CC BY
17В целом, следует отметить, что энергосберегающая система предпусковой тепловой подготовки дизельного двигателя надежно обеспечивает накопление, хранение и вторичное использование тепловой энергии самого двигателя и позволяет сократить время разогрева дизеля до оптимального теплового режима и, как следствие, повысить эффективность самого двигателя, снизив расходы топлива на запуск и его прогрев.
Литература
1. Габдрафиков Ф.З. Основы теплотехники: учебное пособие [Текст]/ Габдрафиков Ф.З. - Уфа: Башкирский ГАУ, 2011 - 160 с.
2. Габдрафиков Ф.З. Возможные направления повышения эксплуатационных показателей дизелей машинно - тракторных агрегатов. [Текст]/ Габ-драфиков Ф.З. //Вестник Башкирского государственного агрегата университета, 2016 - №7. - С. 48
- 52.
3. Сураганов Г.И. Предпусковая подготовка двигателя зимой //Автомобильный транспорт. - №3.
- 1987. - с. 28-31.
4. Устройство предпусковой тепловой подготовки двигателя внутреннего сгорания. [Текст]: пат. 2576603 Рос. Федерация: МПК 51 БОШ 19/10, Габдрафиков Ф.З., Абраров М.А., Абраров И.А., Галиакберов У.С., заявка 10.12.2014; опубл. 10.01.2016.
МАШИННО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Грушун А.И.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Севастопольский государственный университет», доцент, Севастополь
Грушун Т.А.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Севастопольский государственный университет», доцент, Севастополь
COMPUTER-ORIENTED METHOD FOR ANALYZING THE ABSOLUTE STABILITY OF NONLINEAR AUTOMATIC
CONTROL SYSTEMS
Grushun A.I.
Federal state autonomous educational institution of higher professional education
"Sevastopol state University", associate professor
Sevastopol Grushun T.A.
Federal state autonomous educational institution of higher professional education
"Sevastopol state University", associate professor
Sevastopol
АННОТАЦИЯ
Рассматривается машинно-ориентированный метод, позволяющий полностью автоматизировать анализ абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического управления (САУ) по критерию В.М. Попова. Реализация критерия В.М. Попова требует построения модифицированного частотного годографа линейной части САУ и его последующего неформального анализа. Этот годограф имеет нерегулярный характер изменения, и для сложных систем его построение может превратиться в существенную проблему, связанную с выбором шага изменения и максимального значения частоты. В свою очередь, для анализа абсолютной устойчивости нужна не вся частотная кривая, а лишь ее отдельные точки пересечения с линией Попова. Предлагается определять наличие этих точек по положительным вещественным корням специальным образом построенных алгебраических уравнений, что не требует перебора всех значений частотной характеристики, тем самым не требует ее непосредственного построения. Предлагаемое решение задачи позволяет существенно уменьшить время получения результата и повысить сложность исследуемых САУ при анализе абсолютной устойчивости.
ABSTRACT
The computer-directed approach allowing to automate completely the analysis of absolute stability of nonlinear systems of automatic control (SAU) on the basis of V. M. Popov's method is considered. Realization of a method (criterion) of V. M. Popov demands creation of the modified frequency hodograph of a linear part of SAU and its subsequent informal analysis. This hodograph has irregular behavior and for difficult systems its construction can turn into the vital issue connected to a choice of a step of change and the maximum value of frequency. In turn, for the analysis of absolute stability not all frequency curve, and only its separate points of intersection
with Popov's line is necessary. It is offered to determine these points by positive real roots in a special way of the constructed algebraic equations that doesn't demand search of all values of the frequency characteristic, thereby doesn't demand its direct construction. The proposed solution of a task allows to reduce significantly time of receiving result and to increase complexity of the studied SAU in primary analysis of absolute stability.
Ключевые слова: нелинейная система автоматического управления, абсолютная устойчивость, критерий В.М.Попова, положительные вещественные корни.
Keywords: nonlinear system of automatic control, absolute stability, V.M. Popov's method, positive real roots.
Постановка проблемы
Решение задачи об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью частотным методом было предложено в 1956 г. румынским ученым В.М. Поповым [2], при использовании которого она решается более просто, по сравнению с прямым методом Ляпунова [2], приемами, аналогичными частотным способам исследования устойчивости линейных систем.
Будем рассматривать задачу анализа на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных замкнутых систем с помощью простого, но, как показывает практика, достаточно эффективного метода В.М. Попова [1-8]. Реализация метода (критерия) В.М. Попова требует построения модифицированного частотного годографа линейной части САУ (годографа Попова) [1-8]. Этот годограф, как и любой частотный годограф, имеет нерегулярный характер изменения, и для сложных систем его построение может превратиться в существенную проблему, связанную с выбором шага изменения и максимального значения частоты, которая не имеет общего удовлетворительного решения. В свою очередь, для анализа абсолютной устойчивости нужна не вся частотная кривая, а лишь ее отдельные точки пересечения с линией Попова. Сам процесс выявления возможности непересечения модифицированного годографа линейной части с линией Попова носит неформальный характер и достаточно сложно автоматизируется.
Цель статьи
Целью статьи является разработка метода выявления на ЭВМ отсутствия таких точек по положительным вещественным решениям алгебраических уравнений. Таким образом, решение задачи сводится к алгебраизации классического частотного критерия, разработанного В.М. Поповым. Следует отметить, что такой алгебраический подход к решению задач автоматического управления может быть применим для построения областей устойчивости и качества САУ [9, 10], анализа прямых и косвенных показателей качества [11, 12. 13], исследования устойчивости САУ [14], анализа периодических режимов в нелинейных системах [15], первичного анализа абсолютной устойчивости нелинейных САУ по критерию Попова [16].
Предлагаемый в статье алгебраический метод позволяет в бесконечном множестве точек годографа Попова гарантированно установить те, которые определяют решение поставленной задачи. Определение этих точек не требует перебора всех значений частотной характеристики, тем самым не требует ее непосредственного построения.
Анализ известных исследований показал, что таким образом данная задача не решалась.
Анализ абсолютной устойчивости на основе применения положительных вещественных решений алгебраических уравнений
В большинстве практически важных случаев нелинейную замкнутую САУ можно представить структурной схемой, показанной на рис. 1. В системе выделены линейная часть (ЛЧ) и нелинейный элемент (НЭ).
Рис. 1. Структурная схема нелинейной САУ
Будем рассматривать ситуацию, когда линейная часть системы асимптотически устойчива. В этом случае критерий заключается в следующем [2]: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число И, при котором при всех 0 > 0
Яе[(1 + 0И)Жш (»] +1 > 0. (1)
к
Здесь Ою) - частотная передаточная
функция линейной части САУ, а значение к определяется тангенсом угла наклона линии, ограничивающей угол (0, к) в котором задана нелинейность
(рис. 2).
Рис. 2. Сектор расположения нелинейности
Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана
(2)
с введением модифицированного годографа линейной части [2, 8]
(ja) = (ja) +
+ ja!mWm (ja). Эта характеристика получается по годографу
WЛЧ (J a) линейной части системы путем умножения ее ординат на текущее значение частоты a. Обозначив в (2)
U* (a) = Re (ja), V* (a) = a Im W^ (ja), (3) неравенство (1) можно записать в виде [2]
U"(a) -hV"(a) +1 > 0.
k
Очевидно, что равенство
U (o) - hV (O) + - = 0 k
(4)
(5)
представляет уравнение прямой на плоскости (]$), при построении которой одна точка -точка действительной оси (—1 / к, у0) , строго фиксирована, а вторая точка - точка мнимой оси (0, у(1/ кИ)), скользит по ней в диапазоне от -да до +да.
Отсюда вытекает следующая графическая интерпретация теоремы В.М. Попова [2]: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую (линию Попова) на плоскости (]ю), проходящую через точку
(—1/ к, у 0) , чтобы вся кривая (лежала
справа от этой прямой, например, как показано на рис. 3.
Критерий В.М. Попова является достаточным и его невыполнение еще не означает неустойчивость [2, 5, 6].
JЛиния Попова Ф=0
/\ ! / к
Рис. 3.
Графическая реализация критерия В.М. Попова для случая абсолютной устойчивости нелинейной САУ
В дополнение можно отметить, что если годо- (рис. 4), то критерий абсолютной устойчивости не граф Ж * (охватывает точку (—1/ к, у0) или выполняется. Если же он не пересекает действи-
пересекает действительную ось левее этой точки тельную ось (рис 5), то критерий выполняется.
Рис. 4. Графическая реализация критерия В.М. Попова для случая, когда условие абсолютной устойчивости нелинейной САУ не выполняется
Рис. 5.
Графическая реализация критерия В.М. Попова для случая абсолютной устойчивости нелинейной САУ
Таким образом, решение задачи сводится к поиску точек пересечения модифицированного годографа линейной части ^лч (¡0) с линией Попова.
При этом, если такие точки отсутствуют то нелинейная САУ абсолютно устойчива.
Наличие таких точек определяется наличием положительных вещественных решений алгебраического уравнения (5), которые являются частотами
пересечения или касания годографа (¡0) с
линией Попова. То есть, на основании графической интерпретации критерия Попова, многократно решается уравнение (5) при изменении числа
ц = (1/Щ (6)
от -да до +да, что соответствует многократному построению линии Попова. И в случае, если уравнение (5) при каком либо значении q не имеет положительных вещественных корней, то модифици-
wлч (jv) =
B(jv) A(jv)
ТЬ (jv)i
i=0
(jv)'
i=0
= С1(Ю) + ¡С20) 21(ю) + ¡22 (ю)
(8)
Тогда, согласно (2), (3) и (8) выражение для построения модифицированного частотного годографа лч (¡0) будет иметь вид
к (¡ю)=и»+¡V»=гм+¡ • тю, (9)
20) 20)
г(0) = С (®)2\ (ю) + с2 (®)22 (ю),
где
рованный годограф линейной части
^лч (¡0) не т(0) = 0(с2 (0)21(0) — С1 (0)22(0))
пересекается с линией Попова и нелинейная САУ является абсолютно устойчивой.
При машинной реализации данного метода верхняя +да и нижняя -да границы числа q заменяется на ц >> 1/ к и — ц <<—1/ к соответственно, также задается шаг изменения числа q.
Рассмотрим передаточную функцию линейной части САУ вида
*лч м=ВТ, ,
2(0) = 21 (ю) + 22 (0) - полиномы с вещественными коэффициентами.
Подставив компоненты выражения (9) в (5) и
произведя замену $ = 1/ к получим
r(v) - hm(v) + /3z(v)
Z(v)
0
(10)
(7)
где Б(/) = £ Ь/ и А(/) = £ а/ - поли-1=0 1=0 номы с вещественными коэффициентами. Заменив в (7) / наполучим
Далее, изменяя значения числа q (а следовательно, согласно (6) и числа И) с шагом Aq определяем частоты, на которых годограф ^^лч (¡0)
пересекает соответствующую заданному числу И линию Попова. Очевидно, что эти частоты можно найти, не строя амплитудно-фазовую частотную характеристику, а вычислив положительные вещественные корни уравнения
г(ю) — кт(0) + $2(0) = 0 (11) и исключив из них совпадающие с положительными вещественными корнями уравнения
z(a) = 0. И, если такие корни-частоты отсутствуют при соответствующем значении h, то исследуемая нелинейная САУ абсолютно устойчива по критерию В.М.Попова.
Выводы
Предлагаемый в статье машинно—ориентированный метод позволяет полностью автоматизировать критерий В.М. Попова анализа абсолютной устойчивости нелинейных САУ. Рассмотренный метод улучшает реализацию на ЭВМ критерия В.М. Попова для нелинейных САУ, имеющих сложную линейную часть, так как не требует непосредственного построения кривой годографа линейной части и линии Попова. Он основан на вычислении и анализе положительных вещественных решений алгебраических уравнений, которые, в отличие от комплексных решений, определяются на ЭВМ численными методами с высокой надежностью и скоростью даже для уравнений высоких порядков. На базе рассмотренного метода было разработано программное обеспечение, подтвердившее его высокую эффективность.
Литература
1. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования / М.А. Айзерман. - М.: Наука, 1966.
2. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1972.
3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления / А.А. Воронов. - Л. - М.: Энергия, 1966. - ч.2.
4. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г.Ф. Зайцев. - К.: Выща школа, 1989.
5. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование / Н.Н. Иващенко. - М.: Машиностроение, 1978.
6. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования / В.М. Попов // Автоматика и телемеханика. -М., 1961. - т. 22. - №13.
7. Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Г.Ф. Зайцев. - М.: Наука, 1988.
8. Юревич Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. - Л.: Энергия, 1975.
9. Пряшников Ф.Д. Проблема применения репрезентативных множеств в задачах построения областей устойчивости и качества динамических систем управления / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Динамические системы. - К.: Лы-бидь, 1994. - №13 - С. 16 - 20.
10. Пряшников Ф.Д. Машинно-ориентированный метод построения областей качества в пространстве параметров динамических систем / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГТУ, 1995. - Вып. 1. - С.20 - 22.
11. Грушун А.И. Машинно-ориентированный метод определения полосы пропускания линейных стационарных систем автоматического управления / А.И. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. -Севастополь: изд-во СевГТУ, 1996. - Вып. 2. - С.65 - 68.
12. Грушун А.И. Машинно-ориентированные оценки быстродействия для оптимизации систем и процессов управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Оптимизация произв. процессов: сб.науч. тр. -Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 6. -С.218 - 222.
13. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ прямых показателей качества систем автоматического управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2012. - Вып. 125. - С.169 -172.
14. Грушун А.И. Алгебраический подход к анализу устойчивости систем управления по критерию Найквиста / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб.науч. тр. -Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 49. -С.211 - 215.
15. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления на основе метода гармонического баланса / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2014. - Вып. 146. - С.223-226.
16. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных систем управления на основе метода В.М. Попова / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Информационные технологии и управление: сб.науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГУ, 2015. - Вып. 1. - С.119- 125.
