CC BY
55
УДК 517.956.35
КВАЗИЛИНЕИНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И. А. Рудаков
Получены результаты о существовании и гладкости периодического по времени решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле на отрезке, если нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности.
Ключевые слова: волновое уравнение, оператор Даламбера, периодическое по времени решение, задача Штурма-Лиувилля, теорема о неподвижной точке.
1. Введение.
Рассматривается задача
р(х)ип -(р(х)их)х = g(x,г,м), 0 < х< ж, геЯ; (1)
и(0, г)= м(ж, г)= 0, г е Я ; (2)
м(х, г + т) = м( х, г), о < х < ж, г еЯ. (3)
Здесь и всюду ниже Т = 2жЬ, где а, Ь есть взаимно простые натуральные числа,
а
функция g является Т - периодической по г. Заметим, что уравнение более общего вида
Р(г) игг -(т(г) иг \ = г, и)
х,
можно привести к виду (1) с помощью замены г ® х, где х = |
о
Р(s) ds .
т(^
Задача о периодических решениях квазилинейного волнового уравнения с постоянными и переменными коэффициентами и различными граничными условиями исследованы в работах [1]-[12]. Целью данной работы является доказательство теорем о регуляризации обобщенных решений задачи (1)-(3). В работе [13] получены теоремы о регуляризации решений волнового уравнения с однородными граничными условиями 3-го рода. Будем предполагать, что
и либо
либо
p(x)е С2[0,p], p(x)> 0 "x e[0,p] (4)
hp (x) > 0 "x e[0,p] , (5)
hp (x) < 0 "x e[0,p ] . (6)
1 р" 1 ( р'\
Здесь я (х) =----— . Заметим, что условию (5) удовлетворяют, например,
2 p 4
Р 0
a
показательная функция и степенная функция у = (С1х + С2)а при а е(-¥;0) • (2,+ю). Условию (6) удовлетворяют, например, степенная функция у = (С1 х + С2)а при а е (0,2), а также выпуклые вверх функции.
2. Свойства линейной части уравнения.
Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде ряда Фурье по системе функций
17т ^(х) (х)со{ат] п (х)5"п [ату\ ' (7)
I ^ ' ^ m,n,еN
где рп (х) есть собственные функции задачи Штурма-Лиувилля:
- (р (х) р'(х))' = Я р (х) р (х), р(0) = р (р) = 0. (8)
Обозначим через Я п собственное значение, соответствующие собственной функции р п (х) . В (6) доказано, что при выполнении условий (4),(5) собственные значения Я п положительные: Яп = ¡12п и существуют положительные константы Ъ0, Ъ— такие, что
тп = п + вп, (9)
где
0 < Ъ0 — < вп < Ъ—- Vп е N . (10)
пп
При выполнении условий (4), (6) собственные значения Яп также положительные: Яп = ¡12 и в [9] показано, что существуют положительные константы с —, с2 такие, что
1п = » - вп , (11)
где
0 < с 0 — < вп < с —— Vп е N . (12)
пп
Обозначим буквой О цилиндр О = [0, р] х я / (тг). Пусть
.О = { и е С и финитна по х на [0, р] при каждом ^ }.
Г V"5
Определим ||и || = 11и(х, ^) |2 р(х)ЖхЛ Vи е О. Пространство Ь2 (О) является
замыканием О по норме ||-1|. Для функций и,п е Ь2 (О) определим
( и, V )= | и(х, ^ )п (х, ^) р(х ) дхд.
О
Согласно теореме В. А. Стеклова можно считать, что система функций {рп (х)} является ортонормированной в Ь 2 (0, р) со скалярным произведением
(р,у) = |р(х) у(х)р(х)дх, р,у е Ь2(0,р).
[0,Р ]
Тогда система (7) является ортонормированной системой в Ь 2 (О). Определим оператор А0 :Ь2(О)® Ь2(О) для которого О(А0) = О и А0р = рри -(ррх)х "р е О(А0). Пусть
А0 р = — А0р Vр е О(А0). Обозначим А = А0* в Ь2 (О). р
Система функций (7) является системой собственных функций операторов А0 и А с собственными значениями
1пт = Я п -(Ът] , п е N, т е . .
Обозначим а (А)={тпт| (п, т)е N х г + }, N(А), Я(А) ядро и образ А соответственно. Здесь I + = N • {0}. Стандартно доказывается ([6]), что
а) оператор А -самосопряжен в Ь2 (О),
б) Я (А) замкнут в Ь2 (О),
в) L 2 (W) = N (A)e r(a).
¥ ¥
Функция u = X X jn (х)l anm cos — mt + bnm sin — mt le D(A) тогда и только тогда, когда
n=1 m=0 V b b 0
¥ ¥ / \
m nm (anm + bnm ) < ¥- При этом
n=1 m=0
Au = X X mnmj n (x)l anm c0s Tmt + bnm Sin Tmt j •
n=1 m=0 V b b 0
Обозначим H1 (W), H i (W) - пространства Соболева, полученные замыканием пространств С ¥(W) и D соответственно по норме || u = j( u2 + u\ + ut2 )p (х) dxdt. Пусть Hk (W), k e
W
k
N есть замыкание С¥(W) по норме ||u || k =XlDsu |2 , где s = (s1, s2)eZ+x Z+,
|s|=0
д|s|
s = s1 + s2), Ds =-.
1 ^ дх^д ts2
Функцию u e R(A) разложим в ряд Фурье по системе (7): u = X jn (х)| anm cosamt + bnm sin amt j и определим обратный оператор
m V b b 0
И-nm * 0 v '
A"1:R(A)® R(A), A_1u = X — jn(xia^ cosamt + bnm sinamt j.
mnm,0 mnm V b b 0
Пусть восполнены условия (4),(6). Тогда собственные значения волнового оператора можно представить в виде:
mnm =(n - qn ^"V^™^] 2 = anm + - 2nqn, где anm = ( nb - am)( nb + am)
Из (12) выведем 2n0n e[2c0,2c1 ]. Следовательно, A"1:R(A)® R(A) является ограниченным оператором, поскольку 0 не может быть предельной точкой собственных чисел mnm оператора A для функций из R(A). Очевидно, что этот факт справедлив также,
если выполнены условия (4), (5). Установим еще некоторые свойства оператора A"1. Обозначим Л1 -ортонормированный базис в N(A), Л2 -множество нормированных собственных функций оператора A с собственными значениями из отрезка [- 2сь-2с0], Лз-множество нормированных собственных функций оператора A с собственными значениями из множества (- ¥,-2^) • (- 2^,0) • (0,+ю). Тогда Л = Л1 • Л2 • Лз есть полная ортонормированная система собственных функций A и собственные функции из Лз имеют конечную кратность, а их собственные значения не имеют предельных точек. Для подмножества M ^L2 (W) будем обозначать M и L(m) соответственно замыкание M по норме L2 (W) и множество конечных линейных комбинаций элементов множества M . Обозначим N1 = N(A), N2 = L^2), N3 = L^3). Также, как в работе [12] доказывается вполне непрерывность оператора A"1 : N3 ® N3.
Лемма1. Для любого k e N и произвольной функции f e N3 • Hk (W) имеет место включение A"1 f e Hk+1 (W) • H? (W) • ^W) • N3 и
A~lf £ Ak\\f\\ к+1
(13)
где константа Ак не зависит от / ( При к = 0 используется обозначение ||-10 = ||-1
Доказательство.
Обозначим
T =
m
VT'
m = 0
, М = {(n,m) I п е Ж, m е Z +, Ф О, mnm
—, т = 1
Ат
Разложим / е N3 в ряд Фурье по системе (7):
М Tm
f = Е Tm jn (x) anm cos amt + bnm sin mt I-
(14)
Тогда И = A 1f = Е^" jn (x)| anm cosTmt + bnm sin ~7mt IM mnm V b b 0
m
Докажем (13) при к = 0. Оценим выражение I =--, где (п, т)е М . Имеем
m n
i =
m
b2 m
a
n - 0n--m
nb
a
n - 0n + — m nb
nb - am - ЬвЛ nb + am - bOn
1
Из (12) следует, что найдется такое натуральное число п1, что 0 < Ъ вп < Заметим, что при (п, т)еМ имеет место неравенство пЪ - ат Ф 0, поэтому при имеет место оценка 1пЪ - ат - Ъв I > 1пЪ - ат\ - Ъв„ >1 и
n > ni.
n > n
I £
2b 2m
2
2b m 2b2m 2b"
£ - £
nb + am -0,5 am + b - 0,5 am a
Обозначим N1 = {1,..., п1}, М1 = N х г +. Поскольку ¡1 пт Ф 0 при (п, т)еМ, то
m1 = min \nb - am - bOj = min
m • M
n G Ж
min Inb - bdn - ami I> 0, nb + am - b6n Ф 0 и
V me Z + , (m, n )e M
при каждом п е N1 существует Нш
m
=1. Следовательно, при каждом
n e Ж1 множество
m
т| пЪ + ат - Ъ вп | а (т, п)еМ \. Поэтому выражение I ограничено при
|пЪ + ат - Ъвп |
всех (т, п) е М некоторой константой В . Отсюда вытекает включение
и ^ т / \ . « 7 t<
v = тЕ Tm-jn (x)! - anm sinT mt + bnm cosT mt Iе L2(W)
b M mnm V b b 0
2 2 / \ 2 и ||V||2 = ^ Е Tm (an2m + bn2m ) £ Oy B2||f||2. Таким образом, щ = v e ¿2(0) и
2 ^ 2 ь m mn
Из [14] следует, что
2
||щг||2 £^B2||f||2. b
|j'n (x)|£Q mn "xe[0,p], "neЖ,
k
1
где константа С0 не зависит от п. Отсюда и (11), (12) следует существование
положительной константы С1 такой, что
|j 'n (x) | £ С0 n " x е[0, p], " n e Ж. (15)
Рассмотрим выражение ] =т——г при (п, т)е М. При п > п1 как и выше получим
| 1пт |
2 Ъ1 п 2Ъ2п 4Ъ2 - 2Ъ +1 „ , ч
У <--<--<-. При (п, т )е N. хМ выведем
пЪ + ат - 1 Ъп - 1 2Ъ -1 1
пЪ + ат--Ъп -
2 2
2„ j.2 ( 1 I
b2n b
J £ —i-г = — max
m1 \nb + am - b6n\ m1 neN1
n • sup -j-
meZ + (m,n )eM |nb + am - b6n
Отсюда, как и выше, вытекает существование константы В2 такой, что У < В2 при (п, т )е М. Рассмотрим функцию
Ь = £ —р \ (х)Гапт С08+ Ъпт 81п .
М 1пт V Ъ Ъ )
Система функций р \ (х) ортогональна в Ь2 (0, р). Действительно, при п Ф к имеем
р р р
I р 'п (х)р 'п (х)р(х)х = рт (х)(р 'п (х)р(х))х ^ = -Яп I рт (хрп (хМх)дх = 0 .
0 0 0
Поэтому система функций <! р'п (х)соБр'п (х)б1п^тА ортогональна в Ь2(о) и
1 Ъ Ъ }
используя (15), получим
II Ь112 = хЩг Г апт || р' п (х)со8 ||2 +Ъ1п | р' п (х)81п Ът||21 < Т С1 - р X ^^ (а^ + Ъ1 )<
М т пт Ч Ъ Ъ 0 2 М тпт
< С1р В-2 X ( а^ + ъ1п ) = С1 - р - в| || / ||2. Следовательно, их = Ь е Ь2 (О) и
М
ii2 . \Ux\
< С1 - р - в| || / ||2. Докажем, что и = А 1 / е Н1 (о). Обозначим
UN = X — рп (х)( апт ^^ + Ъпт ^ Ъп1\ . п.т еМ ¡пт V Ъ Ъ 0
п,т < N
2 2 Из сходимости рядов Е "V (an2m + b?7m ) и Е "^Т" (an2m + blm ) слЗДует, что
М m nm М m nm
(мN )* ® V, (uN )х ® Ь, uN ® и в Ь2 (о). Следовательно, uN ® и в Н1 (о) . Поскольку
uN е Н0 (О), то и е Н° (О). При к = 0 неравенство (13) доказано.
Пусть / е N3 • Н1 (О) и выражена формулой (14). Докажем, что / = £, где
£ = Ъ ХПТп рп (х)V- апт ^ + Ъпт ^ *) .
Пусть {уI } е О такая последовательность функций, что у/ ® / в Н (о), то есть у ® /, (уI )* ® /*, (у^ )х ® /х в Ь2 (о). Используя формулу интегрирования по частям, выведем
IVI Фп (х)соб — тгр(хX)dxdг = —— [ (уг)гфп (х)Б1П атгр(х}(х(г.
о Ь ат о Ь
Переходя в этом равенстве к пределу при I ® +¥, получим
| / (п (х)соб — тгр (х) (х(г = —— | (п (х)б1п — тг р(х) (х(г. (16)
о Ь ат о Ь
Пусть а'пт, Ь"т есть коэффициенты Фурье функции /г по системе (7). Из (16) следует,
что аЬт =——Ь"т . Аналогично доказывается, что Ьпт = ——а'пт. Поскольку е Ь2 (о),
nm
am am
то
b2
£((«b» )2 + )2 )<¥. Следовательно, £ m2 (a]m + b^ )= — £((a'nm )2 + (bl )2 )<¥ и
M M a M
ft' = g . Из оценки
4 4/ \ 4 2 / \ 4
и ц2 a ^ m i 2 l2 i a ^ m 2 i 2 72 » a „211 /• 112
||utt|| = ""4" lanm + ¿„^j =-T m a«m + bnmj f lll <¥
b M m„m b M m„m b
следует включение utt e L2 (w) .
Докажем, что uxt e L2 (W). Для этого рассмотрим уравнение
Aw = f (17)
и докажем, что w = ut. По доказанному
ft = b WTmm j„ (x) a„m sin ^ mmt + bnm Cos | mt j .
Поэтому w = a £ Tm m jn (x)| - anm sin amt + bnm cosamt |. Таким образом,
b M m„m V b b 0
w = v = ut = Af. А так как ft e L2 (w), то согласно леммы 1 для к = 0 имеем
uxt = Wx e L2 (W) и \\u\\xt < A0II ft 11< Aq| f Ц.
Для доказательства включения ихх е Х2 (о), воспользуемся методом П.Рабиновича
из [2]. Возьмем произвольную функцию £ (х)еС ¥(я) такую, что
Бирр £ ^(0;ж). Возьмем такое число И е Я, что |И |< disг (Бирр £, {0,ж }). Любую
функцию g е Ь2 (о) продолжим нулем вне полосы [0, ж]х Я и обозначим
и \ g(x + И, г)- g (х, г) ,
gИ (х, г) = —- ' х ' при И ф 0.
И
Докажем, что
|иА0у (х(г = (/,у) "у е Б. (18)
о
Выше была найдена последовательность иN е Н0 • С2 (о) такая, что иN ® и в Н1. Разложим у е Б в ряд Фурье по системе (7):
У = £ £ Tmjn (x )| y„m C0s amt + Vnm sin ^mt I .
n = 1m = 0 V b b 0
Отсюда и (14) выведем (f, y) = £ (anm y cnm + bnm y snm ). Преобразуем левую часть (18):
M
J u AqW dxdt = J u yttp(x)dxdt - J u (p(x)yx )x dxdt. WW W
a / a a i
Поскольку y e Я" (q) то yt = - S S mTmjn (x )l - anm¥Cnm Sin - mt + Km COS - mt I .
bn = 1m = 0 V b b 0
По доказанному Mt = — Sm Tm jn (x)l anm sin T mt + bnm cos_T mt I • Следовательно,
bM V b b 0
a2 2
(ut У) = ТУ S m2 ^nmW Cnm + bnmWnm ) • (19)
2 nm
b2 M
Интегрируя по частям, выведем JuNyttp(x)dxdt = -J(un)tWt p(x)dxdt. Переходя к
Q Q
пределу при N ® ¥, получим
J и y ttp ( x ) dxdt = - J ut ytp ( x ) dxdt = ( ut ,yt). (20)
WW
Обозначим cnm, dnm коэффициенты Фурье функции yx по ортонормированной системе
Tm г j'n (x)cosТmt,-Tm= j'n (x)sin Tmt I.
b.....• b-
2p p
(Заметим, что \\j'n (x)||2 = J (j (x))2 p(x) dxdt = J J j'n (x)p(x) djn (x) dt =
Q 0 0
2p p
= - J J jn (x ) (j'n ( x) p( X)) x dxdt = К J (jn (x ))2 p( X) dxdt •)
0 0 Q
Тогда Cnm = ~T== y ,jn(x)cOS dnm = ~T= y, j'n(x)Sin Интегрируяпо
частям, выведем:
a T 2p a p
yL = Tm Jyjn(x^os-mtp(x)dxdt = —m J cos-mt Jy (j\ (x)p(x))'dxdt =
Q b An 0 b 0
T 2p a p
m
a 1
Л J COS —mt J y X j'n(x)p (x) ^ = -77=' An 0 b 0 Л/Лп
Поэтому спт =4К уПп . Анал0гичн0, дпт =^К у Пт . Поскольку ух е Ь2(о) то неравенства Бесселя следует X (дПт + сПт )< ¥ . Следовательно,
п ,nеN х I+
X Г Яп (уПп)2^<¥ (21)
(п,т )еN х г + Ч )
Рассмотрим последовательность
у N = X X Ттрп (х ^Пт С0в аЪт* + упп ^
п = 1
Запишем производную по х :
П. г п \ Л V ^^ ' пт 1 \ пт пт 7
•А V Ъ Ъ
¥ ¥ Г а а 1
Обозначим Ь1 = X XТтр'п(х)| уПт соб—т* + уПт в1п — т I. Из (21), (22) следует, что
п = 1т=0 V Ъ Ъ 0
(уN )х ® Ьх в Ь2 (о). Следовательно,
у х = V (23)
m n nm nm
n = 1m=0 V b b
N N t ( a a i
(yn )X = S S j» (X)l лДПуnCm cos- mt + Ду snm sm -mt I. (22)
Интегрируя по частям, выведем |UN(р(х)ух)х(х(г = -J(uN)хУхр(х)(х(г. Переходя к
о о
пределу при N ® ¥, получим
Ju(p(x)yx)xdxdt = - Jh • hx p(x)dxdt = hx) = -£ —^(^m^m + dnmysnm)•
WW M —nm
Отсюда и (19), (20) выведем:
J uAoW dxdt = £ —^ (anm¥Cnm + КтУ'Пт )- Z TT" ' ~ (аптУПт + ¿nm^m ) =
M —nm M b —nm
Z (anmy nm + bnmynm ) = (f y ) •
M
Формула (18) доказана.
Преобразуем выражение
Ao( Zj-h ) = Z p(j~h )tt - (p(Z j~h )x )x =
= Z p (( j ~h ) tt - (j - h ) xx ) - (2 p Z x + Px Z )( j - h ) x - ( Px Z x + P Z xx ) j ~h • (24)
Поскольку Zj h î D, то из (18) следует
J uA0 (Zj ~h )dxdt = ( Zj ~h, f ) (25)
W
Обозначим □ = ôtt - ôxx • Из (24), (25) выведем
( Z u, □ j -h ) = (z j - h, f )+ J u(j ~h )x (2 pZ x + PxZ ) dxdt + J Uj -h (pxZ x + PZ xx ) dxdt•
WW
Следовательно,
J(Z up )h □ j dxdt =J(f Z p )h j dxdt +
WW
+ J(u (2pZx + pxZx )p)h jxdxdt + J(u(pxZx + pzxx ))h j dxdt•
W W
Воспользовавшись равенством (Z u p)h = p (Z u)h + ph (Z u) + h ph (Z u)h, перепишем J(Z u)hp □ j dxdt = - J ph Z u □ j dxdt - h J ph (Z u)h □ j dxdt + J(f Z p f1 j dxdt +
W W W W
+ J (u (px Z x + p Zxx ))h j dxdt^
W
Так как (Z u) g (W), то интегрируя по частям, получим
J(Z u)hp □ j dxdt = -((Z u ft, jt)+ ((Z uu)x, jx)+ J(Z u)h jxpx dxdt.
WW Следовательно,
((Z u fx, jx ) = ((Z u)h , jt)- J (Z u)h jxpx dxdt + J ujt Z ph dxdt
WW
J(z uph )x j x dxdt + x J(Z u Ух jtph dxdt - x J ((Z u)h ph )x jx dxdt + J (fZ p)h j dxdt +
WWW W
+ J (u(2 pZ x + pxZ )p )h jx dxdt + J (u(pxZ x + pZ xx ))h j dd (26)
WW
x _ trO,
Очевидно, что (26) справедливо еН0 (о). Подставив в (26) ( = (£ м)И е Н° (о) и воспользовавшись включениями £ иг, м (2р £х + рх £)р, м (рх £х + р£хх ),
£ и, и, / £ р е Н1 (о), (X, и)гх е Х2 (о), получим
1|(Х м)И ||2< С3 || (Xм)И || +ИС4 ||(Х их)И||2 +С5,
где константы С3,С4,С5 не зависят от И. Следовательно, ||(X и||< С6, где С6 не зависит от И. Устремляя И ® 0, получим
(Х и)хх е ¿2 (о). (27)
Для любого e e 0, — | обозначим Ie = [e, p - e]. Пусть Z e C¥(R), supp Х e (o, p) и
v2
X ° 1 на Ie • Если h достаточно мало, то supp Z (x + h) g Ie и из приведенных выше рассуждений следует, что (X u)xx g L2 (w) • Обозначим We = Ie x [O, p]• Тогда (X u) g L2 (We ) • Следовательно, uxx g L2 (We ) "e > 0. Возьмем произвольную функцию j g Co°°(w) и произвольное e g (o, dist(sup j, ô W)) • Из (18) следует
J u A0j dxdt = (f, j) • (28)
W e
По доказанному u g H2 (We ) • Возьмем последовательность T - периодических по t функций uN g C¥(We ) такую, что uN ® u в H2(w). Тогда,
J u Aoj dxdt = lim J uNAoj dxdt = lim J j A^un dxdt =
W Nw NW
N ®¥Q
lim ¡P(P (x) (uN )tt - P (x)(uN )xx - Px (uN )x ) dxdt = ¡ P(P (x) utt - P (x) uxx - Pxux )dxdt.
s
Следовательно,
¡P (Putt - Puxx - Pxux )dxdt = ¡fP Pdxdt "P e C¥(W).
Поэтому P utt - P uxx - Px ux = f P.
uxx = utt - — ux - f . (29)
P
Отсюда вытекает включение uxx e L2 (w) и оценка
\\ux \\ + \\f \\ £ C7 \\ f \ \l,
||ихх ||< ||мгг || + тах ^ р
где константа С7 не зависит от и. При к = 1 теорема доказана.
Пусть к = 2, / е Н2 • N1. По доказанному и = А"1 / е Н2 • Н° • N1 • С (о). Рассмотрим уравнение (17) . Выше было показано, что (О = и1. Поскольку е Н1, то
Ю еН2 и ||и ||2 < А1||/г У1 < А1||/1|2. СлеДовательно, иггг, мгхх, иггх е ¿2 (о).
Дифференцируя (29), выведем иххх = иггх - Я ■ мхх - Ях их - /х е ¿2 ( W), где Я = —.
р
Таким образом, м е Н3 • Н0 • С1(о) • N1 и \\и Ц3 < А2 ||/ Ц2, где константа А2 - не зависит от / и и . При к = 2 теорема доказана. Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 2. Если / е Нк ( о), к е N и раскладывается в ряд (14) , то
¥ ^ ¥ ^ , . д k f œ œ
SSm 2k (an2m +blm ) < ¥ и ~Г = S S Tmmk sin mX (± anm cos mt ± bnm sin nt X
n=1 m=0 д n =1m = 1
д kf
если k - четное число, или —^ =XX ^mmk sin mx(± anm sin mt ± bnm cos mt), если k -
dt n = 1m = 1
нечетное число.
Доказательство.
W
e
Пусть к = 1, f e Я1 (q) . Докажем, что
J f jn(x)cosmtp(x)dxdt = - — J ft jn(x)sinmtp(x)dxdt.
n
Q m Q
Пусть {f }e D такая последовательность функций, для которой f ® f в H1( W). Интегрируя по частям, получим
J fijn (x) cos mt p (x) dxdt = - — J(f )t jn (x)sin mt p (x) dxdt.
xnW t' V"/I \JlJt*rn*
Q m Q
Переходя в этом равенстве к пределу, получим требуемое равенство. Аналогично доказывается, что
I / рП (х)б1п п* р (х) дхЖ* = — I /*рп (х)соБ т р (х) дхЖ*. О т о
Обозначим а'пт , Ъпт коэффициенты Фурье функции /*. Так как /* е Ь- (О), то
¥ ¥ / \
X X ((а»т )2 + (ЪПт )2 ) < ¥ . Но по доказанному аПт = тЪпт, ЪПт = -т апт ■
п=1 т=0
Следовательно,
¥ ¥
SSm2 (a2 + b2 ) < ¥ и ft = SS Tmj n (x )m(- anm sin mt + bnm cos mt).
nm nm t m n nm nm
n=1 m=0 n=1 m=0
При к = 1 лемма 2 доказана.
Пусть к = 2, f e Я2 (Q). Поскольку f e Я^ Q), то по доказанному
¥ ¥ ¥ ¥ / \ 2 41 2 2 i
ftt = (ft )t = -S S m jn ( X)(anm cos mt + bnm sin mt) и S Sm lanm + bnm) < ¥ .
n = 1 m=0 n = 1m = 0
При к = 2 лемма 2 доказана. Рассуждая аналогично, получим утверждение леммы при всех к e N . Лемма 2 доказана.
Пусть к = 3 и f e Я3 • N1. Если f разлагается в ряд (14), то из леммы 2 следует
„ a2 ^ 2 „ , , f a 7 .a Л
ftt = S m Tmjn ( X) l anm cosT mt + bnm sin T mt I .
b2 M V b b 0
Рассмотрим уравнение Aw 1= ftt. Докажем, что w 1= . Имеем по определению
a2 ^ ^ m2 f a .a Л
W 1= S Tm-l anm cosTmt + bnm sin Tmt I .
b2 M mnm V b b 0
Поскольку u = S Tm —1— i anm cos amt + bnm sin amt|e Я2, то из леммы 2 вытекает
M mnm V b b 0
a2 ^ ^ m2 f a a Л ._ , _
utt = -"T S Tm -1 anm cosT mt + bnm sin T mt I И, следовательно utt = A ftt.
b2 M mnm V b b 0
Используя неравенство (13) при к = 1, выведем
\\utt\\2 £ A1 \\ftt\\1 £ A1 \\ f \\з . (30)
Поэтому
\\utttt \\2 + \\uttxx \\2 + \\utttx \\2 £ AJf \\2.
Из (29), (30) выведем:
uxxxt = utttx - q"( X) uxt - q ( X) uxxt - ftx e L2( q ),
uxxxx = uttXX - q uXXX - q"ux - fxx e L2 ( Q ) (31)
и следовательно, существует положительная константа A3 такая, что \\ u W4 £ A3 \\ f \\ 3. При к = 3 теорема доказана.
Пусть к = 4, / е Н4 (О) • N1. По доказанному
и е Н4 (О) • Н0 (О) • С2 (О) • N1.
Поскольку ( 2 = иш является решением уравнения Л&2 = /т, то
2 2 2
ити> и1Шх , ишхх е ^2 ( О ) и ||ишш 1|2 + 1|ишшшшх 1|2 + IIищхх 1|2 £ Л ||/ш 11 < Лх ||/1|4 . Отсюда и (29) выведем иххххш5 иххххш е ¿2 ( О) . Тогда из (31) следует
иххххх = ихххшш - Яихххх - Я иххх - Я их - Я ихх - ^ххх е ^2 ( О ) .
Для к = 4 лемма доказана. Аналогично лемма 1 доказывается для любого к > 4. Лемма 1 доказана.
3. Квазилинейное волновое уравнение.
Запишем волновое уравнение в виде:
Р (х) иа - ( Р(х) их)х = £ (х> и) + /(Х О, 0< х < ш е Я (32)
Предположим, что выполнены следующие условия:
£ имеет период Т = 2р Ь по ш; (33)
а
существуют константы а, (3 е Я и С > 0 также, что
а < £ (х Ш 5 и) < ( "|и|> С, "(х, ш) еО; (34)
Р (х)м
для некоторых положительных констант 7,М 1 ,М2 ,М3 выполнены неравенства
- 7 £и (х, ш, и) < М1 " и е Я, "(х, Ш) еО; (35)
Р( х)
(х,Ш,и) |<М2 | и | +М3 "м е Я, " (х, ш) еО . (36)
Определение. Функция м е £2(О) называется обобщенным решением задачи (32), (2), (3), если
| и(рфшш - (рфх )х ) dxdt = | (£(х, Ш, и) + /)ф dxdt "ф е .О.
О О
Теорема 3. Пусть £ е С2 (Ох Я) и выполнены условия (4),(6),(33)-(35), в которых С > 0, [а, (] • О(Л) = 0, 0 < 7 < 2 Со. Тогда для любой функции / е Н 1(О) задача (32), (2), (3) имеет решение и е Н 1(О) • С (О).
Доказательство.
Проверим выполнение условий теоремы 3.2 из [12]. Для функции и е £2(О) обозначим
В (и) = —1— £ (х, Ш, м ). Функция и е £2(О) является обобщенным решением задачи (32), Р(х)
(2), (3) тогда и только тогда, когда - Ли + Ви = - — /.
Р
0 0 о
Для любой функции u e N2 имеем g||u || < с0 || u || < (-Au, u) < 2 сх || u || .
Возьмем число 1 < a такое, что [l, a] • s (A) = 0. Обозначим h (x, t, u) = g(X' ^u) -1 u.
P( x)
Из (34) следует существование констант C1,C2,e (0,+œ), d e (0,ß -1 ) таких, что
h (x, t,u)u >-C-, | h(x, t, u) |< g|m | +C2 Vm e R, V(x,t) eW.. Следовательно,
(5 (m) -1 u, u) = J h (x, t, u) u p(x) dxdt = J | h (x, t, u) u + C- | p (x) dxdt - C- J p (x) dxdt >
WW W
> J | h(x, t, u)|| u | p(x) dxdt - 2C- J p(x) dxdt >
WW
1 Г 2 1 Г 1 2
>—I h ( x, t, u) p( x ) dxdt--Co 11 h( x, t, u) | p( x) dxdt - C3 = — || h( x, t, u) || -
g W g 2 W 3 g
1
Л Л
g
è g 0
2
--C2 || h( x, t, u)|| -C3 > - - e2 || h( x, t, u) ||2 -C3 C2,
eg
где С3 = 2С11 р(х) дхд*, е -есть произвольная положительная константа. При достаточно
О
малом е условия теоремы 3.2 работы [12] будут выполнены. Отсюда вытекает существование обобщенного решения и е Ь2(О) задачи (32),(2),(3). Покажем, что и е Н^О). Обозначим Р1, Р2, Р3 ортогональные в Ь2(О) проекторы на подпространстве Ы]^, N2, N3 соответственно. Тогда и = и1 + и2 + и3, где и. = р.и, . е {1,2,3 }. Спроектируем уравнение (32) на подпространства N1, N2, N3:
Р1-£(х, *, и) + Р1-/ = 0; (38)
р р
А и- = Р-- £(х, *, и) + Р-- /; (39)
рр
Аи3 = Р3 — £ (х, *, и) + Р3— /. (40)
рр
Разложим функцию — / в ряд Фурье по системе (14) :
р
1 ¥ ¥ а а
-/ = XXTпPn (х)(апт со^ П* + Ъпп в1пТ п*). (41)
р п=1 п=0 Ъ Ъ
Из леммы 2 следует, что
2,2 , г.2
m
n =1m = 0
SS m 2(alm + bim ) <¥ . (42)
Следовательно,
¥
£ к 2(a2k + b¡) <¥, (43)
к=i
где ак = а(ак)(Ьк)> Рк = Ь(ак)(Ьк). • Обозначим f = Pi pf, Z £ {1,2,3 }.
Тогда
¥
f2 = £ Тькфак (ак C0s ^ + рк Sin ак) • (44)
к=1
Из условий теоремы следует, что (f2)t £ L2(Q) и, кроме того
¥ ¥ ¥ 1 £ I ТькУак (ак COSак + рк Sin ак) I£ £ I ТькУак 1(1 ак I + I рк I) £ C5 £ - к(| ак \ + | рк D £ к=1 к=1 к=1к
£ С5
i i 2
Í ¥ л Л 2 ( ¥ Л
¥ 1 ]2 ¥
S тг 1 S к 2(«2 + bh)
è к=1 к 0 è к=1 0
< ¥ .
Следовательно, /2 е С(W). Рассмотрим ряд
¥
S Tek jак («к cosakt + bk sin akt) . (45)
к=1
Из ортогональности системы {j'n(х) }, равенства \\j'n(х) ||2 = 1n и (43) вытекает сходимость в L2( W) ряда (45). Следовательно, (/2)х е Lh(W), /2 е H 1(W). Отсюда и конечномерности N1 вытекает включение /3 е H1(W). Тогда из леммы 1 получим u3 е H0 (W0 • С(W0. Докажем, что u2 е H0 (W) .
Для функции g е L2 (W) будем обозначать далее gh = 1 (g(х, t + h) - g(х, t)) при
h
h Ф 0 . Умножим равенство (39) скалярно в Lh(W) на (uh)-h е N2:
(^ u2, u2h ) = J (g(х, t, u))h u2h dxdt + J /h uh dxdt.
W W
Преобразуем g^ t, i)=
=1 (g(х, t + h, u(х, t + h)) - g(х, t, u (х, t + h))) +1 (g (х, t, u (х, t + h)) - g(х, t, u(х, t))) = h h
= gt (х, t(х, t, h), u(х, t + h)) + gu (х, t, в(х, t, h)) uh.
Следовательно,
((-A) , ) + J gU (x, t,6 (x, t, h))(u2 )2 dxdt = - J ( gt (x, t(x, t, h), и (x, t + h)) + fh ) Uh dxdt -
о о
- J gU (x, t, 6 (x, t, h))(uh + U3h ) u2 dxdt.
о
Из (4'),(5') и определения Ж2 выведем a0 || ||2 £ С7(1+ || uh + u'h || + || fh ||) || и? ||, где a0 e (0,2 С0 - g), C7 - некоторая положительна константа. Поскольку
f, U1, U3 e H^W), то || и1 + uh || + || fh || £ C8 для некоторой положительной константы C8, не зависящей от h . Поэтому
|| и2 || £ a-1 C7(1 + C8) "h. и, следовательно, существует (и2) t e L2(W). Стандартно (например, с помощью функции
¥
срезки доказывается, что если и2 = Е Tak jka (x) (gk cosakt + 8k sin akt), то
к=1
¥
(u2 )t = Е Takajak (x)((-k gk )sin akt + (kbk )c0s akt).
k=1
Следовательно,
¥
Еk\rl + 8k2) <¥ . (46)
k=1
Из этого неравенства точно также, как выше доказывается включение Uy e C(W). Из
ортогональности системы {j'n(x) }, равенства \\j'n(x) ||2 = 1n и (46) вытекает равенство
¥
(U2 )x = Е Takj'ak (x)(gk c0sakt + 8k sin akt) e L2 (W).
k=1
Таким образом, u2 e H10(W), и e H10(W). Теорема доказана.
The existence and regularity of time-periodic weak solutions of a quasilinear wave equation with nonconstant coefficients and homogeneous boundary Dirichle conditions on the interval is proved when the nonlinear term satisfy the nonresonance conditions.
The Key words: wave equation, d'Alembert operator, time-periodic solutions, Sturm-Liouville problem, fixed points theorem.
Список литературы
1. H.Brezis, L.Nirenberg. Forced vibration for a nonlinear wave equations//Comm. Pure Aple. Math.-1978.- V. 31, No 1.- P. 1-30.
2. P.Rabinowitz. Free vibration for a semilinear wave equation//Comm. Pure Aple. Math.-1978.- V 31, No 1.- P. 31-68.
3. П. И. Плотников . Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения// Мат. Сб. -1988.-Т. 136(178), N4(8). - С. 546-560.
4. E. Feireisl. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term// Chechosl. Math. J.- 1988.-V 38, No 1.- P.- 78-87.
5. И. А. Рудаков . Нелинейные колебания струны// Вести. Моск. Ун-та.,Сер.1. Матем. Механ. — 1984, № 2. — С. 9-13.
6. И.А. Рудаков. Периодическое по времени решение уравнения вынужденных колебаний струны с однородными граничными условиями //Дифференциальные уравнения.-2003. Т. 39. № 11. -С. 1556-1561.
7. И.А. Рудаков. Нетривиальное периодическое решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями //Дифференциальные уравнения.-2005 Т. 41, № 10, -С. 1392-1399.
8. И.А. Рудаков. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями// Известия РАН. Математика.- 2006- № 1, -С. 173184.
9. И. А. Рудаков. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями// Фундаментальная и прикладная математика.-
2006.- Т. 12, Вып. 5. - С. 189-201.
10. И. А. Рудаков. Периодическое по времени решение нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле// Известия Вузов. Математика.-
2007.- N. 2. С. 46-55.
11. И. А. Рудаков. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами// Математические заметки.- 2004.- Т. 76, вып.3. - С. 427438.
12. И. А. Рудаков. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с пере-менными коэффициентами// Математический сборник.- 2007.- Т. 198. N 7. - С. 91108.
13. В.А. Кондратьев, И.А. Рудаков. О периодических решениях квазилинейного волнового уравнения// Математические заметки.-2009.- Т. 85.- вып. 1. С. 36-53.
14. Ф. Трикоми. Дифференциальные уравнения. -2003.- Москва.-УРСС.
Об авторе
И. А. Рудаков - док. проф. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, [email protected]
