CC BY
33
УДК 517.956.35
DOI: 10.18698/1812-3368-2019-3-4-21
ЗAДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ДВУТАВРОВОЙ БАЛКИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМ И ШАРНИРНО ОПЕРТЫМ КОНЦАМИ
H.A. Рудаков
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация МАИ, Москва, Российская Федерация
Аннотация
Исследована задача о периодических по времени решениях квазилинейного уравнения вынужденных колебаний двутавровой балки, один конец которой закреплен, а второй шарнирно оперт. Нелинейное слагаемое и правая часть уравнения являются периодическими по времени функциями. Решение ищется в виде ряда Фурье. Для построения ортонорми-рованной системы изучена задача на собственные значения дифференциального оператора, соответствующего исходному уравнению. При исследовании асимптотики собственных значений задачи осуществлена оценка корней соответствующего трансцендентного уравнения. Получены условия, при которых ядро дифференциального оператора является конечномерным и обратный оператор вполне непрерывен на дополнении к ядру. Доказана лемма о существовании и регулярности решений соответствующей линейной задачи. При доказательстве регулярности исследованы суммы рядов Фурье. Доказана теорема о существовании и регулярности периодического решения, если нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности на бесконечности. При доказательстве теоремы проведена априорная оценка решений соответствующего операторного уравнения и применен принцип Лере — Шаудера о неподвижной точке. Получены дополнительные условия, при которых найденное в основной теореме периодическое решение единственно
Ключевые слова
Колебания балки, периодические решения, ряды Фурье, неподвижные точки
Поступила 03.07.2018 © Автор(ы), 2019
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (проект № 1.3843.2017/4.6)
Введение. Рассмотрим задачу о периодических по времени решениях квазилинейного уравнения колебаний балки с закрепленным и шарнирно опертым концами:
Здесь g(х, t, и), /(х, t) — 2л:-периодические функции по t; а — положительная константа.
Уравнение (1) представляет собой математическую модель колебаний проводов, стержней, способных сопротивляться изгибу, а также двутавровых балок [1]. Проблеме нахождения периодических и квазипериодических решений для нелинейных эволюционных уравнений, таких как волновое уравнение и уравнение колебаний балки, посвящено большое число работ. В работах [2-15] получены условия существования периодических решений для волнового уравнения. Следует отметить большое разнообразие методов, приведенных в указанных работах. Здесь метод [2, 8], разработанный для волнового уравнения, применяется при исследовании уравнения колебаний балки. Задача о колебаниях балки при а = 0 изучена в [16-21]. В работе [22] доказано существование локально единственного периодического решения малой амплитуды для уравнения (1), если а >0, внешняя сила мала и балка шарнирно оперта на левом и правом концах, т. е. на левом и правом концах отрезка выполнены граничные условия типа (2). Уравнение (1) также рассмотрено в работе [23] при а >0 и с граничными условиями типа (2) на обоих концах отрезка. В ней доказано существование неограниченной в Ьр последовательности периодических решений, если нелинейное слагаемое имеет степенной рост без предположения малости правой части уравнения. При выполнении граничных условий типа (2) на обоих концах отрезка задача на собственные значения явно решается, ее собственными функциями являются эт(пх), соответствующие им собственные значения равны п4 + ап2.
Граничное условие (3) соответствует случаю закрепленного правого конца балки. При изучении уравнения (1) с граничными условиями (2), (3) собственные значения соответствующей задачи на собственные значения явно не выражаются и удовлетворяют громоздкому трансцендентному уравнению, исследованию которого посвящена первая часть работы.
utt + Uxxxx - auxx = g(x, t, u) + f (x, t), 0 < x < n, t e R; u(0, t) = Uxx (0, t) = 0, t e R; u(n, t) = ux (n, t) = 0, t e R; u(x, t + 2л) = u(x, t); 0 < x < n, t e R.
(1) (2)
(3)
(4)
Цель работы — изучение соответствующей линейной задачи (g = 0) и доказательство существования решения задачи (1)-(4) при любой правой части f (из соответствующего пространства), если нелинейное слагаемое g удовлетворяет условию нерезонансности без предположения малости решения и f.
Исследование собственных значений дифференциального оператора уравнения (1). Для изучения спектральных свойств оператора дп хххх - aд^ с граничными условиями (2)-(4) рассмотрим следующую задачу на собственные значения и собственные функции (такая задача возникает при решении соответствующей линейной задачи методом разделения переменных Фурье):
X(4) - aX" = XX; (5)
Ж0) = X "(0) = 0; (6)
X(я) = X '(л) = 0. (7)
Умножив (5) на X и проинтегрировав по отрезку [0, л], с учетом граничных условий (6), (7) получим соотношение
^ X2 ^) dx = { (X" (x))2 dx + a { (X' (x))2 dx.
0 0 0
Из этого соотношения вытекает положительная определенность дифференциального оператора д- aд^ с граничными условиями (6), (7) и неравенство X > 0. Если предположить, что X = 0, то с учетом (6) получим X ) = 0, X( x) = 0. Это противоречит определению собственной функции. Таким образом, X >0.
Обозначим множества натуральных, целых, действительных чисел N Z, Я соответственно.
С учетом условий (6) при X >0 решение уравнения (5) имеет вид
X = С18й/ W^/a2/4 + ^-a/21 + С2 Г W^/a2/4 + ^ + a/2 1.
Если подставить в это решение граничные условия (7), то получим линейную однородную систему относительно Сь С2. Стандартно приравняв определитель этой системы к нулю (что является необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения), запишем уравнение относительно собственных значений
VVa2/4 + ^+a/2 tg^W 4a44 + X-a/2 j = = V *Ja2 /4 + X-a/2 th fWV a2 / 4 + :l+a/2
Задача о колебаниях двутавровой балки с закрепленным и шарнирно опертым концами
При X >0 обозначим
b = V Va2 /4 + X-a/2, с = V Va2/4 + £ + a/2. (8)
Тогда с = л/b2 + a и
tg(rcb) = th(ra) (9)
b с
Обозначим f(b) = tg(rcb) / b, й(с) = th(ra)/ с, H(b) = ft(c(b)), где c(b) =
+ a. Легко заметить, что функция f (b) возрастает на промежутках (0,1/ 2),(n -1/2, n +1/2), n g N, а функция H(b) убывает при b > 0. Кроме
того, f (0 + 0) = n, H(0) = (Wä) /4a < n и при n g N выполнены соотношения f (n) = 0, lim f (b) = Поэтому при n g N на каждом интер-
b^n---0
2
вале (n, n +1/2) существует единственный корень bn уравнения (9). Из уравнения (9) выведем
tg(^bn )= Jbn— th (W b2 + a). (10)
Ф2 +a V 1
Правая часть уравнения (10) меньше единицы. Следовательно, bn g (n, n +1/ 4), т. е.
bn = n +1/4-0n (11)
и 9n g (0,1/4). Таким образом, согласно (8), (11), собственные значения Xn задачи (5)-(7) выражаются формулой
Xn =(n + 1/4-0n )4 +a(n + 1/4-0n )2. (12)
Для того чтобы оценить 9n, подставим (11) в (10):
1 - tg(rc9n)
1 + tg(^0n )
= g (bn). (13)
Здесь g(t) = . t th(Wt2 + a). Из (13) выразим
4t2
+ a
0n = --1-(1 - g (bn)).
К tg(nßn ) 1 + g(bn )
Поскольку -1-<1 и при t g (0, к /4) имеет место неравенство
2 1 + g (bn)
К Kßn
— <-<1, то
4 tg(^0n)
- g (bn ))< ея <!(i - g (bn)). (14)
8 я
Преобразуем выражение
i - g (t )= а—+-=L= (i - th( Wti)).
Vi2 + О (V t2 + а +1) Vt2 + а
Следовательно,
1 - g (bn )>
Vbi+O (V b2 + а + bn) 2(bn + а)
и
/7 4 0,1/74 а 2 а + 2
1" g (bn )<—7 +1 - th(^bn )=—у + -<—2
2bn 2bl e n +1 2b2
Тогда из (11) и (14) следует
а 1 а + 2 1,, „ , ч
< 0n <--rVn е N. (15)
16а + 25 п2 2л п2
Соответствующие Хп собственные функции Хп имеют вид
Хп = АпЫп(Ьпх) -ап бЬ^х)), (16)
где Ьп =V\/а2/4 + - а/2; сп = ^>/а2/4 + +а/2,Ап >0;
ап =-. (17)
зЬ(спл:)
Множитель Ап подбирается из условия нормировки ||Хп||/,2[0,л:] = 1.
Прямые вычисления показывают, что Ап = V2/я + рп и рп ^ 0 при п ^го. Отсюда из (16) вытекает существование не зависящей от п положительной константы Со, такой, что
| Хп(х) |< С0 при всех х е [0,я]. (18)
Обозначим О = [0, я]хЯ/(2я7). Рассмотрим пространства ¿2[0,я], ¿2 (О), скалярные произведения в которых заданы формулами
(/, Я)= | /(х)Я(х)йх,/, g е ¿2[0, я],(м, V) =
[0,я]
= | м(х, t^(х, ^) йх &, м, V е ¿2 (О) соответственно. Обозначим также ||/1|=|| / ||^2(П) для / е 12(0).
Система функций {Xп }пеы является замкнутой, ортонормированной в ¿2[0, я] системой [24]. Рассмотрим замкнутую, ортонормированную в ¿2(0) систему функций
| 1— Хп, —^ Хп cos(mt), Хп sin(mt)| . (19)
[\2п у/п )т, пе N
Пусть Б — множество конечных линейных комбинаций функций из системы (19). Определим оператор Ь0 :Ь2(&) ^ 12(0), для которого
Б (¿о) = Б и ¿о ф = ц>п + фхххх - Оф при всех ф е Б.
Числа цпт = Лп - т2 при п е К, т е = N и 0 составляют множество собственных значений оператора ¿о .
Предположим, что коэффициент а удовлетворяет условиям
а>0, а +1/8 £N. (20)
Лемма 1. При выполнении условия (20) ядро оператора Ь0 конечномерно.
< Достаточно проверить, что уравнение
Цпт =0 (21)
не может иметь бесконечного числа решений при п е К, т е 2 +. Используя (12), перепишем уравнение (21) в виде
т = [п +1 -0п 1 М + 0 -7. (22)
I 4 п) V (п +1/4-0п)2
Г 1 - 2В^|
Выберем произвольное Ре(0,1/2). Отметим, что при х е 0,-
I Р2 )
имеет место равенство л/1 + х =1 + а(х)х, где а(х) е (Р, 1/2). Возьмем п0 е N такое, что
а 1 - 2р
(п +1/4-0п)2 р2 при п > щ. Тогда при п > щ из (22) выведем соотношение т = = (п +1/4-0„)2 +а1(п)а, где ах(п) е (Р, 1 /2). Отсюда получим равенство
2т - 2п2 - п = Яп +у(п). (23)
Здесь
у(п) = 202 - 0п (4п +1); Дп =1/8 + 2а1(п)а. (24)
Из (20) следует, что либо а е (к -1/8, к + 7/8) при некотором к е К, либо а е (0,7/8). В первом случае примем Р = ((к -1/8)/ а +1)/4. Тогда при п > па
Яп е| 1 I а + к +1|, а +1 |с(к, к +1). (25)
Во втором случае при n е N будем иметь
Rn el1,a +1 I с(0,1). (26)
Согласно (15), y(n) ^ 0 при n ^го, тогда и в первом и во втором случаях при n > no уравнение (23) имеет не более конечного числа целочисленных решений m, n. Лемма доказана. ►
Стандартно доказывается, что при выполнении условия (20) сопряженный в L2(Q) оператор L = L0 является самосопряженным в L2(Q) [25]. Функция
да да
u = X X Xn (anm cos(mt) + bnm sin(mt))
n=1 m=0
из L2(Q) принадлежит D(L) тогда и только тогда, когда сходится ряд
да да
X X Mnm ( a2m + bnm ) n=1 m=0
и для этой функции имеет место соотношение
да да
Lu = X XMnmXn(anm cos(mt) + bnm sin(mt)).
n=1m=0
Функции из системы (19) — собственные функции оператора L с собственными значениями ц,nm. Кроме того, kerL = kerL0, ImL = kerL1. Обозначим через Hk (Q) = W2k (Q)(k e N) пространства Соболева. Лемма 2. Если выполнено условие (20), то оператор L"1 : Im L ^ Im L (L_1 — обратный оператор к сужению L : D(L) n Im L ^ Im L) является вполне непрерывным и имеют место включения
L"1 f е H1(Q) n C(Q),(L"1 f )ж е С(П) при всех f е Im L; (27) L~1f е H2(Q) nC1(Q),(L"1 f e C(Q) при всех f e H1(Q) n Im L. (28)
< Разложим функцию f e Im L в ряд Фурье по системе (19):
f = X Xn (a nm cos (mt) + bnm sin(mt)). (29)
№nm ^0
Задача о колебаниях двутавровой балки с закрепленным и шарнирно опертым концами
Здесь и далее в аналогичных формулах имеется ввиду двойное суммирование по индексам (п, т е N х Ъ+, для которых р,пт Ф 0).
Для доказательства вполне непрерывности оператора 1Г1 достаточно доказать сходимость ряда
I -4-.
№пт ^ 0 Мпт
Выразим
т ~4^п\ = |т - (п +1/4 -0п)2 -а1(п)^ = 1 |яп + у(п) - (2т - 2п2 - п)|.
Здесь Яп, у(п) определены в (24). Поскольку у(п) ^ 0 при п ^да, то из (20), (25), (26) следует существование в0 е (0,1/2] такого, что
m -JX
>so,
(30)
если m . Следовательно, при m ф yjXn имеем
■= I
X) 1 X
^nm^nm Vnm(m ) (m + VIn) n=1 n m=0 (m ->/^2)
i <x> !
<X> 1
= I "7
n = 1 n4
V
=0 _ mj m= [V^n ]+1(m )2
<
f
-4
Л n
[V^n ]
z
m = 0
( 4K +S0 -mj m=(m- 4X2 -(1-S0))
1
<
* 21 ^ I
n=
1 n4 1 (m - (1-S0))2
< да.
Используя (30) и (12), получаем оценку
| пт |>В0(т + п2)
при т ^4x2. Разложение функции м = А_1 / в ряд Фурье имеет вид
(31)
u = X
1
-Xn(anm cos (mt) + bnm sin(mt)).
№nm ^0 ^nm
Используя (31), при m Ф ~\JXn получаем ограниченность последова-
тельности
m
| Mn
и включение Ut еL2(Q). Из (16) и ограниченности
последовательности {Ап} вытекает существование положительных констант Бк, к е К, таких, что
Хпк)(х) < Бкпк при всех х е [0,я].
Таким образом, для доказательства включений и е С(О), их е С (□) достаточно установить сходимость ряда
I
^пт * 0 I №nm
' (| anm 1 + 1 bnm 1) .
(32)
Используя неравенство Коши — Буняковского (12), (30), выведем
V-nm * 0 1 №nm
г(| anm 1 + 1 bnm |) —
*0 M«m
\1/2
X ( anm + bnm ) \y-nm *0
= z
4/IIZ 4 I
<
<X> 1
X -7 I
< да.
1 n Vnm*0 (rn-J^) n=l n Vnm*0 (m - (1 -S0))
Докажем включения (28). Если / e H1(Q) n Im L и разложена в ряд (29), то
f = ^ mXn(-anm sin(mt) + bnm cos(mt)) (33)
^nm
и
X m2 [anm + bnm )<
^nm ^ 0
Отсюда выведем
(34)
m |
<
H-nm * 0 1 ^nm
чШ ,
r(| anm 1 + 1 bnm |) —
1
№nm * 0 Mnm
Поэтому ut g C(Q), u g C1(Q).
N1/2
X m [anm + bnm ) H-nm ^ 0
< да.
2
Использовав (27), (33), (34), выведем их = (--1 / )х е С(П). Для доказательства включения ихх е С(П) достаточно установить сходимость ряда
П1
1 = ^ '. Т(| апт | + | Ьпт |).
цпт * 0 | №пт |
Этот факт устанавливается аналогично доказательству сходимости соответствующего ряда в лемме 1.2, приведенной в работе [23] (здесь получено более сильное утверждение о сходимости ряда
п3
1 = ^ '. '. (| апт | + | Ьпт |))-
№пт * 0 | №пт |
Лемма доказана. ►
Теорема о существовании решений задачи (1)-(4). Пусть нелинейное слагаемое g удовлетворяет следующим условиям:
g е С*(Ох Я) и 2%-периодична по t; (35)
Существуют константы а, р, г такие, что г >0 и g (х, t, и)
а<-———<Р при и е (-да, -г] и [г, +да), (х, t) еП. (36)
и
Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(4) называется функция и е Ь2(&) такая, что
| u(фtt + фхххх - афхх) йх^ = | (g(х, t, и) + /)ф йх ^ для всех ф е В.
а а
Обозначим а = {цпт |п е N, т е Ъ+}. Из леммы 1 и неравенства (31) следует, что а не имеет конечных предельных точек.
Теорема. Предположим выполнены условия (20), (35), (36) с константами а, р, г такими, что г >0, а <Р и [а, Р] па = 0. Тогда для любой функции / е Я1(0) задача (1)-(4) имеет обобщенное решение и е е Я2(0)пС*(0), ихх еС(О) и граничные условия (2), (3) выполнены в классическом смысле.
< Будем опираться на метод Брезиса — Ниренберга [2] и использовать план работы [8]. Обозначим Н(х, t, и) = g(х, t, и) -аи. Из леммы 2
следует вполне непрерывность оператора ^ 1т I. Поскольку
а£а, то (1 - а!)_1:12 (О) ^ -^(О) также является вполне непрерывным оператором. Действительно,
£ £ 1 к „ 1 X X 7-77 = -7 + X
n = 1 m = 0 (Mnm |inm ф 0 Mnm(1 ^ 1 Mnm)
Здесь к = &ткег^. Поскольку а£а, из неравенства (31) следует существование в1 >0 такого, что (1 -а/ дпт )2 > е1 > 0 при всех п е К, т е Ъ + таких, что дпт -ф- 0. Следовательно,
^ ^ 1 ^ к 1 „ 1 £ £ (-Г-^£ ^
п = 1 т = 0 (Мпт ^ цпт ^ 0 Мпт
Обобщенное решение задачи (1)-(4) будем искать как решение операторного уравнения
Ьи - g(х, t, и) = /. (37)
Если обозначить Т(и) = (Ь-а1)~1(Н(х, t, и) + /), то уравнение (37) можно переписать в виде
и = Т (и). (38)
Оператор Т : £2(0) ^ ¿2(0) является вполне непрерывным оператором. Рассмотрим уравнение
и = |дТ (и) (39)
с параметром де(0,1]. Оценим ¿2-норму возможных решений уравнения (39), для чего обозначим V = (Ь-а!)_1 / и приведем уравнение (39) к виду
Н(х, t, и) = - — (а/ - Ь)(и ). (40)
Пусть X2 ёо так, что (Я,1,Я,2)па = 0 и [а,Р] е(Я,1,Я,2). Умножим равенство (40) скалярно в ¿2(0) на и и воспользуемся тем, что а-^2 есть наименьшее по модулю отрицательное собственное значение оператора а! -1:
(к (х, t, и), и - = - — ((а/ - 1)(и - и - <
< „ 1 ч||(аГ - !)(и -И||2 = —^ \\к(х, t, и)||2. (41)
|Да2 -а) Х2 -а
Используя условие (36), выведем существование положительных констант С1, С2 таких, что
к(х, t,и)и > -С2, | к(х, t,и) | < (Р- а) | и | + С1 У(х, t,и) еПхИ. Из данных неравенств и (40) следует
—^—\\Н(х, г, и)||2 > 11 Н(х, г, и) | • | и | йхйг -1• |\к(х, г, и)|| - >
-а а
^ 1Ь(х, г, и)||2 - Сз I|й(х, г, и)|| - 4к2С2, р-а
с
где С3 =|| V || ——. Поскольку Х2 - а > Р-а, отсюда и (40) вытека-
Р-а
ют оценки
||й(х, г, и)\\ < С4,\\(Ь -а/ )(и - |^)|| < С4,
где константа С4 не зависит от ц. Поскольку <х£а, из последнего неравенства получим Ц иЦ < С5 и С5 не зависит от ц. Из полученной оценки и теоремы Лере — Шаудера [26, с. 417] следует существование решения и е Ь2(П) уравнения (38). Утверждение о гладкости обобщенного решения вытекает из конечномерности кег Ь и леммы 2. ►
Замечание. Пусть дополнительно условиям теоремы функция g(х, г, и) удовлетворяет условию
а< ¿и (х, г, и) <Р при всех и еЯ ,(х, г) еП. (42)
Тогда задача (1)-(4) имеет единственное решение.
Действительно, предположим иь и2 есть решения уравнения (37). Тогда
(-Ь + а/)и1 + Н(х, г, и1) = -/, (43)
(-Ь + а/)и2 + Н(х, г, и2) = -/. (44)
Из (42) выведем
0 < (И(х, г, и) - Н(х, г, v))(u - V) < (Р - а)(и - V )2 (45)
при всех и, V е Я, (х, г) е О.
Вычтем из (43) соотношение (44), полученное равенство умножим скалярно в Ь2(П) на и1 - и2:
0 = ((Ь -а/ )(и1 — и2), и1 — и2) + (Н(х, г, и1) -Н(х, г, и2), и1 -и2). (46) Из неравенства (45) следует
(й(х, г, и1) - Н(х, г, и2))(и1 - и2) >—1—(^(х, г, и1) - Н(х, г, и2))2 (47)
Р-а
при всех (х, г) е О.
С учетом того, что (а —^2) — наибольшее отрицательное собственное значение оператора а/ - Ь, из (46), (47) получим
1 2 1 2 0 >---Il (ai-L)(ui-u2)|| + --\\h(x, t, Ui)-h(x, t, U2)\\ =
À2 - a p - a
= V--^^1||(aI-L)(ui -U2)||2.
^p-a À2 - a j
Следовательно, (al - L)(u1 - u2) = 0, u1 = u2.
Заключение. Исследована задача о периодических решениях квазилинейного уравнения вынужденных колебаний двутавровой балки с закрепленным и свободно опертым концами. Получена асимптотика собственных значений для соответствующей одномерной задачи на собственные
значения, доказана лемма о гладкости в H2 о С1 периодических решений линейной задачи. Доказана теорема о существовании периодического решения для квазилинейного уравнения колебаний двутавровой балки в случае, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонанс-ности на бесконечности. Получены достаточные условия, при которых данное периодическое решение единственно.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ванько В.И. О собственных частотах колебаний проводов воздушных ЛЭП. Известия вузов. Энергетика, 1987, № 8, с. 7-12.
[2] Brezis H., Nirenberg L. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1978, vol. 5, no. 2, pp. 225-325.
[3] Tanaka K. Infinitely many periodic solutions for the equation: utt - uxx ± | u |p_1 u = = f (x, t). II. Trans. Amer. Math. Soc, 1988, vol. 307, pp. 615-645.
DOI: 10.1090/S0002-9947- 1988-0940220-X
[4] Berti M., Biasco L. Forced vibrations of wave equations with nonmonotone nonline-arities. Annales de l'I.H.P. Analyse non Linéaire, 2006, vol. 23, no. 4, pp. 439-474.
DOI: 10.1016/j.anihpc.2005.05.004
[5] Berti M., Baldi P. Forced vibrations of a nongomogeneous string. SIAM J. Math. Anal., 2008, vol. 40, iss. 1, pp. 382-412. DOI: 10.1137/060665038
[6] Berti M., Bolle P. Cantor families of periodic solutions of wave equations with Ck nonlinearities. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 2008, vol. 15, iss. 1-2, pp. 247-276.
DOI: 10.1007/s00030-007-7025-5
[7] Berti M., Biasco L., Procesi M. KAM for reversible derivative wave equations. Arch. Ration. Mech. Anal., 2014, vol. 212, iss. 3, pp. 905-955.
DOI: 10.1007/s00205-014-0726-0
[8] Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами. Математический сборник, 2007, т. 198, № 7, с. 91-108.
[9] Ji S. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x-dependent coefficients. Calc. Var., 2008, vol. 32, iss. 2, pp. 137-153. DOI: 10.1007/s00526-007-0132-7
[10] Ji S. Periodic solutions for one dimensional wave equation with bounded nonline-arity. JDE, 2018, vol. 264, iss. 9, pp. 5527-5540. DOI: 10.1016/j.jde.2018.02.001
[11] Ji S., Li Y. Time periodic solutions to the one-dimensional nonlinear wave equation. Arch. Rational Mech. Anal., 2011, vol. 199, iss. 2, pp. 435-451.
DOI: 10.1007/s00205-010-0328-4
[12] Ji S., Gao Y., Zhu W. Existence and multiplicity of periodic solutions for Dirichlet — Neumann boundary value problem of a variable coefficient wave equation. Adv. Nonlinear Stud., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 765-773. DOI: 10.1515/ans-2015-5058
[13] Chen J. Periodic solutions to nonlinear wave equations with spatially dependent coefficients. Z. Angew. Math. Phys., 2015, vol. 66, iss. 5, pp. 2095-2107.
DOI: 10.1007/s00033-015-0497-y
[14] Chen J., Zhang Z. Existence of periodic solutions to asymptotically linear wave equations in a ball. Calc. Var., 2017, vol. 56, iss. 58, pp. 3-27.
DOI: 10.1007/s00526-017-1154-4
[15] Yuan X. Quasi-periodic solutions of completely resonant nonlinear wave equations. J. Differ. Equ., 2006, vol. 230, iss. 1, pp. 213-274. DOI: 10.1016/j.jde.2005.12.012
[16] Eliasson L.H., Grébert B., Kuksin S.B. KAM for the nonlinear beam equation. Geom. Funct. Anal., 2016, vol. 26, iss. 6, pp. 1588-1715.
DOI: 10.1007/s00039-016-0390-7
[17] Elishakoff I., Johnson V. Apparently the first closed-form solution of vibrating in-homogeneous beam with a tip mass. J. Sound Vib., 2005, vol. 286, iss. 4-5, pp. 10571066. DOI: 10.1016/j.jsv.2005.01.050
[18] Elishakoff I., Pentaras D. Apparently the first closed-form solution of inhomogene-ous elastically restrained vibrating beams. J. Sound Vib., 2006, vol. 298, iss. 1-2, pp. 439445. DOI: 10.1016/j.jsv.2006.05.028
[19] Wang Y., Si J. A result on quasi-periodic solutions of a nonlinear beam equation with a quasi-periodic forcing term. Z. Angew. Math. Phys., 2012, vol. 63, iss. 1, pp. 189190. DOI: 10.1007/s00033-011-0172-x
[20] Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения колебаний балки с однородными граничными условиями. Дифференциальные уравнения, 2012, т. 48, № 6, с. 814-825.
[21] Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения вынужденных колебаний балки. Известия РАН. Сер. Матем., 2015, т. 79, № 5, с. 215238. DOI: 10.4213/im8250
[22] Yamaguchi M. Existence of periodic solutions of second order nonlinear evolution equations and applications. Funkcialaj Ekvacioj, 1995, vol. 38, pp. 519-538.
[23] Рудаков И.А. О периодических решениях одного уравнения колебаний балки. Дифференциальные уравнения, 2018, т. 54, № 5, с. 691-700.
[24] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., ФИЗМАТЛИТ, 2010.
[25] Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М., Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1983.
[26] Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980.
Рудаков Игорь Алексеевич — д-р физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1), доцент кафедры «Прикладная математика, информационные технологии и электротехника» МАИ (Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское ш., д. 4).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Рудаков И.А. Задача о колебаниях двутавровой балки с закрепленным и шарнирно опертым концами. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2019, № 3, с. 4-21. DOI: 10.18698/1812-3368-2019-3-4-21
OSCILLATION PROBLEM FOR AN I-BEAM WITH FIXED AND HINGED END SUPPORTS
I.A. Rudakov [email protected]
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation
Abstract
The paper investigates the problem concerning time-periodic solutions to a quasi-linear equation describing forced oscillations of an I-beam with fixed and hinged end supports. The non-linear term and the right side of the equation are time-periodic functions. We seek a Fourier series solution to the equation. In order to construct an orthonormal system, we studied the eigenvalue problem for a differential operator representing the original equation. We estimated the roots of the respective transcendental equation while investigating eigenvalue asymptotic of this problem. We derived conditions under which the differential operator kernel is finite-dimensional and the inverse operator is
Keywords
Beam oscillations, periodic solutions, Fourier series, fixed points
completely continuous over the complement to the
kernel. We prove a lemma on existence and regularity of
solutions to the respective linear problem. The regularity
proof involved studying the sums of Fourier series. We
prove a theorem on existence and regularity of a
periodic solution when the non-linear term satisfies a
non-resonance condition at infinity. The proof included
prior estimation of solutions to the respective operator
equation and made use of the Leray — Schauder fixed
point theorem. We determine additional conditions
under which the periodic solution found via the main Received 03.07.2018
theorem is a singular solution © Author(s), 2019
The study was supported by the Ministry of Education and Science of Russian Federation (project no. 1.3843.2017/4.6)
REFERENCES
[1] Van'ko V.I. About natural frequencies of oscillations of wires of overhead transmission lines. Izvestiya vuzov, Energetika, 1987, no. 8, pp. 7-12 (in Russ.).
[2] Brezis H., Nirenberg L. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1978, vol. 5, no. 2, pp. 225-325.
[3] Tanaka K. Infinitely many periodic solutions for the equation: utt - uxx ± | u |p_1 u = = f (x, t). II. Trans. Amer. Math. Soc., 1988, vol. 307, pp. 615-645.
DOI: 10.1090/S0002-9947- 1988-0940220-X
[4] Berti M., Biasco L. Forced vibrations of wave equations with nonmonotone non-linearities. Annales de l'I.H.P. Analyse Non Linéaire, 2006, vol. 23, no. 4, pp. 439-474. DOI: 10.1016/j.anihpc.2005.05.004
[5] Berti M., Baldi P. Forced vibrations of a nongomogeneous string. SIAM J. Math. Anal, 2008, vol. 40, no. 1, pp. 382-412. DOI: 10.1137/060665038
[6] Berti M., Bolle P. Cantor families of periodic solutions of wave equations with nonlinearities. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 2008, vol. 15, iss. 1-2, pp. 247-276.
DOI: 10.1007/s00030-007-7025-5
[7] Berti M., Biasco L., Procesi M. KAM for reversible derivative wave equations. Arch. Ration. Mech. Anal., 2014, vol. 212, iss. 3, pp. 905-955.
DOI: 10.1007/s00205-014-0726-0
[8] Rudakov I.A. Periodic solutions of a quasilinear wave equation with variable coefficients. Sb. Math., 2007, vol. 198, no. 7, pp. 993-1009.
DOI: 10.1070/SM2007v198n07ABEH003870
[9] Ji S. Time periodic solutions to a nonlinear wave equation with x-dependent coefficients. Calc. Var., 2008, vol. 32, iss. 2, pp. 137-153. DOI: 10.1007/s00526-007-0132-7
[10] Ji S. Periodic solutions for one dimensional wave equation with bounded nonlin-earity. JDE, 2018, vol. 264, iss. 9, pp. 5527-5540. DOI: 10.1016/j.jde.2018.02.001
[11] Ji S., Li Y. Time periodic solutions to the one-dimensional nonlinear wave equation. Arch. Rational Mech. Anal., 2011, vol. 199, iss. 2, pp. 435-451.
DOI: 10.1007/s00205-010-0328-4
[12] Ji S., Gao Y., Zhu W. Existence and multiplicity of periodic solutions for Dirichlet — Neumann boundary value problem of a variable coefficient wave equation. Adv. Nonlinear Stud., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 765-773.
DOI: 10.1515/ans-2015-5058
[13] Chen J. Periodic solutions to nonlinear wave equations with spatially dependent coefficients. Z. Angew. Math. Phys., 2015, vol. 66, iss. 5, pp. 2095-2107.
DOI: 10.1007/s00033-015-0497-y
[14] Chen J., Zhang Z. Existence of periodic solutions to asymptotically linear wave equations in a ball. Calc. Var., 2017, vol. 56, iss. 58, pp. 3-27.
DOI: 10.1007/s00526-017-1154-4
[15] Yuan X. Quasi-periodic solutions of completely resonant nonlinear wave equations. J. Differ. Equ, 2006, vol. 230, iss. 1, pp. 213-274. DOI: 10.1016/j.jde.2005.12.012
[16] Eliasson L.H., Grebert B., Kuksin S.B. KAM for the nonlinear beam equation. Geom. Funct. Anal., 2016, vol. 26, iss. 6, pp. 1588-1715.
DOI: 10.1007/s00039-016-0390-7
[17] Elishakoff I., Johnson V. Apparently the first closed-form solution of vibrating inhomogeneous beam with a tip mass. J. Sound Vib., 2005, vol. 286, iss. 4-5, pp. 10571066. DOI: 10.1016/j.jsv.2005.01.050
[18] Elishakoff I., Pentaras D. Apparently the first closed-form solution of inhomogeneous elastically restrained vibrating beams. J. Sound Vib., 2006, vol. 298, iss. 1-2, pp. 439-445. DOI: 10.1016/j.jsv.2006.05.028
[19] Wang Y., Si J. A result on quasi-periodic solutions of a nonlinear beam equation with a quasi-periodic forcing term. Z. Angew. Math. Phys., 2012, vol. 63, iss. 1, pp. 189-190. DOI: 10.1007/s00033-011-0172-x
[20] Rudakov I.A. Periodic solutions of the quasilinear beam vibration equation with homogeneous boundary conditions. Diff. Equat., 2012, vol. 48, iss. 6, pp. 820-831. DOI: 10.1134/S0012266112060067
[21] Rudakov I.A. Periodic solutions of the quasilinear equation of forced beam vibrations with homogeneous boundary conditions. Izv. Math., 2015, vol. 79, no. 5, pp. 1064-1086. DOI: 10.1070/IM2015v079n05ABEH002772
[22] Yamaguchi M. Existence of periodic solutions of second order nonlinear evolution equations and applications. Funkcialaj Ekvacioj, 1995, vol. 38, pp. 519-538.
[23] Rudakov I.A. On periodic solutions of a beam vibration equation. Diff. Equat. 2018, vol. 54, iss. 5, pp. 687-695. DOI: 10.1134/S0012266118050117
[24] Naymark M.A. Lineynye differentsial'nye operatory [Linear differential operators]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2010.
[25] Berezin F.A., Shubin M.A. Uravnenie Shredingera [Schrödinger equation]. Moscow, Lomonosov MSU Publ., 1983.
[26] Trenogin V.A. Funktsional'nyy analiz [Functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1980.
Rudakov I.A. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor, Professor, Department of Applied Mathematics, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation); Assoc. Professor, Department of Applied Mathematics, Information Technologies and Electrical Engineering, Moscow Aviation Institute (National Research University) (Volokolamskoe shosse 4, Moscow, 125993 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Rudakov I.A. Oscillation problem for an I-beam with fixed and higed end supports. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2019, no. 3, pp. 4-21 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2019-3-4-21
