р* на множестве Pq(A,B)MF трасс, соединяющих заданную пару точек А,В и удовлетворяющих специфическим ограничениям Q. Модели более высокого уровня ориентированы на решение задач поиска трасс с подвижным концом и связывающих сетей с помощью общих методов оптимизации. Это позволяет, с одной стороны, использовать и разрабатывать общие методы оптимизации связывающих сетей безотносительно специфики ограничений, определяемых конкретными приложениями, а с другой — учитывать все частные ограничения, разрабатывая модели и методы решения базовых задач.
38
РИ, 1998, № 4
2. Основные типы функционалов и ограничений
Рассмотрим, какие основные типы функционалов f(p) и ограничений Q(p) накладываются в указанных выше приложениях на трассы pMF и границу L=Fr F данной двумерной области F, которые соответствуют нормам проектирования коммуникаций в плане. Эти требования должны увязываться с нормами проектирования продольного профиля, особенно в случае сильно пересеченной местности (например, при проектировании серпантина). Вместе с тем, большинство территорий, на которых находятся промышленные предприятия и населенные пункты, описываемые неодносвязными областями, в первом приближении можно считать равнинными, и тогда в соответствии со Строительными Нормами и Правилами (СНиП) поправки на ландшафтное проектирование не внесут изменений в характеристики трасс в плане, а потребуют лишь доработки проекта в отношении расчета продольно -го профиля трасс.
С топологической точки зрения область F определяется диском с пі0 дырками и описывается свободной группой C(n). Геометрически область F может быть односвязной (выпуклой или невыпуклой) при п=0или неодносвязной при n>0. Граница L области F составлена из конечного числа спрямляемых линий, L={L1, L2, ... ,Lk}, причем их функциональный класс не обязательно совпадает с классом линий, на котором ищется оптимальное соединение. Например, граница L может быть составлена из ломаных, определяющих границы цехов, а искомая трасса — гладкая кривая, характеризующая ось внутризаводской железнодорожной линии.
Для определенности и в соответствии со СНиП под трассой р будем понимать линию, представляющую простую кривую ограниченной вариации поворота. Основные классы линий — гладкие и ломаные, важным частным случаем последних являются ломаные, составленные из отрезков, параллельных осям заданной декартовой системы координат. Первые, для определенности, называют евклидовыми, а вторые - манхеттеновыми [9]. Гладкие кривые составлены из отрезков, дуг окружностей и сопрягаемых кривых (кривые второго порядка и радиоидальные спирали).
Эффективность трассы р определяется функционалом f(p) или принципом оптимальности R(p), который может определять стоимостные, надежностные и иные показатели трассыр. Функционал или показатели в общем случае не аддитивны. Например, стоимость чугунного водопровода, помимо прочего, определяется не только его длиной, но и количеством вершин его ломаной, так как на каждом его повороте следует ставить бетонные упоры; стоимость автомобильной дороги и безопасность движения по ней зависят от числа поворотов и их радиусов, так как каждый поворот оборудуется уширением или виражем и, в силу ограничения обзора и других очевидных причин, понижает безопасность движения.
Вместе с тем, при моделировании допустимых соединений расчет их эффективности (в смысле значения функционалаf или принципа оптималь-
ности R) тривиален, на чем и основано использование вариационных методов поиска оптимального решения на множестве допустимых путей P(A,B) , моделирование которого и составляет суть проблемы. Поэтому для ее решения предлагается [1,2] вводить в рассмотрение базовые задачи соответственно заданной группе ограничений. Таковыми являются, к примеру, задачи поиска кратчайшего профильного соединения [9], кратчайшей квази-манхеттеновой ломаной, представленной отрезками и дугами окружностей заданного радиуса [10], и др.
В данной работе ставится задача расширить эту совокупность базовых моделей в целях покрытия ими основных типов ограничений на кривизну и изломы трасс, а также на согласование потоков, отсутствие средств моделирования для которых служит существенным препятствием на пути развития САПР коммуникаций и инженерных сетей.
2.1. Ограничения на структуру гладких (с непрерывной производной) кривых:
1) кривая составлена из отрезков и дуг окружностей фиксированного радиуса R;
2) кривая составлена из отрезков и дуг кривых второго порядка ограниченной кривизны K, Kmin<K<Km
ax;
3) кривая составлена из отрезков, дуг окружностей ограниченной кривизны К, 1/Rmax <F<l/Rmin и сопрягающих их клотоид.
При этом может иметь место ситуация, когда дуги окружностей в заданном диапазоне радиусов могут принимать лишь заданные дискретные значения.
2.2. Ограничения на ломаные:
4) ломаная с ограниченным числом вершин N;
5) ломаная с ограниченным углом поворота а в каждой вершине (как правило, -p/2<a<p/2 );
6) ломаная с фиксированными значениями допустимых углов поворота в вершинах (a=±a1, ±а2, ..., ±ап ).
2.3. Ограничение на длину и форму трассы.
Пусть на кривой lp лежит некоторая точка Т.
Назовем ее отмеченной точкой типа qk , если в соответствующем месте трассу р, определяемую линией lp , следует снабдить технологическим оборудованием типа qk (к—1,2, ..п). Например, это может быть опора, компенсатор теплового расширения, смотровой колодец и т.п. Далее, пусть имеется правило и, которое задает условие выбора пометок типа qk соответственно длине и форме линии lp . Тогда:
7) Требуется, чтобы линия lp была снабжена отмеченными точками Тц) , T(2), ... ,T(n) и признаками qn , qi2, ... ,qin , при которых удовлетворяется правило и. Например, на теплотрассе это могут быть места установки П-образных компенсаторов на прямолинейных участках длины, большей предельной; однако при меньшей длине компенсатор не требуется, так как его функцию будут выполнять изгибы.
2.4. Ограничения на ориентацию и примыкания потоков возникают, когда для трассы p(t) задана параметризация te[0,1], р(0) =А, р(1) =В, определяющая направление потока от A к В, в качестве которого может выступать жидкая или газообразная среда, либо транспортное средство в условиях, когда
РИ, 1998, № 4
39
требуется обеспечить возможность прямого, без разворота автопоезда или без перемены головы поезда, следования транспортного средства через пункты примыкания.
8) Примыкание с согласованием потоков по направлению:
— для гладких кривых — с учетом сопряжения 1 — 3;
— для ломаных — с учетом 4—6.
Например, в первом случае это может быть
примыкание подъездного пути к железнодорожной линии общей сети. Во втором случае — присоединение к канализационному коллектору в одном уровне, если потоки сходятся под острым углом, в противном случае следует сооружать колодец с перепадом в виде стояка.
9) Примыкание с обеспечением достижимости.
При построении сети, связывающей заданные
точки А1, А2, ... ,Ап , может потребоваться, чтобы между некоторыми (или всеми) из них имелась возможность прямого следования. В этом случае нужно, чтобы в сети возникали циклы и петли, а отдельные точки подсоединялись к сети не одной, а двумя или большим числом трасс.
10) примыкание по допустимым участкам.
Это означает, что подсоединение трассы р1 к сети
(т.е. к другой трассе р2) возможно лишь в отмеченной точке ТОр2 или фрагменте р*Мр2 . Например, соединение двух канализационных линий допустимо только в колодце; поэтому, если проектируемая линия рз кратчайшим образом подходит к имеющейся линии pi между ее отмеченными точками (т.е. колодцами), то необходимо либо соорудить в этом месте колодец, либо увеличить длину линии р1 и вывести ее на существующий колодец. Подсоединение на фрагменте означает, например, что пересечения и примыкания автомобильных дорог и железнодорожных линий, как правило, следует располагать на прямых участках дорог.
3. Общая задача соединения и основная оптимизационная задача
В соответствии с введенными понятиями может быть сформулирована следующая Общая задача соединения. В заданной области F задан набор точек {A}i=1,n и некоторые сети {sj}j=1,m. Требуется соединить эти точки и сети связывающей сетью S* так, чтобы для нее выполнялись заданные ограничения Q типа 1 — 10 и она была наиболее эффективна в смысле заданного принципа оптимальности R.
Учитывая рассмотренную выше возможность и целесообразность декомпозиции этой общей задачи, получаем, что ее решение, в конечном счете, сводится к решению следующей задачи оптимизации в классе эквивалентности путей [t]. Основная оптимизационная задача (ООЗ). Найти arg min R*(р), рєРш(А,В)
где R* — сужение принципа оптимальности R, заданного для сети, на путь с фиксированными концами, а Q * — соответствующее сужение ограничений. Сужение принципа оптимальности R и ограничений Q объясняется тем, что часть из них определена для сетей в дополнение к тем ограничениям Q* и критерию R*, которые заданы для трасс.
Например, в случае подсоединения труб через колодец, т.е. при выполнении граничного условия типа 10, функционал f(S) определяет затраты на прокладку трубопроводов и сооружение колодцев для сети S . Поэтому при подключении трассы р1 к трассе р2 можем получить f(piup)= f(p1)+f(p2), если подсоединение производится через существующий колодец, и f(piup2)> f(pі) +f(p2), если такой колодец придется сооружать дополнительно.
Актуальность основной оптимизационной задачи определяется еще и тем, что в общем случае векторный принцип оптимальности R лишь в общих чертах отражает цель проектирования, найти формальное представление для которой, с учетом всех факторов на практике, в настоящее время не представляется возможным. Именно в этом отношении ООЗ позволяет существенно повысить эффективность систем проектирования типа AutoCAD, так как потенциально обеспечивает автоматическое решение задачи проектирования трассы в интуитивно избираемой проектировщиком «полосе варьирования» [2], математическим аналогом которой как раз и является класс эквивалентности путей [t], т.е. в явном виде задаваемое подмножество Pq*(A,B) множества PtQ*(A,B), на которые последнее разбивается процедурой оптимизации [1,2].
Литература: 1. Смеляков С.В., Стоян Ю.Г. Моделирование пространства путей в задачах построения оптимальных траекторий // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1983. Т.23, №1.С.73-82. 2. Смеляков С.В., Алисейко А.А. Общая задача поиска оптимальных пространственных соединений и особенности ее моделирования при решении прикладных задач. Харьков, 1990. 108 с. Деп. В Укр. НИИНТИ 28.07.1990. 3. Кристо-фидесН. Теория графов: Алгоритмический подход. М.: Мир. 1978. 432 с. 4. СНиП2-Д.5-72. Автомобильные дороги. М. 1973. 5. СПИЛ 2-Д.2-62. Железные дороги колеи 1524 мм промышленных предприятий. М. 1963. 6. СПИЛ 2-Д.4-62. Трамвайные пути колеи 1524 мм. М.1964. 7. СПИЛ 2-Д.4-86. Тепловые сети. М. 1986. 8. СПИЛ 2-Г. 13-67. Газоснабжение. М. 1967. 9. Смоляков С.В., Стоян Ю.Г. О сведении задачи телесной трассировки к задаче поиска оптимальной манхеттеновой трассы// Автоматизация проектирования технологических процессов. 1984. Вып.1. С.5-9. 10. Смеляков С.В., Алисейко А.А. Модель и метод решения задачи о построении пути минимальной длины при ограничении на кривизну. Харьков. 1993. 19 с. Деп. В ГЛТБ Украины 10.03.1993; №430.
Поступила в редколлегию 17.09.1998 Рецензент: д-р физ.-мат. наук Смеляков С.В.
Плехова Анна Анатольевна, аспирант института Проблем машиностроения АНУ Украины. Адрес: Украина, 310000, Харьков, ул. Калининградская, 9, тел. 10-27-82.
40
РИ, 1998, № 4
