CC BY
9МАШИННО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Грушун А.И.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Севастопольский государственный университет», доцент
Грушун Т.А.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Севастопольский государственный университет», доцент
COMPUTER-ORIENTED METHOD FOR ANALYZING THE STABILITY DEGREE OF LINEAR
AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS
Grushun А.
Federal state autonomous educational institution of higher professional education
"Sevastopol state University", associate professor
Grushun T.
Federal state autonomous educational institution of higher professional education
"Sevastopol state University", associate professor
Аннотация
Рассматривается машинно-ориентированный метод, позволяющий полностью автоматизировать анализ степени устойчивости линейных систем автоматического управления (САУ). Реализация этого метода требует построения частотного годографа, который имеет нерегулярный характер изменения, и для сложных систем его построение может превратиться в существенную проблему, связанную с выбором шага изменения и максимального значения частоты. В свою очередь, для анализа степени устойчивости нужна не вся частотная кривая, а лишь ее отдельные точки пересечения с окружностью, определяющей степень (запас) устойчивости. Предлагается определять наличие этих точек по положительным вещественным корням специальным образом построенного алгебраического уравнения, что не требует перебора значений частотной характеристики, тем самым не требует ее непосредственного построения. Предлагаемое решение задачи позволяет существенно уменьшить время получения результата и повысить сложность исследуемых САУ при анализе степени устойчивости.
Abstract
The computer-directed approach allowing to automate completely the analysis of stability degree of linear automatic control system (SAU) is considered. Realization of this method demands creation of the frequency hod-ograph that has irregular behavior and for difficult systems its construction can turn into the vital issue connected to a choice of a step of change and the maximum value of frequency. In turn, for the analysis of stability degree not all frequency curve, and only its separate points of intersection with a circle that defines the stability degree (margin) is necessary. It is offered to determine the presence of these points by positive real roots in a special way of the constructed algebraic equation that doesn't demand search of values of the frequency characteristic, thereby doesn't demand its direct construction. The proposed solution of a task allows to reduce significantly time of receiving result and to increase complexity of the studied SAU in primary analysis of stability degree.
Ключевые слова: линейная система автоматического управления, устойчивость, степень устойчивости, положительные вещественные корни.
Keywords: linear automatic control system, stability, stability degree, positive real roots.
Постановка проблемы
Когда порядок характеристического уравнения САУ высок, алгебраические критерии устойчивости, как правило, не дают возможности установить степень влияния отдельных параметров на устойчивость и получить рекомендации по выбору этих параметров. В связи с этим в 30-х годах прошлого столетия были разработаны более приспособленные для инженерных исследований и расчетов графоаналитические методы, использующие частотные характеристики. В 1932 г. Г. Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Первоначально критерий предназначался для исследования радиотехнических усилителей с
отрицательной обратной связью, но вскоре он получил широкое распространение для исследования устойчивости САУ [3].
В 1936 г. А.В. Михайлов обосновал и обобщил этот критерий для теории регулирования. На базе этого критерия были разработаны впоследствии и другие частотные критерии, более удобные для практического использования [3]. Также, критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости САУ только по ее характеристическому уравнению и не требует знания структуры системы, что существенно расширяет сферу его применения.
Частотные критерии в большинстве случаев используются в качестве графоаналитических критериев, обеспечивающих наглядность инженерных расчетов.
При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину степени (запаса) устойчивости, то есть, степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой, как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за старения (износа) элементов системы и изменения во времени их параметров [15].
Отличительной чертой большинства частотных критериев является то, что они позволяют судить не только об устойчивости системы, но и определять степень устойчивости (запасы устойчивости), то есть, ее важнейшую характеристику. При использовании графических критериев Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа Михайлова от начала координат, а для критерия Найк-виста - удаленность кривой Найквиста от точки (1; j0) [15].
Будем рассматривать задачу анализа на ЭВМ степени устойчивости линейных замкнутых систем с помощью простого, но, как показывает практика, достаточно эффективного критерия Михайлова [13, 10, 11, 14]. Задача будет сводиться к тому, удовлетворяет или нет исследуемая система требованиям по запасу устойчивости. Реализация критерия Михайлова требует построения частотного годографа по характеристическому полиному линейной САУ (годографа Михайлова) [1-3, 10, 11, 14]. Этот годограф, как и любой частотный годограф, имеет нерегулярный характер изменения, и для сложных систем его построение может превратиться в существенную проблему, связанную с выбором шага изменения и максимального значения частоты, которая не имеет общего удовлетворительного решения. В свою очередь, для анализа степени устойчивости нужна не вся частотная кривая, а лишь ее точки пересечения с окружностью, определяющей степень устойчивости. Сам процесс выявления возможности непересечения годографа Михайлова с этой окружностью носит неформальный характер и достаточно сложно автоматизируется.
Цель статьи
Целью статьи является разработка метода выявления на ЭВМ отсутствия таких точек по положительным вещественным решениям алгебраического уравнения. Таким образом, решение задачи сводится к алгебраизации классического частотного критерия, разработанного А.В. Михайловым. Следует отметить, что такой алгебраический подход к решению задач автоматического управления может быть применим для построения областей устойчивости и качества САУ [12, 13], анализа прямых и косвенных показателей качества [4, 5. 6], исследования устойчивости САУ [7], анализа перио-
дических режимов в нелинейных системах [8], первичного анализа абсолютной устойчивости нелинейных САУ по критерию Попова [9].
Предлагаемый в статье алгебраический метод позволяет в бесконечном множестве точек годографа Михайлова гарантированно установить те, которые определяют решение поставленной задачи. Определение этих точек не требует перебора множества значений частотной характеристики, тем самым не требует ее непосредственного построения.
Анализ степени устойчивости на основе применения положительных вещественных решений алгебраических уравнений
Будем рассматривать характеристический полином САУ вида
D(s)
n—1
а$ + а^ +... + ап .(1)
Подставим в этот полином вместо 5 мнимую
переменную У ®. В результате получим комплексную функцию
0( У®) = и (®) + УУ (®). (2)
Здесь и (®) = ЯеБ( У®) - вещественная функция Михайлова, полученная из членов
0(8) , содержащих четные степени 8, а У(®) = 1шБ( У®) - мнимая функция Михай-
D(s)
с нечетными
лова, полученная из членов степенями 8.
По формуле (2), изменяя частоту ® от 0 до +да, строим годограф Михайлова в комплексной плоскости.
Критерий Михайлова формулируется так [15]:
система устойчива, если годограф 0(У®) , начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно п квадрантов, где п - порядок системы.
На рисунке 1 годограф 1 относится к устойчивой, а годографы 3, 4 и 5 - к неустойчивым системам [15]. Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (штриховая кривая 2 на рисунке 1). Действительно, в этом случае существует значение ®, при котором 0(У®) = 0 , то есть характеристический полином (1) системы имеет пару сопряженных мнимых корней $ — ±У®. Последнее и означает
наличие в системе незатухающих колебаний, то есть, нахождение ее на границе устойчивости. Незначительное изменение параметров системы, в результате чего годограф 0(У®) на рисунке 1 отойдет влево или вниз от начала координат, делает систему устойчивой, а изменение параметров в другую сторону - неустойчивой [15]. Очевидно, что
чем дальше годограф Михайлова устойчивой системы находится от начала координат, тем ее степень устойчивости выше. Таким образом, степень устойчивости будет определяться радиусом R окружности с центром в начале координат, то есть.
значение ее радиуса и будет запасом устойчивости САУ (рисунок 2). Для удовлетворения требования по запасу устойчивости годограф Михайлова не должен попадать внутрь круга, как показано на рисунке 2.
Рис. 1 Примеры годографов Михайлова
Рис. 2 Годограф Михайлова с запасом устойчивости
Будем рассматривать устойчивые системы.
Таким образом, решение задачи сводится к поиску точек пересечения годографа Михайлова
с окружностью радиуса R с центром в начале координат. При этом, если такие точки отсутствуют то САУ удовлетворяет требованиям по степени (запасу) устойчивости.
Наличие таких точек определяется наличием положительных вещественных решений алгебраического уравнения (3), которые являются частотами
и () = ап _
V() = (в{ап_х
а
пересечения или касания годографа Михайлова с окружностью, определяющей степень устойчивости.
и2(ф) + Г2(ф) = Я2 , (3)
где R - требуемый запас устойчивости САУ. Запишем, с учетом (1), действительную
и(&) и мнимую функции Михайлова в
развернутом виде:
(2 + ап_ (
п-2
ап_3( + ап_5( _ ...).
34 The scientific heritage No 45 (2020)
Подставив эти выражения в (3) получим:
О Л О л s О О
(ап _ап_2а + ап_4а _...) + (ап_1а-ап_ъш + -...) = R. ^ (ап _ ап_2ш2 + ап_4шА _ ...)2 +
+(ап_хт _ ап_ътъ + ап__ ...)2 _ R2 = 0. (4)
Алгебраическое уравнение (4) полностью определяет решение задачи. То есть, отсутствие положительных вещественных корней этого уравнения говорит о том, что требование по степени (запасу) устойчивости выполняется, а их наличие -что не выполняется.
Рассмотрим пример. Пусть задано характеристическое уравнение исследуемой САУ
53 + 2^ 2+1.5^ +1.3 = 0.
Необходимо определить, удовлетворяет ли система требованиям по запасам устойчивости Я г=0.5 и Я2=1.
Подставим в это уравнение вместо 5 мнимую переменную и отделим действительную и
мнимую функции Михайлова:
и (О) = -2О2 +1.3, У (О) = -О + 1.5о.
Уравнение (4) для запаса Яг=0.5 будет иметь
вид:
О + О - 2.95О +1.44 = 0. (5)
Уравнение (5) не имеет положительных вещественных корней, что говорит о выполнении требования по запасу устойчивости Яг. Это подтверждает и построение годографа Михайлова с помощью пакета МайаЬ (рисунок 3).
,4
,2
Рис. 3 Годограф Михайлова, удовлетворяющий требованию по запасу устойчивости Я]=0.5
Уравнение (4) для запаса Я2=1.0 будет иметь вид:
О +О - 2.95О + 0.69 = 0.
(6)
Уравнение (6) имеет два положительных вещественных корня 51=0.5135 и 52=1.0511, что говорит о невыполнении требования по запасу устойчивости Я2. Это подтверждает и построение годографа Михайлова с помощью пакета Matlab (рисунок 4).
На графике видно, что частоты пересечения годографа с окружностью радиуса Я2=1.0 совпадают с положительными вещественными корнями s1 и s2 уравнения (6)
Рис. 4 Годограф Михайлова, не удовлетворяющий требованию по запасу устойчивости Я2=1.0
Выводы
Предлагаемый в статье машинно-ориентированный метод позволяет полностью автоматизировать анализ степени устойчивости линейных САУ на основе критерия А.В. Михайлова. Рассмотренный метод существенно упрощает и улучшает анализ на ЭВМ степени устойчивости линейных САУ, имеющих высокий порядок или сложную структуру, так как не требует непосредственного построения кривой годографа Михайлова и окружности требуемого запаса устойчивости. Он основан на вычислении и анализе положительных вещественных решений алгебраического уравнения, которые, в отличие от комплексных решений, определяются на ЭВМ численными методами с высокой надежностью и скоростью даже для уравнений высоких (до сорокового) порядков. На базе рассмотренного метода было разработано программное обеспечение, подтвердившее его высокую эффективность и позволяющее анализировать степень устойчивости систем до 25 порядка.
Список литературы
1. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования / М.А. Айзерман. - М.: Наука, 1966.
2. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1972.
3. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем / А.А. Воронов. -М.: Энергия, 1980.
4. Грушун А.И. Машинно-ориентированный метод определения полосы пропускания линейных
стационарных систем автоматического управления / А.И. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. -Севастополь: изд-во СевГТУ, 1996. - Вып. 2. - С.65 - 68.
5. Грушун А.И. Машинно-ориентированные оценки быстродействия для оптимизации систем и процессов управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Оптимизация произв. процессов: сб.науч. тр. -Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 6. -С.218 - 222.
6. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ прямых показателей качества систем автоматического управления / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2012. - Вып. 125. - С.169 -172.
7. Грушун А.И. Алгебраический подход к анализу устойчивости систем управления по критерию Найквиста / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2003. - Вып. 49. - С.211 - 215.
8. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления на основе метода гармонического баланса / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Автоматизация процессов и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевНТУ, 2014. - Вып. 146. - С.223- 226.
9. Грушун А.И. Анализ на ЭВМ абсолютной устойчивости нелинейных систем управления на основе метода В.М. Попова / А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Информационные технологии и управление: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГУ, 2015. - Вып. 1. - С.119- 125.
10. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г.Ф. Зайцев. - К.: Выща школа, 1989.
11. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование / Н.Н. Иващенко. - М.: Машиностроение, 1978.
12. Пряшников Ф.Д. Проблема применения репрезентативных множеств в задачах построения областей устойчивости и качества динамических систем управления / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Динамические системы. - К.: Лы-бидь, 1994. - №13 - С.16 - 20.
13. Пряшников Ф.Д. Машинно-ориентированный метод построения областей качества в пространстве параметров динамических систем / Ф.Д. Пряшников, А.И. Грушун, Т.А. Грушун // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр. - Севастополь: изд-во СевГТУ, 1995. - Вып. 1. - С.20 - 22.
14. Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Г.Ф. Зайцев, Е.П. Попов. - М.: Наука, 1988.
15. Юревич Е.И. Теория автоматического управления / Е.И. Юревич. - Л.: Энергия, 1975.
ИГРОВОЙ ИНТЕРФЕЙС, КАК ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ
Коваленко Т.А.
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
доцент кафедры ИВТ Солодов А.Г.
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, доцент кафедры ИВТ
GAME INTERFACE AS AN OBJECT OF RESEARCH
Kovalenko T.
Volga State University telecommunications and computer science, associate professor of the Department of IVT
Solodov A.
Volga State University telecommunications and computer science, associate professor of the Department of IVT
Аннотация
В статье излагаются принципы построения игрового интерфейса. Предлагается игровой интерфейс рассматривать не только как, способ взаимодействия человека и машины, но и как объект бизнеса. Раскрывается взаимосвязь интерфейса и покупной способностью игры.
Abstract
The article outlines the principles of building a game interface. It is proposed to consider the game interface not only as a way of interaction between a person and a machine, but also as an object of business. The relationship between the interface and the purchasing power of the game is revealed.
Ключевые слова: пользовательский, графический интерфейс, особенности проектирование интерфейса, бизнес и интерфейс.
Keywords: user, graphical interface, features interface design, business and interface.
Бытует мнение, что интерфейс это что-то не важное и совершенно не влияет на продажу игры. Разберемся с этим вопросом подробно.
Пользовательский интерфейс - это и новостные сайты, и приборная панель автомобиля, и даже кнопки в лифте многоэтажного дома. Понятие интерфейса будет существовать до тех пор, пока существуют пользователи систем.
Интерфейс — это посредник между системой и человеком, а также между системами, поскольку в настоящее время некоторые информационные системы для решения задач обмена информацией пользуются протоколами перекодировки, если это требуется. Их общение заранее подготовлено, и существует только в пределах, обозначенных грани-
цами интерфейса. Поэтому правильно спроектированный интерфейс — важная часть разработки любого продукта.
Согласно общепринятой классификации, существующие на практике интерфейсы можно разделить на следующие виды [1]:
• командный интерфейс;
• графический интерфейс
• SILK-интерфейс.
В последнее время забывается такое понятие как физический интерфейс. В качестве примера, приведу самый знакомый нам RJ-45, и многие сейчас не знают, что это «вилка» и «розетка», тем не менее, даже обычный интерфейс для наших бытовых приборов разный (тип розетки), а это тоже интерфейс. Данное отвлечение от основной темы свя-
