Построение на ЭВМ областей гарантированной полосы пропускания линейных систем автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

TECHNICAL SCIENCES

ПОСТРОЕНИЕ НА ЭВМ ОБЛАСТЕЙ ГАРАНТИРОВАННОЙ ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Грушун А.И.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Севастопольский государственный университет», доцент

Грушун Т.А.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Севастопольский государственный университет», доцент

COMPUTER CONSTRUCTION OF AREAS OF GUARANTEED BANDWIDTH OF LINEAR

AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS

Grushun А.

Federal state autonomous educational institution of higher professional education

"Sevastopol state University", associate professor

Grushun T.

Federal state autonomous educational institution of higher professional education

"Sevastopol state University", associate professor

Аннотация

Рассматривается метод построения на ЭВМ областей, внутри которых ширина полосы пропускания не меньше требуемой, в пространстве параметра линейных систем автоматического управления (САУ). Для решения задачи необходимо многократное построение и анализ амплитудно-частотной характеристики или частотного годографа САУ, а так же построение и анализ годографа D-разбиения. Эти годографы имеют нерегулярный характер изменения, и для сложных систем их построение может превратиться в существенную проблему, связанную с выбором шага изменения и максимального значения частоты. В свою очередь, для решения задачи нужны годографы не в целом (не во всем диапазоне частот), а лишь их отдельные точки, с помощью которых определяются границы искомых областей. Предлагается определять наличие этих точек по положительным вещественным корням специальным образом построенных алгебраических уравнений, что не требует перебора значений частотных характеристик, тем самым не требует их непосредственного построения. Предлагаемое решение задачи позволяет существенно уменьшить время получения результата и повысить сложность исследуемых САУ при построении областей устойчивости и гарантированной полосы пропускания.

Abstract

We consider a method of computer construction of areas within which the bandwidth is not less than required in the parameter space of linear automatic control systems (ACS). To solve the problem, it is necessary to repeatedly construct and analyze the amplitude-frequency characteristic or frequency hodograph of ACS, as well as the construction and analysis of the D-partition hodograph. These hodographs have an irregular behavior and for difficult systems their construction can turn into a significant problem associated with the choice of the step of change and the maximum frequency value. In turn, to solve the problem, hodographs are needed not as a whole (not in the whole frequency range), but only their individual points, with the help of which the boundaries of the desired areas are determined. It is offered to determine the presence of these points by positive real roots in a special way of the constructed algebraic equations that doesn't demand search of all values of the frequency characteristics, thereby does not require their direct construction. The proposed solution of a task allows to reduce significantly time of receiving result and to increase complexity of the studied ACS in the construction of stability areas and areas of guaranteed bandwidth.

Ключевые слова: линейная система автоматического управления, полоса пропускания, область устойчивости, область гарантированной полосы пропускания, положительные вещественные корни.

Keywords: linear automatic control system, bandwidth, stability area, area of guaranteed bandwidth, positive real roots.

Постановка проблемы

При синтезе САУ, когда требуется определить влияние значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость, строят область (области) устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров. В дальнейшем, при необходимости, внутри полученной области строят подобласть качества с требуемыми (гарантированными)

характеристиками, к которым относится и полоса пропускания. То есть, как при анализе, так и при синтезе системы управления, одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить качество ее работы, то есть насколько выполняются те или иные специализированные показатели (например, время регулирования, перерегулирова-

ние, показатель колебательности, полоса пропускания и т.п.) или критерии. Система, которая является устойчивой, на практике может быть непригодной для решения конкретных задач автоматического управления, так как ее показатели качества не удовлетворяют требованиям этих задач [1, 2, 12].

При построении областей устойчивости САУ на ЭВМ используются как поисковые методы, так и классические [1, 8], но машинно-адаптированные, частотные методы Б-разбиения. Для выделения внутри областей устойчивости подобластей с гарантированной полосой пропускания применяется многократное построение и анализ при различных значениях варьируемого параметра амлитудно-частотной (АЧХ) или амплитудно-фазовой (частотного годографа) частотной характеристик. Обла-

стью с гарантированной полосой пропускания является область, внутри которой полоса пропускания не меньше требуемой.

На практике, полоса пропускания служит для оценки быстродействия САУ и определяется частотой оп, на которой АЧХ замкнутой системы А(ю) пересекает специальную прямую, как показано на рисунке 1 [1], то есть удовлетворяет условию А(юп)=0.707А(0). В полосе пропускания АЧХ проходит над специальной прямой. Таким образом, полоса пропускания определяется решением уравнения вида:

Л(о) = 0.707Л(0), (1)

где A(0) - значение АЧХ на нулевой частоте.

Допустимые (требуемые) значения оп устанавливаются для каждой конкретной системы на основе изучения условий ее эксплуатации [1].

(0)

Рисунок 1. АЧХ замкнутой системы с полосой пропускания [0; а„]

Будем рассматривать задачу построения на ЭВМ областей с гарантированной полосой пропускания в пространстве одного варьируемого параметра линейных замкнутых систем с помощью простого, но, как показывает практика, достаточно эффективного способа, основанного на алгебраическом анализе АЧХ.

Цель статьи

Целью статьи является разработка метода (подхода) построения на ЭВМ областей гарантированной полосы пропускания САУ на основе Б-разбиения и АЧХ по положительным вещественным решениям алгебраических уравнений, то есть не требующего построения и анализа частотных характеристик. Таким образом, решение задачи сводится к алгебраизации классических частотных методов теории автоматического управления. Следует отметить, что такой алгебраический подход к решению задач автоматического управления может быть применим для построения областей качества САУ [11], анализа прямых и косвенных показателей качества [3, 4], исследования устойчивости САУ [5], анализа периодических режимов в нелинейных системах [6], анализа абсолютной устойчивости нелинейных САУ по критерию Попова [7].

Предлагаемый в статье алгебраический метод позволяет в бесконечном множестве точек варьиру-

емого параметра САУ установить те, которые определяют границы областей гарантированной полосы пропускания.

Построение областей гарантированной полосы пропускания на основе применения положительных вещественных решений алгебраических уравнений

Рассматривается случай линейной зависимости от одного варьируемого параметра а числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой САУ. Такая передаточная функция имеет вид:

, ч c(s) + av(s) ^

Ф(^) = -^ ,(2)

a(s) + ab(s)

где c(s), v(s), a(s), b(s) - полиномы с вещественными коэффициентами.

Полоса пропускания определяется только для устойчивых систем, поэтому на первом этапе строим области (интервалы) устойчивости в пространстве параметра а. Для этого применим метод, описанный в [10].

По передаточной функции (2) запишем характеристический полином замкнутой САУ:

Решение данной задачи удовлетворяет уравнению:

Im {-a(jo)/ b(jo)} = 0.

Подставим в полином (3) вместо s мнимую переменную jo и выделим варьируемый параметр:

п

а(]—) = -а(]—)/ Ь(]—) (4) Представим (4) в виде

«(— = П—1 + у.^—!, (5)

2—) 2—)

где г(—), т(—) и z(—) - полиномы с вещественными коэффициентами.

Для выделения интервалов устойчивости и неустойчивости САУ по параметру а вычислим вещественные неотрицательные корни и их кратности полиномов числителя и знаменателя мнимой части выражения (5).

Для определения границ интервалов осуществляем перебор корней полинома числителя т(—) и сравниваем очередной корень числителя с корнями полинома знаменателя z(—). Исключаем совпадающие корни с учетом их кратностей. Оставшиеся после исключения корни полинома т(—), которые являются частотами пересечения годографа D-разбиения с вещественной осью, подставляем в действительную часть выражения (5) и определяем границы интервалов «претендентов» на устойчивость. Упорядочиваем полученные границы варьируемого параметра а по возрастанию, добавляем к ним нижнюю и верхнюю предельные границы (соответствующие а=-да и а=+да) и формируем сами интервалы «претенденты» на устойчивость.

Далее, для каждого интервала определим устойчивость характеристического полинома Э(^) = асЬ(з) + а(з), где ас - среднее значение

интервала, с помощью любого алгебраического критерия устойчивости (например, Рауса). Если полином D(.s•) устойчив, то и весь интервал изменения параметра является интервалом устойчивости САУ.

На втором этапе строим подобласти (интервалы) гарантированной полосы пропускания в пространстве параметра а внутри полученных интервалов устойчивости.

Сначала рассмотрим, как алгебраическим способом (без непосредственного построения АЧХ) определить полосу пропускания при некотором фиксированном значении а из интервала устойчивости, полученного на первом этапе.

Подставив такое а в передаточную функцию (2), можно записать ее в виде

В( з)

Ф( s) = ( ) A(s)

m

где B(s) = I bmJ и A(s) = I

(6)

a„ ,s

1=0 1=0 По (6) получим выражение для построения АЧХ А—

Л—) = \Ф(]—)\ . (7)

Для этого произведем в (6) замену оператора 5 на мнимую переменную ]—. В результате получим частотную передаточную функцию:

Ф(» =

B(ja) A(ja)

m

I bm-, (ja)'

i=0

n

I ап-г(ja)'

+ jb2(a) a (a) + ja2 (a)

(8)

где Ь (—), Ь2 (—), а (—), а (—) - полиномы с вещественными коэффициентами. Представим (8) в виде

Ф(]—) = + , 2—) 2—)

где си (—) = Ь (-)а (—) + Ь2 (—)а2 (—) ,

(—) = Ь2 Оа (—)—ьх (—)аг (—),

2—)=а (—)+а (—).

Тогда выражение (7) для построения АЧХ можно представить, как:

(9)

A(a) =

Cu (a) + j. (a)

z(a) z(a)

К®) + cK®)

(10)

z2(a)

Для нахождения значения полосы пропускания —п необходимо решить уравнение (1), которое, с учетом (10), запишем в виде

V

c2® + cV(a)

z(a)

= 0.707A(0)

(11)

Возведем левую и правую часть (11) в квадрат, получим:

0

c2u(rn)+c;(co) zu(a)

0.4998A2(0)

c U (a)+cU (a) - 0.4998A2 (0)Z2 (a) = 0

(12)

Вычислим положительные вещественные корни уравнения (12). Наименьший из полученных корней и будет значением ап.

Для построения в пространстве варьируемого параметра a областей (интервалов) гарантированной полосы пропускания с заданной точностью был разработан алгоритм, основанный на методе половинного деления [9]. Рассмотрим этот алгоритм для одного интервала устойчивости, полученного на первом этапе.

Шаг 1. Задаем минимально допустимое для

„„,„ ^-.min

данной САУ значение полосы пропускания ап

, начальное значение варьируемого параметра an (an — левая граница интервала устойчивости), конечное значение варьируемого параметра ap (ap — правая граница интервала устойчивости), количество точек поиска u (значение u должно быть достаточно большим), шаг изменения варьируемого параметра (шаг поиска) ha=(ap-an)/u и l (0<l< ha) — требуемую точность вычисления значения границы параметра a.

Обозначим границы искомых интервалов как

Gm

, где s — номер интервала, а m — номер границы интервала (для левой границы он равен 1, для правой он равен 2).

Задаем a=an. Вычисляем при заданном а значение полосы пропускания Оп . Выполняем про-min

верку: если an > ап , то задаем d=0, иначе

задаем d=1.

Задаем d=d. Положим m=1, 5=1.

Выполняем проверку: если d1=0, то

Gm

= а и m=2.

Шаг 2. Задаем новое значение а=а+ ha. Выполняем проверку: если a>ap+hJ2, процесс определения подынтервалов гарантированной полосы пропускания на данном интервале устойчивости завершается. При этом, если d1=0 и d2=0, то m=2

и Gf =a-ha.

Шаг 3. Вычисляем при этом a значение полосы

пропускания Оп. Выполняем проверку: если

, то задаем d=0, иначе задаем d=1. Задаем d2=d.

an > ОПТ

Шаг 4. Выполняем проверку:

а) если й!=1 и й2=1, то переходим к шагу 2;

б) если йг=0 и й2=0, то переходим к шагу 2;

в) если йг=0, а й2=1, то переходим к шагу 5;

г) если йг=1 и й2=0, то переходим к шагу 5; Шаг 5. Задаем начальный интервал неопределенности Ь0=[с, Ь], где Ь=аа с=а- На. Задаем ё4=ё2.

Ь — с

Шаг 6. Вычисляем

У

U

. c . Вычис-

ляем при a=y значение полосы пропускания .

Выполняем проверку: если (п — (П , то задаем d=0, иначе задаем d=1.

Задаем d3=d.

Шаг 7. Выполняем проверку:

а) если d3=0, di=0, а d2=1, то положим c=y, di=d3 и переходим к шагу 8;

б) если d3=0, di=1, а d2=0, то положим b=y, d2=d3 и переходим к шагу 8;

с) если d3=1, di=0, а d2=1, то положим b=y, d2=d3 и переходим к шагу 8;

д) если d3=1, d1=1, а d2=0, то положим c=y, d1=d3.

Шаг 8. Выполняем проверку:

а) если b-c<l, процесс поиска очередной границы G завершается.

В качестве решения можно взять значение а в середине последнего интервала:

b — с

Gm =--\- c . Если m=2, то положим

s 2

m=1, d1=d4, 5=5+1 и переходим к шагу 2, иначе переходим к шагу 9.

б) если b-c>l, переходим к шагу 6.

Шаг 9. Положим d1=d4, m=2 и переходим к шагу 2.

Выводы

Предлагаемый в статье машинно-ориентированный метод позволяет полностью автоматизировать построение областей гарантированной полосы пропускания в пространстве параметра линейных САУ. Рассмотренный подход существенно упрощает и улучшает параметрический анализ на ЭВМ качества линейных САУ, имеющих высокий порядок или сложную структуру, так как не требует непосредственного построения годографа D-разбиения и АЧХ. Он основан на вычислении и анализе положительных вещественных решений алгебраических уравнений, которые, в отличие от комплексных решений, определяются на ЭВМ численными методами с высокой надежностью и скоростью даже для уравнений высоких (до сорокового) порядков. На базе рассмотренного подхода было разработано программное обеспечение, подтвердившее его высокую эффективность и позволяющее определять искомые области для систем до 25 порядка.

Список литературы

1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1972.

2. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем / А.А. Воронов. -М.: Энергия, 1980.

3. Грушун А.И. Машинно-ориентированные оценки быстродействия для оптимизации систем и процессов управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Оптимизация произв. процессов: сб. науч. тр. -Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 6. -С.218 - 222.

4. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ прямых показателей качества систем автоматического управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2012. - Вып. 125. - С.169 -172.

5. Грушун А.И. Алгебраический подход к анализу устойчивости систем управления по критерию Найквиста / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 49. -С.211 - 215.

6. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления на основе метода гармонического баланса / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация

процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2014. - Вып. 146. - С.223-226.

7. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных систем управления на основе метода В.М. Попова / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Информационные технологии и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГУ, 2015. - Вып. 1. - С.119- 125.

8. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование / Н.Н. Иващенко. - М.: Машиностроение, 1978.

9. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высш. шк., 2005.-544 с.

10. Пряшников Ф.Д. Проблема применения репрезентативных множеств в задачах построения областей устойчивости и качества динамических систем управления / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Динамические системы. - К.: Лы-бидь, 1994. - №13 - С.16 - 20.

11. Пряшников Ф.Д. Машинно-ориентированный метод построения областей качества в пространстве параметров динамических систем / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГТУ, 1995. - Вып. 1. - С.20 - 22.

12. Юревич Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. - Л.: Энергия, 1975.

КОНСТРУКЦИЯ БАГАЖ АВТОМОБИЛЯ COBALT ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО ЗАКРЫТИЯ

Вахобов Р.А.

ассистент, Андижанский машиностроительный институт

Ёкубов Ё.О.

ассистент, Андижанский машиностроительный институт

Эргашев Д.П.

ассистент, Андижанский машиностроительный институт THE DESIGN OF THE COBALT CAR'S BAGGAGE LID FOR AUTOMATIC CLOSING

Vokhobov R.

assistant, Andijan machine-building institute

Yoqubov Y.

assistant, Andijan machine-building institute

Ergashev D.

assistant, Andijan machine-building institute

Аннотация

В статье рассматривается новое устройство, которое было испытано на примере автомобиля Cobalt, устройство было разработано в основном с использованием информации о конструкции крышки багажника этого автомобиля. Abstract

The article deals with a new device, which was tested on the example of a Cobalt car, the device was designed mainly using the construction information of the baggage lid of this car.

Ключевые слова: багажник, кронштейн, автоматик, активатор, механизм, электродвигатель, устройство, динамометр.

Keywords: baggage, bracket, automatic, actuator, mechanism, electric motor, device, dynamometer.