CC BY
10Sciences of Europe # 49, (2020)_31
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ЭВМ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Грушун А.И.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Севастопольский государственный университет», доцент
Грушун Т.А.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Севастопольский государственный университет», доцент
COMPUTER PARAMETRIC ANALYSIS OF STABILITY OF LINEAR AUTOMATIC CONTROL
SYSTEMS
Grushun А.
Federal state autonomous educational institution of higher professional education "Sevastopol state University", associate professor Grushun T.
Federal state autonomous educational institution of higher professional education "Sevastopol state University", associate professor
АННОТАЦИЯ
Рассматривается машинно-ориентированный подход к построению областей c гарантированными характеристиками устойчивости линейных систем автоматического управления (САУ) на основе метода D-разбиения и критерия Михайлова. Классическая реализация этих методов требует построения частотных годографов D-разбиения и Михайлова. Эти годографы имеют нерегулярный характер изменения, и для сложных систем их построение может превратиться в существенную проблему, связанную с выбором шага изменения и максимального значения частоты. В свою очередь, для решения задачи нужны годографы не в целом (не во всем диапазоне частот), а лишь их отдельные точки, с помощью которых определяются границы искомых областей. Предлагается определять наличие этих точек по положительным вещественным корням специальным образом построенных алгебраических уравнений, что не требует перебора значений частотных характеристик, тем самым не требует их непосредственного построения. Предлагаемое решение задачи позволяет существенно уменьшить время получения результата и повысить сложность исследуемых САУ при построении областей устойчивости и гарантированных характеристик устойчивости.
ABSTRACT
We consider a machine-oriented approach to the construction of areas with guaranteed stability characteristics of linear automatic control systems (ACS) based on the D-partition method and the Mikhailov criterion. The classical implementation of these methods requires the construction of frequency hodographs of the D- partition and Mikhailov. These hodographs have an irregular behavior and for difficult systems their construction can turn into a significant problem associated with the choice of the step of change and the maximum frequency value. In turn, to solve the problem, hodographs are needed not as a whole (not in the whole frequency range), but only their individual points, with the help of which the boundaries of the desired areas are determined. It is offered to determine the presence of these points by positive real roots in a special way of the constructed algebraic equations that doesn't demand search of all values of the frequency characteristics, thereby does not require their direct construction. The proposed solution of a task allows to reduce significantly time of receiving result and to increase complexity of the studied ACS in the construction of stability areas and guaranteed stability characteristics areas.
Ключевые слова: линейная система автоматического управления, устойчивость, область устойчивости, область гарантированного запаса устойчивости, положительные вещественные корни.
Keywords: linear automatic control system, stability, stability area, guaranteed margin stability area, positive real roots.
Постановка проблемы
При синтезе САУ, когда требуется определить влияние значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость, строят область (области) устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров. В дальнейшем, при необходимости, внутри полученной области строят подобласть с требуемыми (гарантированными) характеристиками, к которым относится и запас устойчивости. То есть, при оценке устойчивости систем, одного факта устойчивости недостаточно.
Необходимо еще оценить величину степени (запаса) устойчивости, то есть степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой, как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за старения (износа) элементов системы и изменения во времени их параметров [14, с.106].
32
8с1епсев of Бигоре # 49, (2020)
При построении областей устойчивости на ЭВМ используются как поисковые методы, так и классические [1, с. 148; 10, с. 381], но машинно-адаптированные, частотные методы Б-разбиения. Для выделения внутри областей устойчивости подобластей с гарантированными запасами устойчивости применяются частотные критерии устойчивости. Областью с гарантированным запасом устойчивости является область, внутри которой запас устойчивости не меньше требуемого.
При использовании частотных критериев Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа Михайлова от начала координат, а для критерия Найквиста - удаленность кривой Найквиста от точки (-1;;0) [14, с.106].
Будем рассматривать задачу построения на ЭВМ областей с гарантированным запасом устойчивости в пространстве одного варьируемого параметра линейных замкнутых систем с помощью простого, но, как показывает практика, достаточно эффективного критерия Михайлова [1, с. 143; 2, с. 141; 9, с. 96; 10, с. 349].
Цель статьи
Целью статьи является разработка метода (подхода) построения на ЭВМ областей гарантированного запаса устойчивости САУ на основе Б-разбиения и критерия Михайлова по положительным вещественным решениям алгебраических уравнений, то есть не требующего построения и анализа частотных характеристик. Таким образом, решение задачи сводится к алгебраизации классических частотных методов теории автоматического управления. Следует отметить, что такой алгебраический подход к решению задач автоматического управления может быть применим для построения областей качества САУ [14, с. 20], анализа прямых и косвенных показателей качества [3, с. 65; 4, с. 218; 5, с. 169], исследования устойчивости САУ [6, с.211], анализа периодических режимов в нелинейных системах [7, с. 223], анализа абсолютной устойчивости нелинейных САУ по критерию Попова [8, с. 119].
Предлагаемый в статье алгебраический подход позволяет в бесконечном множестве точек варьируемого параметра САУ установить те, которые определяют границы областей гарантированного запаса устойчивости.
Построение областей гарантированного запаса устойчивости на основе применения положительных вещественных решений алгебраических уравнений
Будем рассматривать характеристический полином замкнутой САУ вида:
На первом этапе строим области (интервалы) устойчивости в пространстве параметра а. Для этого применим метод, описанный в [13, с.16]. Решение данной задачи удовлетворяет уравнению:
1т{-а( Ь( ]а>)} = 0.
Подставим в полином (1) вместо 5 мнимую переменную и выделим варьируемый параметр:
а(/®) = -а(»/ Ь(]ю). (2)
Представим (2) в виде
т(а>) _ т(о)
аЦб))-
(3)
Э^) = а(з) + аЬ(з), (1)
где г(а), ш(а) и 2(а) - полиномы с вещественными коэффициентами.
Для выделения интервалов устойчивости и неустойчивости САУ по параметру а вычислим вещественные неотрицательные корни и их кратности полиномов числителя и знаменателя мнимой части выражения (3).
Для определения границ интервалов осуществляем перебор корней полинома числителя ш(а) и сравниваем очередной корень числителя с корнями знаменателя 2(а). Исключаем совпадающие корни с учетом их кратности. Оставшиеся после исключения корни ш(а), которые являются частотами пересечения годографа D-разбиения с вещественной осью, подставляем в действительную часть выражения (3) и определяем границы интервалов «претендентов» на устойчивость. Упорядочиваем полученные границы варьируемого параметра а по возрастанию, добавляем к ним нижнюю и верхнюю предельные границы (соответствующие о=-да и а=+да) и формируем сами интервалы «претенденты» на устойчивость.
Далее, для каждого интервала определим устойчивость характеристического полинома
Э^) = асЬ(^) + а(з) , где ас - среднее значение интервала, с помощью любого алгебраического критерия устойчивости (например, Рауса). Если полином Б(5) устойчив, то и весь интервал изменения параметра является интервалом устойчивости САУ.
На втором этапе строим подобласти (интервалы) гарантированного запаса устойчивости в пространстве параметра а внутри полученных интервалов устойчивости.
Сначала рассмотрим, как проанализировать запас устойчивости при некотором фиксированном значении а из интервала устойчивости, полученного на первом этапе.
Подставив такое а в (1), можно записать характеристический полином в виде
Э^) = а0зп + ахзп~1 +... + ап . (4)
где а - варьируемый параметр, а(5) и Ъ(5) - полиномы с вещественными коэффициентами.
8аепсе8 of Бигоре # 49, (2020)
33
Произведем в этом полиноме замену оператора 5 на мнимую переменную ]О .В результате получим комплексную функцию:
О(уо) = и(о) + у'У(о). (5)
Здесь и (о) = Ке0( уо) - вещественная функция Михайлова, полученная из членов 0(8) , содержащих четные степени 8, а У (о) = 1шБ( у о) - мнимая функция Михай-
лова, полученная из членов
0(8)
с нечетными
степенями 8.
По формуле (5), изменяя частоту О от 0 до +да, строим годограф Михайлова в комплексной плоскости.
Критерий Михайлова формулируется так [14,
с.102]: система устойчива, если годограф °(]о) , начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно п квадрантов, где п - порядок системы.
На рисунке 1 годограф 1 относится к устойчивой, а годографы 3, 4 и 5 - к неустойчивым системам [14, с. 102]. Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (штриховая кривая 2 на рисунке 1). Действительно, в этом случае существует значение О, при котором
О(о) = 0 , то есть характеристический полином (4) системы имеет пару сопряженных мнимых корней S = i уО. Последнее и означает наличие
в системе незатухающих колебаний, то есть нахождение ее на границе устойчивости. Незначительное изменение параметров системы, в результате чего
годограф 0(у0) на рисунке 1 отойдет влево или
вниз от начала координат, делает систему устойчивой, а изменение параметров в другую сторону -неустойчивой [14, с. 102]. Очевидно, что чем дальше годограф Михайлова устойчивой системы находится от начала координат, тем ее запас устойчивости выше. То есть, запас устойчивости САУ будет определяться значением радиуса Я окружности с центром в начале координат, которая имеет точку касания с годографом Михайлова (рисунок 2). Для удовлетворения требования по запасу устойчивости годограф Михайлова не должен попадать внутрь круга с заданным радиусом Я.
Рисунок 1. Примеры годографов Михайлова
Рисунок 2. Годограф Михайлова с запасом устойчивости Я
Наличие точки касания годографа Михайлова
с окружностью радиуса Я (требуемого
запаса устойчивости), соответствующей частоте касания, определяется наличием положительного вещественного корня алгебраического уравнения (6):
и2 (ю ) + У 2(ю ) = Я:
. (6)
Запишем, с учетом (4), действительную
и (ю) и мнимую Жю) функции Михайлова в развернутом виде:
и(ю) = ап -ап_2ю + ап_4ю -...,
Ж(ю) = ю(ап-1 - ап-зю2 + ап-5ю - ...).
где Я - значение требуемого запаса устойчивости САУ.
Подставив эти выражения в (6) получим:
(ап - ап-2ю + ап-4ю - -У + (ап-1ю-ап-3ю + ап-5ю - "У = Я'. ^
А
\2
(ап
ап-2ю2 + ап-4ю
:.)2 +
+(ап-хю -ап-ъюъ + ап_ъюь -...)2 -В2 = 0
(7)
Таким образом, решение задачи сводится к поиску всех значений (границ) параметра а из интервалов устойчивости, полученных на первом этапе,
при которых годограф Михайлова ]№) имеет
точку касания с окружностью требуемого запаса устойчивости Я. На всем (каждом) интервале между такими соседними значениями требования по запасу устойчивости или будут выполняться или не будут. Таким образом, все интервалы, на которых требования будут выполняться (годограф Михайлова не пересекает окружность радиуса Я), являются интервалами гарантированного запаса устойчивости.
Для построения в пространстве варьируемого параметра а областей (интервалов) гарантированного запаса устойчивости Я с заданной точностью был разработан алгоритм, основанный на методе дихотомии [11, с.116]. Рассмотрим этот алгоритм
для одного интервала устойчивости, полученного на первом этапе.
Шаг 1. Задаем значение требуемого запаса устойчивости Я, начальное значение варьируемого параметра ап (аи — левая граница интервала устойчивости), конечное значение варьируемого параметра ар (ар — правая граница интервала устойчивости), количество точек поиска и (значение и должно быть достаточно большим), шаг изменения варьируемого параметра (шаг поиска) Иа=(ар-ап)/и и I (0<1< И а) — требуемую точность вычисления значения границы параметра а.
Обозначим границы искомых интервалов как
Gm
5 , где 8 — номер интервала, а т — номер границы интервала (для левой границы он равен 1, для правой он равен 2).
8аепсев of Бигоре # 49, (2020)
35
Задаем ОСщ. Вычисляем при заданном Я и а положительные вещественные корни уравнения (4) и определяем их количество ё. Задаем й=й.
Положим т=1, 5=1.
Выполняем проверку: если ё=0, то Сх = а и т=2.
Шаг 2. Задаем новое значение а=а+ На.
Выполняем проверку: если а>ар+На2, процесс определения подынтервалов гарантированного запаса устойчивости на данном интервале устойчивости завершается. При этом, если ёг=0 и ё2=0, то т=2
«С =а — На-
Шаг 3. Вычисляем при этом а и заданном Я положительные вещественные корни уравнения (4) и определяем их количество ё. Задаем ё2=ё.
Шаг 4. Выполняем проверку:
а) если ё{>0 и ё2>0, то переходим к шагу 2;
б) если ёг=0 и ё2=0, то переходим к шагу 2;
в) если ёг=0, а ё2>0, то переходим к шагу 5;
г) если ёг>0 и ё2=0, то переходим к шагу 5;
Шаг 5. Задаем начальный интервал неопределенности Ь0=[с, Ъ], где Ь=аа с=а- На. Задаем ё4=ё2.
Шаг 6. Вычисляем у
2
+ С . Вы-
числяем при а=у и заданном Я положительные вещественные корни уравнения (4) и определяем их количество ё. Задаем ё3=ё.
Шаг 7. Выполняем проверку:
а) если ё3=0, ё/=0, а ё2>0, то положим с=у, и переходим к шагу 8;
б) если ё3=0, ё/>0, а ё2=0, то положим Ъ=у, ё2=ё3 и переходим к шагу 8;
с) если ё3>0, ёг=0, а ё2>0, то положим Ъ=у, ё2=ё3 и переходим к шагу 8;
д) если ё3>0, ё/>0, а ё2=0, то положим с=у,
й=йз.
Шаг 8. Выполняем проверку: а) если Ъ-с<1, процесс поиска очередной границы в завершается.
В качестве решения можно взять значение а в
середине последнего интервала:
_ Ь С
2
С . Если т=2, то положим
т=1, ёг=ё4, 5=5+1 и переходим к шагу 2, иначе переходим к шагу 9.
б) если Ъ-с>1, переходим к шагу 6.
Шаг 9. Положим ёг=ё4, т=2 и переходим к шагу 2.
Выводы
Предлагаемый в статье машинно-ориентированный подход позволяет полностью автоматизировать построение областей гарантированного запаса устойчивости в пространстве параметра линейных САУ. Рассмотренный подход существенно упрощает и улучшает параметрический анализ на ЭВМ устойчивости линейных САУ, имеющих высокий порядок или сложную структуру, так как не
требует непосредственного построения годографов Б-разбиения и Михайлова. Он основан на вычислении и анализе положительных вещественных решений алгебраических уравнений, которые, в отличие от комплексных решений, определяются на ЭВМ численными методами с высокой надежностью и скоростью даже для уравнений высоких (до сорокового) порядков. На базе рассмотренного подхода было разработано программное обеспечение, подтвердившее его высокую эффективность и позволяющее определять искомые области для систем до 25 порядка.
Литература
1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1972.
2. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем / А.А. Воронов. -М.: Энергия, 1980.
3. Грушун А.И. Машинно-ориентированный метод определения полосы пропускания линейных стационарных систем автоматического управления / А.И. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. -Севастополь: изд-во СевГТУ, 1996. - Вып. 2. - С.65 - 68.
4. Грушун А.И. Машинно-ориентированные оценки быстродействия для оптимизации систем и процессов управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Оптимизация произв. процессов: сб. науч. тр. -Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 6. -С.218 - 222.
5. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ прямых показателей качества систем автоматического управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2012. - Вып. 125. - С.169 -172.
6. Грушун А.И. Алгебраический подход к анализу устойчивости систем управления по критерию Найквиста / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 49. -С.211 - 215.
7. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления на основе метода гармонического баланса / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2014. - Вып. 146. - С.223-226.
8. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных систем управления на основе метода В.М. Попова / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Информационные технологии и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГУ, 2015. - Вып. 1. - С.119- 125.
9. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г.Ф. Зайцев. - К.: Выща школа, 1989.
36
Sciences of Europe # 49, (2020)
10. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование / Н.Н. Иващенко. - М.: Машиностроение, 1978.
11. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В.Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высш. шк., 2005.-544 с.
12. Пряшников Ф.Д. Проблема применения репрезентативных множеств в задачах построения областей устойчивости и качества динамических систем управления / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун,
Т.А. Грушун // Динамические системы. - К.: Лы-бидь, 1994. - №13 - С.16 - 20.
13. Пряшников Ф.Д. Машинно-ориентированный метод построения областей качества в пространстве параметров динамических систем / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГТУ, 1995. - Вып. 1. - С.20 - 22.
14. Юревич Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. - Л.: Энергия, 1975.
ОСОБЕННОСТИ СОСТАВА И СВОЙСТВ ГЛИН ДЛЯ САНИТАРНОЙ КЕРАМИКИ
Сальник В.Г.
Национальный технический университет Украины «КПИ имени Игоря Скорского» Украина, Kuев
FEATURES OF COMPOSITION AND PROPERTIES OF CLAYS FOR SANITARYWARE
Salnik V.
National Technical University of Ukraine " Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute
Ukraine, Kyiv
АННОТАЦИЯ
Приведены результаты исследования разновидностей тугоплавких глин различных месторождений, используемых в современном производстве санитарной керамики из фарфоровых масс. Показаны особенности химического состава, количественного минералогического состава, дисперсности, свойств поверхности частиц глин. Отмечена необходимость учета этих особенностей глин для эффективного использования в составе шликерных масс в технологии санитарной керамики.
ABSTRACT
Results of researches of varieties of the refractory clays of different deposits used in modern production of sanitary ceramics from porcelain masses are established. The features of chemical composition, quantitative min-eralogical composition, dispersion, properties of surface of clay particles are studied. The necessity of account of these features of clays for the effective use in masses composition in technology of sanitaryware is marked.
Ключевые слова: керамика санитарная, глина, состав, лиофильность, водная система, свойства.
Keywords: sanitaryware, clay, composition, liophilicity, water system, properties.
Введение - постановка проблемы.
Детальное изучение вещественного состава и физико-химических характеристик сырьевых материалов, разработка четких технических тренований к ним с учетом конкретной технологии должны способствовать повышению эффективности производства и качества керамики различного назначения. При этом на научной основ должны определяться критерии выбора сырьевых материалов, составы керамических масс и глазурей [1].
Показано, что технологический процесс производства керамических изделий является по сути процессом формирования и последовательных преобразований их структуры. При этом выделяют три основных типа структур: коагуляционную, конденсационную и кристаллизационную [2,3].
Коагуляционная структура керамических масс [4] образуется при взаимодействии частичек дисперсной фазы и воды. Такая структура может характеризоваться структурно-механическими и технологическими свойствами.
В производстве санитарной керамики способом литья в пористые формы используются водные глинистые системы - шликерные массы, которые
отличаются составом, концентрацией дисперсно! фазы и структурно-механических и технологических характеристиками [5,6].
Отмечена зависимость характеристик водных глинистых систем от химико-минералогического состава и концентрации дисперсной фазы [7-10], значительную часть которой в шликерных массах санитпрной керашки составляют каолины и глины [11,12].
Модернизация оборудования в производстве санитарной керамики с внедрением интенсифицированных способов литья изделий [13,14] обусловили необходимость поиска и использования нових рiзновидностей глинистого сырья [15,16].. Это повысидл актуальность комплексного анализа их состава, втом числе количественного минералогического, и свойств, в том числе энергетического состояния поверхности и лиофильности. В этом направлении выполнена представленная работа.
Основная часть.
Методика и объекты исследования. В данной работе использовались хорошо апробированные в практике научных исследованиий методы физико-химического анализа сидикатных матералов:
