CC BY
10
УДК 517.95
Г.И. Марчук1, В.И. Агошков1,2, В.М. Ипатова2
1 Институт вычислительной математики РАН,
2 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Теория разрешимости начально-краевых задач и задач ассимиляции данных
*
для основных уравнений океана
Настоящая работа представляет собой обзор достижений по исследованию разрешимости начально-краевых задач и задач ассимиляции данных для основных уравнений океана. Дается исторический очерк и описание наиболее ранних результатов. Содержатся последние результаты о существовании слабых решений и разрешимости задач ассимиляции данных для основных уравнений океана с условием свободной поверхности на верхней границе области. Представлены теоремы о существовании и единственности сильных решений для упрощенной системы основных уравнений океана.
Ключевые слова: уравнения в частных производных, модели динамики океана, разрешимость, обратные и вариационные задачи, задачи ассимиляции данных.
I. Введение
Уравнения в частных производных лежат в основе математического описания самых разнообразных природных явлений и процессов. Особое место занимают уравнения геофизической гидродинамики и модели гидротермодинамики океана как в виду их известной теоретической сложности, так и по причине их большого практического значения. Говоря об истоках и предпосылках математической теории, нельзя не упомянуть работы С.Л. Соболева по применению методов функционального анализа к исследованию уравнений в частных производных. Разработанная им теория пространств функций с обобщенными производными [1], вошедших в науку как пространства Соболева, сыграла исключительную роль в формировании современных математических воззрений. На основе методов функциональных пространств, предложенных С.Л. Соболевым, были получены известные неравенства и теоремы вложения, позволяющие исследовать существование и регулярность решений дифференциальных уравнений. Он ввел понятие обобщенного решения для уравнений с частными производными [2,3] и дал первое (1935) строгое определение обобщенных функций, с помощью которых исследовал разрешимость некоторых краевых задач. Одной из основ гидродинамики является система уравнений Навье-Стокса, которая описывает движение жидкости с учетом вязкости. О.А. Ладыженская [4] исследовала существование обобщенных решений для двухмерной системы Навье-Стокса и доказала ее глобальную однозначную разрешимость. Разработанные ею методы априорных оценок и энергетических неравенств стали неотъемлемой частью
современных доказательств разрешимости для моделей гидродинамики и во многом определили развитие этой области математики. К числу важнейших теоретических предпосылок следует также отнести метод приближенного построения решений дифференциальных уравнений, впервые высказанный И.Г. Бубновым (1913) и обобщенный Б.Г. Галеркиным (1915) в работе [5]. В настоящее время метод Бубнова-Галеркина является одним из основных приемов доказательства существования решений начально-краевых задач.
Изучение нестационарных уравнений динамики бароклинного океана было начато Г.И. Марчуком (1967) в связи с практическими целями построения численных методов моделирования и прогноза погоды. Им была поставлена задача
об океанических циркуляциях и предложен метод построения ее решений, основанный на сведении трехмерной задачи к более простым двумерным задачам об определении коэффициентов разложения искомой функции по специально выбранному базису [6,7]. М.А. Бубнов и А.В. Кажихов [8] доказали сходимость этих разложений и получили теоремы существования и единственности для уравнений бароклинного океана в линейных постановках. Математическое исследование моделей океанографии было продолжено в работах Ю.Я. Белова [9-11], М.А. Бубнова [12, 13], А.В. Кажи-хова [14], А.А. Кордзадзе [15,16], В.И. Сухоносова [17-19] и др. В 1992 году Ж.-Л. Лионе, Р. Темам и С. Ванг [20] рассмотрели систему основных уравнений океана и доказали для нее существование глобальных слабых решений.
Тенденцией настоящего времени стал интерес к решению задач ассимиляции данных наблюдений для моделей динамики океана. Эти задачи
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/11133).
имеют следующую общепринятую вариационную трактовку. Определяется функционал стоимости, измеряющий расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования, после чего разыскиваются те неизвестные характеристики модели, для которых функционал стоимости принимает минимальное значение. Математическое исследование задач ассимиляции данных в применении к сложным нелинейным моделям океанографии невозможно без предварительной разработки теории разрешимости самих этих моделей. Доказательство существования решений вариационных задач обычно базируется на использовании методов регуляризации А.Н. Тихонова [21-23].
Настоящая работа представляет собой обзор достижений в области построения математической теории начально-краевых задач и задач ассимиляции данных для основных уравнений динамики океана. Обзор результатов, касающихся квазигео-строфических уравнений циркуляции океана и моделей океанских приливов, можно найти в работе [24]. Для знакомства с результатами западных исследователей мы можем также порекомендовать читателю монографии [25,26] и имеющуюся в них библиографию.
Для краткости мы будем далее использовать
ди д
обозначения —х = их, = дхит.п.
II. Уравнения и функциональные пространства
В основе моделей общей циркуляции океана лежит система уравнений гидродинамики в приближениях гидростатики и Буссинеска. При записи этих уравнений также используются предположения о том, что Земля имеет форму шара и ускорение свободного падения д = 9.82 т/с2 постоянно. Приближение гидростатики означает, что вертикальный компонент градиента давления точно уравновешивается силой тяжести. Приближением Буссинеска называется предположение о том, что изменения плотности воды в океане малы по сравнению с самой плотностью, поэтому плотность р можно заменить на ее среднее значение ро во всех членах, за исключением силы тяжести и уравнения состояния. Кроме того, используются и другие упрощения: не учитывается изменение расстояния до центра Земли при изменении вертикальной координаты в пределах толщи океана, поэтому уравнения записываются не в полной сферической системе координат, а в «цилиндре над сферой постоянного радиуса»; пренебрегают вкладом, который вертикальная составляющая скорости вносит в силы Кориолиса. К неизвестным переменным модели относятся три компонента скорости и V, т, давление Р, температура Т, соленость Б и плотность р. Обозначим за I = I(х,у) параметр Кориолиса и будем счи-
тать, что вертикальная ось z направлена к центру Земли, тогда основные уравнения океана в декартовой системе координат записываются как
dtu — fv — А — dz (vuz) =--Px, (1)
Ро
dtv + fu — Av — dz (vvz) =-Py, (2)
Ро
pz = pg, (3)
Ux + Vy + Wz = 0, (4)
dtT — aT — dz Tz) = °, (5)
dtS - AS - 3Z (vsSz) = 0, (6)
p = p(T,S,P), (7)
где dt = dt + udx + vdy + wdz, A* = dx(p*Ox*) +
+ dy(p*3y*), pu = pv = p w vu = Vv = v — коэффи-
циенты горизонтальной и вертикальной вязкости, pT ,vT, ps ,vs — коэффициенты диффузии температуры и солености. В этой системе уравнения движения (1) и (2) выводятся из закона сохранения импульса для жидкости, (3) — это уравнение гидростатики, уравнение (4) называется уравнением неразрывности, оно представляет собой закон сохранения массы воды, уравнения (5), (6) описывают перенос и диффузию тепла и соли в океане, последнее уравнение (7) — это уравнение состояния, в котором явной формулой задается зависимость плотности воды от температуры, солености и давления.
Заметим, что в литературе основные уравнения океана называют также примитивными (primitive) уравнениями. Как известно, сложность исследования системы (1) - (7) связана с ее сильной нелинейностью.
Мы будем обозначать через:
• Wn(G) = Hn(G), n е N, пространства Соболева функций, квадратично интегрируемых в G со своими производными до порядка n включительно;
• W-n(G) = H-n (G) сопряженные с W^G) пространства;
О
• W^G) пространство функций, принадлежащих W)l(G) и равных нулю на границе G;
• W2o(G) = W2(G) n Wl(G).
III. Исторический экскурс
В 1967 году Г.И. Марчук [6] рассмотрел следующую линеаризованную систему уравнений динамики бароклинного океана:
PP
xy
Ut — fV =---, Vt + fU =----;
pp
Pz = pg, Ux + Vy + Wz = 0,
Tt + wTz =0, St + wSz = 0, p = p(T, S)
с граничными условиями w = r/t на свободной поверхности океана при z = п(х, y,t) и w = 0 на плоском дне океана при z = Ни обычными начальными условиями u = u0, v = v°, T = T0, S = = S0 при t = 0.
Поскольку возвышение свободной поверхности мало по сравнению с глубиной океана, то граничное условие на поверхности можно записать при z = 0, а не при z = n(x,y,t). Кроме того, существует очевидная связь между атмосферным давлением Р0, которое предполагалось постоянным на поверхности океана, возвышением свободной поверхности п и давлением Р внутри океана. Это условие гидростатического равновесия Р = Р0 —
— pgn при z = 0. Дифференцируя данное уравнение по t и используя граничное условие w = nt при z = 0, он получил равенство Pt + gpw = 0 при z=0
Р
TS
z
ется как р, Р, T, S, а второе слагаемое в первом приближении «мало» и обозначается штрихами: р', Р', T', S'. Кроме того, он обозначил за r(z) = = Szdp/dS + Tzdp/dT > 0. В конечном счете он пришел к системе:
ut— fv = —РХ/р, vt + fu = —РУ/р,
Р'а = р' g, ux + vy + wz =0, pt + rw = 0
с граничными условиями Р' + gpw = 0 при z = 0, w = 0 z = Н
Далее Г.И. Марчук преобразовал эту систему к уравнению
д+f2) - dz г dz+д tg
і
Г
Pt + P =G
с краевыми условиями (дz — Г / р) Р' = 0 при г = 0, Р'л = 0 при г = И.
Он ввел собственные функции фт оператора
— dz Г ^ с граничными условиями фz/Г — ф/р = 0 при г = 0 и фz = 0 при г = И. Далее неизвестная функция ищется в виде ряда Р'(х,у,г,€) =
Ж
= £ Рп (х,у,Ь)фп(г), то есть задача сводится к
п=1
решению системы
д -An- д+f2)
gt
dtPn + pdxPn = G,
діірп = ]дТР„ на Г8,
где Г — боковая часть границы, «т — единичные векторы нормали и касательной к Гя.
В [7] Г.И. Марчук продолжил исследование этой задачи и рассмотрел ту же систему в цилиндрической области О = М х [0,1] пространства М3,
где М — область с гладкой границей в плоскости (х,у), с граничными и начальными условиями:
Pt + g-w = G при z = G, w = G при z = 1,
u • n = G на rs, (9)
u = u0, v = v0, P' = P0 при t = G.
Он предложил раскладывать решения и, V, т, Р1, р' в ряды по рассмотренному ранее базису и доказал сходимость итерационного численного метода для вычисления коэффициентов разложения. Сходимость этих рядов и существование и единственность решения системы были изучены в 1970 году М.А. Бубновым и А.В. Кажиховым [8]. Они доказали следующую теорему.
Теорема 1 ([8]). Пусть Г(г) € Ст[0,1],
т > 1. Определим пространство У2т(0) как замыкание по норме Ш^(О) множества функций из Ст(0), ряды Фурье которых по вышеуказанному специальному базису дифференцируемы почленно до порядка т. Пусть {иО, у0} € У2т-1(0) П Р0 € У™(0), РО € Ш™(0), функция ] имеет огра-
т
Г € Ст+1. Тогда решение задачи (8) - (9) существует и единственно. Это решение обладает свойствами и,»,Р', р' € шт(0 х [0,Т]), wz € Шт-1(0 х х [0, Т]) и может быть представлено в виде сходящихся в этих нормах рядов. При т = 4 решение является классическим. □
В 1979 году Ю.Я. Белов [11] рассмотрел стационарный случай для одной из моделей, предложенных Г.И. Марчуком. Используя метод эллиптической регуляризации, он доказал существование и единственность решения. М.А. Бубнов [12] исследовал почти такую же задачу, но с коэффици-
г
есть с дz (vдz) вместо ^д^ в уравнениях для и».
Он использовал граничные условия uz = vz = pz = = 0 при г = 0 и и = V = pz = 0 при г = Ии ставил на боковых границах краевые условия различных типов. Он получил результаты о существовании и единственности решения эволюционной задачи и исследовал поведение решения при стремлении времени к бесконечности. В [11,12] доказано существование решения стационарной модели, сходимость эволюционных решений к стационарному и получены оценки скорости этой сходимости.
Многие из перечисленных результатов, а также некоторые другие представлены в монографиях М.А. Бубнова [13], А.В. Кажихова [14] и А.А. Кор-дзадзе [16].
В те же годы было начато исследование нелинейных моделей динамики океана. А. А. Кордзадзе [16] рассмотрел систему, в которой уравнение для
плотности р было заменено на два уравнения, для температуры Т и для солености
Рх
dtu — IV +---= рАи + дz (vuz),
Ро
Р
dtv + 1и +--- = р А» + дz (V»!;),
Ро (10)
Pz = рд, их + Vу + Wz =0, р = ат Т + аз Б,
dtT + ^т т = рт АТ + дz (Vт Tz),
dtS + ^з т = рз АБ + дz (Vз Sz)
с граничными условиями:
= —Т1/Ро, vVz = —Г2/Ро при г = 0,
т = 0, Т = ТН, Б = Бд при г = 0,
uz = = т = 0 при г = И, (11)
Т = Т*н, Б = при г = И, и = V = дпТ = дпБ = 0 на Гя.
Он показал, что верна следующая
Теорема 2 ([16]). Если система (10) -(11) имеет решение в пространстве С1 (0,1), причем и, V, Т, Б € С2(О) ПС1(0)я Р,т € С 1(о), то это
□
В 1978 году Ю.Я. Белов [9] рассмотрел стационарную нелинейную задачу. Используя технику эллиптической регуляризации, он доказал существование решения в соответствующих функциональных пространствах.
В.И. Сухоносов [17] исследовал модель (10) с постоянными коэффициентами вертикальной вязкости, с граничными условиями:
uz = = т = ^ = Sz = 0 при г = 0,
и = V = т = Т = Б = 0 при г = И, (12) и = V = дпТ = дпБ = 0 на Гя
и с начальными условиями при £ = 0:
и = иО,» = »О,Т = ТО, Б = БО. (13)
Он доказал, что верна
Теорема 3 ([17]). Пусть иО,»О € Ш^О) П П ЬЖ(0), ТО,БО € Ш2,(0) удовлетворяют граничным условиям (12). Тогда существует единственное решение задачи (10), (12) - (13) в Q = 0х(0, Т) для каждого Т € М+ такое, что
и, V, Т, Б € ЬЖ(0, Т; Ш1(0)) П Ь2(0, Т; Ш^(О)),
щ,»иТиБ\ € Ь2(0,Т; Ь2(П)),
£х,£у € Ь2(0, Т; Ь2(Ги)),
где £ — давление на поверхности, определяемое
z
равенством Р(х,у,г,£) = д/ pds + £(х,у,£). □
о
Фактически он доказал эту теорему для системы (10) без солености, в которой р = атТ, но доказательство остается верным и для (10). Этот результат был одним из наиболее выдающихся достижений на протяжении более чем двадцати лет. В [19] В.И. Сухоносов рассмотрел уравнения динамики океана на глобальной сфере и доказал для них теорему существования и единственности.
И наконец, Ж.-Л. Лионе, Р. Темам, С. Ванг [20] изучили основные уравнения океана в сферической системе координат (коширота, долгота и вер-
г
учитывающей наличие островов и континентов, с граничными условиями:
uz = Т1, = т2, т = 0 при г = 0,
^ = ат (Та — Т), = 0 при г = 0,
и = V = т = 0, Т = Тв, Б = Б в при г = — к,
и = V = т = дпТ = дпБ = 0 на Гя
и с постоянным коэффициентом вертикальной
диффузии. Они доказали существование слабого решения на любом промежутке времени. Точнее, они выделяют для и,»,Т некоторые скалярные функции и переходят к системе с однородными краевыми условиями. Как обычно, исполь-т=0
ности, они интегрируют уравнение неразрывности
о
по г и получают соотношение / и dг = 0, ко— Н
торое рассматривается как ограничение при определении функциональных пространств.
Они также ввели модель примитивных уравнений океана с вертикальной вязкостью, в которой уравнение гидростатики Pz + рд = 0 заменяется на
Ро Р + рд) — рАт — vwzz =0. (14)
Для этой модели они доказали существование глобального по времени слабого решения.
IV. Существование слабых решений и разрешимость задач ассимиляции данных
В 2007 году В.И. Агошков и В.М. Ипатова [27, 28] исследовали систему основных уравнений океана с условием свободной поверхности на границе соприкосновения океана и атмосферы и доказали для нее существование глобальных по времени слабых решений, удовлетворяющих дополнительному энергетическому неравенству. Уравнения гидротермодинамики океана рассматриваются в сферической системе координат (х, у, г), где х € € [0, 2п) — долгота, у € [—п/2; п/2] — широта, г
— радиальное расстояние. Через О' обозначается
(х, у)
гладкой границей Г^ Е — радиус Земли, Оху —
образ точки (х, у) при отображении на сферу Б2п радиуса Е, О = {Оху, (х,у) € О'} — открытое подмногообразие, получаемое в результате отображения О' на сферу радиуса Е, Г = {Оху, (х, у) € € Г'} — граница О. Предполагается, что замыкание О не содержит полюсов, то есть на Ор' верно неравенство сов у ^ сов уО > 0. Вертикальная координата г = Е — г направлена вниз, И(х,у) — строго положительная непрерывно дифференцируемая функция, описывающая рельеф дна, О = = {Оху х (0,И(х,у)), (х,у) € О'} — трехмерная область, определяемая условием 0 < г < И(х,у) в каждой точке Оху € О, Т = {Оху х [0,И(х,у)], (х,у) € Г'} — боковая граница О £ € [0, £ 1], где 0 <Ь1 < +го, Оtl = О х (0,11), Б = О х (0^1).
Вводятся дифференциальные операторы Аф = = —рфА — Vфд‘l, где под ф понимаются и, V, Т и Б, Аи = Ау = А, рф, Vф — положительные постоянные.
Сила Кориолиса описывается оператором 0 — /
В(и) = 0 с, где /с = (2ш + ) у
ш — угловая скорость вращения Земли.
В области Ог1 рассматривается система уравнений:
dtu + (А + В(и))и + V Р/ ро = £, (15)
&у и + Wz =0, Pz = рд, (16)
СгТ + Ат Т = /т, сЦБ + Аз Б = /з, (17)
р = ро (1+ вт(Т — То)+ вз(Б — Бо)), (18)
где и = (и,») — вектор «горизонтальной» скорости, £ /т, /з — заданные функции источников, То, БО — осредненные значения температуры и сод вт вз
г=0
вия Р = Рат + д ро£, т = —£г + Qw, где Рагт — заданное давление на поверхности, £ = £(х,у,£)
— возвышение уровня поверхности океана отно-
г=0
правленное противоположно оси г, Qw — задан-
г=
= И(х, у) т =
= иИх/(Е сое у) + »Иу/Е. Из граничных условий по вертикали и уравнения неразрывности вы-
н
водится равенство т = т(и) = &у / и Сг'. Кроме
z
того, уравнение гидростатики записывается в виде
z
Р = Рат + дРо£ + д/ рСг', тогда VP = VPatm +
о
+ дроУ£ + дро(I — 1о), где I = /(втVT + взVS) Сг',
о
1О = I(втVTО + в3VБО) Сг'. В.И. Агошков и
о
В.М. Ипатова обозначают f = £ — р1 VPatm + д1О и преобразуют исходную систему (15) - (18) к виду
С^и + (А + В (и)) и + gV £ + д1 = f, (19)
н
£г + ^^ и Сг = Qw, (20)
о
Сг Т + Ат Т = /т, СгБ + Аз Б = /з. (21)
К системе (19) - (21) присоединяются начальные и граничные условия: при £ = 0:
и = иО, £ = £О, Т = ТО, Б = БО; (22)
г=0
т и
V и =---------+ т(и) — , (23)
Ро 2
^Т = 1т(Т — Тэ)+ т(и) — + Qт, (24)
Б
vз Бz = 13 (Б — Б3)+ т(и)^ + Qз; (25)
г = И(х, у)
Бфф • пн = 0; (26)
на боковой границе £:
и • пЕ = дПЕ и х пЕ =
= VT • пЕ = VБ • пЕ = 0, (27)
где т, Т3, Б3, Qт, Q3 — заданные значения напряжения трения ветра, температуры, солености, потоков тепла и соли на поверхности воды, 7т, ^3 — положительные постоянные, пн п£ — векторы нормали к соответствующим поверхностям, Бфф = (рфVф,Vффz), ф означает функции и, V, Т, Б.
Через (•, •)(), || • ||О обозначается скалярное произведение и норма в Ь2 (О) и через (•, •) и || • || — скалярное произведение и норма в Ь2(О). Вводятся пространства Ид (О) вектор-функций и € Ик (О) х х Ик (О) таких, что и • п^ = ^аТ,а также пространства
Р = {Т € 12(0,11; И1 (О)),
Тг € Ь4/3(0М; И—2(О))}, и = {и € Ь2(0,11; ИЮ)),
иг € Ь4/3(0, £1; И0 2(О))},
Е = {£ € Ь2(Б), £г € 12(0)},
Ш = (и х Е х Р х Р)П
пьж(0,11 ;(Ь2(О))2 х Ь2(О) х (Ь2(О))2)
И обозначения [ф,ф1 ] = рф^ф, Vфl) + Vфф,фи), [ф]2 = [ф,ф], ||Н|2 = ||и|2 + И2 + д||£||2 + ||Т|2 + + ||Б||2, [И]2 = [и]2 + [у]2 + [Т]2 + [Б]2, где 2 = = {и, V, £,Т, Б}.
Рассматривается неравенство
г г
2 ||Е(*)||2 + 1 [Е]2Л' + !(1тЦТ|О + 73IIБЦ2о)и=оЛ' <
О о
г
< 2 ||2°||2 +1 ((и, f) + (Т, /т) + (Б, /з) —
О
— д(1, и) + g(Qw, £)° + ! (т • и/р° +
+1т ТаТ + 7з Б3Б — Qз Б — Qт Т )^=°СО^ А', (28)
в котором 2° = {и°, »°, £^ Т0, Б°}. Заметим, что неравенство (28) выполняется для гладких решений задачи (19) - (27), причем имеет место строгое равенство.
Вводится определение обобщенного решения.
Определение 1. Обобщённым решением задачи (19) - (27) называется слабое решение 2 € удовлетворяющее (28).
В.И. Агошков и В.М. Ипатова получили следующую теорему существования решения на произвольном интервале времени.
Теорема 4 ([27, 28]). При всех и° € € (Ь2(О))\ Т° € Ь2(О), Б° € Ь2(О), £° € Ь2(О), f € 12(0,11; И—^О)), /т,/з € 12(0,11; И—1(О)), Qw, Т3, Qт, Б3, Qз, принадлежащих Ь2(В), и т € € (Ь2(В))2 задача (19) - (27) имеет хотя бы одно обобщенное решение 2 € □
В [27,28] исследуется задача ассимиляции данных для модели (19) - (27). Предполагается, что в области О С О при почти всех £ € ^О,^] С [0,£1] известны наблюдения за возвышением уровня свободной поверхности океана £ = £оЬз(х,у,Ь). Кроме того, в области О2 С О при почти всех £ € \Ь°,12] С С [0,£1] имеются данные наблюдений за поверхностной температурой Т|z=О = Тоь3(х,у,£). Через Х1 и Х2 обозначаются характеристические функции множеств В1 = О х [^,Ь1е] и В2 = О2 х ^о,^]
£оь3
жается нулем на множество В \ В1 и ТоЬз продолжается нулем на множество В \ В2. Считается, что данные наблюдений £оЬз, ТоЬз должны быть использованы для отыскания потока влаги Qw и потока тепла Qт, входящих в уравнение (20) и граничное условие (24), в то время как все другие входные параметры модели зафиксированы и соответствуют предположениям теоремы 4.
Функционал стоимости минимизируется на сложном множестве, которое строится следующим образом. Через ц = {Qw,QT} обозначается совокупность величин, подлежащих определению, и через и(ц) С Ш множество всех обобщенных решений задачи (19) - (27), отвечающих данному значению ц € (Ь2(В))2. Предполагается, что ц разыскивается в пространстве Q = £ х Ь2(В), где £
— некоторое банахово пространство, непрерывно вложенное в Ь2(В). В пространстве Q х Ш рассматривается множество М всех пар {ц, 2} таких, что ц € Q, 2 € и(ц). Па М определяется функционал стоимости
Р(ц, 2) = а1 UQw — ^1|| + а2 Ют — ^ IIЬ +
+тЛХ1£ — £oЬзU2D + т2 ||Х2Т и=° — Т'оЬз'^Ь,
а1 а2 т1 т2 циенты, QW € £, QT € Ь2(В) — априорно известные приближенные значения Qw, Qт, || • Це — норма пространства £, || • || Ь — норма пространства Ь2(В).
Исследуется задача ассимиляции данных: найти элемент {ц, 2} € М, для которого
Р(Ч, 2) = Р(ц', 2'), {ц', 2'} € М^. (29)
Получены достаточные условия ее разрешимости.
£=
= Ь2(0,£1; Ш2 (О)) ши £ = Ьр(0,£1; Ш2(О)) П П Ь2(В), где 1 < р < 2. Тогда при всех а1 > 0, а2 > 0 £оЬз € Ь2(В), ТоЬз € Ь2(В) задача (29)
□
В 2008 году В.М. Ипатова [29, 30] обобщила результат теоремы 4 на случай, когда плотность ( Т, Б)
ной по Липшицу функцией. В [30] предполагается,
ВоЬз С В
данные наблюдений за возвышением уровня свободной поверхности океана £ = £оЬз(х,у,1) и за поверхностной температурой Т|z=О = ТоЬз(х,у,1) и на измеримом множестве ОоЬз С Ог1 имеются данные наблюдений за скоростью, температурой и соленостью воды, которые задаются функциями иоЬз(х,у, г,Ь), тоЬз(х,у, г,Ь), ТоЬз(х,у, г,Ь) и БоЬз (х,у, г,Ь). Ставятся задачи ассимиляции данных об отыскании вектора ц = {QW^т^3,т} и начального состояния 2° = {и°,»°,£°,Т°,Б°} и доказывается разрешимость этих обратных задач при подходящих способах регуляризации. В [31] ставится задача об одновременном восстановлении начального состояния и коэффициентов 7т,
7з, входящих в граничные условия (24), (25), получена теорема о ее разрешимости для примитивных уравнений океана с непрерывной по Липшицу плотностью воды. Кроме того, В.М. Ипатова рассмотрела в работе [32] модель с вертикальной вязкостью, в которой уравнение гидростатики (17) заменяется на соотношение вида (14), ( Т, Б)
рой степени от температуры и солености. Она доказала для этого случая теоремы существования, аналогичные теоремам 4 и 5, в подходящих функциональных пространствах. Задачи ассимиляции данных для основных уравнений океана в различных полудискретных постановках исследованы в работах [33-35].
V. Существование и единственность сильных решений
Г.М. Кобельков в [36,37] и С. Сейо, Е.С. Тайти в [38] доказали существование и единственность гло-
бального сильного решения для упрощенной системы основных уравнений океана, в которую не входит уравнение для солености. В этих работах предполагается, что океан имеет плоское дно и плотность воды p = aTT. В области О = О' x [G, 1\, где О' — область в плоскости переменных (x, у) с кусочно-гладкой границей дО', Г.М. Кобельков рассмотрел систему:
dtu И lv И Px — vДu — vuzz = G, ^
dtv — lu И Py — vДv — vvzz = G,
dtp — VlДp — vi pzz = G,
і • і AD ''
div u И wz = G, Pz = —gp с граничными и начальными условиями:
uz = vz = w = pz =^и z = G и z = 1, (32)
u • n = dnu x n = dnp = G на дО' x [G, 1\, (33)
u = u0, v = v0, p = p0 при t = G, (34)
где l = const u = (u,v), n — вектор нормали к боковой границе. Обозначив
Qt = О x [G, T\, R = {p, pz Є W2i(Qt)},
l
V = {u, v, uz ,vz Є W^ (Qt ), j div u dz = G
0
},
Г.М. Кобельков ввел определение обобщенного решения
Определение 2. Обобщенным решением задачи (30) - (34) назовем ее слабое решение u Є V, p Є R.
Он доказал, что верна следующая теорема.
u0 v0 0
лежат W2(О) и удовлетворяют граничным усло-1
div u0 dz = G
0
v, v1 > G T > G
имеет в Qt единственное обобщенное решение, такое, что
u2, (u2)z, ux, uy, (u2)xz, (u2 )yz, ut, uxt, %t Є L2(Qt ),
2, x, y
, pxz, pyz, pxt, pyt Є L2 (QT)
и нормы ux, uy в пространстве Ь2(О) непрерывно зависят от t. □
С. Сейо и Е.С. Тайти [38] рассмотрели уравнения крупномасштабной динамики океана в области О = О' x ( — h, G^, где граница дО' предпо-h = const > G результат, сходный с теоремой 6.
В [39] Г.М. Кобельков и В.Б. Залесный исследовали систему основных уравнений океана со стратификацией, которая отличается от (31) тем, что
v1 zz
член дz(V1 pz), а коэффициент вертикальной вязкости v1 = v1( ) задается непрерывной положи-
тельной функцией, которая не возрастает при pz ^ ^ 0 и равняется константе при pz > 0. Они доказали для этого случая теорему, аналогичную теореме 6.
А.В. Друца в [40] попытался снять предположение о плоском дне океана. Он рассмотрел систему (31) в области О = О' х (0,И(х,у)), где глу-И(х, у)
ренцируема и положительна. Выравнивание дна производится при помощи перехода к переменной в = г/И(х,у). Область изменения пространственных переменных становится цилиндром О = О' х х (0, 1)
держатся смешанные производные и производные первого порядка по в, однако А.В. Друца считает эти члены малыми и опускает их при окончательной записи уравнений модели:
ИСги — vИ А и + И^ и + И VP — вР^И = 0,
Рз = —Идр, <Иу(Ии) + т'з = 0, ИСгр — v1 ИАр = 0,
где А = дхх + дуу + дз(Адз), А = И 2(1 + в2(И2)х +
+ в2(И 2)у).
Для последней системы в [40] ставятся краевые условия:
и • и = дпи х и = дпр = 0 на дО' х [0,1],
т = 0, из =0, рз = 0 при в = 0 и в = 1
и доказывается теорема существования и единственности, аналогичная теореме 6.
И. Кукавица и М. Зиан в [41] также доказали корректную разрешимость примитивных уравнений в области с неровным дном, но они ставят на дне океана менее физичное и более простое для исследования условие прилипания: и = V = т = 0.
VI. Заключение
Вопросы существования и единственности решений начально-краевых задач для трехмерных нелинейных моделей динамики океана и математического обоснования процедуры ассимиляции данных в этих моделях представляют значительный фундаментальный и прикладной интерес. За последние годы достигнут существенный прогресс в исследовании рассмотренных проблем, однако многие принципиальные моменты до сих пор остаются не изученными. Усилия многих математиков во всем мире направлены на исследование этих задач, поэтому в будущем можно ожидать появления новых важных результатов.
Литература
1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
2. Соболев С. Л. Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hy-perboliques normales // Мат. сборник. - 1936. - Т. 1, № 1. - С. 39-70.
3. Соболев С.Л. О задаче Коши для квазилинейных гиперболических уравнений // Доклады АН СССР. - 1938. - Т. 20, № 2-3. - С. 79-84.
4. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.
- М.: Наука, 1961.
5. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок // Вестник инженеров. - 1915. -Т. 1. - С. 897-908.
6. Марчук Г.И. Об уравнениях динамики ба-роклинного океана // Доклады АН СССР. - 1967.
- Т. 173, № 6. - С. 1317-1320.
7. Марчук Г. И. О численном решении задачи Пуанкаре для океанической циркуляции // Доклады АН СССР. - 1969. - Т. 185, № 5. - С. 10411044.
8. Бубнов М.А., Кажихов А.В. Теоремы существования и единственности в некоторых задачах линейной теории океанической циркуляции // Динамика сплошной среды: сб. научн. тр. / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. - 1970. - Вып. 6. -
С. 223-237.
9. Белов Ю.Я. Квазилинейная стационарная задача динамики океана // Численные методы механики сплошной среды. - 1978. - Т. 9, Ш 5. - С. 13-
27.
10. Белов Ю.Я. Об одной линейной стационарной задаче динамики океана // Мат. заметки. -1979. - Т. 26, вып. 1. - С. 45-52.
11. Белов Ю.Я. Теоремы однозначной разрешимости и аппроксимация некоторых краевых задач для систем уравнений, описывающих течения океана // Сиб. мат. журнал. - 1979. - Т. 20, Ш 6. -
С. 852-867.
12. Бубнов М.А. О поведении решений уравнений динамики стратифицированного океана при t стремящемся к бесконечности. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978: препринт № ИЗ.
13. Бубнов М.А. Математические вопросы моделирования приливов и циркуляций в бароклин-ном океане. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.
14. Кажихов А.В. Математическая гидродинамика. Избранные труды. - Новосибирск: Изд-во института гидродинамики,2008.
15. Kordzadze A. A. On the uniqueness of the solution of an ocean dynamic problem // Dokl. Earth Science. - 1974. - V. 219, N 4. - P. 856-859.
16. Кордзадзе А.А. Математические вопросы решения задач динамики океана. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.
17. Сухоносов В. И. О корректности в целом трехмерной задачи динамики океана / / Механика неоднородных сплошных сред. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1981. Вып. 52. - С. 119-126.
18. Сухоносов В. И. О корректности в целом краевых задач для моделей динамики атмосферы и океана // Доклады АН СССР. - 1983. - Т. 27, № 3. - С. 556-560.
19. Сухоносов В. И. О разрешимости задач атмосферы и океана на сфере // Задачи динамики жидкости со свободными границами. - 1987. -Т. 81. - С. 117-126.
20. Lions J.-L., Тетат R. and Wang S. On the equations of the large-scale ocean // Nonlinearity. -1992. - V. 5. - P. 1007-1053.
21. Тихонов A.H. Об устойчивости обратных задач // Доклады АН СССР. - 1943. - Т. 39, № 5.
- С. 195-198.
22. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах // ЖВМ и МФ. - 1965. - Т. 5, № 5. - С. 463-473.
23. Тихонов А.Н. Об устойчивости задач оптимизации функционалов // ЖВМ и МФ. - 1966. -Т. 6, № 4. - С. 631-634.
24. Ipatova V.M., Agoshkov V.I., Kobelkov С.М., Zalesny V.B. Theory of solvability of boundary value problems and data assimilation problems for ocean dynamics equations // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 2010. - V. 25, N 6. - P. 511-534.
25. Petcu М., Temam R.M. and Ziane M. Some mathematical problems in geophysical fluid dynamics // Handbook of numerical analysis. Special volume: Computational Methods for the Atmosphere and the Oceans. - Amsterdam: Elsevier. - 2009. -V. 14. - P. 577-750.
26. Temam R., Ziane M. Some mathematical problems in geophysical fluid dynamics // Handbook of Mathematical Fluid Dynamics. - Amsterdam: Elsevier. - 2004. - V. 3.
27. Агошков В.И., Ипатова В.М. Теоремы существования для трехмерной модели динамики океана и задачи ассимиляции данных // ДАН. -2007. - Т. 412, № 2. - С. 151-153.
28. Агошков В.И., Ипатова В.М. Разрешимость задачи усвоения данных наблюдений в трехмерной модели динамики океана // Дифф. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 8. - С. 1064-1075.
29. Ipatova V.M. Solvability of the ocean hydrothermodynamics problem under a nonlinear state equation // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling.
- 2008. - V. 23, N 2. - P. 185-195.
30. Ипатова B.M. Задачи ассимиляции данных для основных уравнений термодинамики океана с непрерывной по Липшицу плотностью // Совре-
менные проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2008. - С. 56-79.
31. Ипатова В. М. Задача ассимиляции данных об определении коэффициентов и начального условия для трехмерной модели гидротермодинамики океана // Фундаментальные и прикладные проблемы современной математики. - М.: МФТИ, 2010. - С. 102-111.
32. Ипатова В. М. Задача ассимиляции данных для основных уравнений динамики океана с квадратичной плотностью // Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2007. - С. 80-95.
33. Агошков В.И., Пармузип Е.И., Шу-тяев В.П. Численный алгоритм вариационной ассимиляции данных наблюдений о температуре поверхности океана // ЖВМ и МФ. - 2008. - Т. 48, № 8. - С. 1371-1391.
34. Агошков В.И., Лебедев С.А., Парму-зин Е.И. Численное решение проблемы вариационного усвоения оперативных данных наблюдений о температуре поверхности океана // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. - 2009. - Т. 45, № 1. - С. 76-108.
35. Parmuzin E.I., Shutyaev V.P. Variational data assimilation for a nonstationary heat conduction problem with nonlinear diffusion // Russ. J. Numer.
Anal. Math. Modelling. - 2005. - V. 20, N 1. - P. 8195.
36. Кобельков P.M. Существование решения «в целом» для уравнений динамики океана // ДАН.
- 2006. - Т. 408, № 4. - С. 1-3.
37. Kobelkov G.M. Existence of a solution «in the large» for ocean dynamics equations // J. Math. Fluid Mech. - 2007. - V. 9. - P. 588-610.
38. Cao C., Titi E.S. Global well-posedness of the three-dimensional viscous primitive equations of large scale ocean and atmosphere dynamics / / Annals of Mathematics. - 2007. - V. 166, N 1. - P. 245-267.
39. Kobelkov G.M., Zalesny V.B. Exitence and uniqueness of a solution to primitive equations with stratification «in the large» // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 2008. - V. 23, N 1. - P. 39-61.
40. Drutsa . I. V. Existence «in the large» of a solution to Primitive equations in a domain with uneven botton // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. -2009. - V. 24, N 6. - P. 515-542.
41. Kukavica I., Ziane M. On the regularity of the primitive equations of the ocean // Nonlinearity.
- 2007. - V. 20. - P. 2739-2753.
Поступила в редакцию 25.01.2011
