Периодические решения квазилинейного уравнения колебаний балки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК - 517.956.35

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ

И.А. Рудаков

Получены результаты о существовании и гладкости периодического по времени решения квазилинейного уравнения колебаний балки с однородными граничными условиями.

Ключевые слова: колебания балки, периодическое по еременирешение, задача Штурма-Лиувилля.

1.Введение. Рассмотрим задачу о периодических колебаниях балки иы + ихххх = ё (X, и) + І (X, г), 0 < X <ж, 1 Є К ; (1)

и( х, ї + Т) = и( х, Ї). (2)

Будем рассматривать следующие граничные условия: и(0, ї) = их (0, ї) = и(п; 1) = их (л; 1) = 0, і є Я; (З)

и(0, і ) = их(0, ї) = и хх (^;1)=иххх(^;1) = ^ 1 є Я; (4)

и(0, і) = их (0, і) = и(п; і) = их (л; і) = 0, і є Я; (5)

ихх(0, і) = иххх(0, і) = ихх 0;0 = иххх (^;1) = а 1 є я (б)

Условие (3) соответствует случаю закрепленных концов, условие (4) соответствует случаю, когда

левый конец балки закреплен, а правый свободный, в условии (5) левый конец балки закреплен, а правый является свободно опертым, в условии (6) оба конца балки свободны ([1],[2]).

Везде ниже период времени Т соизмерим с длинной балки:

T = 2п b, a, b е N, (a,b) = 1 (7)

a

В уравнении (1) функции g и /являются T - периодическими по t.

Задача о существовании периодических колебаний балки со свободно опертыми концами исследована в работах [3] - [5]. Целью данной работы является доказательство существования периодических решений данных задач для случаев, когда нелинейное слагаемое g удовлетворяет условию нерезонансности. Исследуется также вопрос о гладкости решений.

2. Линейный случай. Рассмотрим линейное уравнение

utt + uxx = f t),° < x <ж, t G R (8)

Решение задач (8),(2),(3); (8),(2),(4); (8),(2),(5); (8),(2),(6) будем искать в виде ряда Фурье. Для построения ортонормированной системы рассмотрим задачу Штурма- Лиувилля:

d 4 X

—— = XX ,0 < x <п; (9)

dx 4

с соответствующими граничными условиями

X (0) = X '(0) = X О) = X \п) = 0; (1°)

X (0) = X '(0) = X "(л) = X '"(л) = 0; (11)

X (0) = X '(0) = X (л) = X "(л) = 0; (12)

X "(0) = X m(0) = X "(л) = X '"(л) = 0 (13)

Из (9)-(13) выведем

П

Х = \ ( X "( x))2 dx (14)

0

Поэтому ^ — 0 . Общее решение уравнения (9) можно записать в виде ([1]):

X = C1 (ch(*fx x) + cos(VXx)) + С2 (ch(\Ux) - cox (Vt x)) +

+ C3 (sh(\[X x) + sin(VXx)) + C4 (sh(\[X x) - sin(V^x)).

Из граничных условий (10), (11), (12) следует Х> 0 . Задачи (9), (10); (9), (11); (9), (12) имеют полную ортонормированную в Z2([0, ^]) систему собственных функций

Xn = An (ch(kx) - cos<Ax) - an (sh(kx) - sin(Ax))),

которым соответствуют собственные значения

А_ = Г

п п

ск(Лж) - соз(Ад)

Для граничных условий (10), (12) имеем ссп =-------=---------=----, если выполнено граничное

&к(Хпж) - Ъ1п(ХпЖ)

ск(Хж') + соз(Ад) 7 _ 0

условие (11), то аи =-----=---------=----. Для задачи (9), (13) имеется собственное значение А _0,

5к(кпж) + б1п(^^)

1 2л/3 л

которому соответствует две собственные (нормированные) функции X = ~1= , X2 =---------7= (X----) . При

лж жыж 2

натуральных

значениях

п > 2

собственные функции имеют

ВИД

([1]):

— — — — ск(Л ;т) - соб(Я ж)

хп = Ап (сКкх) + х) (^(Ах) + Э1п(4х))) где ап = у -г-^— • Для задач (9),(10)

8к(АпП) - Б1П(^^)

и (9),(13) числа (см.[1]) являются положительными корнями уравнения

ск(Хпя) • 1 (16)

Отметим, что в задаче (9)-(13) нумерация начинается с п = 3, поскольку Л1 = Х2 = 0 . В задаче

(9),(11) числа являются положительными корнями уравнения

ск(Хпп) • со8(Аи^) = -1. (17)

Для задачи (9)-(12) числа удовлетворяют соотношению

^ (Хпп). (18)

Элементарные рассуждения показывают, что решения уравнений (16)-( 18) можно представить соответственно следующими формулами:

А„ = п +1 + (-1)п^,

К= п - - + (-1) пХ К= п+4,

(19)

(20) (21)

1

в которых #п е I 0,— I. В формулах (19)-(21) для удобства разные величины обозначены

одинаково 0п. В задаче (9), (13) собственные значения записываются так:

— — — 3

Л = А2 = 0, А„ = п - - + (-1)пХ, п > 3

Оценим 0и в формулах (19)-(21). Из (16), (19) выведем 81п(я#п) =

1

ек(\ж)

(19')

. Следовательно,

0п^ 0 при п ^ да и в =і•

1

Ж 8Іп(я#п) ек(\ж)

(22)

жв„

Функция t / з1п t возрастает на промежутке (0, ж /2] и, следовательно, 1 < —

8т(я#п) 2

ж

<— при

всех п . Отсюда и (19), (22) выведем

0 <<6 <Vп е N йп п йп

Здесь ё = в71, Ь0 =

2ё

ж(й +1)

(23)

Ь1 = 1. Для задачи (9),(13) при п > 3 согласно (19’), (16) также

2d 2

справедлива оценка (23), в которой b0 =-------3-----, Ъх = d . Рассмотрим задачу (9), (11)

n(d +1)

соответствующее ей уравнение (17). Из (17),(20) выведем (23) с Ъ0 = (18), получим равенство tg(nQn) = ■ Поэтому вп ^ 0 и

2d

n(d +1)

Ъ = d . Подставив (21) в

1

Л tg ) е

2Xnn

(24)

^ 1 а /л жл К квп Л

Функция — убывает на промежутке (и, — I и, следовательно, — <--------< 1 при всех п .

^ V 4 1Е(квп) Р

Отсюда и (21), (24) выведем оценку 0 <—<$п <—2_ у п е N, в которой Ъ0 = —, Ъ = 1.

Нормируем функции Хп (х) с помощью соотношения ^Х2(х)^ = 1. Прямые вычисления показывают,

0

что отсюда вытекает равенство Ап = А0 + [Зп , где А0 > 0, Ап > 0, {5п^- 0 при п ^ да и оценка

X (х)| < С0 V х е[0,^], в которой константа не зависит от п. Обозначим П = [0, ^]х К/(7^),

/ \ 2 I а I

=^- — т I , (п, т) е N х 7, и рассмотрим полную ортонормированную в Ь2(0,) систему

^ Ъ )

функций

Xn(x), Xn(x)cosfamt\ Xn(x)sin

г

Ъ

a

—mt b ,

m,neN '

(25)

Определим оператор A : L2 (Q) ^ L2 (Q) с областью определения

anm cos

nm

D( A) = ju X.

I n=1 m=0

так, что A(u) = EE №nmX >

n-

u =SS VnmX,

a i ,

—mt 1 + bnm sin

1 nm

b )

a

—mt b ,

УУ u1 (a2 + b2 )

r^nm\ nm nm ’

< x;

n=1 m=0

n=1 m=0

f (a N + bnm sin ( a

anm cos 1 mt 1 mt

nm V I b , nm I b , I

n=1 m=0

f (a N + bnm sin ( a

anm cos 1 mt 1 mt 1

nm V I b , nm I b I

D( A).

для всех

Обозначим

N ( A), R( A)

соответственно ядро и образ A . Стандартно доказываются следующие свойства оператора A : 1) A самосопряженный оператор; 2) Система (25) является системой собственных функций оператора A с собственными значениями junm; 3) L2 (Q) = R(A) 0 N(A); 4) dim N(A) < да .

Будем говорить, что выполнено условие (А), если в случае одного из граничных условий (3), (4), (5) число b в условии (7) не делится на 4, а в случае граничных условий (6) число b не делится на 16. С помощью рядов Фурье доказываются следующие леммы.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (7), (A ). Тогда для любой функции f е R(A) имеет место

включение u = A 1 f е L2([0,2^]; H2) ПC(Q) ПHДQ) и существует классическая производная

ux eC(Q).

Лемма 2. Пусть выполнены условия (7), (А). Тогда для любой функции f е Hj(Q) П R(A) и u = A_1 f имеют место включения u еH2(Q)ПR(A) и классические производные uxx ,uxxx eC(Q) .

3. Квазилинейное уравнение. Обозначим u(A) = {^nm |neN, meZ+}. Множество &(A) не

имеет конечных предельных точек, если выполнено условие (A). Предположим, что функция g удовлетворяет следующему условию:

е

и

Здесь константы ос, Р такие, что @ и С > 0.

Теорема. Пусть выполнены условия (7),(А). Предположим, функция g является Т -

периодической по t, geC1 (Qx R) и удовлетворяет условию (26) с константами oc,fi,C такими, что

C>0, а<Р и [a,fi] П^= 0. Тогда для любой функции f еHj(Q) задачи (1)-(3);(1),(2),(4); (1),(2),(5);

(1),(2),(6) имеют обобщенное решение ueH2(Q)ПC'(fi) такое, что ux, ux, uxxx е C(Q).

Доказательство теоремы 1 вытекает из теоремы 1.1 работы [5]. Обобщенное решение определяется стандартно с помощью интегрального тождества.

The existence and regularity of time-periodic weak solutions of a quasilinear beam equation with homogeneous boundary conditions is proved when the nonlinear term satisfy the nonresonance conditions.

The key words: beam vibrations, time-periodic solutions, Sturm-Liouville problem.

Список литературы

1. Бабич В.М., Н.С. Григорьева. Ортогональные разложения и метод Фурье// Издательство Ленинградского университета. 1988.

2. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. Издательство МЦНМЩ. М.,2004.

3. Feireisl E. // Non. An. 1998.V. 12. P. 279-290.

4. Chang K. C., Sanchez L. //Math. Meh. in the Appl. Sci. 1982. V4. P. 194-205.

5. Рудаков И.А.// Труды семинара имени И.Г.Петровского (МГУ им. М.В.Ломоносова). 2006. Выпуск 25, С. 226-243.

6. Feireisl E. // Chechosl. Math. J. 1998.V. 37. 2P. 334-341.

7. Рудаков И.А.// Изв.РАН. Сер.матем. 2006. Т.70.1. С. 117-128.

Об авторе

Рудаков И.А. - доктор физико-математических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, rudakov bgu@mail.ru