CC BY
15
УДК 681.51
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ПО ЗАДАННОМУ ПОКАЗАТЕЛЮ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ: ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И ВНЕШНИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ПО МОЩНОСТИ
В.Н. Честнов, Н.И. Самшорин
Рассмотрена задача синтеза регуляторов по выходу линейных многомерных систем с отклонениями физических параметров объекта в заданных границах и подверженных действию неизвестных полигармонических внешних возмущений, ограниченных только по мощности. Регулятор построен так, чтобы помимо робастной устойчивости замкнутой системы, обеспечивались заданные границы на средние квадраты регулируемых переменных. Решение задачи свелось к некоторой специальным образом сконструированной проблеме Д-бесконечной оптимизации. Приведено решение широко известной тестовой задачи.
Ключевые слова: робастная устойчивость, показатель колебательности, ограниченные по м ощности внешние возмущения, точность, Дя-управление.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема обеспечения робастных свойств многомерных систем с регуляторами по выходу в современной теории автоматического управления играет существенную роль [1—4]. В этой связи, очевидна необходимость построить регулятор так, чтобы он, с одной стороны, обеспечивал робаст-ную устойчивость замкнутой системы при заданных отклонениях физических параметров объекта от расчетных (номинальных), а с другой, гарантировал бы заданные средние квадраты ошибок регулирования при действии полигармонических внешних возмущений (с неизвестными амплитудами и частотами), ограниченных по мощности.
Настоящая работа выполнена в русле ч астотно-го подхода к синтезу робастных регуляторов многомерных систем, развитого в работах [5—11]. Решение задачи опирается на «технику размыкания» системы «объект — регулятор» по варьируемым параметрам объекта [5, 9]. При этом регулятор обеспечивает заданные границы изменения коэффициентов усиления в искусственно созданных каналах, в которых присутствуют варьируемые параметры объекта (представленные их номиналами). Заметим, что традиционно в теории автоматического управления в качестве точек размыкания замкнутой системы используют обычно физический вход или выход объекта управления [6, 7]. Эта задача (обеспечение заданных границ коэффициентов усиления в данных контурах), как
и в работах [5, 10, 11], сводится к стандартной задаче Д^-оптимизации. Для обеспечения заданной точности в эту Дш-задачу добавляется вектор физических регулируемых переменных объекта с весовыми коэффициентами, для которых получены строгие аналитические выражения. В отличие от работ [5—11] здесь рассматривается гораздо более широкий класс внешних возмущений, а допуски на отклонения физических параметров от номинальных обеспечиваются с помощью другого частотного условия, позволяющего значительно улучшить их нижнюю границу. Настоящая работа объединяет подходы к синтезу, представленные в докладах авторов [12, 13].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть объект управления, описывается уравнениями в физических переменных [14]:
Ь^ф = Ь2(р)и({) + Ц(Щ), у(/) = Мф, (1)
где ^ — «0-мерный вектор физических переменных объекта (скорость, ускорение, ток, напряжение, перемещение, угол поворота и др.); и — т-мерный вектор управляющих воздействий; у — т2-мерный вектор измеряемых (и одновременно регулируемых) переменных объекта; / — т3-мерный вектор неизмеряемых внешних возмущений; N — известная числовая матрица размером т2 х п0; Ьх(р), Ь2(р), Ь3(р) — полиномиальные матрицы размеров соот-
ветственно n0 s n0, n0 s m, n0 s m3 оператора дифференцирования p = d/dt:
a1 a2
Ll(p) = I ¿1°P, L2(p) = I Ljpj,
i = 0 j = 0
a3
¿з(р) = I L\k)pk, k = 0
И i) tU) T-(k) где L\ , L2 , L3 — известные вещественные матрицы соответствующих размеров, a2, a3 < a1.
Будем полагать, что объект (1) стабилизируем и детектируем, а его уравнения представляют собой исходное, наименее преобразованное описание, полученное на основе фундаментальных физических законов механики и электродинамики.
Элементы матриц L(1i), i = 1, a1, L2j), j = 1, a2, далее будем называть физическими параметрами объекта управления. Пусть n физических параметров объекта с номинальными значениями Х1, Х2, ..., Xn могут принимать значения из заданных интервалов
Х. + ДХ.. е (X™n, Xjm*), i = 17П, (2) где ДХ.. — отклонение параметра от номинального,
« min . max
Xt , Xt — известные границы.
Компоненты вектора внешних возмущений f— полигармонические функции вида:
ДО = f0 + Z wksin(aé + i = 1> «3 • (3) k = 1
Здесь fio — неизвестная постоянная составляющая, а амплитуды w¡k, начальные фазы T¿k, а также частоты rok, i = 1, ..., тъ, гармоник неизвестны. Число гармоник не ограничено.
Будем полагать, что средние квадраты (мощности) любой компоненты внешнего возмущения подчинены условию:
Т ш
<f2 > = Щп Т í ff(t)dt = (fo)2 + 2 Z w2k < w*2,
Т ^ ш Т '
k = 1
i = 1, m3
(4)
где w*, i = 1, m3 — заданные числа.
Определим средние квадраты регулируемых переменных соотношениями [15]:
т
<y2 > = lim 1J y2 (t)dt > 0, i = 1Tm~2.
T ^ да T
0
Будем говорить, что требования к точности выполнены, если выполняются неравенства:
<y2> < (y*)2, i = 1, m2,
(5)
Однако ясно, что такого регулятора может не существовать. Поэтому определим среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы по регулируемым переменным соотношением (здесь в отличие от работы [15] не учитываются мощности управлений):
< r;t > = I
2 < y?>
i = 1 (y*)
2
(6)
на который и будем накладывать ограничения.
Задача 1. Построить стабилизирующий регулятор по выходу
и = К(р)у, (7)
такой, чтобы, с одной стороны, при заданных конечных отклонениях параметров Х1, Х2, ..., Хп от расчетных (2) замкнутая система (1), (7) сохраняла асимптотическую устойчивость, а с другой, выполнялось условие
< rSt > < Y2,
(8)
где у — заданное или минимизируемое число, К(р) — искомая правильная передаточная матрица дробно-рациональных функций оператора р размера т х т2. ♦
Очевидно, что если число у в результате синтеза получилось меньше или равно единице, то требования к точности (5) заведомо выполнены.
2. КАНОНИЧЕСКАЯ (ОТ, Л, К)-Ф0РМА
Для решения поставленной задачи представим уравнения замкнутой системы (1), (7) в канонической (W, Л, К)-форме [5, 10, 11] с учетом внешнего возмущения / Эти уравнения имеют вид:
y = Wníi+ W12и + W13f í = Лу у = W21í + W22 и + W23 f и = Ky,
(9)
где y* > 0, i = 1, m2 — заданные числа.
где №¡(8), I = 1, 2, у = 1, ..., 3 — известные передаточные матрицы, не содержащие варьируемых параметров (2); и и у — физические вход и
выход объекта управления (1); и и у — п-мерные фиктивные вход и выход объекта управления; Л = diag[X1, Х2, ..., Хп] — диагональная матрица параметров объекта управления, подверженных отклонениям от расчетных; К(8) — искомая передаточная матрица регулятора (7), далее I — единичная матрица соответствующего размера; 8 — переменная преобразования Лапласа.
Приведение к форме (9) аналогично технике, применяемой в работах [5, 9, 10]. Структурная схема (W, Л, К)-формы, соответствующая уравнениям (9), приведена на рис. 1.
m
со
Рис. 1. Структурная схема (Ж, Л, ^)-формы системы с внешним возмущением
Заметим, что уравнения замкнутой системы (1), (7) всегда могут быть представлены в канонической (Ц, Л, К)-форме (9) [9, 10].
3. ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
В настоящей работе, как и в работах [5, 10] для обеспечения допусков на параметры (2) употребляется понятие передаточной матрицы системы (9),
разомкнутой по параметрам X., I = 1, п составляющим диагональную матрицу Л, когда размыкание
осуществляется по переменной и. Для получения данной передаточной матрицы положим в уравнениях (9) /= 0 и исключим переменные и и у. Тогда получим:
у = [Цп + ц12к(1 - ^22*)-1цу и, и = Л у. (10)
Считая первое соотношение (10) некоторым «фиктивным» объектом управления, а второе соотношение «фиктивным» регулятором, можно непосредственно выписать передаточную матрицу
разомкнутой системы по «входу» и фиктивного объекта:
= -Лц = -Л[Ж, + Ж*(/ - Ц„К)-1Ц„]
21
где верхний индекс « и» указывает на точку размыкания. Структурная схема, соответствующая уравнениям (10), которую назовем (Ц, Л)-формой, приведена на рис. 2.
Особенность данной передаточной матрицы состоит в том, что варьируемые параметры составляют в ней диагональную матрицу коэффициентов усиления, что принципиально важно, поскольку позволяет весьма конструктивно воспользоваться критерием Найквиста для назначения допусков на эти параметры [5, 9, 10].
Заметим, что если эта передаточная матрица удовлетворяет круговому частотному неравенству [5, 9, 10]
[I + Цраз (-»V + Цраз (»] ^ Г21,
ю е [0, да),
то имеют место достаточные оценки на интервалы параметров:
Ш1П
X, X.
1 + г 1 - г
< X,. + АХ, < шах
1 + Г 1 - г I
/ = 1, п, (12)
гарантирующих робастную устойчивость системы (1), (7). Здесь X¡ — номинальные значения физических параметров объекта, а г — радиус запасов устойчивости (0 < г < 1) [5, 9, 10].
Отметим одну особенность оценок (12). Пусть X.. > 0, а радиус запасов устойчивости равен своему максимально возможному значению г = 1. Тогда из выражения (12) при положительном X.. следует, что интервалы возможных значений параметра X.. удовлетворяют неравенствам:
А- = X < X. + АX. < А-
1 + г 2 . . 1 - г
= да, ¡= 1, п . (13)
Здесь мы имеем хорошую верхнюю границу для параметра X., однако максимальные уменьшение X¡ от номинала возможно всего лишь в 2 раза, что не всегда приемлемо и приходится для обеспечения допусков (2) выбирать другие номинальные значения варьируемых параметров.
Покажем, что для улучшения нижней границы (12), (13) можно воспользоваться не частотным условием (11), а другим, которое следует из соображений, приведенных далее.
Рассмотрим замкнутую систему, представленную на рис. 3, где введена новая регулируемая переменная ^ = и (в работах [5, 10, 11] z = ж + и).
Здесь дополнительно к рис. 1 введены: ц> е Я" — вектор фиктивных внешних возмущений; z е Я" — вектор фиктивных регулируемых переменных, совпадающий с вектором и.
Легко показать, что передаточная матрица, связывающая фиктивное внешнее возмущение ж с
фиктивной регулируемой переменной z = и в замкнутой системе (см. рис. 3), имеет вид:
z = 7>, Т(8) = -ц! (8)[1 + (5)]
-1
(11)
Рис. 2. Структурная схема (Ж, Л)-формы
Рис. 3. Структурная схема замкнутой системы с фиктивным возмущением
Рис. 4. Структурная схема системы с мультипликативным возмущением
Следуя работе [16], поместим на регулируемый выход замкнутой системы (см. рис. 3) мультипликативное возмущение I + Ь, где Ь = disg[/1, 12, ..., /п], как показано на рис. 4.
Из работы [16] следует, что замкнутая система (см. рис. 4) асимптотически устойчива, если выполняется условие
1
а (Ь) < ,
а(
где а (Т^) — максимальное сингулярное значение матрицы ую) для всех частот ю е [0, да), которое, как известно [4, 8], есть Дда-норма Т^ и, таким образом, это неравенство с учетом диагональной структуры м атрицы Ь д ает следующие оценки д иа-гональных элементов этой матрицы, которые не нарушают асимптотической устойчивости замкнутой системы (см. рис. 4):
К-! * Йтлт • (14)
II да
Пусть найдено решение задачи синтеза регулятора К(8) такого, что выполнено условие
11ТА * г, (15)
где у — заданное или минимизируемое число.
Тогда очевидно, в силу д иагональной структуры матриц Ь и Л (см. рис. 4) и неравенства (14), что замкнутая система не потеряет устойчивости если
шш < X
t-Ux.ii
У У
* А, +
+ ДА, * шах < X
1-1
А,-
У
-+1 У
, = 1, п . (16)
Таким образом доказана
Теорема 1. Пусть регулятор (7) гарантирует выполнение неравенства (15). Тогда границы робастной устойчивости системы (1), (7) по физическим параметрам объекта имеют вид (16). ♦
В одномерном случае (п = 1) неравенство (15) означает, что модуль частотной передаточной функции замкнутой системы | Т( ую)| для всех вещественных частот ю не превышает значения у. В классической теории автоматического управления такое число есть показатель колебательности М(у = М) [17]. Это, в частности, говорит о том, что годограф Найквиста, соответствующий передаточной функции разомкнутой системы ^раз (8), не
пересекает круга радиусом Я = у/(у — 1) с ц ентром в точке (—С, у''0) на плоскости годографа, где
22
С = у /(у — 1). Отсюда, в частности, следует, что коэффициент усиления в замкнутом контуре (см. рис. 2) без потери устойчивости можно изменять от 1 в интервале ((у — 1)/у, (у + 1)/у).
В многомерном случае (п > 1) условие (14) имеет следующую физическую интерпретацию: по
каждому входу и (см. рис. 2), коэффициенты усиления от номинального значения, равного единице, можно независимо от других изменять в интервалах ((у — 1)/у, (у + 1)/у) без потери устойчивости. Отсюда, кстати, и следуют соотношения (16).
Таким образом, решение первой части задачи 1 сводится к такому построению регулятора (7) в Дда-проблеме (15), при котором величина у принимает заданное или минимально возможное значение. Далее покажем, что поставленная задача 1 также может быть сведена к некоторой стандартной проблеме Дда-оптимизации, уже с учетом заданных допусков на ошибки регулирования (5) при д ейст-вии ограниченных внешних возмущений (3), (4).
4. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К СТАНДАРТНОЙ ПРОБЛЕМЕ ^-ОПТИМИЗАЦИИ
Рассмотрим замкнутую систему, представленную на рис. 5.
Она описывается следующими уравнениями
У = Цц( Zl + ^) + Ц12 и + Щ3 /, и = л УУ, z1 = и, У = Ц21( Zl + ) + Ц22 и + Ц>3 /, и = Ку, Z2 = 0Щу.
(17)
Здесь дополнительно к рис. 1: е Я" — вектор фиктивных внешних возмущений; z1 е Я" — вектор
т,
фиктивных регулируемых переменных; z2 е Я — вектор физических регулируемых переменных объекта, взвешенный с помощью диагональной весовой матрицы О = d1ag[g1, #2, ..., дт2] с положитель-
ными элементами > 0, . = 1, т2 .
Введем расширенный вектор внешних возмущений ж, включающий в себя вектор фиктивных внешних возмущений и вектор реально действующих на объект внешних возмущений / и расширенный вектор регулируемых переменных z, объединяющий векторы z1 и z2. Передаточную матрицу замкнутой системы, связывающую эти векторы, обозначим через Т. Тогда можно записать:
z =
= Тж
О
1/2
Т О
-1 ум>1 »
1/2 Т
Ту/
ж,
/
Пусть регулятор К(я) разрешает задачу минимизации Нда-нормы передаточной матрицы такой замкнутой системы:
!!ТЛ < у. (18)
Тогда каждый из блоков этой матрицы удовлетворяет аналогичному условию [18], в частности,
< У, !!О1/2Ту/!!да < у.
уР
(19)
Первое из неравенств (19) совпадает с условием (15), поэтому имеем гарантируемые допуски на параметры (16), где у — реализовавшееся значение при решении задачи (18). Второе из неравенств (19) может быть представлено в эквивалентной частотной форме [7, 8]:
Ту/(-»ОТу/О) < у2!, ю е [0, да). (20) Имеет место
Лемма (о средних квадратах). Пусть выполнено частотное неравенство (20) с диагональной матрицей О, тогда средние квадраты выходных переменных устойчивой системы при действии входного сигнала из класса (3), (5) принадлежат множеству, описываемому неравенством т2
I ^ у2 > < у2!к *!!2, . = 1
Рис. 5. Структурная схема замкнутой системы
где !!ж *!! — евклидова норма вектора ж * с компонентами правой части условия (4). ♦
Доказательство леммы приведено в работе [15]. Очевидно, что выбирая элементы диагональной весовой матрицы О из равенств
|| || 2 _
(21)
. = 1, т2
(у*)
придем к выполнению целевого условия (8), где у — реализовавшееся значение при решении задачи (18).
Задачу по нахождению правильной передаточной матрицы регулятора К(5), при котором бы выполнялось неравенство (18), можно переформулировать в виде следующих вспомогательных задач Нда-оптимального и субоптимального управления.
Задача 2. Найти регулятор (7), который бы обеспечивал выполнение неравенства (18) с минимально возможным значением у = у0.
Задача 3. Дано число у > у0. Найти регулятор (7) такой, что имеет место неравенство (18). ♦
Если задачи 2 и 3 решены, то зная значение параметра у, реализовавшееся в результате синтеза, с учетом неравенств (16), легко найти достаточные оценки интервалов возможных значений параметров, гарантирующих робастную устойчивость системы (1), (7), а из целевого неравенства (8) найти оценки ошибок регулирования, которые заведомо
будут не хуже оценок (уг- > < у (у*) , . = 1, т2 .
Суммируя изложенное, сформулируем главный результат.
Теорема 2. Пусть решена Нда-задача (18) при условии (21). Тогда реализовавшееся при ее решении число у определяет:
— границы робастной устойчивости (16) на отклонения АX¡. физических параметров от номинальных X..;
— оценки средних квадратов регулируемых переменных из условий (6), (8), которые будут заведомо
не хуже оценок (уг- > < у (у*) , г = 1, т2 ♦
х
да
Теперь придадим уравнениям (17) стандартную форму записи, принятую в теории Д-управления:
z = G11w + G12u
У = G21W + G22U u = Ky,
(22)
где (8), /, у = 1, 2 — блоки передаточной матрицы
У
6(8) обобщенного объекта.
Утверждение. Передаточные матрицы (?..(8),
И
¡, у = 1, 2, обобщенного объекта (22) связаны с передаточными матрицами системы (17) равенствами:
G11 =
(I - Л W11) AWu 'Ql/2W21( I - AWn)-1 x
xAWjj + Q1/2
21
(I - Л Wn) AW13 Q1/2W>!( I - AWn)-1 x
X Л W13 + Q1/2 W2
23
G12 =
(I - AW11 )-1AW12 Q1/2 W21( I - A Wn )-1A W12 + Q1/2 W
G21 =
W2l(I- AW11 )-1 X^ f W2l(I- AW11 )-1
AWn + W12
AW13 + W23
622 = [■^(1 - ЛГ11)"1ЛЖ12 + Иу. (23)
Доказательство утверждения элементарное и здесь не приводится.
Таким образом, решая Дда-проблему (18), где весовые коэффициенты выбраны из равенств (21), добиваемся разрешения поставленной задачи 1.
5. ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА
Представим процедуру синтеза в виде последовательности действий.
1. Привести уравнения системы (1), (7) к виду (9), где Л — диагональная матрица, включающая в себя выбранные проектировщиком номиналы физических параметров, подверженных отклонениям от расчетных.
2. Записать с учетом равенств (23) уравнения (17) в стандартной форме (22), принятой в теории Дда-управления, и привести эту форму к уравнениям состояния (см. работы [8, 10]).
3. Решить задачи 2 и 3 Дда-управления (18) с учетом равенств (21) и найти передаточную матрицу К(8) регулятора (7).
4. Найти границы гарантируемых допусков на параметры объекта по формулам (16) и найти оценки ошибок регулирования из условия (8).
5. Сравнить найденные в п. 4 границы допусков с заданными.
6. Если найденные из формул (16) границы допусков на параметры объекта не покрывают заданные (2) или найденные границы на ошибки регулирования превышают заданные, то д анный м етод не дает решения. Однако можно выбрать другие значения номинальных параметров или уменьшить желаемые значения ошибок регулирования и повторить синтез, начиная с п. 2. Но в общем случае, например, если объект не минимально-фазовый по управлению, а заданные ошибки меньше предельно достижимых (либо интервалы (2) настолько широки, что никакой линейный регулятор не может стабилизировать систему), то нет гарантии на успех решения. Численные эксперименты показали, что в случае такой «пробуксовки» метода д остаточно одной-двух итераций, чтобы понять, что цели регулирования недостижимы.
Замечание. Поскольку вектор регулируемых переменных системы (17) не содержит управления u, а вектор внешних воздействий не включает в себя помех измерения, то Н^-задача (18) является вырожденной и не может быть решена популярным 2-Риккати подходом [10] и для ее численного решения необходимо применять технику линейных матричных неравенств, реализованную в рамках MATLAB в пакете Robust Control Toolbox [19]. ♦
Прокомментируем отдельные шаги этого алгоритма. В пакете [19] регулятору ставится в соответствие четверка матриц (Ac, Bc, Cc, Dc), определяющих его уравнения состояния, а искомая передаточная матрица регулятора имеет вид
K(s) = Cc(sI — Ac) lBc + Dc. При этом порядок регулятора не превышает порядка объекта [20] — степени полинома detZ1(s). В п. 3 процедуры сначала определяется минимально возможное значение у = у0 в задаче (18) с помощью функции hinflmi (см. подробнее в работе [8]), а затем решается субоптимальная задача (также с помощью hinflmi) при у > у0 (при y = Y0 часть собственных значений матрицы замкнутой системы (1), (7) оказывается почти на мнимой оси!) и находится собственно регулятор K(s).
6. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА
Проиллюстрируем эффективность предложенного метода синтеза на примере двухмассовой системы с упругой связью: двух тележек, соединенных пружиной [5, 6, 10]. Модель такой системы описывается уравнениями:
x 1 = x3, х2 = x4, х3 = —qx1 + qx2 + u + f
x4 = qx1 — qx2, y = x2, (24)
где q — варьируемый параметр (жесткость пружины), номинальное значение которого выбрано рав-
Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы: а — с регулятором К1; б — с регулятором К2
ным 2; х1 — координата первой тележки; х2 — координата второй тележки; и — управляющее воздействие; / — внешнее возмущение. Измеряемая переменная у = х2.
Для решения задачи синтеза на основе стандартной процедуры Нда-оптимизации опишем объект (24) уравнениями в пространстве состояний
[5, 6, 10]:
х = Ах + В1ж + В2и Z = С1х + + Б12и у = С2х + ^ + ^22^
0 0 1 0 0 0 0~
где А = 0 -4 0 0 1 4 0 0 , В1 = 0 0 1 1 , В2 = 0 1
.4 -4 0 0 -1 0 0
С1 =
А1 =
-44 0 0
О1/2 (0 1 0 0)
0 0 0 0
, ^2 =
, С2 = [0 1 0 0],
Б21 = [0 0], Б22 = [0].
С целью сравнения сначала был осуществлен синтез регулятора, разрешающего первую часть задачи 1 (см. § 3), когда внешнее возмущение / не принималось во внимание при синтезе. Регулятор имеет вид:
К (с) = -201 , 9 53 + 4694/ - 38 ,36 5 - 1 , 5 61 К1(5) "4 3 2 .
/ + 21,845 + 211,95 + 10565 + 2560
Пусть средний квадрат регулируемой переменной не д олжен превышать значения у * = 1, а внешнее возмущение ограничено значением ж * = 1. Тогда в соответствии с равенствами (21) получим
значение 41 = 1 единственного весового коэффициента при скалярной регулируемой переменной у в структурной схеме (см. рис. 5). Передаточная функция искомого регулятора:
* (5) = - 8 , 148 • 107 53 - 8,676 • 10 7 / - ^ / + 69,153 + 1,387 • 104/ + ^ - 8,1 64 • 1 075 - 2,524 • 1 0 7 + 6,525 • 1055 + 1,534 • 107'
Заметим, что амплитудно-частотные характеристики замкнутых систем \ Т/( ую)! с построенными регуляторами К1 и К2, как видно из рис. 6, являются монотонно убывающими функциями частоты ю. Поэтому наихудшее возмущение для этих систем — ступенчатая функция.
Переходные процессы по переменной у = х2 в замкнутой системе при нулевых начальных условиях и ступенчатом возмущении / = 1 приведены на рис. 7.
Очевидно, что установившаяся ошибка для регулятора К2 на 3 порядка меньше (при этом время регулирования также значительно — на порядок — уменьшилось). Это подчеркивает эффективность предложенного подхода к обеспечению заданной точности. Помимо этого было исследованы допуски на варьируемый параметр 4 с номинальным значением, равным 2. Гарантируемые границы были найдены по формулам (16), а истинные на основе применения критерия Найквиста к системе
(см. рис. 2), разомкнутой по переменной и (параметру 4, как в работах [5, 9]) при известном регуляторе. Так как параметр 4 есть множитель передаточной функции разомкнутой системы (10) (на рис. 2 матрица Л есть просто скаляр 4), то, определив точки пересечения годографа Найквиста
Рис. 7. Реакция замкнутой системы на единичное ступенчатое воздействие: а — с регулятором К1; б — с регулятором К2
с вещественной осью, найдем истинный интервал устойчивости по q. В табл. 1 приведены результаты этого исследования.
В последней строке табл. 1 приведены значения запасов устойчивости по модулю Ь и фазе фз, которые определяются при размыкании замкнутой системы по переменной и (физическому входу
объекта). Здесь надо отметить весьма низкие запасы устойчивости по фазе и модулю, если регулятор строится без учета внешнего возмущения, хотя границы на варьируемый параметр весьма ш ироки (см. также работу [10]).
Заключая этот раздел работы, приведем табл. 2, взятую частично из работы [21] и содержащую ин-
Таблица 1
Результаты анализа системы с полученными регуляторами
Характеристика Без учета возмущения f (с регулятором K1) С учетом возмущения f (с регулятором K2)
Значение параметра у Гарантируемые границы Истинные границы Запасы устойчивости 1,1354 0,2385 < q < 3,7615 0,1372 < q < 12,928 L = 0,539 дБ, фз = 5,12° 1,1808 0,3062 < q < 3,6938 0,171 < q < 8,176 L = 12,2 дБ, Фз = 57,2°
Таблица 2
Сравнительная таблица подходов к синтезу регулятора для объекта (24)
Метод Авторы, год, источник Требования Границы устойчивости qшin qmax
Запас по фазе Фз, ° Запас по модулю L, дБ Время регулирования t^ с
30 6,0 15 0,5—2,0
Maximum Entropy robust approach W.M. Haddad, E.G. Collins, D.S. Bernstein, 1993, [22] 26,2 4,5 20 0,4459—2,066
Robust H2 A. Farag, H. Werner, 2002, [21] 32 6,6 14,5 0,410—3,1
H Pole Placement да M. Chilali, P. Gahinet, 1996, [23] 0,5—12 (система неустойчива)
(W, A, K) - r В.Н. Честнов, 2015, [10] 65,2 20,7 5,5 0,4245—6,9264 (гарантируемые) 0,213—8,6022 (истинные)
(W, A, K) - M В.Н. Честнов, Н.И. Самшорин, 2016, настоящая работа 57,2 12,2 9,21 0,3062—3,6938 (гарантируемые) 0,171—8,176 (истинные)
формацию о других, наиболее успешных работах [10, 21—23], посвященных решению задачи управления объектом (24) в качестве «benchmark» задачи. Из таблицы видно, что предложенный здесь подход, как и подход, несколько ранее развитый в работах [10, 11], обеспечивает значительно более высокие показатели качества, нежели методы широко известные на Западе. Этот метод можно рассматривать как д ополнение подхода [10, 11], с лучшей нижней границей для области робастной устойчивости по параметру q, но худшей верхней.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе представлено решение задачи робаст-ной стабилизации при параметрической неопределенности с учетом ограниченных внешних возмущений, дополняющее известное [10, 11]. Отметим некоторые привлекательные, с инженерной точки зрения, особенности предложенного подхода:
— рассматриваются отклонения физических параметров от расчетных;
— ясные инженерные критерии: показатель колебательности и среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы;
— процедура синтеза сведена к стандартной задаче ^-оптимизации;
— порядок регулятора не превышает порядка исходного физического объекта;
— в качестве внешнего возмущения может выступать любая кусочно-постоянная функция, разложимая в ряд Фурье и имеющая ограниченную мощность.
Таким образом, теория Нш-оптимизации, изначально предназначенная к условиям неопределенностей в частотной области и внешним возмущениям из класса L2 исчезающих функций времени, показывает превосходную работоспособность в рамках, более приближенных к инженерной практике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ackermann J. Robust control: system with uncertain physical parameters. — London: Springer, 1993. — 483 p.
2. Barmich B.R. New tools for robustness of linear systems. — N.-Y.: Macmillan, 1994. — 334 p.
3. Bhattacharyya S.P., Keel L.A., Chapellat H. Robust control: the parametric approach. — Hertfordshire: Prentice Hall, 1995. — 647 p.
4. Поляк Б.Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 c.
5. Честнов В.Н. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 3. — С. 229—238.
6. Честнов В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем по заданному радиусу запасов устойчивости на базе процеду-
ры Нг-оптимизации // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 7. — С. 100—109.
7. Агафонов П.А., Честнов В.Н. Синтез регуляторов по заданному радиусу запасов устойчивости с учетом внешних возмущений на основе Ня-подхода // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 10. — С. 101—108.
8. Честнов В.Н. Синтез Н^-регуляторов многомерных систем заданной точности и степени устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 10. — С. 170—185.
9. Честнов В.Н. Подход к задаче синтеза допусков на параметры линейных многомерных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1995. — № 2. — С. 72—79.
10. Честнов В.Н. Ня-подход к синтезу регуляторов при параметрической неопределенности и полигармонических внешних возмущениях // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 6. — С. 109—117.
11. Chestnov V.N. Design of Ня Controllers under Parametric Uncertainty and Power-Bounded External Disturbances / Proc. of the 8th IFAC Symposium on Robust Control Design (R0C0ND-2015). — Bratislava: IFAC Publication, 2015. — С. 56—61.
12. Честнов В.Н., Самшорин Н.И. ^тез робастных регуляторов при параметрической неопределенности и внешних возмущениях / Тр. XII Всерос. совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014). — М.: ИПУ РАН, 2014. — С. 1033—1045.
13. Самшорин Н.И., Честнов В.Н. К синтезу регуляторов при параметрической неопределенности и ограниченных по мощности внешних возмущениях / Тр. 7-й всерос. науч. конф. «Системный синтез и прикладная синергетика» (ССПС-2015). — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2015. — С. 271—282.
14. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979. — 336 с.
15. Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 12. — C. 109—117.
16. Doyle J.C., Stein G. Multivariable Feedback Design: Concepts for a Classical/Modern Synthesis // IEEE Trans. on Automatic Control. — 1981. — Vol. AC-26, N 1. — P. 4—16.
17. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. — М.: Энергия, 1980. — 312 c.
18. The Control Handbook / Editor W.S. Levine. — N.-Y.: IEEE Press, 1996. — 1548 p.
19. Balas G.J., Chiang R..Y., Packard A., et al. Robust Control Toolbox 3. User's guide. — Natick (Mass.): The Math Works, Inc., 2010. — 178 p.
20. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H control // Int. J. Robust and Nonlinear Control. — 1994. — Vol. 4. — P. 421—448.
21. Farag A., Werner H. Robust H2 Controller Design and Tuning for the ACC Benchmark Problem and a Real-time Application // Proc. of the 15-th World Congress IFAC. — Barcelona, Spain, 2002. — 6 p.
22. Haddad W.M., Collins E.G., Bernstein D.S. Robust Stability Analysis Using The Small Gain, Circl, Positivity and Popov Theorems: A Comparative Study // IEEE Trans. on Control Systems Technology. — 1993. — Vol. 1, N 4. — P. 290—293.
23. Chilali M, Gahinet P. Нт Design with Pole Placement Constraints: An LMI Approach // IEEE Trans. on Automatic Control. — 1996. — Vol. AC-41, N 3. — P. 358—367.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А. П. Курдюковым.
Честнов Владимир Николаевич — д-р техн. наук,
вед. науч. сотрудник, Институт проблем управления
им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, И vnchest@rambler.ru,
Самшорин Николай Иванович — инженер-конструктор, Электростальский завод тяжелого машиностроения, г. Электросталь, И tesla_pro@mail.ru.
