CC BY
50
УДК 517.956.35
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ
И.А. Рудаков
Доказано существование счетного числа периодических по времени решений квазилинейного уравнения колебаний балки с закрепленными концами. Нелинейное слагаемое имеет степенной рост.
Ключевые слова: колебания балки, периодическое по времени решение, вариационный метод, возмущение четных функционалов.
1.Введение. Рассмотрим задачу о периодических колебаниях балки с закрепленными концами
ип + ихххх + 8(х и и) = /(х 0> 0 < х <к t е R; (1)
и(х, t + Т) = и(х, t). 0 < х < к, t е R ; (2)
и(0, t) = их (0, t) = и(к; ^ = их (к; t) = 0, t е R. (3)
Период времени Т имеет вид
Т = 2кЬ, а, Ь е N (а,Ь) = 1 (4)
а
Функции 8 и/ являются Т - периодическими по t.
и
Обозначим 0=[0,к]хR/(TZ), G(х,t,и) =|8(х,t,^)ds . Нелинейное слагаемое 8
0
удовлетворяет следующим условиям [1]:
(A) 8еС!([0,к]хR2), строго возрастает по и и Т-периодична по t;
(B) существуют /и>2, г >0 такие, что 0<цG(х,t,и)<и^(х,t,и) при всех (х,t)еО,
ие(-», - г]и[ г, + ю);
(C) существуют ре[ц,-1, д), С1,С2,С3,С4 >0 такие, что
С1 |и |р -С2 <18(х,t,и)|<С31 и|р + С4 V(х,t)еО, VuеR. ф) 8( х, t, - и ) =-8(х, t, и ) V (х, ОеО, V uеR.
Задача о существовании периодических колебаний балки со свободно опертыми концами исследована в работах [2] - [4]. В [5] доказана счетная разрешимость задачи (1), (2) с однородными граничными условиями, когда / = 0, или / не зависит от t. Целью данной работы является доказательство существования счетного числа периодических решений задачи (1)-(3) при любой периодической правой части / (х, t) в случае, когда нелинейное слагаемое £ имеет степенной рост.
2. Свойства дифференциального оператора. Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде ряда Фурье. Соответствующая ортонормированная система строится с помощью следующей задачи Штурма- Лиувилля:
d 4 X
—— = ЯХ, 0 < х <к; (5)
сЬс4
X (0) = X '(0) = X (к) = X '(к) = 0. (6)
Собственные значения задачи (5), (6) являются решениями уравнения с^Лпк)' cos(Аnк) = 1. В работе [4] доказано, что собственные значения задачи (5), (6) можно представить в виде
Ап = А4, Лп = п + 2 + (-1)п-1^, пеN (7)
Здесь дп удовлетворяет неравенствам
0 <Ь°-<вп <— , п е N, (8)
dn dn
где d = е к, Ь =----3----. Соответствующая система собственных функций имеет вид
к^ +1)
^(Лпж) - С0$,(Лпж)
где ап =-------=----------=----
Ж{ЛпЛ)- $т{ЛпЛ)
выполняются следующие оценки:
Хп = Ап (сКЛпх) - С0*(Лпх) - ап (^(Лпх) - 8Іп(Лпх))),
п
. Если Хп (х) нормировать соотношением |Х2(х)йх = 1, то
| Хп (х)| < С0, | йк Хп (х)/йхк | < Dknk V хє[0,п],
С0, Dк не зависит от х, Ап = А0 + /Зп, где А0 > 0, Ап > 0, /Зп ^ 0 при п ^ ю.
Обозначим Z^ = N и {0}, О = [0,п]х R /(TZ) , /ипт = Лп-^-т^ , (п, т) є N х Z+ и рассмотрим полную ортонормированную в ^2 (О) систему функций
\}тХп (х)’ ТТ Хп (х)С08^;^тҐ) ^ Хп (х)8ІП ( аШ ^ т^ (9) Норму
и скалярное произведение в L2(О) обозначим || || и ( , ) соответственно. Введем оператор А : L2 (О) ^ L2 (О) с областью определения
І ю ю Ґ
D( А) = \п = ЕЕ X
апт С™ \аШ\ + Ьпт ^П п=1 т=0 V VЬ ] VЬ ,
ю ю I
Е Е^т (а1т + Ят ) <ю|
п=1 т=0 I
юю ( Ґ п \ Ґ п Л'А
действующий по правилу А(и) = Е Е МптХп
п=1т=0
для
всех
п
п=1 т=0
Обозначим N(А), R(А) соответственно ядро и образ А. Оператор А : L2 (О) ^ L2 (О) является самосопряженным, система функций (10) является системой собственных функций оператора А с собственными значениями /лпт. Все собственные значения /лпт имеют конечную кратность. В работе [5] доказано конечномерность ядра N(А) и следующие свойства оператора А .
Лемма 1. Пусть выполнено условие (4) и Ь не кратно 4. Тогда для любой функции f є R(А) имеет место включение
и = А-1 f є L2([0,2n]; Н 2) П С (О) П Н1( О)
и существует классическая производная их є С (О) .
Лемма 2. Пусть выполнено условие (4) и Ь не кратно 4. Тогда для любой функции f є Н1 (О) П R(А) и и = А1 f имеет место включение и є Н2(О) П С1(О) П R(А) и классические производные ихх, иххх є С (О) .
Лемма 3. Оператор А 1 : R( А) ^ С (О) является вполне непрерывным.
3. Квазилинейное уравнение. Обозначим сг(А) ={^пт | п є N, т є Z +}. Множество с(А) не имеет конечных предельных точек, если Ь не кратно 4.
Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(3) называется функция иєЩ(А) такая,
что
Т п
Ц(иАф+g(х,і,и)ф-f (х,і)д>) йхйі V<рєЩ(А).
0 0
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема. Пусть выполнено условие (4), Ь не кратно 4 и функция g удовлетворяет условиям (А), (В), (С), ф). Тогда для любой Т -периодической по І функции f (х,І) єН1(О) задача (1)-(3)
и
имеет неограниченную в Lp+1( О) последовательность обобщенных решений из Н — (О) П С1(0), для которых вторые и третьи классические производные по х непрерывны в О .
Доказательство. При доказательстве теоремы будем использовать метод Рабиновича-Танаки-ВаЬп-Веге1усЫ [6], [1], [7] и следовать плану работы[1].
Л
1/q
Для функций uеLq(О)обозначим ||и ||q=1 ||и(х,I)|q dxdt
ЧО
' е Lq ( О ), vе Lq /(q_l)( О ), то будем использовать обозначение ( и, V) = |uvdxdt.
Если
О
На множестве D (А) рассмотрим функционал
Е(и) = -—(Аи,и) + |(^(х,t,и) + / • и)dxdt.
) =---(Аи, и
О
Решения задачи (1)-(3) являются критическими точками функционала Е . Для функций ” ” а а
и,А), и = ХХ Хп ( апт С0^Т т0 +Ьпт SІn (Т т^ ,
п=1 т=0 Ь Ь
” ” а а
= X X Хп (аПт С0^Т mt) +ЬПт sin (Т т)) определим
п=1 т=0 Ь Ь
<х> — —
<и, v> = Т 2Лпап0 а'п0 + - X Кт |( апта'пт + Ьпт Ьпт ) + “ X ( апт апт + ЬптКт ), п=1 Н'пш *0 ^=0
II и ||Е = д/(и, и> . Для а > 0 обозначим
1 2
^а(х,t,и) = g(х,t,и) +аи, Gа(х,t,и) = G(x,t,и) + — аи .
Из условия (В) вытекает существование положительных констант А1, А—, А3 таких, что
— (и • g(x, t,и) + А1)>G(х,t,и) + А2 > А31и V V(х,ОеО, VиеК . (9)
V
а ч _ . ,а
Обозначим как в [1] Е+ = spaп{Хп cos(—тХп sm (—т^|/ипт <0},
Ь Ь
Е = spaп{Хп ^(-mt),Хп sin (-mt)| #,т >0},
Ь Ь
Е0 = рп{Хп cos(ашXХп sin (ат)|Мпт = 0Ь
Ь Ь
где замыкание берется по норме ||-1|Е. Тогда Е = Е +® Е_® Е0 есть гильбертово пространство со скалярным произведением (, >. Для любого числа qе[1, + го) существует положительная константа Cq такая, что ([1]):
||и|^ < Cq ||и||Е ^еЕ и вложение Е ^Lq является вполне непрерывным.
Стандартно ([1]) доказывается, что Е удовлетворяет условию Пале-Смейла (PS): любая последовательность {ип}^Е такая, что Е(ип)<М Vп и Е'(ип)^0
*
в Е при П, содержит сходящуюся в Е подпоследовательность.
Функционал Е не является четным. В связи с этим, используя метод возмущения четных функционалов из работ [6], [7], [1], заменим функционал Е на модифицированный функционал I .
Для его построения возьмем функцию хеС(К) такую, что х^) = 1 при t< 1, х^) = 0 при t>2
и - 2<х'^)<0, 0 <х^)<1 при tеК. Для функции иеЕ положим
Ф(и) = а^] /2(и) +1, У(и) = %\ (|(G(х,Ї,и) + А2)dxdt)/Ф(и)
V о
где а = 12/(ц - 2) . Для функций иєЕ определим функционал
/ (,,)=-2( Аи,-| G(х,t,сЫЛ+Т(И)( /, „).
о
Функционал I удовлетворяет следующим условиям.
Утверждение 1. Существует константа С > 0 такая, что
1
| І(и)-1(-и) | < С (| 1(и)| ц +1) Vи єЕ .
Доказательство. Все константы, не зависящие от и , будем обозначать буквой С . Вычислим |1 (и)-1(-и)| = (У(и) + У(-и))|(и, /)|.
Если иєsuppУ, то |(G(х,t,и) + А2)dxdt <2а д//2(и) +1 <С(|/(и) | +1) . Из (9)
следует, что G(х,t,и) + А2 >А31и |ц. Поэтому ||и|| Ц <С(|/(и)| +1) и, следовательно,
1
||и||ц <С(|/(и)| м +1) . Таким образом,
1
|( и, / )| < || и ||ц|| / ||ц/(ц-1) < С (|/( и )Г+1).
Так как /(и) = I(и) + (1 -У (и))(и,/) , то
1
|/(и)|<|І(и)| + |(и,/)|< I(и)|+ С |/(и)|ц +С.
Поскольку — < 1, то для любого є > 0 найдется константа С > 0 такая, что при всех и Ц
будем иметь неравенство
1
|/(и)|ц<є|/(и)| + С .
Следовательно, существует константа С > 0 такая, что |/(и)|<2| I(и)| + С и
1 1 1
|( и, /)|< С (^ (и )Г+1) < С (2 11 (и )|+1) Ц +1) < С 'V (и)|Ц +С'.
1
Если (-и) є su рр У, то аналогично выведем | (и, /)| < С (| /(- и ) |м +1) . Поскольку
/ (-и)=-2( Аи,и)-0 G( х, ^ и) + у( и)(и, /) - (1 + у( и))(и, /)=I (и)+(1 + у( и))(и,/),
о
1
то | / ( - и ) < 11(и)| + 2|(/, и)| < 11(и)| + С | / (-и)| ц+ С. Для любого є> 0 найдется
константа С > 0 такая, что при всех и будем иметь неравенство
1
|/ (-и)|ц<є|/(- и)| + С.
Следовательно, существует константа С > 0 такая, что | / (-и) | < 2 11 (-и)| + С и
1 1 1
|( и, /)|< С (^ (- и )Г+1) < С (2 11 (и )|+1) Ц+1) < С 'V (и)|Ц +С'.
Если и £ su рр У и (-и ) £ su рр У, то У( и) =У (-и ) = 0, 11 (и ) -1 (-и)| = 0. Утверждение доказано.
Утверждение 2. Существует положительная константа М0 такая, что если !(и) >М0 и || I, (и) || Е* <1, то I(u)=/(и).
Следствие 1. Функционал I(и) удовлетворяет условию Пале-Смейла на множестве
АМ 0 = {ие Е | 1 (и) > М 0}.
Следствие 2. Если иеЕ и удовлетворяет условиям I(и)>М0, I' (и) = 0, то I(и) = Е(и) и Е' (и) = 0 .
4. Стационарные точки функционала I. Построение неограниченной последовательности стационарных точек функционала I опирается на метод работы [1]. Занумеруем множество { /лпт | /лпт <0,пеN,mеZ+ } отрицательных собственных значений оператора А в порядке
невозрастания: 0 >- V >- М2 >- V >•••. Каждое собственное значение - V (V > 0) в
последовательности повторяется столько раз, какова кратность (-V). Обозначим е1
нормированный в Е ( || ei ||Е = 1 ) собственный вектор А , соответствующий собственному значению
(—U ) • Тогда E + = span { et \ і є N} - замыкание в E. Обозначим E+ = span (e1,e2 ) .
Для любого и є N существует Rn > О такая, что
I(u)<О VuєEлn ФE_ФEО, \\u\\>Rn . Можно
считать, что Rn <Rn+1 Vи. Обозначим ([1]) BR ={uєE \ \\u\\E <R},
Dn = BR П(E+ ФE_ФE0), Гп ={уєC(Dn,E) \ у удовлетворяет условиям
(Уі) — у3)}.
(уі) у(—u) =—у(u) Vu^n;
(у2) у(u) = u Vuєд Dn;
(у3) для u=u ++ u _+ u О єDn, у(u) = a(u) u+k (u), где aєC (Dn ,[1,a]) четный
функционал (a >1 зависит от у ) и k есть вполне непрерывный оператор так, что a(u) = 1 и k (u) = О на д Dn.
Обозначим также Un = Dn+1 П {uєE \ <u, en+1 >> О}, Л п ={ЛєC (Un, E )\ Л удовлетворяет условиям ( Л ) — (Л3 ) } :
(Лі) ЛЬп є Гп,
(Л2) Л^)=u на dUn \Dn,
(Л) для u=u ++ u ~+ uО єUn, Л(п)=a(u) u+k (u), где ^~єC (Un ,[1,a])
(a >1 зависит от Л ) и k есть вполне непрерывный оператор так, что a(u) нечетно на Dn и
a(u) = 1, ~(u) = О на dUn \Dn .
Для положительного числа d> О определим также множество Лп(d) = { ЛєЛп \ I(Л(u))< bn + d VuєDn }.
В соответствие с работами [1], [6], [7] определим минимаксные последовательности bn = lnf sup I Wu)), cn = lnf sup I ^(u)) .
ує ГnuєDn Л,єЛnuєUn
В случае, когда сп >Ьп справедливо следующее утверждение ([1]):
Утверждение 3. Если сп > Ьп >М0 и d е( сп - dn ), то сп (d) = sup(I(Л(и))>сп
Д еЛп ((1) иеип
есть критическое значение I .
Таким образом, для доказательства существования счетного числа критических точек достаточно проверить, что условие = Ьк не может выполняться для всех достаточно больших k .
Утверждение 4. Если существует К1 еN такое, что ск = Ьк при всех k > К1, то для
некоторой положительной константы у = у( К1 ) при всех k выполняется неравенство
Для функции u + еE+ обозначим K(u+)=—||u + ||E -B0 ||u + ||^еС2(E+,R) . Функционал
К <уk^ (10)
Доказательство нижней оценки для bk, которая противоречит (10), проводится по плану работы [1]. Для произвольной функции и=и + + и- + и0 еЕ = Е + Ф Е- ФЕ0, выведем
I (и) >—1|» + ||Е - В0 ||и + К - 2 н» ■ ||Е - в« ||и ^ г„ -в„ ||»0 к - в,.
Здесь В0, В1 есть положительные константы, не зависящие от и .
1 2'
К и его критические точки исследованы в [1]. Значения К в критических точках используются для оценки снизу bk . Из последнего неравенства вытекает
I(и+) >К (и+) -В1 Vи + еЕ +.
Стандартно (лемма 2.2 [1]) доказывается, что К |Е+ удовлетворяет условию Пале-Смейла. Определим величины
@т = sup тт К (а (х)) .
аеАт хе^т-П
Здесь п, mеN, т >п, ^ есть единичная сфера в К+1 и
АПт ={а еС($т~п,Е+т )| а (- х)=а (х) Vхе£т-п}.
Для чисел Ртп справедливы следующие свойства ([1]):
0 <дт <рт+1 <го для всех т, пе N, т > п +1. (11)
Существуют последовательности ^(п), V (п) такие, что
0 < v(n) < РПт < V(n) для всех т > п ; (12)
Нт v(п) = + го . (13)
п^-го
Из (12) вытекает существование последовательности { т,} такой, что
lim m, = + x и
j—x
Pn = lim P™J для всех neN.
j—x
Согласно утверждения 3.2 работы [1], числа Pn являются критическим значениями
функционала K . Из (11), (13) следует, что последовательность { Pn } не убывает и lim P(n) = + x .
n——x
Утверждение 5. Имеет место оценка bn > Pn - B1 V ne N .
Для оценки снизу чисел последовательности { Pn }, как в [1], используем
index K" (u) = max{ dim H | H - подпространство E + такое, что (K"(u)h, h> <0 VheH}.
Согласно утверждения 4.3 работы [1], K | E + можно приблизить функционалами, имеющими
Em
конечное число критических точек. Обозначим Z (KI +) множество критических точек
Em
функционала K | E + . В [1] показано, что все критические значения K | E + являются
Em Em
неотрицательными и K (u) <0, если ueE^+ и норма || u |E достаточно большая. Кроме того,
KI + еС2 ( Em , R) и удовлетворяет условию Пале-Смейла. Из утверждения 4.3 работы [1] следует,
Em
что для любого 8>0 существует (р£еС2(Е^+,К) такое, что (р£ имеет конечное число критических
точек и
!^(и) -К(и)| <8, ||^;(и)-(К|Е+) ,(и)у<8, ||^;(и)-(К|Е+) "мн<а VиеЕт. (14)
^т т
При а>0, т > 0 обозначим РП”(а) = sup тт (рЕ(а(х)). Так как Нт Р(п) = + го , то
ае АПт хе3т-П п—го
существует подпоследовательность Пk такая, что
Рпк <Рпк+1 V .. (15)
обозначим =Р™к+1 -РЩк >0. Возьмем убывающую последовательность 81
такую, что 81 — 0 и 81 =—р.. Пусть Ь8 = Р™1 + 38/. Поскольку
I ——го 5 1 к
РПт-а < РПт (а) <РПт +а, то Ртп1 (8г)<Ь81 -28г <Ь81 < Рт+18). Возьмем
а8, е( Ь81 -81, Ь81 )
не являющееся критическим значением (р81. Тогда
Ртп{(8/) <а8{ - 28/ <а8{ <Р+ Д8)
и lim а8 = Р™] . Обозначим [^8 > а]т ={и еЕ^+ | (р8(и)>а} . Из (15) и леммы 4.1 работы
/—ГО / к
[1] следует существование ре[^8 >а8 ]т. такого, что абсолютная (т. -щ -1)- мерная
/ / 1 ^
гомотопическая группа Л,т _п_1)([ (Р8 >а8 ]т., р) не является тривиальной ([9]):
^ . к ' / / .
Л(т.-пк-1)([^8/ >а8, ]т. ,Р) *0 . (16)
Обозначим L = тах{ 1^ехф8{ (х)| (Р81 (х)<а81, (р8 (х) = 0}. Из леммы 4.2 работы [1]
вытекает соотношение
Л/([^ >а8, ]т. ,Р) = 0 V Ре[^ >а8, ]т. , (17)
если
/ < т. - L - 2. (18)
Сравнивая (16), (17), (18), получим т. - Пк -1> т. - L - 2, L > Пк. Поэтому существует последовательность и 1 е Е^+. такая, что
Щ (и1 ) < а8/ , (19)
^8/ (и/) = ^
(20)
1^ехф"8[ (и/) > Пк .
(21)
Отсюда и (14) вытекает ограниченность сверху последовательности {К (и1)} и то, что Нт К'(и1) = 0. Функционал К удовлетворяет условию Пале-Смейла. Поэтому
/—ГО
последовательность { и/ } имеет сходящуюся подпоследовательноть, которую мы обозначим также
{ и1 }, такую, что щ — и^ при / — го . Стандартно доказывается модифицированное условие
т.
I 1
пк
Пале-Смейла, состоящее в том, что из любой последовательности {ит }<^ Е + такой, что ит е Ет , К (ит ) < С и ||(К | Е+ ) ' (ит )||( Е+. — 0, можно выбрать сходящуюся
Ет (Ет)
подпоследовательность. Поэтому из (19),(20) вытекает, что при фиксированном Пк существует подпоследов (20)следует
подпоследовательность, которую также обозначим {и^ }, такая, что Нт и1 = ип . Отсюда и (19)
Пк . —го Пк к
K(u„k) <P„k ; (22)
K"(u4 ) = 0. (23)
Неравенство
index K "(u„k) > nk (24)
выводится из (21) и представления K” (unk ) = I + K , где I есть тождественный, a K вполне непрерывный операторы.
Доказательство верхней оценки index K"(u„k) опирается на метод из работы [1]. Для функции
u = І І Xn (X) anm COs ^ C0)mt j + bnm sin ^ bmt j є L2( Q) (25)
n=1 m=0
положим Du = І ,—=X„ (x) anm cos I — mt l + bnm sin I — mt I . Обозначим через
Ц <^\ Ц™ \ I ^b J \b J)
L+2 замыкание в E множества конечных линейных комбинаций собственных функций оператора A с отрицательными собственными значениями. Оператор D : L+ — E + является изометрией. Положив h=Dv, v єL2 (Q) , получим
index K" (u) = max{ dim H \ H — подпространство L2(Q) такое, что
в, ц( Ц —1)( D *(\u \Ц—2) Dv,v) >\\v\\2 Vvє H} = S,
где S есть число собственных значений оператора D (в, ц(Ц —1)\u \Ц 2)D, не меньших
1.
Чтобы оценить S , как в [1], используем теорию сингулярных чисел ([1О]). Для этого представим оператор D*(во ц(ц — 1) \u \Ц—2 )D в следующем виде ([1]):
D *( во Ц ( Ц — —)\u \Ц—2) D = т~в Тув . Здесь
Г і
Цпm < °
К(х,і) =Л/ад1) I« 1(^-2)/2, 0={0„>єNтє2+}, в„
а оператор Ту0 : L2( О )—L2( О ) определен формулой ” ” а а
тув и = V (х і) ЕЕвпш ( апш сое-ті + ^ зт-ті) ,
п=1 т=0 Ь Ь
в которой и задана формулой (34), V есть функция на О и 0 = [6пт |п є N,т є2 + } есть последовательность.
Оператор Т~0 является вполне непрерывным. Обозначим [Лп}”=і собственные значения положительного, самосопряженного оператора Т~~ Т~£ . Тогда для любого ає[1, + ^ ) имеем
а \1/а
(
п=1
S<І(л,)1/g . (26)
При q > 2 обозначим lq = { в = { enm } nєN^Z+ \ II в \ \q = (І І\в„,„Г )—/q <то}. При q =то
n=1 m=0
обозначим Іто ={в= {в„т}иєN^z+ \ \\в\\то= sup \в„т \ < то}. Для произвольного линейного
^N ,mєZ+
вполне непрерывного оператора A : L2( Q)—L2( Q) обозначим sn (A) сингулярные числа A , занумерованные в порядке невозрастания ([10], с. 91). При q >1 обозначим I множество вполне
непрерывных операторов А : L2( О )—L2( О ) таких, что || А || 1 (I *. (А)9)"9 <то . Обозначим
П=1
Iто множество ограниченных линейных операторов А : L2( О)—L2( О) с нормой
|| А || 1 = sup{|| Аи||2}. Опираясь на теорию полилинейной интерполяции ([11]), доказывается
МЬ -1
следующее утверждение.
Утверждение 6 (Утверждение 3.2 [1]). Для 9е[2, + то ] и любых V е Lq (О),
д е 19 имеем Т/в е 19 и существует не зависящая от V, д положительная константа С9 такая, что
\\Tve II - С9 ||/1|9 ||д||/9 У/,д.
При 9 > 2 из утверждения 6 и (26) выведем
то ц-2
X-I «,2)2'9 =|| тд Тв ||9 ;2 = Щц ||9 - с 9 цуццв^ - С91| | и |2 ^ = С91| н ||<^^2; 9/2
, 9
П=1
ТО ТО 1
(Сходимость ряда 11г4 - при а>1 доказывается стандартно). Отсюда, и (24) выведем
п=1 т=1| Цпт |
оценку
С,q\\Un^l\,;3)9П >Щ . (27)
4 2'“
Возьмем 9 = 2 + ,, где ,е(0,-). Из (27) следует ||нп ||Л >С' (пк )(^_2)(2+£).
ц-2 к
Воспользовавшись (23), получим 0 = (К'(иПк,иПк ) = ||иПк ||Е- цВ0||нп, ЦЦ . Отсюда, (22) и
утверждения 5 выведем
1
2
1 —2—
- Во( л- 2) С, (Пк )<л-2|(2+*1 - В,.
К, >А,к - В1 > К (и пк) - В1 = - Во( ц-2)|Кк ил-В >
при всех к . Сравнив последнее неравенство с (10), будем иметь оценку Л 2 л
----->---------------, которая при достаточно малых , приводит к противоречию.
/Л-1 ( /Л- 2)(2 + ,)
Из последнего противоречия вытекает существование подпоследовательности п}- такой, что Сп > Ьп > М0 при всех ] е N и
Нт Ьп = + то .
1 —то 1
Отсюда и утверждения 3 следует существование бесконечного числа критических точек ип функционала I таких, что I (ип ) = сп ^) > сп . Так как ип ^ есть критические точки I, то
<1'(ип1 X ип1 ) =|| и + п1 ||Е -1| и-п1 ||Е - (£(Х и ип1 ) - /, ип1 ) = 0.
Поэтому 1 ( ип. ) = 2 (( £(х,t, ип . ) - /, ип1 ) - | ^Xt, ип1 ) + (/, ип1 ) =
Г 1 1
] (2 £(Xt, unj ) unj - G (Xt, unj ) + 2(!, unj ) -
О 2 2
11
2 ] £(х, и unj) ип^л + 2(/, ип1) =
2О 2
=2{1 g(xt,unj)unj1 dxdt + 2(f,unj) <2C311 un.11 p+1 + 2c4J1 un,1 dxdt+2(funj).
Следовательно, lim || un || p+1 =+ro . Теорема доказана.
j—то J
The existence of infinitely many time-periodic weak solutions of a quasilinear beam equation with fixed ends is proved.
The key words: beam vibrations, time-periodic solutions, perturbation of even functional, variational method.
Список литературы
1. Tanaka K. // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V. 307. N 2. P. 615-645.
2. Feireisl E. // Non. An. 1998.V. 12. P. 279-290.
3. Chang K.C., Sanchez L. //Math. Meh. in the Appl. Sci. 1982. V4. P. 194-205.
4. Рудаков И.А.// Труды семинара имени И.Г.Петровского (МГУ им. М.В.Ломоносова). 2006. Выпуск 25, С. 226-243.
5. Рудаков И.А.//Дифференциальные уравнения. 2012. Вып. 48, № 6. С. 814-825.
6. Rabinowitz. P. // Trans. Amer. Math. Soc.-1982.-V. 272. № 2.
7. Bahri A., Berestycki H.// Trans. Amer. Math. Soc.1981. V. 267. P. 1-32.
8. Rabinowitz. P. // Comm. Pure Appl. Math. -1984.-V. 37. P. 189-206.
9. Schwartz J. T. // Gordon and Breach, New York, 1969.
10. Садовничий В.А. Теория операторов// М.: Дрофа.2001.
11. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение//М.: Мир. - 1980.
Об авторе
Рудаков И.А. - доктор физико-математических наук, профессор Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, [email protected]
FORCED VIBRATIONS OF BEAM WITH FIXED ENDS I.A. Rudakov
Bryansk State University, 241036, Bryansk, Bejizkay street, 14, e-mail: rudakov [email protected]
