Граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических возрастающих по времени областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.957

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО

ГАЗА В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЗРАСТАЮЩИХ ПО ВРЕМЕНИ

ОБЛАСТЯХ

© И. А. Калиев*, А. А. Шухардин, О. И. Валишина

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 47а.

Телефон: +7 (3473) 43 22 50, факс: +7 (3473) 43 94 18.

E-mail: kalievia@mail.ru.

В данной работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа доказывается глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилиндрических возрастающих со временем областях. Локальная теорема существования и единственности рассматриваемых задач доказана в более ранних работах А. В. Кажихова и И. А. Калиева. Поэтому доказательство теоремы существования и единственности «в целом» по времени связанно c получением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от данных задачи и величины интервала времени T, но не зависят от промежутка существования локального решения. Исследование проводится в эйлеровых переменных.

Ключевые слова: система уравнений Навье-Стокса, теплопроводный газ, глобальная разрешимость, нецилиндрические возрастающие по времени области.

Введение

Полная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа или система уравнений На-вье-Стокса представляет собой интересный и важный класс дифференциальных уравнений в частных производных. В теории таких систем одной из центральных является проблема однозначной разрешимости «в целом» как по времени, так и по данным. Изучение вопросов корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса началось с работы Дж. Серрина 1959 г. [1]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Отметим также более раннюю статью Д. Граффи 1953 г. [2] о единственности классических решений для ба-ротропного газа.

Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Нэш [3]. Он доказал существование классического решения задачи Коши «в малом» по времени. Этот результат несколько иными методами был повторен и обобщен в работах Н. Итая [4], А. И. Вольперта и С. И. Худяева [5]. Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В. А. Солонниковым [6] и А. Тани [7]. Первый результат по однозначности разрешимости «в целом» по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я. И. Канелем [8] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач были доказаны в работах Н. Итая [9, 10] и А. Тани [11]. В 1976 г. А.В. Кажихов [12] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа.

В работах И. А. Калиева, А. В. Кажихова [15, 16] исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи со свободной границей, моделирующей процесс фазового перехода между вязким газом и твердым телом. При этом возникает вспомогательная задача, описывающая движение вязкого теплопроводного газа в криволинейной области, доказывается единственность и существование ее локального решения. Как правило, область в которой доказывается существование решения «в целом» по времени, является либо полосой {(л, t)l - да < x < да, 0 < t < T}, либо цилиндром {(л, t)la < x < Ь, 0 < t < T}; а, Ь, Т - заданные постоянные. В нашей работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа доказывается глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилиндрических возрастающих со временем областях {(л, t)I0 < л < s(t), 0

< t < Т }, где л = s(t) - заданная гладкая возрастающая функция. Для вязкого газа известны результаты по глобальной разрешимости задачи со свободной границей об истечении газа в вакуум [12, 14] и задачи о поршне, который двигается по заданному закону [14]. В обеих задачах скорость движения границы s(t) области занятой газом совпадает со скоростью движения материальной точки с координатой s(t), т.е. u(s(t),t) = ds(t)/dt, 0 < t < Т. Другими словами, газ через границу s(t) не течет и этот факт играет решающую роль при доказательстве теорем существования, поскольку область определения решения в лагранжевых координатах становится фиксированным цилиндром. В настоящей работе u(s(t),t) = 0, ds(t)/dt > 0, т.е. u(s(t), t) - ds(t)/dt

< 0, и газ втекает через подвижную границу области л = s(t). В статье исследование проводится в эйлеровых переменных. Случай, когда ds(t)/dt < 0 рассмотрен в работах И. А. Калиева и М. С. Под-куйко [17, 18].

* автор, ответственный за переписку

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2

327

Постановка задачи. Формулировка основных результатов

Пусть нецилиндрическая область Пг = {(х, 1)\0

< х < 8(1), 0 < X < Г }, где х = 8^) - известная гладкая функция, занята вязким теплопроводным газом. В работе изучается случай, когда область расширяется со временем, т.е. й8(1)/й% > 0. Одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в области Пг описывается системой уравнений [14]:

др + дЫ 0,

Э? Эх

(1)

fдu дu I 2 д2u до „ „

pI-^7 + u1 = Цчт-д-, p = RPъ

V дґ дx J дx дx

(2)

P

дв двЛ д2 в (ди | ди (3)

чэ7+и аХ]=хэ?+НчаХ] -р эХ’ ( )

здесь р(х,Х), и(хЛ), р(хЛ) и в(хЛ) - плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа; ^, Я, х- положительные константы: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно.

В начальный момент времени задаются и, в, р:

и х)|,=0 = ио(x), в(x, х)|,=0 = во (Д

Р(x, х)|,=0 = Р0(x), х е [080 ]

где 80 = 8(0).

На известных границах х = 0 и х = 8(1) задаются условия:

и (х, X)|х=0 = 0, и (х, X)|х=8(() = 0, X е [0, Г], (5)

в(x, х=0 = в (t), в(x, х=8 (,) = в2 (t), Х е [0,Г ], (6)

Р(х, ?)|х=8(()=Р2 (?), ? е[0, Г] (7)

Предполагается, что для всех ? е [0,Г] и х е [0,80 ] выполняются неравенства:

0 < т < Р0 (х), р2(), в0 (х), в1(), в2() < М < , (8)

дu

(4)

ds

0 < s0,0 < m < —< M

г, (9)

ds

где m, M - некоторые положительные константы.

Задача Gas. Требуется найти функции p(x,t), u(x,t), 0(x,t), удовлетворяющие системе уравнений (1)-(3), если в начальный момент и на известных границах выполняются условия (4)-(7).

Теорема 1. Пусть начальные и краевые данные задачи Gas принадлежат пространствам Гельдера

р0(x)e С1+“([0,.0]), u0(x)e С2+“([0,]), в0(x)e C2+a([0,s0])

s(t), p2 (t U (tU (t )gC (2+a/2 ([0,T ]),

0 < a = const < 1; выполнены условия (8), (9) и условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0), (s0,0).

Тогда задача Gas имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами

px, t) е С1+а{йТ), u(x, t) е С2+a,(2+a)/2 (ftr), e(x, t) е С2+a(2+a)/2(ftT),

причем

(10)

0 < m1 < p(x, t) < M1 < +«>, 0 < m2 < d(x, t) < M2 < +«>, (x, t) е QT

где m1, M1, m2, M2 - некоторые положительные константы.

Локальная теорема существования и единственности задачи Gas доказана в [15, 16]. Поэтому доказательство теоремы связано с получением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от данных задачи и величины интервала времени Т, но не зависят от промежутка существования локального решения.

Вспомогательные предложения и априорные оценки

Предположим, что p(x, t)> 0, e(x, t )> 0 (в малом по времени имеется теорема существования с соответствующими оценками) [15, 16]. Нами доказываются следующие леммы 1-13.

Лемма 1. Для любых t е [0,Т] выполняются оценки

£(t) p(xt )dx=£° р0 (x)dx+£ р2(т) dTTdT< M 0,

где

ds

Mo = Ю0 Po (x)dx + J0 P2 (т)— dT

■ |°/ ^ ,ёт

В дальнейшем при получении оценок на функции р, и, в в области, занятой вязким газом, используются методы, разработанные В.А. Вайган-том [13].

Введем в ПГ вспомогательную функцию В(х, X), определенную следующим образом:

дВ 1 дВ ди 1 „ 1 2

— =—ри, — =----------------Ярв----ри ,

дх 1 дг дх 1 Ц

Ч=0 = В0(х) = — !>0 Ши0 (^)d^, 0 < х < 80 .

1

Лемма 2. Существует постоянная С, зависящая от граничных данных и Т, такая, что для любых (х,£)е О.Г справедливо равенство

B(x, t )< C(1 + ^jQs(t) pu 2dx

+

+

£( ) p6dxdT+ГГ ( ) Pu2dxdf).

Лемма 3. Существует постоянная С, зависящая от граничных данных и Т, такая, что для любых t е [0,Т ] справедливо равенство

jQ(' (plnp-p+1)dx + + — f f( ) pOLdxdz< Сf1 + max \B(x, t)|

ЦЗ ^ (x,f)EHt

Лемма 4. Для любых t е [0,T] справедливы оценки

max p(x, t)< M • expI 2 max B(x, t)|

0< x< s(t) У (x.rjfefl t

2

max ——г

0<x<s(t) p(x, t)

< С

expl 2 max |b(x, t)| | +

V (x,т)є^J 'J

+ f max ^(x,T)dT-exp( 4 max |b(x,t)|

J0 0<x<s(т) у (x,^^

Лемма 5. (Оценка полной энергии). Существует постоянная С > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что

max JD

0<t <TJ 0

s(t)

Ґ

pe +

pu

2

2

dx < С .

Оценки сверху и снизу для плотности и температуры снизу

Лемма 6. Существует постоянная М1 > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что

max

(x,t )єй

p(x, t )< My

Лемма 7. Существует постоянная т2 > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что

тіп в(л, t)> т2 ■

(лД )єй Т

Лемма 8. Существует постоянная ті > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что

min

p(x, t )> my.

(х,1 )е И Г

Оценки производных.

Лемма 9. Существует постоянная С > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что

0 г,^Лх,г)йх + |0ГГМ-2

tе[0,Г ^0 ' 7 V ’

Лемма 10. Для любых Xе [0,Г] справедливо

max ID(t )p(x, t )u 2 (x, t )dx + ID ID^ (x, t )dxdt < С

неравенство

josW ux2 u ґ)dx+id £(т) (uт(2, т)+ui(2, т))d2dт <

< С(1 + ID JD(т)в2 (2,т)d2dT +

+ J maxїв2(x,т) J ( )pi(x,т)d2dт).

Jo xєjo,s(т)^ Jo x'

Лемма ІІ. Для любых t є [0, TI справедливо

т) + u т

E(t) pl(x ґ )dx <С+С £ JDs (т) в d2dт.

неравенство fs(t) 2(

x , t )dx < С + С . .

J0J0 0

Оценка температуры.

Лемма 12. Существует постоянная С > 0, такая, что для любых t е [0, Т] справедлива оценка

rs (т) о f*t rs (т) о

max f 0 dx + f f вх dxdT < С.

0<T<t J0 J0 J0 x

Лемма 13. Существуют постоянные С1, С2, С3, M 2 > 0, зависящие от Т, начальных и краевых данных, такие, что для любых t е [0, Т] справедливы следующие оценки

(*s(t) 2 / \ ft ?s(т)

J u2x (x, t)dx + ul (x,т)dxdт

+

+

I! JDs (т) ul и,т)^т< Сі

ID (t) p2x(x, ґ )dx+J0,(,) p! (x, ґ )dx < C2,

s(t) 2

0

ei (x, ґ )dx+jd £(т) в2 (x, т)^т+

+

JD JDs (т)в м^т<С

max

(x,t )єП7

e(x, t) < M2

Оценки теоремы в гельдеровских нормах, после того как доказаны априорные оценки лемм 113, получаются методами, изложенными в [14].

ЛИТЕРАТУРА

1. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. V. 3. .№3. P. 271-288.

2. Graffi D. Il teorema di unicita nella dinamica dei fluidi compressibli // J. Rat. Mech. Anal. 1953. V. 2. P. 99-106.

3. Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d’un fluide general // Bull. Soc. Math. France. 1962. V. 90. P. 487-497.

4. Itaya N. The existence and unicueness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow // Proc. Japan Acad. 1970. V. 46, №4. P. 379-382.

5. Вольперт А. И., Худяев С. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сборник. 1972. Т. 87. №4. С. 504-528.

6. Солонников В. А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128-142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т. 56).

7. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1977. V. 13. №1. P. 193-253.

8. Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4. №4. С. 721-734.

9. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // J. Math. Kyoto Univ. 1974. V. 14. №1. P. 129-177.

10. Itaya N. A servey on the generalized Burger’s equation with a pressure model term // J. Math. Kyoto Univ. 1976. V. 16. №1.

P. 223-240.

11. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1974. V. 10. №1. P. 209-233.

12. Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 24. С. 45-61.

13. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 3-21.

14. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск:

Наука, 1983. 319 с.

15. Кажихов А.В., Калиев И.А. Корректность одной модели фазового перехода газ - твердое тело. Новосибирск, 1999. 32 с. (Препр. / Мин. ОПО РФ. НГУ, НИИ Дискретной математики и информатики. N 43).

16. Kaliev I. A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem // J. Math Fluid Mech. 1999. V. 1.

№3. P. 282-308.

17. Калиев И. А., Подкуйко М. С. Об одной граничной задаче для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. №10. С. 1356-1374.

18. Kaliev I. A., Podkuiko M. S. Nonhomogeneous Boundary Value Problems for Equations of Viscous Heat-Conducting Gas in Time-Decreazing Non-Rectangular Domains // J. Math Fluid Mech. 2008. V. 10. P. 176-202.

l

T

Поступила в редакцию 31.10.2012 г.