Построение многопериодического решения одной задачи для нелинейной гиперболической системы уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

ПОСТРОЕНИЕ МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

УРАВНЕНИЙ

Абдикаликова Г.А.

Актюбинский региональный государственный университет им. К.Жубанова, кандидат физико-математических наук, доцент

Жумагазиев А.Х.

Актюбинский региональный государственный университет

им. К.Жубанова, магистрант

CONSTRUCTION OF THE MULTIPERIODICAL SOLUTION OF ONE PROBLEM FOR A NONLINEAR OF HYPERBOLIC

SYSTEM EQUATIONS

Abdikalikova G.A.

Aktobe Regional State University K.Zhubanov, Aktobe Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate Professor

Zhumagaziyev A.H. Aktobe Regional State University K.Zhubanov, Aktobe

Postgraduate student

АННОТАЦИЯ

Исследуется периодическая краевая задача для нелинейной системы гиперболических уравнений. Получены достаточные условия существования единственного многопериодического решения рассматриваемой задачи. ABSTRACT

There is investigated periodic boundary value problem for a nonlinear system of hyperbolic equations. The obtained sufficient conditions for existence of a unique multiperiodical solution the consider problem.

Ключевые слова: краевая задача, многопериодичность, Фридрихс, гиперболическая система уравнений.

Keywords: boundary value problem, multiperiodical, Friedrichs, hyperbolic system equations.

В теории краевых задач наибольший интерес представляют задачи с нелокальными ограничениями, в которых условия связывают как характеристические, так и нехарактеристические точки рассматриваемой области. Одной из основных задач теории уравнений гиперболического типа является задача о разрешимости периодической краевой задачи. Многообразия возникающих вопросов, необходимых для выяснения свойств рассматриваемых задач, заставляет расширить круг применяемых методов исследования. Поэтому разработка новых эффективных методов исследования краевых задач и развитие итерационных методов на уравнения в частных производных актуальны как для расширения класса разрешимых краевых задач, так и для применения математического аппарата к задачам практики.

0 = {(г, х): г < х <

д > 0 задачу для нелинейной системы уравнений в частных производных

Известно, что волновые колебательные процессы описываются решениями краевых задач для уравнений гиперболического типа. Среди этих задач особо актуальными являются периодические краевые задачи для некоторого класса уравнений в виду широкого применения их в прикладных задачах, отметим [1]-[3], где приводятся подробный обзор, анализ задач и библиография по этим задачам.

Вопросу существования, единственности многопериодического и почти периодического решения задач для некоторых классов уравнения с частными производными, описывающие колебательные процессы в эволюционных уравнениях посвящена монография [4].

Рассмотрим на

г + д,0 < г < Т}, т > о,

du ^ ^ du

—+ХФ к —

dt k=i dxk

u(0,x)-u(T,x + T) = 0, x e [0,g], (2)

+ -= A(t,x)u + /F(t,x,u), u e Rn, (1)

bk , -,bk , Sk ,---,Sk

Ьк * Sk ,

где u(t, x) - искомый и - вектор-столбец; Ф k 2) F (t, x, u) в области Q X H ^ ,

- постоянные (n X n) - матрицы; HA = {u : ||u|| ^ h, h > о} непрерывна и (0, a) -

A(t, x) - симметрическая (n X n) - матрица; периодична по t, x равномерно относительно

/> 0 - малый параметр; вектор-функция u e HA ;

F (t,x,u ) является заданной. 3) вектор-функция F (t, x, u) удовлетворяет

Введем пространство C (q, Rn ) непрерывных условию Липшица по u : по t и x функций u : Q^ Rn с нормой llF(t,x,u)- F(t,x,uFi||u - 4, \\u\\o = max|\u(t, x) ; ||u(t, x) = max|ut (t,x) ; F = const > 0, u, u e Hh.

(t, x )eQ i=1,n

Предположим, что в системе уравнений (1) ||A|| = max ||A(t, x) = max max^\at] (t, x) . матрицы фk являются постоянными и имеют вид

(t,x)eQ (t,x)eQ i=l,n p -,

Будем считать, что выполнены условия (П 0 ), Фк = diag если:

1) матрица A(t, x) непрерывна по t и x на m + l = n . Тогда система (1) распадается на две

Q ; многопериодична по t, x с вектор-периодом подсистемы с различными дифференциальными \ операторами и задача (1)-(2) сводится к периодиче-

\0,с) и выполняется условие -

ской краевой задаче для квазилинейной гиперболи-

A(t + Ро 0, x + pa) = A(t, x), ческой системы уравнений по Фридрихсу

где pt - целые числа, i = 0, n, pa=(РlЩ,p2a2,...,pnan) - n -вектор;

Dlu1 = Ai (t, x)u1 + /F (t, x, ui ), u e Rn, i = 1, m, D2uf = A . (t, xfyj + juFj (t, x, u. ), u . e Rn , j = m +1, n, (3)

uг (0, x) xe[0,?] - ui (T, x) xe[T,T+g] = 0 , i = 1 m ,

u (0, x) xe[0,?] - uj (T, x) xe[T,T+g] = 0, j = m + 1, n , (4)

]

д п д д п д

где Д = — + У Ьк-, В2 = — + У 8к-.

д к=1 дХк дг к=1 дХк

Непрерывная на О функция УДовлетвоРяет семейству ^ьштагетьк диффе-

и(г Х) = (и (г Х) и (г Х) и (г Х) и (г Х)) ренциальных уравнений и условию (4).

' V />•••' т\> ь т+\\> ' // Цель данной работы - найти достаточные

наз^1вается многопериодическим решением задачи условия существования единственного многопери-

Для квазилинейной гиперболической системы урав- одического решения задачи (3)-(4) в широком

нения по Фридрихсу (3) при условии (4) в широком смысле.

смысле по фридрихсу [5], если функция Следуя идее [6] задачу для квазилинейной ги-

и(},х)=(и1 (},х), и2 (,Х)... ,ит (},х), ит+1(,Х), ■■■ ,ип(, х)) перболической системы уравнения по Фридрихсу

многопериодична по г и Х, непрерывно дифферен- сводим в области Н х Нк, цируема по переменной г вдоль характеристики,

Н = {(т,€): 0 д,0 <Т< Т}, Т > 0, ^ > 0 , Нк = {л : ~ < И, И > о} к задаче семейства обыкновенных дифференциальных уравнений

= А{т,^ + ^~), Г е [0,Т], ~ е Яп, I = 1т,

дт

1 ~aj {t,%)fj + ^f} (т,%, ~ ), re[0,T], ~ e Rn, j = m +1, n, (5)

du

d;-=Ai _ F(0,%)-~(T,%) = 0, % e [0,g], i = 1,m

(0,%)-~ (T,%) = 0, %e[0, g], j = m +1, n. (6)

Здесь ñi(г,ф) = Ui(г,bг + ф), и .(г,ф) = U . (г,s г + ф) - искомый и - вектор-столбец, a, (г,ф) = Ai (г,br + Z), Л (г, ф) = л3 (г,+ f (гф, и, ) = F (г,br + %,u, (г,Ьг + ф)), fj(г,ф,и7) = f(г,sг + ф,иj(г,s г + ф)), i = 1,m, j = m +1,и; b = (b1,b2,...,bn), s = (sj,s2,...,sn) - n-векторы; ^ > 0 - малый параметр.

Обозначим через C(H, Rn ) пространство не- что вьшолнены условия (П), если:

прерывных по г и ф функций и : H ^ Rn с нормой ||и|| = max I |¿u )|. II II v

1) матрицы Д (т,ф), А. (т, ф), . = 1, т, у = т +1, п непрерывны по т на Н ; многопериодичны по т с $-периодом;

И) Fi (т, ф, ~ ), F. (т, ф, и ■), I = 1, т, У = т +1, п в области Н х Нй непрерывны и многопериодичны по т равномерно относительно ~, и у £ Н к;

ш) вектор-функции (т, ф, ~ ), (т, ф, ~. ), I = 1, т, у = т +1, " удовлетворяют условию Лип-

шица по и., иу £ Нк, . = 1, т, у = т +1, п. Решение задачи (5)-(6) представим в виде

~(т, ф) = и * (т, ф) + ~(т, ф),

где (т,ф) = (~;*(т,ф),~2* (т,ф),...,ит(т,ф),~т+1 (т,ф),...,~и*(т,Й)£ с(н,Я") - решение периодической задачи соответствующей неоднородной системы;

(г, = (и1 (г, Ф), ~2 (г, Ф,... ,Um (г, ф), Um+i (г, ф),... ,ии (г, Ф)) £ С(Н, Rn ) - искомая вектор-функция. Предположив, что

ж

u

h |М| h 2 n 11 2

задачу (5)-(6) приводим к виду

^ = Л(гфй + ^*(гф,и-), г £ [0,4 Ui G Rn, i = jm, ог

J -Aj (r,%)Vj +^FJ(t,%, Vj), re[0,T], V,. e Rn, j = m +1, n, (7)

dv

(0,%)-(T,%) = 0, %e[0,g], i = 1,m

(0,^)-(Т,Й) = 0, ^£[0, д], у = т +1, п. (8)

Здесь ~ (т, Й, ~ ) = (т, Й, + ~ ), (т, Й, ) = Ёу (т, Й, + ), . = 1, т, у = т +1, п. Через СН (н , Я") обозначим класс непрерывных вектор-функций

g(т, Й) = (Я; Й), Я2 (т, Й),... ^т (т, й), £т+1 (т, Й),...(т, й))

Й И и - периодических по т и ограниченных по норме числом —.

В классе CH (нH, Rn) норму определим следующим образом:

Ысн(H,Rn)= mf^l8^ •

Нетрудно доказать, что для любой вектор-функций е CH(н, R" ) вектор-функция

f 8(т,е))=(г;(т,е, 8 ш,...,?:^, g м)), F^ М, 8 (^...Д'М, 8

a ) является многопериодической по т ; Ь ) удовлетворяет условию Липшица по 8(т, £):

||F *(т,£ 8 (т,£))~ F *(т,£ 8(т,^)|< F2|| 8 (т,£)~ 8 М |, (9)

F = const; т),8Ы)е CH(H,Rn).

где F2 = I

С ) ограничена числом F5.

Теорема 1. Если выполнены условия (Пх), то существует /Л > 0 такое, что при 0 < / < / задача (5)-(6) допускает единственное многопериодическое решение по т из класса СН (н, яп), которая при /Л ^ 0 сходится к в - периодическому

решению и соответствующей линейной

неоднородной системы уравнения с условием (6).

Приведем схему доказательства теоремы 1.

В классе СН (н, яп) определим оператор Ь , который отображает каждую вектор-функцию g(т,£) е СН(н,Я"^) в вектор-функцию

Рг (т¿) = (1\ Хт,Д =

U

Jай(т,#т\ /Шт^'М,8(s,6)ds + Г(т,{,8{т,Щ1т

(10)

Непосредственно можно показать, что вектор-функция р (т, £) является в - периодической по т.

В начале доказывается лемма.

Лемма. Если выполнены условия (П1), то для

вектор-функций Р (т, £) справедливы оценки:

1 а р^}\сн(НЯп) <ЛУМ; Ь) для различных вектор-функций \(т, £) и \(т,£) из СН(Н,Яп)

\РМЬР{тДСН(Н,л„) <иг1 F7II\-4

где М, F6 , F7 - постоянные. На основе леммы значение параметра / выберем из условия

Иу

0 < /л< u = тт{ц, u2 }, u =

2MF

U2 =

Y 2F,

Учитывая значения параметра U из неравенств 1 a) - b) следуют:

2. a) | P MI ^

<

IICH (h ,rn) 2

b) P P МЦн,^) < 2|l8 -

Согласно оценкам 2 а)-Ь) следует, что оператор Ь при значениях параметра 0 < / < /, отображает класс СН (н , яп) в себя, причем такой оператор будет сжимающим оператором в этом классе с коэффициентом сжатия меньше единицы.

Строится последовательность вектор-функций

{\п (т,^)} при помощи рекуррентных соотношений \0 еСН(Н,Яп), \п+1 = 4,Д\п),

(п = 0,1,2,...), где действие оператора Ь определяется формулой (10) и доказывается, что эта последовательность сходится равномерно в данном

классе к вектор-функции \ . Следовательно, выполняются все условия теоремы Каччиополи-Ба-наха [7, С.39-40].

Таким образом, по теореме Каччиополи-Ба-наха существует единственная неподвижная точка

\ = \ М) оператора Ь в классе СН(н,Яп>) , которая удовлетворяет условию

\ *=(Ь\ *\т,£).

Тем самым функция ~(т, £) = \ (т,£) является единственным многопериодическим решением задачи (7)-(8).

Тогда функция

~ **(т,^) = ~ *(т,£) + \ *(т,£)

удовлетворяет задаче (5)-(6) и является единственным в - периодическим решением по т . Теорема 1 доказана.

1

о

о

г

Теорема 2. Пусть выполнены условия тео- Если дополнительно предположить относи-

ремы 1. Тогда задача (3)-(4) имеет единственное тельно входных данных и построенного решения в

(в, G))-периодическое решение в широком смысле. ™рок°м тьгсда непрерывной дифферещируем°-

сти по переменным t и x, то функция

u(t, x) = (u (t, x), u2 (t, x),... ,um (t, x), um+1 (t, x),... ,un (t, x)) g c(q, Rn),

обладающая непрерывными частными произ-

ôu du

водными- и-, удовлетворяющая уравнению

ôt ôx

(3) при всех (t, x) £ fi с условиями (4) является и классическим решением краевой задачи (3)-(4).

Литература

1. Cesari L. Periodic solutions of partial differential equations //Symp. Non-lin. Vibrations. Kiev. -1961, pp.440-457.

2. Aziz A.K. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations //Proc. Amer. Math. Soc. -1966, Vol.17, №3, pp.557-566,

3. Vejvoda O. et al. Partial differential equations: Time-periodic solutions. - Hague; Boston; London, 1982. -358 p.

4. Умбетжанов Д.У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. - Алма-Ата: Наука, 1990. - 184с.

5. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука, 1968. - 592 с.

6. Абдикаликова Г.А. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи //Математический журнал ИМ МОН РК. - 2005, Т.5, №3(17), С.5-10.

7. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. -М.: Наука, 1973. - 512с.

НОВЫЕ ПАРАДОКСЫ МОДЕЛИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Парфентьев Н.А.

Всероссийский институт оптико-физических измерений

Москва

NEW PARADOXES THE MODEL OF AN RLC CIRCUIT

Parfentev N.A.

AllRussian Institute of Optical Physic Measurements

Moscow

АННОТАЦИЯ

Ранее была найдена особая точка в семействе частотных кривых колебательного контура, где величина импеданса не зависит от активного сопротивления. При дополнительном анализе выявлена еще одна особая точка, обладающая аналогичными свойствами. Эта точка находится на частоте резонанса, при котором относительная величина мнимой компоненты импеданса постоянна и равна -1. Определена область существования мнимой компоненты и исследовано положение экстремумов зависимости компоненты от частоты. Выявлены особенности частотных характеристик для активной компоненты контура.

ABSTRACT

Special point previously found in the family of frequency response curves of an RLC circuit, where the value of the impedance does not depend on resistance. The second singular point is detected with further analysis with similar properties. The point is at the resonance frequency at which the relative value of the imaginary components of impedance is constant and equal to -1. The region of existence of imaginary components is defined and studied the position of the extrema based on components of frequency. Features of frequency characteristics determined for the active components of the circuit.

Ключевые слова: колебательный контур, резонанс токов

Keywords: RLC CIRCUIT, current resonance

В многочисленных учебниках по электротехнике, в частности - [1,2], уделяется относительно мало внимания колебательному контуру с параллельным соединением элементов. В работах [3-5] сообщалось об обнаружении особой точки в семействе частотных характеристик реалистичной модели колебательного контура (с параллельным соединением конденсатора и катушки индуктивности, моделируемой последовательным

соединением резистора и индуктивности). На частоте, равной (где 1р -частота резонанса при нулевом сопротивлении) модуль импеданса не зависит от величины активного сопротивления. В настоящий момент не существует физического объяснения этого явления.