Инерциальное многообразие для гиперболического уравнения с диссипацией Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.956.35

ИНЕРЦИАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДИССИПАЦИЕЙ

Н. А. Чалкина1

Найдены достаточные условия существования инерциального многообразия для уравнения utt + — Дм = f (u, ut), u = u(x, t),x G О С RN, u\dn = 0,t > 0, в предположении, что функция f удовлетворяет условию Липшица.

Ключевые слова: инерциальное многообразие, гиперболическое уравнение с диссипацией.

Sufficient conditions for the existence of an inertial manifold are found for the equation utt + 2^ut — Ди = f(u,ut), u = u(x,t),x G О С RN,u\dn = 0,t > 0 and the function f is supposed to satisfy the Lipschitz condition.

Key words: inertial manifold, hyperbolic equation with dissipation.

В теории нелинейных эволюционных уравнений с частными производными большое внимание уделяется методам построения конечномерных липшицевых инвариантных многообразий, которые притягивают любые решения этих уравнений при t — с экспоненциальной скоростью [1—5]. Такие многообразия принято называть инерциальными. Инерциальные многообразия позволяют свести изучение поведения бесконечномерной динамической системы к исследованию этого вопроса для некоторой конечномерной динамической системы, порождаемой исходной системой на инерциальном многообразии.

В настоящей работе исследуется асимптотическое при t — поведение решений уравнения

d^u + 2jdtu = Дu + f (u, dtu),

которому соответствует динамическая система в гильбертовом пространстве H = Hq (О) х L2(0). Отличие рассматриваемого случая от известных результатов состоит в том, что функция f зависит не только от u, но и от dtu. Основной результат сформулирован в теореме 2.

Постановка задачи. В ограниченной области О рассматривается смешанная краевая задача для квазилинейного гиперболического уравнения с диссипацией:

d'2u + 2jdtu = Дu + f (u, dtu), u|aQ = 0,

u|t=0 = uo(x) G HJ(Q), (1)

dtu\t=0 = Po(x) G L2(0).

Здесь y — положительный коэффициент диссипации, нелинейная функция f (u, dtu) является непрерывно дифференцируемой и удовлетворяет глобальному условию Липшица по обеим переменным:

\f (ui,pi) — f (u,2 ,P2)\ ^ ¿l|ui — u2 \ + ¡2 \pi — P2 \ V ui G R, Pl,P2 G R. (2)

Задача (1) имеет, и притом единственное, решение u G C([0,Tj; Hq (О)), dtu G C ([0,Tj; L2(О)), для любого T > 0 (см. [3-6]). Рассматриваемая задача записывается в виде дифференциального уравнения первого порядка для отыскания неизвестной вектор-функции y = (u,p), где u(t,x) — решение задачи (1), p(t,x) = dtu(t,x) — его производная по t, y = (u,p) G H:

|v(t) + ^ = Fto), A</ = -(°_27>. *■<»>= (/(«"p)) • <3>

Цель настоящей работы — найти достаточные условия, при которых в фазовом пространстве H существует инерциальное многообразие. Такие условия сформулированы в [7, 8] для абстрактного уравнения

1 Чалкина Наталья Александровна — асп. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chalkinan@mail.ru.

вида (3) в гильбертовом пространстве Н. Приведем их. Пусть А — линейный замкнутый (возможно, неограниченный) оператор с плотной в Н областью определения Т>(А), а его спектр а(А) отделен от прямой {И,е£ = в], в ^ 0. Обозначим через Р ортопроектор на инвариантное подпространство оператора А, соответствующее части спектра а П {И,е £ < в], и положим Q = М —Р. Предполагается, что пространство Р(Н) конечномерно.

Пусть в пространстве Н задано скалярное произведение так, что пространства Р (Н) и Q(H) ортогональны и выполнены неравенства

(Ap,p) < (в - S)\p\2 Vp е P(H), (Aq,q) ^ (в + ö)\q\2 Vq е Q(H) nV(A)

2 (4)

для некоторого числа 5 > 0. Наконец, пусть нелинейная функция F(у) удовлетворяет условию Липшица с константой L.

Теорема 1. Если выполнены условия (4) и, кроме того, верна оценка L < 5, то в фазовом пространстве H существует инерциальное многообразие M, причем dim M = dim P(H).

Выясним, при каких ограничениях рассматриваемые нами линейный оператор A и нелинейная функция F удовлетворяют условиям этой теоремы.

Формулировка основной теоремы. Пусть ek(x) и Xk — собственные функции и собственные значения оператора —А в области Q с условиями Дирихле на границе. Обозначим через (■, -)н и || ■ || стандартное скалярное произведение и соответствующую норму в пространстве H, а именно

<х

(у, У)н = (Vu, Vu) + (p, p) = (XkUkUk + Pkpk),

k=i

где Uk = (u, ek), Pk = (p, ek), (•, •) — скалярное произведение в L2(Q).

Теорема 2. Пусть f удовлетворяет условию (2), и пусть существует такое N, для которого выполнены неравенства Xn+1 < Y2 и

(72 - А„+1) 1= (lГ + Ш2/3У/2 • (5)

Тогда в пространстве H существует N-мерное инерциальное многообразие.

Замечание 1. Если y и Xn +1 > Xn фиксированы, то неравенство (5) верно для достаточно малых li и I2, т.е. когда l мало. Кроме того, для выполнения этой оценки необходимо, чтобы в спектре оператора Лапласа нашлась щель Xn+i — Xn > 4l.

Замечание 2. Если I2 = 0, то условие (5) совпадает с аналогичным условием, полученным в [7, 8]. Приведенное ниже доказательство теоремы 2 основано на построении нового скалярного произведения в фазовом пространстве H, в котором имеют место предположения теоремы 1.

Новая норма. Разложим все фазовое пространство H в прямую сумму попарно ортогональных (в исходном скалярном произведении) пространств: H = Hi ф H2 ф ... ф Hn Ф где каждое подпространство Hk, k = 1,...,N, двумерное, соответствующее собственному вектору ek по u и по p, и Hж = (Hi ф H2 ф ... ф Hn— подпространство коразмерности 2N, соответствующее собственным векторам eN+i ,eN+2,... оператора Лапласа. Заметим, что пространства Hk являются инвариантными относительно действия линейного оператора A.

В новом скалярном произведении [•, •], которое вводится ниже, мы сохраним попарную ортогональность пространств Hk, k = 1,...,N, ж, но изменим скалярное произведение в каждом из них. Таким образом, если для каждого вектора у = (u,p) Е H мы обозначим через yk = (ükek,Pkek) Е Hk, k = 1,...,N, ж, ортогональные проекции этого вектора, то новая норма в H будет определяться по формуле

N

ими2 = E w\yk\\\k + 11Ы1Ж. k=i

Введем новое скалярное произведение [•, векторов у = (u,p), у = (U,p) Е Hk: [y,y]k = (MkУ, У), где

м (2Ybk~Xk bk\ 6fc = 7£1±A^)

V bk 1 J ci + YC2

с1=1ТфТ + Ш2/:\ 7с2 = (7Ы2/301/3 + (7Ы2/3-

Оно определяет норму

\к = [у, у]к = (Мку, у) = (2^Ък - Ъ2к - \к) ик + (Ькик + Рк)2

для которой верна следующая лемма.

Лемма 1. Для любого вектора у = (и,р) € Нк выполнено неравенство

С1 + 7С2

Доказательство. Действительно, если в неравенство

\\\у\\\к > (2^Ък - Ьк - Хк) \ик\2 + (Ък\ик\ - \рк\)2, подставить выражение для Ък и раскрыть скобки, то получим

....... ^ 21(1С1 + ХкС2) - Хк(с1 + 7С2Ь |2 <ЛС1 + ХкС2........

С1 + 7С2 С1 + 7С2

Лемма доказана.

Собственными значениями ограничения линейного оператора А на пространство Нк являются числа /Лк = 7 — л/^2 ~ хк и = 7 + л/^2 ~ Хк- Легко проверить, что соответствующие собственные векторы ¿¡д. и Пк ортогональны в новом скалярном произведении.

Определим в Нновое скалярное произведение векторов у = (и,р) и у = (и,р), где у, у € Н^, в виде

[у, у]ж = (Чи, Чи) + (2^Ъм+1 - Ъ%+1 - 2Хм+1 )(и, и) + (Ъм+1 и + р, Ъм+1и + р) и соответственно новую норму

2 = ||Уи||2 + (2фм+1 - Ъ%+1 - 2Хм+1)||и||2 + ||Ъм+1 и + р\\2 Уу = (и,р) € Нх.

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 2. В пространстве Ннормы \\\у\\\те и ЦуЦп эквивалентны. Лемма 3. Для любого вектора у = (и,р) € Нвыполнено неравенство

2 ^ 72 - Хм+1 , .....

оо ^ 7—;-Т7(С11М1 +с2

(С1 + 7С2 )2

Лемма доказывается аналогично лемме 1 с учетом того, что для любого вектора у = (и,р) € Н имеет место ||Уи||2 ^ Хм+1 ||и||2.

Лемма 4. Для любого вектора у = (и,р) € Н^П^(А) выполнено неравенство [Ау, у]^ ^ ¡л,м+1[у, у]ж-

Доказательство основной теоремы. Обозначим через Н1 линейную комбинацию попарно ортогональных (как в старом, так и в новом скалярном произведении) векторов ек, к = 1,...,Ы, через Н11 — линейную комбинацию векторов Пкек. Пространства Н1 и Н11 ортогональны друг другу в новом скалярном произведении, и оба они ортогональны Н^.

Так как А(£кек) = Ц-к(£,кек), А(щек) = Vк(Пкек), к = 1,...,Ы, то

[Ау,у] < тах Vк • [у,у] = Им[у,у] уу € Н1, (6)

[Ау,у] > тт ик • [у,у] = »м[у,у] уу € Н11. (7)

Из условия (7), леммы 4 и неравенств »м > 7 > +1 следует, что

[Ау,у] > +1[у,у] Уу € Н11. (7)

Так как вектор F(у) имеет нулевую u-компоненту и выполнено неравенство (2), то

\\\F (yi) - F (У2)\\\ = ||F (yi) - F (у 2 )||я = If (ui,pi) - f (U2,P2)\\ < ll\\ui - U2\\ + kllpi - Р2Ц. С другой стороны, из лемм 1 и 4 для вектора у = yi - у2 получаем

N 2 — \ 2 — \

lll^lll2 > Е J+"7C2fc)2(Cl|Mfc| +C2bfc|)2 + + С2Ш? >

2 — \ N 2 — \

* (i;7c2+)l2(^(ciKl+c2bfcl)2+(ci|Mool+c2bool)2) ^ (7с1+7с2+)2(с'и|2+с2|и2)-

Подставляя в неравенство 2lil2Hu\\p\ ^ l2\u\2e + l2ПрИ2/^ значение е = (Yh/li)2/3, будем иметь

(ЫИ + 12\\pll)2 < ¿2(1 + e)\lu\l2 + ¡2(1 + 1/e)\lp\l2 = clllull2 + c2\|p||2, следовательно, верна оценка

\\\F(yi) ~ F(y2)\W <: ^J d\\Ul - u2\\2 + 4\\Pl - p2\\2 ^ Cl+7C2 111 j/i 3/2111 =

V Y2 - +i

l

(13 + (Y Ы^Г

v /2 . ; -1НУ1-У21Н = /2 ■ \\\У1-У2\\\. V Y2 - An+1 y Y2 - AN+1

Таким образом, глобальная константа Липшица Ь для функции F(у) равна

I

L

л/72 - Адг+1

Определим Р — ортопроектор на Ж-мерное пространство Н1 = Р(Н) и Q = М —Р — ортопроектор на Н11 Ф Нж = Q(H). Если обозначить в = (¡N+1 + ¡¡и)/2, 5 = (¡N+1 — ¡¡и)/2, т. е. ¡¡и+1 = в + 5, ¡¡и = в — 5, то неравенства (6), (7') примут вид (4), а условие Ь < 5 будет эквивалентно условию 2Ь < ¡ли+1 — ¡и. Последнее условие перепишем в виде

21

— AN+1

откуда следует неравенство

< Vy2 - Адг - VY2 - Ajv+1,

21 -л-\ 4/2 „2л 2 л

+ V 7 Ajv+i =-ö-:--h 4/+ 7 - \N+i < Y - Xn,

- \N+I J 7 - AJV+I

которое эквивалентно оценке (5):

2 \ \ ( An+1 - AN , \ ^ ,2

(Y2 - AJV+I) ^ -l > l2.

Таким образом, условия теоремы 1 выполнены, а значит, в пространстве H существует инерциальное многообразие, размерность которого равна размерности пространства H1, т.е. N. Теорема доказана.

Исследования частично поддержаны грантом РФФИ № 11-01-00339 и грантом программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-1698.2008.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Foias C., Sell G.R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations //J. Diff. Eq. 1988. 73, N 2. 309-353.

2. Constantine P., Foias C, Nicolaenko B, Temam R. Integral manifolds and inertial manifolds for dissipative partial differential equations // Appl. Math. Sci. Vol. 70. N.Y.: Springer, 1989.

3. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics // Appl. Math. Vol. 68. N.Y.: SpringerVerlag, 1988.

4. Hale J.K. Asymptotic behaviour of dissipative systems // Math. Surveys Monogr. Vol. 25. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1988.

5. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

6. Chepyzhov V. V., Vishik M.I. Attractors for equations of mathematical physics // Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. Vol. 49. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002.

7. Горицкий А.Ю., Чепыжов В.В. Свойство дихотомии решений квазилинейных уравнений в задачах об инерци-альных многообразиях // Матем. сб. 2005. 196, № 1. 23-50.

8. Chepyzhov V.V., Goritsky A.Yu, Vishik M.I. Integral manifolds and attractors with exponential rate for nonautonomous hyperbolic equations with dissipation // Russ. J. Math. Phys. 2005. 12, N 1. 17-39.

Поступила в редакцию 23.11.2010

УДК 519.716.35

О НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ РЕГУЛЯТОРА ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

М. А. Раскин1

В статье доказывается нижняя оценка регулятора почти периодичности произведения почти периодической и периодической последовательностей, которая отличается от ранее известной верхней оценки только множителем в количестве итераций регулятора исходной последовательности.

Ключевые слова: комбинаторика слов, регулятор почти периодичности, произведение последовательностей.

A lower bound is proved for the almost periodicity regulator of an almost periodic sequence coupled with a periodic sequence. This lower bound differs from the known upper bound only in a multiplier in the number of iterations of the regulator of almost periodicity of the original sequence.

Key words: combinatorics on words, almost periodicity regulator, sequence coupling.

Введение. Свойство почти периодичности последовательностей было введено в рассмотрение А. Туэ в начале XX века. Неформально говоря, любое слово, хоть раз встретившееся в почти периодической последовательности, повторяется в ней, причем расстояние между соседними вхождениями ограничено.

В частности, любая периодическая последовательность является почти периодической. Одной из первых последовательностей, при изучении которых использовано понятие почти периодичности, — последовательность Туэ 0110100110010110 .... Ее можно получить, начиная со слова 0 и приписывая бесконечное число раз к очередному слову его образ при замене 1 на 0 и 0 на 1.

Определение. Бесконечная последовательность и символов конечного алфавита Т называется почти периодической, если существует функция l : N — N, такая, что для любого u каждое слово длины не более u над алфавитом Т либо не входит в и, либо входит в каждый ее отрезок длины ¡(u). Минимальная такая функция l называется регулятором почти периодичности последовательности и. Последовательность и называется заключительно почти периодической, если существует число p, такое, что для любого u каждое слово длины не более u над алфавитом Т либо не входит в и правее позиции p, либо входит в каждый ее отрезок длины ¡(u). Ясно, что регулятор является неубывающей функцией. Бесконечная последовательность и символов конечного алфавита Т называется обобщенно почти периодической, если существует функция l : N — N, такая, что для любого u каждое слово длины u над алфавитом Т либо не входит в и после позиции ¡(u), либо входит в каждый ее отрезок длины ¡(u).

1 Раскин Михаил Александрович — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: raskin@mccme.ru.