Периодические колебания двутавровой балки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.35

DOI: 10.12737/article 5a02f9fbca0633.98055214

И.А. Рудаков

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУТАВРОВОЙ БАЛКИ

Получены условия существования одного или счетного числа периодических решений для нелинейного уравнения колебаний балки.

Ключевые слова: уравнение колебаний балки, периодические решения, задача Штурма - Лиувилля, принцип Лере - Шаудера, ряд Фурье.

I.A. Rudakov

I BEAM PERIODIC OSCILLATIONS

The paper reports the consideration of the problem on cyclic solutions of the quasi-linear equation of I beam oscillations with various types of homogeneous boundary conditions. The spectrum of a differential operator is under investigation, an ortho-standardized system of own functions is formed, a lemma on a reverse operator is proved. In theorem 1 there are obtained conditions of periodic solution existence and unicity in case when a non-linear summand satisfies

the condition of non-resonance. In theorem 2 the countable number existence of cyclic solutions for the quasi-linear equation of I beam oscillations is proved, if a non-linear summand has a power growth. In the proof of theorems a variation method and Leray-Schauder principle on a fixed point are used.

Key words: equation of beam oscillations, periodic solutions, Srurm-Liouville problem, Leray-Schauder principle, Fourier series.

Введение

Исследуется задача о периодических решениях уравнения колебаний балки:

% + ихххх - аихх = g(X г, и)

и (0, г) = ихх (0,г) = и(ж, г) = и( х, г + т) = и( х, г), о < х Здесь g (х, г, и), / (х, г) есть Т-периодические по г функции (Т > 0) и константа а является положительной.

Уравнение (1) является математической моделью колебаний двутавровой балки [1] и продольных колебаний стержней (проводов), способных сопротивляться изгибу и растяжению [2]. Задача (1)-(3) при а = 0 изучалась во многих работах (например, статьи [3-6]). В [6] доказано существование счетного числа периодических решений уравнения (1) в случае

+ /(х,г),0 < х <ж, г е Я; (1)

ихх (ж, г) = 0, г е Я ; (2)

<ж, г е Я. (3)

а = 0 при других однородных граничных условиях. При а ^ 0 задача (1)-(3) рассмотрена в статье [7] для случая, когда внешняя сила / имеет малую амплитуду. В этой работе доказано существование решений задачи (1)-(3) малой амплитуды. Целью данной статьи является доказательство существования периодических решений задачи (1)-(2), если нелинейное слагаемое растет не быстрее линейной функции либо имеет степенной рост по и .

Свойства дифференциального оператора

Рассмотрим следующую задачу Штурма - Лиувилля:

X(4) -аХ" = ЛХ, X(0) = X"(0) = Х(к) = X"(ж) = 0 .

Собственными функциями данной задачи являются функции Xn (х) = sin (nx) . ^ответствующими им собственными значениями являются числа Яп = n4 + an2 .

Обозначим Q=[0,^] х R\(TZ ) и рассмотрим полную, ортонормированную в L2 (Q) систему функций

rsin(n.x), .2 sin(nA') cosimt\ .2 sin(»A')sinimt I !> . (4)

-jfT у/жТ v T ) ^жТ V T

m,neN

42 2

Введем следующие обозначения: Т0 = .-, Тт = .- при me N,

у/жт у]жт

eL = Tm sin(n.)cos I 2Ж mtJ, еПт = Tm sin(n.)sin I 2Ж mtJ , ^ =K "I ^f mI .

Замыкание L дифференциального оператора, соответствующего задаче (1)-

(3), можно построить следующим образом. Область определения L есть

to TO

D(L) = J u = £ £ (^nm e^ + b„m <m ) e L2 (Щ £ S ^L (PL + bL ) < TO!

I n=1 m=0 n=1 m=0 J

TOTO TOTO

Lu = VVü (a ec + b es ) при u = УУ (a ec + b es )eD( L).

/ , / ,r,'nm\ nm nm nm nm) r / , / , \ nm nm nm nm J \ J

n=1 m=0 n=1 m=0

Функции из системы (4) составляют множество всех собственных функций

оператора L, а числа ßnm являются собственными значениями L .

06_ w = f, Min m " wml, Q, = {f |Ие N} при 1 e N

Будем предполагать, что выполнено одно из следующих условий:

a = 1, w = 1; (5)

Р

существует leN ,такое, что weQl, a = — £ Q,,p,q £ Q,,p,qe N,(p,q) = 1, q не квадрат; (6)

q

a^Q, weQ, w > 0. (7)

Лемма. Если выполнено одно из условий (5), (6), (7), то существует положительная

константа С0,такая, что

M(n,m) >С0 Vn, me N .

Доказательство. Если выполнено одно из условий (6),(7), то утверждение лем-

мы вытекает из теоремы 4.1 [7]. Пусть выполнено условие (5).

Если m < n 2, то

n - m n 1 /—

M (n, m) =->-=---= > V 2 -1.

■yjn 4 + n 2 + m m + V 2 n 2 m / n 2 +V 2

При n2 +1< m < (n +1)2 имеем

П-2 m2 - n4 - n2 (n2 +1)2 - n4 - n2

M (n, m) = m -V n 4 + n 2 = =-> =->

Vn4 + n2 + m Vn4 + n 2 + (n +1)2

1 1

>-i >~.

1 + 2n /(n 2 +1) + n N n 2 +1 3

Пусть m > (n +1)2. Тогда

ч П 2 , ,ч2 П 2 4n3 + 5n2 + 4n +1 4n + 5 M(n,m) = m -Vn4 + n > (n +1)2 -Vn + n2 =-->-=■ > 1.

(n +1)2 Wn4 + n2 4 + V2

TO TO

Таким образом, |л/п4 + п2 -m |>1

3

при

всех натуральных п, ш . Лемма доказана.

Следствие. Если выполнено одно из условий (5), (6), (7), то

Обозначим а(Ь) ={рпш | п е И, ш е I + }. Из (8) следует, что при выполнении одного из условий

Квазилинейное уравнение

| м„ш I > О2 + ^ш) V п, те N. (8)

(5), (6), (7) множество а(Ь) не ограничено ни снизу, ни сверху и не имеет конечных предельных точек.

Рассмотрим вначале случай, когда нелинейное слагаемое g(х, г, и) растет не быстрее линейной функции по и и удовлетворяет следующим условиям.

Существуют константы а, Р, С, такие, что а<Р, С > 0 и

а < g(хг,и) < Р , если ие (-да, - С] и [С,+да), (х,г)еП.

и

(9)

Обозначим А0 множество конечных линейных комбинаций элементов системы

(4),

Ик (О) = (О), И = ([0, ж]) (к е И) -

пространства Соболева.

Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(3) называется функция и е Ь? (О), такая, что

|и(Ргг + Фхххх - а (Рхх) ЖхЖг = |(g(x, г, и) + Л? ЖхЖг V?е А0.

О

Теорема 1. Пусть выполнено одно из условий (5), (6), (7), функция g является

Т-периодической по г, g еС!(Ох Я) и удовлетворяет условию (9) с константами а,Р,С, такими, что С>0, а<Р и [а,Р] П^(А) = 0. Тогда для любой функции / еИ1(О) задача (1)-(3) имеет обобщенное решение ие И2(О) ПС1 (О) и

иххх е С(О).

Доказательство. Стандартно доказывается сходимость ряда ^ . По-

пеИ,те1, №пш

О

этому оператор Ь 1 : Ь2 (О) ^ Ь2 (О) является вполне непрерывным. Поскольку а £а(Ь), то оператор

(Ь -а1)-1 : Ь2(О) ^ Ь2(О) также является вполне непрерывным.

Функция и е Ь2 (О) является обобщенным решением задачи (1)-(3) тогда и только тогда, когда и есть решение операторного уравнения

и = (Ь-а1) 1(р(х, г, и) + /),

(10)

где р(х,г,и) = g(х,г,и) -аи. Из условий теоремы вытекает существование положительных констант С,С2, таких, что

| р(х,г,и) |<(Р-а)| и | +С1, р(х,г,и)и + С2 >0 V(х,г)еО, иеЯ. (11)

Обозначим Т(и) = (Ь -аI)-1 (р(х,г,и) + /). Оператор Т :Ь2(О)^ Ь2(О) является вполне непрерывным. Рассмотрим уравнение

и = ЛТ (и) (12)

с параметром Ле(0,1]. Оценим Ь2 норму возможных решений уравнения (12), для чего приведем это уравнение к следующему виду:

р(х,г,и) =- — (а! -Ь)(и-Лw) , Л

где w = (А -а!)-1 /.

Для функций /1, /2 еЬ2(О) стандартно определим скалярное произведение

Л/2

Ц'и/2) = 1 /1(X,г)/2(x,г)ЖхЖг и норму ||/11|=1 I/12(х,г)Жхйг

(13)

Из условий теоремы и свойств Ь вытекает существование чисел Л, Л е&(Ь),

таких, что

(Л, Л?) Пст(Ь) = 0.

[а, Р] ^[Л1,Л2] и

Умножим уравнение (13) скалярно в Ь2 (О) на и - Л w. Поскольку а - Л2 есть наибольшее отрицательное собственное значение оператора а I - Ь, то

(р(х, г,и),и - Л w) = -—((а! - Ь)(и - Л w),и - Л w) <

Л

<

1

Л(Л2 - а)

Л

|| (а! - Ь)(и-Лw)||2 = --- ||р(х, г, и) ||2 .

(Л? - а)

Отсюда и из (11) выведем:

1

1

(Р-а) (Л? -а)

||р(х, г,и) ||2 -1| w |||| р(х, г, и) || -Сз < 0, || р(х, г, и)|| <С4, || (Ь-а!)(и- Лw)||<С4,

где константы С3, С не зависят от Л . Из последнего неравенства вытекает оценка ||и || <С5, где С5 не зависит от Л . Отсюда и из принципа Лере - Шаудера выте-

кает существование решения уравнения (10).

Докажем утверждение о гладкости решения. Обозначим

V = g(х, г, и) + /(х, г) е Ь2 (О). Разложим функцию V в ряд Фурье по системе (4):

' = Т Т(а ес + Ь е* )

/ ! / ! \ пш пш пш пш ; '

п=1 ш=0

Из (10) следует:

и 2 2 п (апш епш + Ьпш епш ) .

^^ Ипш

п=1 ш=0

Воспользовавшись неравенством Коши - Буняковского, выведем:

Г Л1/^ \1/2

^/дада^^/дада А

2 2 |п™| (| апш епш | + | ьпш епш |) < I-—

п=1 ш=0 ™ '\1жТ

Следовательно, иеС (О).

22

.2

^ п=1 ш=0 ппш ) \ п=1 ш=0

22 (апт + Ь?ш )

< да.

)

Из (8) вытекает существование положительной константы С6, такой, что

т

Пп

< С

п

Пп

< С6 Vn е И, т е 1+ .

(14)

О

О

да да

Поскольку системы функций {(еспт)х,(еВт)х |йё Ы,т ё2 + }

и

{(в'ст),,(епт),1йё n,т ё2 +} являются ортогональными, то из (14) вытекает включение меН1(0). Докажем, что меС1(0) и щхххёС(0) . Для этого рассмотрим ряды

ТО ТО в3

А = ЁЁг^ (| апт 1 + 1 Ъпт |) , 12 = Ё Ё (| «пт 1 + 1 Ьпт |) •

п=1 т=0 | №пт |

Поскольку также гёН^О) , то

п=1 т=0 | №пт |

и

= ^Ё Ё (-а е5 + Ь ес )

/ / V пт пт пт пт /

= ^

п=1 т=0

ЁЁт2(а2т + Ь2т) = —2 ||V ||2< ® •

п=1 т=0

Следовательно, 11 <

1

ЁЁ 2

У п=1 т=0 ^вт )

N1/2, \ / ТО ТО

Л/2

V п=1 т=0

ЁЁ т 2(а2т + Ь;2т ) <ТО и Щ ё С(О) •

(15)

Исследуем сходимость ряда /2 . Воспользовавшись неравенством Коши - Буняковского, выведем:

12 < -|| V, || w

( ТО ТО 6

ЁЁ- 2,2 ,

V п=1 т=0 т №пт )

1/2

= -|| V, || w

Ё

в

6 У/2 Г

_ 2 2

Vп2<2wm т №пт )

+

Ё

в

6

1/2 Л

_ 2 2

V п2 >2wm т №пт )

<

С

<-|| V, || w

2w

Ё

в

n1/2 /

+

ч 1/2 Л

V п2 <2wm Мпт )

в

I Л Л л

2 >2wm т (V в + ав - wm) )

2 / д 2 1 2

При в >2wm имеем: л/в + ав - wm > — в и

2

Ё в

2>2wm т2(л/в4 + ав2 - wm)2 т=1 т2 п=1

ТО 1 ТО 1

< 2ЁЁ Л ЁЁ 4 <»■

ТО ТО в2

Докажем сходимость ряда 13 = Ё Ё —~. Из леммы вытекает включение

п=1 т=0 №пт

w

ё(0,1/ 2]. Следовательно,

и

Ё-

-/ -< 2Ё-

1 (т -л/ в 4 + ав 2/ w)2 т=1(т - (1 - с0/ w))

-10

ТО в2

в

^в 1

2 2 ^^ I Г Т 2 I 4 2 2

т=1 №пт w т=1 (т - V в + ав / w) (т^ + л/ в + ав )

„2

<

1 ТО 1 ТО Ё ЁЁ

1

w2 п=1 в2 т=1 (т - л/в4 + ав2 / w)

<

I

0

2 /г.Л2 6 w2 '

Таким образом, иххх ё С(П), иеС1(0) •

ТО ТО

ТОТО

й

2

п

ТО

ТО

1

1

Из (14), (15) следует ип еЬ2 (О). Кроме того, и х = (Ь~1v () х е С(О). Следовательно, и е И2 (О). Теорема доказана.

Рассмотрим случай, когда нелинейное слагаемое g растет быстрее линейной функции по и . Запишем уравнение (1) в следующем виде:

иа + ихххх - аиххх + g(x, г, и) = 0,0 < х <ж, г е Я. (16)

Пусть функция g удовлетворяет следующим условиям:

g е С1( Ох Я), Г-периодична по t, не убывает по и ; (17)

А3 |и|г-1 -А <| g(х,г,и)|< А11и|г-1 +А2 V (х,г)еО, иеЯ, (18)

где А1,А2,А3,А4,г есть положительные числа, такие, что

г >2, А > А . (19)

2 г

Определение. Обобщенным решением задачи (16) , (2), (3) называется Т-периоди-ческая по t функция и е Ьг (О), такая, что

|иЬфЖхёг g(x,г,и) (рЖхёг = 0 V(еА0 .

Q

Q

Теорема 2. Предположим, выполнены условия (17), (18), (19) и одно из усло-(5), (6), (7). Пусть либо

вии

g(х,г,-и) = -g(х,г,и) V (х,г)еО, иеЯ, либо функция g не зависит от г. Тогда V Ж > 0 существует обобщенное решение ие И2(О) ПС1 (О) задачи (16) , (2), (3), так°^ что иххх е С(О) и Уи I > Ж .

Доказывается теорема 2 аналогично теореме 2 из работы [6].

В доказанных теоремах приведены условия существования периодических по времени решений квазилинейного уравнения колебаний двутавровой балки со свободно опертыми концами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц. - М.: Наука, 1968. - 503 с.

2. Ванько, В.И. О собственных частотах колебаний проводов воздушных ЛЭП / В.И. Ванько // Известия вузов. - 1987. - № 8. - С. 48-56.

3. Feireisl, E. Time periodic solutions to a semilinear beam equation / E. Feireisl // Non. An. - 1998. - V. 12. - P. 279-290.

4. Chang, K.C. Nontrivial periodic solution of a nonlinear beam equation / K.C. Chang, L. Sanchez // Math. Meh. in the Appl. Sci. -1982.- V. 4.- P. 194-205.

5. Рудаков, И.А. Нелинейные уравнения, удовлетворяющие условию нерезонансно-

сти / И.А. Рудаков // Труды семинара имени И.Г. Петровского (МГУ им. М.В. Ломоносова). - 2006. - Вып. 25. - С. 226-243.

6. Рудаков, И.А. Периодические решения квазилинейного уравнения колебаний балки с однородными граничными условиями / И.А. Рудаков // Дифференциальные уравнения. -2012. - Вып. 48. - № 6. - С. 814-825.

7. Yamaguchi, M. Existence of periodic solutions of second order nonlinear evolution equations and applications / M. Yamaguchi // Funkcianalaj Ekvaci-oj. - 1995. - V. 38. - P. 519-538.

1. Kollats, L Problems on Own Values / L. Kollats. -M.: Science, 1968. - pp. 503.

2. Vanko, V.I. On own frequencies of wire oscillations of overhead transmission lines / V.I. Vanko // College Proceedings. - 1987. - No.6. - pp. 48-56.

3. Feireisl, E. Time periodic solutions to a semilinear beam equation / E. Feireisl // Non. An. - 1998. - V. 12. - P. 279-290.

4. Chang, K.C. Nontrivial periodic solution of a nonlinear beam equation / K.C. Chang, L. Sanchez // Math. Meh. in the Appl. Sci. -1982.- V. 4. - P. 194-205.

5. Rudakov, I.A. Nonlinear equations satisfying condition of non-resonance / I.A. Rudakov / Proceedings of Petrovsky Seminar (Lomonosov State Uni-

versity of Moscow). - 2006. - Edition 25. - pp. 226243.

6. Rudakov, I.A. Cyclic solutions for quasi-linear equation of beam oscillations with homogenous boundary conditions / I.A. Rudakov // Differential

Equations. - 2012. - Edition 48. - No.6. - pp. 814825.

7. Yamaguchi, M. Existence of periodic solutions of second order nonlinear evolution equations and applications / M. Yamaguchi // Funkcianalaj Ekvaci-oj. - 1995. - V. 38. - P. 519-538.

Сведения об авторах:

Статья поступила в редколлегию 28.06.17. Рецензент: д.т.н., профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана

Кувыркин Г.Н.

Рудаков Игорь Алексеевич, д.физ.-мат.н., профессор кафедры «Прикладная математика ФН-2»

МГТУ им. kov [email protected].

Н.Э. Баумана, e-mail: ruda-

Rudakov Igor Alexeyevich, D. Phys-Math., Prof. of the Dep. "Applied Mathematics FN-2" Bauman STU of Moscow, e-mail: rudakov [email protected].