Задача инициализации для модели общей циркуляции атмосферы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95; 519.63

В. М. Ипатова

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Задача инициализации для модели общей циркуляции

атмосферы

Рассматривается двухслойная квазигеострофическая модель общей циркуляции атмосферы, основными переменными которой являются баротропная и бароклинная составляющие функции тока. Предполагается, что имеются натурные измерения скорости воздуха. Данные наблюдений используются для отыскания неизвестного начального состояния модели. Расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования измеряется целевым функционалом стоимости. Доказывается разрешимость оптимизационной задачи при положительных значениях параметра регуляризации. Исходная система уравнений модели аппроксимируется полуявной спектрально-разностной схемой, по отношению к которой ставится дискретная задача инициализации. Получена теорема о сходимости численных решений обратной задачи к ее точным решениям.

Ключевые слова: модели динамики атмосферы, обратные и вариационные задачи, численные методы, спектрально-разностные схемы.

1. Введение

В последние десятилетия наблюдается возрастающий интерес к задачам по управлению системами, описываемыми уравнениями в частных производных. Это обстоятельство продиктовано потребностями современных приложений с объектами управления большой сложности, а также быстрым развитием вычислительной техники, создающей возможности для практических расчетов. К числу таких задач относится проблема ассимиляции данных наблюдений в моделях гидродинамики. Эта обратная (по отношению к моделированию) задача имеет следующую вариационную трактовку: определяется функционал стоимости, измеряющий расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования, после чего отыскиваются те неизвестные входные параметры модели, для которых функционал стоимости принимает свое наименьшее возможное значение. Строгий математический анализ и обоснование процедуры вариационной ассимиляции данных включают в себя исследование таких вопросов, как существование решений оптимизационной задачи и сходимость ее численных решений к точным решениям. В настоящей работе эти вопросы изучаются по отношению к двухслойной бароклинной квазигеострофической модели общей циркуляции атмосферы. Основными переменными модели являются баротропная и бароклинная составляющие функции тока, однако функция тока не относится к числу величин, для которых в метеорологии ведутся натурные наблюдения. По этой причине предполагается, что известны измерения вектора скорости воздуха. В качестве параметров модели, подлежащих определению, выбрано начальное состояние, поскольку задача инициализации является одной из наиболее известных и часто решаемых на практике.

Отметим, что сходимость численных решений задачи ассимиляции данных ранее исследовалась в [1, 2] для квазигеострофических моделей динамики океана при предположениях, что уравнения рассматриваются в прямоугольной области и заданы наблюдения за возвышением уровня поверхности океана.

2. Двухслойная квазигеострофическая модель общей циркуляции атмосферы

Пусть 5 — двумерная сфера радиуса Я, в е [0, 2п) — долгота, <р € [— 2; 2] — широта, О — угловая скорость вращения Земли, д — ускорение свободного падения, I = 2Овт р — па-

раметр Кориолиса, А = r^ Ц- + r^ £ (cos <р£) - оператор Лашгаса-Бельграш.,

3(u,v) = R21os^ (^¡щ — %щ) — якобиан, Лп = п(п + 1) — собственные значения (—А), отвечающие собственным функциям wmn = wmn(0,ip), |m| ^ п, где wmn = Ymn(0,ip) — сферические гармоники.

Атмосфера разбивается по высоте на два слоя, первому слою соответствуют значения давления от 0 до 500 мб, а второму — от 500 до 1000 мб, = ф\(в, if, t), гр2 = ф2(9, <р, t) — действительнозначные функции, обозначающие функцию тока внутри первого и второго слоев, х\ = , Х2 = ^ — баротропная и бароклинная составляющие функции тока,

х = (xi,x2). Модель общей циркуляции атмосферы имеет вид [3]

—— + 3 (хх, Ахi + I) + 3 (X2, Ах2) = fi А2Х1 — аА(х! + ) + fi, (1) ot

д(Ах2~ аХ2) + j ( Ахх + l) + J (xi, Ах2) = (2)

ot (2) = ц, А Х2 — оА(хх + Х2) + аЗ (xi, Х2) — Ц-iАх2 + 01X2 + f2,

A t=o = хо. (3)

Здесь а, ц, ai, ц1, а — положительные постоянные, fi, f2 — заданные функции. Обозначим через L'2 = L2,(S) действительное гильбертово пространство

L% = ju(9,tp) е L2(S), j udS = 0}

со скалярным произведением (и,ь) = шйв и нормой ||и|| = (и, и)1/2. С оператором (-А) свяжем шкалу гильбертовых пространств Нр = НР(Б), р € М, полагая

Нр = [и(в, ф) € Ь°2, ЦиЦр = Ц(-А)р/2иЦ < .

Для вектор-функций х = (х\, х2) высоты два введем пространства Ур = УР(Б) = Нр х Нр

1 /2

с нормой ||ж||р = (||ж1||р + Цх2|р) / , где У0 = Ь*2 х Ь0, ||ж||0 = |И|-

Пусть Т > 0 — некоторый конечный момент времени, обозначим С = Б х (0,Т), (■, -)с, || ■ ||с — скалярное произведение и норма в Ь2(С). Введем пространства

X = Ь2 (0,Т; Уз), г = Ь2 (0,Т; V*) , У1 = Ь2 (0,Т; VI),

г = Ь2 (0,Т; V._ 1), ж- ={ж € Х,^ € .

В [4] показано, что С ([0, Т] ; У2) непрерывно вложено в Ш, поэтому для вектор-функций из Ш имеет смысл начальное условие (3).

Введем билинейные формы а,1(и, и), 0,2 (и, и), Ь1(и , и) и трилинейную ф орму Ь2(и ,ь ,'ш):

а1(и, у)= (Уи1Уу 1 + Уи2'Чу2 + аи2у2)йБ,

02 (и , V) = {¡I (АщАу 1 + Аи2АУ2) + +

+ аУ(и1 + П2)У(у 1 + 1)2) + (Г1и2У2}<13,

Ь1(и, ь)= [ ■] (и1,1) ь1 + 3 (и2,1) у2]йБ, Js

Ь2(и = /6, {3(■Ш]^, у1)Аи1 + 3(1Л2, у2)Аи1 + 3(■Ш]^, у2)Аи2 + + 3(■2, у1)Аи2 + а,3(■2, у2)и1] ¿Б.

Вектор-функцию х £ W будем называть решением задачи (1) - (3), если она удовлетворяет при почти всех t £ [0,Т] равенству

(д х \

— ,У j +Ü2 (х, у) = bi (х, у)+ Ь2 (х,х, у) - (f, у) У у £ V2,

где f = (fi, /2), и для нее выполнено начальное условие (3).

ются следующие утверждения.

Лемма 1 ([5, 6]). Имеют место неравенства

\\Vu||lm m 21/4\\и|| 1/2\\и\\ 1/2 У и £H2,

|b2(u,V,w)\ ^ С||и||2\МЫМ\2 У U,V,W £ V2,

|( J (W, и), Av) + (J (w, v), Ди)| < С ||Vu|| l4(S) \\Vu\l4(S) \иь у U,v,w £ H2.

Лемма 2 ([7]). Пусть Во, В1; B2 — три банаховых пространства, причем В0 С В i С В2; пространства В0 и В2 р ефлексивны, В0 компактно вложено в В1; а

д х

В1 непрерывно вложено в В2, и пусть W = < х £ LP0(0,Т; В0), £ LP1 (0,Т; В2) > , где

Т конечно ul < Pk < ж, k = 0, 1. Тогда вложение W в LP0 (0,Т;В1) компактно. Покажем, что справедливы

Теорема 1. Для решения задачи (1) - (3) верны априорные оценки

max \\х(Щ1 + \\х||у m с(\\хо\\1 + \\f\\z), (4)

max Mt)\\2 + \\х||х m с(\\хо\\2 + \\f\\z)

д х

д

m ci, (5)

Yi

где С\ зависит от ||х0||2 и ||/1Ы-

Доказательство. Умножая (1) - (2) на х скалярно в У0, имеем

1 й

2 ^ (||х|| 1 + + 2 + +Х2|? +^1|Х2 ||? + ^1|Х2|2 =

= -(¡,х) < |/|-1|х|| 1 < |||х|| 1 + сii/1-1.

Применяя неравенство Гронуолла, получаем (4). Умножая (1) - (2) на Ах скалярно в У0, находим, что

1 й

2 ^ (|х|| 2 + а||Х2||2) +»\\Х\\2 +^|Х1 +Х2|2 + ||Х2 ||2 + ^1НХ2|2 =

= (¡, Ах) - (7(Х1, I), АХ1) - (7(Х2, I), АХ2) < ||/||-1||х||3 + с||х|| 1 ||х||2 <

< § ||х|| 3 + с 01 /N-1 + ||х|| 2).

Применяя неравенство Гронуолла, убеждаемся в справедливости первой оценки (5). Вторую оценку (5) можно получить, умножая (1) - (2) на дх/дЬ скалярно в У0-

Теорема 2. При всех х0 € У2 и Р е Z задача, (1) - (3) имеет единственное решение х еШ.

Доказательство. Для построения решения воспользуемся методом Бубнова-Галеркина. Пусть ^^ ^^^^ ^^^^^^^^ собственных векторов ,ытп, \т\ ^п, п = 1, к,

и Qк = х Будем искать приближенное решение хк = (хк,х%) в виде

к п к _ тк

Y1 £ rlmn(t )wmn ( в

хз ' 3

n=i m=-n

Неизвестные функции времени находятся из системы

Ь2 (хк ,хк ,и I - (f, и),

(6)

01 (,у) + 02 (хк, У) = Ь1 , У) + Ь2 , хк, у) - (У)

(хк,у)[=о = (хо,у) Уу €Як

Повторяя рассуждения теоремы 1, убеждаемся, что для приближенного решения верны оценки, аналогичные (4) - (5). Выделим из последовательности приближенных решений сходящуюся подпоследовательность (за которой для краткости сохраним прежнее обозначение) хк ^ х слабо в Ш и сильно в Ь2(0,1; Ур) при р < 3. Переходя в (6) к пределу при к ^ го, неодим, что х является решением задачи (1) - (3).

Пусть х и и какие-либо решения задачи (1) - (3). Для разности х = и — х имеем

д А 7.

+ 3 (г1, Ащ + 1) + 3 (Х1, Аг{) + 3 (г2, Ащ) + 7

+3 (Х2, А Х2) — IА2Х1 + а А (^ + 22) = 0,

д(Аг2 — аг2) + 3 (ащ + ^ + 3 Ах{) + 3 (Аи2) +

2 (8) +3 (Х1, А г2) — I А Х2 + аА(х1 + Х2) + 11А ^ — а^2 = ( )

= а (3 (г1, и2) + 3 (Х1, г2)), t=о =0.

Умножая (7) - (8) на г скалярно в Уо, получаем соотношение

1 3

2 М (||*||! + а||^Ц2) +!|И|2 + а||21 + ^Н? + ц||^Н? + ай= (9)

= (3(Х1,Х1) + 3(г2, х2), Аг1) + (3(г1,Х2) + 3(г2,х{), А22) — а(3(г1,Х2), г2). Оценим характерные нелинейные члены в правой части (9):

\(3(Х1,Х\), Ах{)\ < Ц^Ц^Ц^Ц^Цгй2 < < с|Ы|1/2||г1Ц2/2Цх1Ц2 < ¡2||Х1Ц2 + С|\z1H2Hx1Hi

\( 3(Х1,Х2), Х2)\ < ||^Ы|УЖ2|к^Ы^^ < с||^||2||Ж212. Таким образом, из (9) вытекает оценка

- 0141 + а||^Ц2) <с|И|2 01 *Н4 + И2) . Используя неравенство Гронуолла, заключаем, что г = 0.

3. Задача инициализации и ее разрешимость

Пусть на измеримом множестве Со С С известны наблюдения за вектором скорости воздуха на первом и втором уровнях, которые задаются функциями ик, г>о, к = 1, 2. Обозначим через % характеристическую функцию Со и продолжим ик, ^к нулем на множество О \Со-Каждому решению задачи (1) - (3) сопоставим функции ф1(х) = Х1 — Х2, ф2(х) = Х1 + Х2,

( \ 1 дфк (х) , , 1 дфк (х) , Ък(х) = — ---ик(х) = - —-, к = 1,2.

К СОёф ов К д<£

Определим на Ш функционал стоимости

1(х) = т,1 \\%и1(х) — и1\\2с + т,2 \\хи 1(х) — ^Ц^ + тз \\хи2(х) — + т4 Цх'Ыж) — У<о,^2с ,

где т1, т2, тз, т4 — неотрицательные весовые множители.

Задачу (1) - (3) кратко запишем в виде Ф(х) = ( /; хо)• Из теорем 1 и 2 вытекает, что существует ограниченный обратный оператор Ф-1 : Z х У2 ^ Ш, определенный на всем

Z хУ2.

Теорема 3. Пусть / е ^ хп = Ф-1 (¡; уп), х = Ф-1 (/; хо) и уп ^ хо слабо в У2. Тогда, Хп ^ Х слабо в Ш.

Доказательство. Последовательность {уп} ограничен а в У2. По теореме 1 последовательность {хп} является ограниченной в Ш. Выделим из нее сходящуюся подпоследовательность хп ^ х слабо в Ш. В силу леммы 2 тогда хп ^ х сильно в У. Пространство С ([0, Т] ; У2) непрерывно вложено в Ш, поэтом у уп ^ г\¿=0 слабо в У2. Используя оценки леммы 1, убеждаемся, что Ь2 (хп, хп, у) ^ Ь2 (г, г, у) слабо в Ь2 (0, Т) при У у е У2. Переходя к пределу при п ^ го, неодим, что г является решением задачи (1) - (3), то есть х = х.

Будем считать, что данные наблюдений используются для отыскания неизвестного на-х

У2

Л (хо) = Л ||х0 - Х§||2 + I (Ф-1 (I; Х0)) , (10)

где Л ^ 0 — параметр регуляризации, хО е У2 — некоторое априорно известное приближен-х

Рассмотрим следующую задачу инициализации: при заданном / е Z найти функцию х е У2

Л (х0) = т!{Тх (у) \у еУ2} . (11)

Теорема 4. Если X > 0 и функции vk, k = 1, 2 принадлежат L2 (G), то задача, (11)

Достаточные условия ее разрешимости дает

& <

имеет решение.

Доказательство. Обозначим через т = inf {J\ (у) \у Е V2} и рассмотрим минимизирующую J\ последовательность {уп}, то есть lim J\ (уп) = т. Если X > 0, то последовательность {уп} ограничен а в V2. Выделим из нее сходящуюся подпоследовательность уп ^ xq слабо в V2. Обозначим zn = Ф-1 (f; уп), х = Ф-1 (f; xq). По теореме 3 имеет место сходимость zn ^ х слабо в W. Из леммы 2 вытекает, что zn ^ х сильно в Y. Тогда Uk(zn) ^ Uk(х), vk(zn) ^ vk(x), к = 1, 2, сильно в L2 (G). Таким образом, lim I (zn) = I (х).

По свойству слабой полунепрерывности снизу нормы имеем ||хо — Х0Н2 ^ lim sup || уп — Х0Н2,

следовательно, J\ (хо) ^ т. Учитывая определение т, приходим к выводу, что хо является решением задачи (11). Поскольку J\ (хо) = т, то ||упЦ2 ^ ||хо||2, значит, уп ^ хо V2

4. Сходимость численных решений задачи инициализации

Перейдем к рассмотрению дискретного метода для отыскания приближенных решений задачи (11). Пусть %п — собственное подпространство оператора Лапласа-Бельтрами, соответствующее собственному значению Лп = п(п + 1). Обозначим через HN = U^=1"Hn, S N = %N x %N и через Pn оператор ортогонадьного проектирования на %N. Пусть т = Т/К — шаг сетки по времени, tk = кт, к = 0, К, и xk — значение приближенного = k

и N выполняется неравенство

т Л N =TN (N + 1) <С (12)

с некоторой положительной константой С.

Аппроксимируем задачу (1) - (3) полуявной спектрально-разностной схемой:

А [х\ - /т + PNJ(хк-1, Ахк-1 + l) + PNJ(хк,-1,Ахк-1) + +(гА(х\ + хк) - цА2хк = qk е nN, (А - а) (хк - хк-1) /т + PnJ(хк-1, Ахк-1 +1) + PnJ(хк-1, Ахк-1)- (13)

-olPnJ(хк-1,хк-1) + (А(хк + хк) - ц.А2хк + ¡цАхк, - (пхк, = q^ е UN, хк е SN, к = т;к, х0 = ре SN.

Задачу (13) будем записывать в виде F(х) = (q; р), где оператор F зависит от т и N, но для краткости мы эту зависимость опускаем. Уравнения (13) представляют собой линей-

хк F

обратим на всем (SN)К х S N.

Зададим способ восполнения сеточных функций х = {хк}К=о на весь отрезок [0, Т] при помощи равенства

А(х)(в t) = 1-к-хк-1(в ,ф) + t- *к-1 хк ( в, <р) при te [t к-1, tk ]. т т

Определим на SN функционал, аналогичный функционалу стоимости (10), полагая

5л (р) = \\\р -х§| 12 + 1{А (F-1 (q; р))) ,

где внешнее воздействие q е (SN)K считается известным и фиксированным.

Рассмотрим следующую дискретную задачу инициализации: при заданном q е (SN)K найти функцию р е S N такую, что

5л (p)=ini {БлШуе SN}. (14)

Заметим, что эта задача является приближенным конечномерным аналогом оптимизационной задачи (11).

Для зависящих от времени функций зададим оператор проектирования на сетку P^,

1 i'tk

действующий по формуле Phfк = — Pn f (t)dt. Обозначим через

Т Jtk-!

(К х1!2 (К \1/2

\ \ х|| xh = т£\ \ хк \ \ 2 , \ \ q \ \ Zh = т£\ \ qк \ \ -J , \ \ х|| ж, = ^ \ \ хк \ \ 1 + \ \ х\\Хк.

V к=0 ) \ к=1 )

Далее нам потребуется

Теорема 5 ([8]). Пусть X u Y — банаховы пространства, F : X ^Y- дифференцируемый по Фреше оператор, причем:

1) F(0) = 0 и для его производной выполняется неравенство Липшица:

||F'(у 1) -F'(У2)\\Х^у < L\\У1 - у2\\x Vу1,У2 е Вг(0),

где Вг(0) = {у е X | \\у\\х ^ t}, L = L(r) > 0 — зависящая от, г константа;

2) оператор F'(0) замкнут и имеет определенный на всем Y непрерывный обратный оператор (F'(0))-1.

Тогда для, любого q е Y такого, что \\д\\у < i/(M2L), 0 < ^ < 1, существует единственный элемент, х, являющийся решением уравнения F(х) = q и удовлетворяющий х x < l/(ML), где M = ||(F'(0))-1|y_>x. Обозначим через F '(у) производную оператора F и рассмотрим уравнение

F'(у)х = (q;p), (15)

(16)

которое представляет собой систему

Л хк _ Ахк-1

1 1 + PnJ(хк-1, Лук-1 + l) + PNJ(xk2-1, Аук-1) + +PnJ(ук-1, Лхк-1) + PnJ(ук-1, Ахк2-1) + <гА(хк + xk) - рАкхк1 = qk,

(Л -a)(X -X-1) + PnJ (хк-1, Лук-1 + l) + PnJ (хк-1, Аук-1) +

+PnJ (ук-1, Лхк-1) + PnJ (y к-1, Ахк2-1) -aPiJ ( ук-1,хк-1 )- (17)

-aPNJ (хк-1, ук-1)+<л(хк+хк ) - ßл2хк+ß1Лхк - <1хк = ск-,

хк G ~N, к = 1^К, х0 = р G EN. Теорема 6. Если верно (12), m,о для решения уравнения (15) выполняется оценка

INI ж, <С2(|| р\\2 + \\q\\2Zh )1/k ,

где С2 > 0 зависит, только от, 11у \ -

Доказательство. Умножим (16) на тхк и (17) на тхк, скалярно в Lk,. Просуммировав результаты, имеем

2\\хкII1 + 2\\хк - хк-1\\21 + a\\хк||к + a\\хк - хк-1\к + т(р\\хкIk + аЦхк +хк|\k +

„к\\k , \тк\\к^ _ ^тк-1\\к | anтк-1\\к к хк\ | tîJï-1 д „.к-1

+ß1 \\хк\\ 1 + <1\\хк\\к) = -\\хк-1\Ц + a\\хк-1\\к - т(дк,хк)+ t[j(хк-1, Лук-1 +1) + +j (хк-1, Аук-1)+J ( ук-1, Лхк-1 ) + J ( ук-1, Лхк-1), хк ) + T[J (хк-1, лу к-1+i) + +J (хк-1, Лук-1) + J ( ук-1, Ахк-1) + J ( ук-1, Лхк-1) - aJ ( ук-1,хк-1) - aJ (хк-1, ук-1),хк ).

Используя лемму 1 и неравенство Юнга, оценим

^ к -1, Аук-1 ) + J(ук-1, Ахк-1),хк) < стЦхк\Ы\Ухк-1\\Чук-1\\Ы3) <

\ \ хк\\к\\хк-1 \\ 1/к[\\хк\\т\\хк -хк-1!1/2) цуук-1\\L4{S) <

< Tß \\хк\\к + 1 \\ хк - хк-1Ц\ + стЦхк-1^\Уук-1й4{sy При помощи аналогичных рассуждений получаем соотношение

к"к + aiхк\\к + тфк\\к < (1 + ст(1 + \\у^ЩЦук-1Ш))\\хк-1Ц21 + aH^H! + ст\\дкЦ-,

из которого следует оценка 11х\\^ с ехр (11у11(11р\\\ + 11д11. Лемма 3. Для оператора Р' верно неравенство Липшица:

| | Р'(у) - Р'(г^Ы^гм < Ц\У - гК,

где Р — положит,ельнная, постоянная, не зависящая от, т и N.

Доказательство. Обозначим § = у - г. Для любого х е (Вм)К+1 имеем Р'(у)х - Р'(х)х = (£; 0), где

е 1 = Рм^ (хк-1, Аз к-1)+з {хк-1, Аз к-1)+т {зк-1, Ахк-1) + ^ (з к-1, Ахк-1

(к = Рм(з(хк-1, Авк-1) + з(хк-1, Авк-1) + з(вк-1, Ахк-1) + з(эк-1, Ахк-1)--аз {з к-1,хк-1) - аз (хк-1,8к-1)). Пусть г е (2 м)К. Используя оценки вида

.к-1, А* к-1)+з (в к-1, Ахк-1), Л )| <С ||гк| 12 | ^8 к-1| |ь4(5)| |Ухк-1| ^ < кк 11 2 ||,к-1 || 1/2 || || 2/21 Х-1 || 1/2 11 хк-1 || 1/2,

приходим к неравенству к

k,r k)

k=i

/к \1/2 <L (;£|| rk|iij o^J8^^^о^ и'l72'|ж|1 ^.

Последние два утверждения позволяют доказать теоремы об устойчивости и сходимости (13).

Теорема 7. Пусть верно (12), х является решением уравнения F(х) = (q; р), а, у есть решение уравнения F(у) = (q+dq; p+dp). Тогда, для, любого е > 0 найдется 5 > 0; зависящее

( V/2

только от, е и | | х\\wh, такое, ч,то | | х — у| | wh < £ при ( | | dp||f + 11 dq| | Z ) < 5.

Доказательство. Обозначим z = у — х и рассмотрим оператор Т(z) = F(х + z) — F(х), действующий из Wh в Zh х Vi. По лемме 3 оператор производной Т' (z) = F' (х + z) непрерывен по Липшицу и в силу теоремы 6 норма | | (Т'(0))-1 11 zhxv1^wh < с2. Таким образом, для Т выполнены все условия теоремы 5. Поскольку (13) имеет единственное решение, то можно положить 5 = 7(1 — 7)/(c^L), где 7 = minjeC2L, 1/2}.

Теорема 8. Пусть х0 G V2, f G Z, функция х G W является решением, задачи (1) - (3) и wk = Рих(tk), к = 0, К, а сеточная функция, у есть решение уравнения F(у) = (Phf; Рих0). Тогда, при выполнении (12) имеет место сходимость Цу — w||wh — 0 при т —У 0, N — ж. Если к тому же vP°, vj = 1,2, принадлежат L2(G), то 1(А(у)) — 1(х) при т — 0, N — ж.

Доказательство. Применяя оператор Ph обеим частям (1) и (2), получаем уравнение

dz дх

F(w) = (Ph f+dq; Рмх0). Обозначим z = Pnх, Zt = тг-, хг = —, [х] = max ||х(^||2 и оценим

dtdt o<t<T

d

1 rtk 1 rtk

dk = 11 (A 2„(+\ A2„,M - 1 1

к 1 к

(A2 z(t) — A2wk )dt = — (t — tk-1)A2 Ztdt,

' 'k-1 T J 'k-1

_ . . 1/2

1 ^^N ^ )|| ^ „2 4

| | dk 11 -2 = ± fk (t — tk-i) | | ^ 11 2dt < Г (t — tk-i )|| zt| hdt Г |Ы |?di]

T Jtk-1 T Jtk-1 V 3 ytk-1 J

поэтому | | d|| Zh < с у/т | | хt | | y1- Далее

1 rtk

к-1

1 rtk 1 rtk Pn (J(z, Az) — J(х, Ах)) dt = -''k-1 T ''tk-1

\ 1/2

Sk = 1jt k Pn (j(wk-1, Awk-1) — J(х, Ах)) dt = fk + r,k,

1 ftk 1 rtk fk = - Pn (J (z, Az) — J (х, Ad^df = - Pn (J (z — х, Asc) + J (z, Az — Aх))dt,

k 1 k 1

[tk | | х||2 11 х — г| | 2dt <-j= ( ik ||х||2||х — г||2dA

k-1 k-1

| | f 11 Zh < С||х — Pn^\y [х] < -= ||х ||X [х].

van

k

Vk = ~ Г Pn (J(wk-1, Awk-1) — J(z, Az)) dt = ± i(tк — t)PN dJ(Z/+dt, T Jtk-1 V J T Jtk-1 m

с Гtk ........ c—AN rtk

? | | -2 i k (t — tk ) | | г | | 2 | | ^t 11 2dt < (t — tk )| |х|| 21| Zt| |1di<

k-1 k-1

< yfcXN^ k | | х||2|| х'11 jdt) , M|zh < — | | х' | | Y1 [х].

21

k-1

Применяя подобные рассуждения, убеждаемся, что \\с!д\\zh ^ 0 при т ^ 0, N ^ ж. Нетрудно заметить, что \\и\\wh ^ с\\х\\ж- В силу теоремы 7 имеет место сходимость \ \ у — \wh ^ 0 при т ^ 0, N ^ ж. Оценим \ \ А(у) — х||У1 < \\А(у) — А(и)\\у + \\А(и) —г\\у + \\г — х||п.где \\А(у) — А(и)\\у < с|\у — и\\wh,

А(и) — г = ——-(г(гк-1) — г(г)) + -—^^(х(гк) — г(г)) при £ е \tk-i, и},

rtk \\A(w) — z\\2dt^c fk (к -1 )2

'ifc-i Jtk-1

2

/ ztdt' 'tk-i

2 ifc

dt < ct2 \\zt\\\dt,

1 Jtk-1 -1|

\ \ A(w) -z\\У1 ^ ct^\\xt\\y, \ \ z-x\\y < Л^\\x\\x.

Поскольку A(y) — x сильно в K, то I(A(y)) — /(x) при т — 0, N — то.

Покажем теперь, что справедлива следующая теорема о сходимости численных решений задачи идентификации

Теорема 9. Пусть данные и®, v0, j = 1, 2, принадлежат, L2(G) и последовательность функций рп такова, что:

1) рп является решением задачи инициализации (14) с шагом по времени тп, максимальным номером собственного подпространства Nn, правой част,ью q = Phf и параметром регуляризации Хп ^ 0;

2) тп — 0 Nn — то, Ап — А0 при п — той выполняется (12). Тогда:

1) если А0 > 0, то рп содержит подпоследовательность, сильно в V2 сходящуюся к решению задачи (11) с теми же данным,и и А = А0;

2) если А0 = 0 и рп ограничен а в V2, то из рп можно выделить подпоследовательность, слабо в V2 сходящуюся к решению задачи (11) с теми же данным,и и А = 0

Доказательство. Обозначим через тх = inf {Jx (у) ly eV2}, sx = inf {S\ (у) lye SN}. Покажем, что для любого Ао ^ 0 верно неравенство

limsup sх ^ тХо. (18)

т —0,N —ж, X—Х0

Действительно, по определению точной нижней грани для любого е > 0 найдется вектор-функция у e V2 такая, что Jx0 (у) ^ тх0 + е/2. Из теоремы 8 вытекает, что существуют шаги сетки т° > 0, номер N0 e N и константа d> 0 такие, что SX(PNу) ^ JXo(у) + е/2 ^ тХо + е при всех т ^ т0, N ^ N0 и 1А — А01 ^ d, тогда sx ^ Sx(PNy) ^ тХо + е, что и дает (18).

А0 > 0 рп V2

тельность рп — x0 слабо в V2 и сильно в Vi. Обозначим

x = ^^-1(f;x0), Уп = F-1(Phf ;PNnx0), гп = F-1(Phf ;рп). На основании теоремы 8 имеем

I(A(уп)) — I(x) при п — то (19)

и ||yullwh ^ с||x||w ПРИ всех достаточно больших п. Так как ||Pn„x0 — рп\11 — 0, то по теореме 7 имеет место сходимость ||уп—z,n,llwh — ^и п — то. Следовательно, A(yrii)—A(гп) — 0 сильно в L2(0,T; V1), ^^вда и I(A(y,n)) — I(A(гп)) ^ 0. Учитывая (19), заключаем, что

Sо(рn) ^ J0(x0) при п ^ то. (20)

Из слабой сходимости рп к x0 в V2 вытекает, что liminf Црп — xq II2 ^ ||x0 — xq II2 • Принимая во внимание (19) и сходимость Ап —^ Ао, приходим к неравенству

liminf Sx„ (рп) > Jxo(x0). (21)

п—^^о

Но рп являются решениями задачи (14), поэтому S\n(рп) = s\n. Из (18) имеем limsupSAn (рп) ^ т\0 ^ J\0 (хо)- Сравнивая (21) и последнее неравенство, убеждаемся, что

lim SXn (рп) = J\o (хо) = т\о, (22)

то есть хо является решением задачи инициализации (11). Кроме того, из (20) и (22) находим, что lim Ап||рп — Xq||| = А0||х0 — Xq||2, тогда lim ||рп — Xq||| = ||х0 — Xq||2, поэтому рп ^ х^ тно в V2.

Если Ао = 0 и последовательность рп ограничена в V2, то вновь выделим из нее подпоследовательность рп ^ хо слабо в V2 и сильно в V\. Повторяя рассуждения настоящей

хо

задачи инициализации (11). 5. Заключение

Нами доказана разрешимость задачи инициализации для двухслойной квазигеостро-фической модели общей циркуляции атмосферы, изучены условия и характер сходимости численных решений задачи к ее точным решениям.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

Литература

1. Ипатова В.М. Сходимость численных решений задачи вариационного усвоения данных альтиметрии в квазигеострофической модели общей циркуляции океана // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 3. — С. 411-418.

2. Agoshkov V.I., Ipatova V.M. Convergence of solutions to the problem of data assimilation for a multilayer quasigeostrophic model of ocean dynamics // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 2010. - V. 25, N 2. - P. 105-115.

3. Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата. — М.: ВИНИТИ, 1994.

4. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

5. Il'in A.A. Navier-Stokes equations on the rotating sphere. A simple proof of the attractor dimension estimate // Nonlinearitv. — 1994. — V. 7. — P. 31-39.

6. Bernier Ch. Existence of attractor for the quasi-geostrophic approximation of the Navier-Stokes equations and estimate of its dimension // Adv. Math. Sci. Appl. — 1994. — V. 4, N 2. - P. 465-489.

7. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972.

8. Агошков В.И., Ипатова, В.М. О разрешимости основных и сопряженных уравнений в нелинейных задачах // Сопряженные уравнения в задачах математической физики. -М.: ОВМ АН СССР, 1990. - С. 1-46.

Поступим в редакцию 24-01.2012.