О периодических по времени решениях нелинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами на отрезке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.35

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОТРЕЗКЕ

И. А. Рудаков

Доказано существование счетного числа периодических по времени решений квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями 3-го рода на концах отрезка в случае, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост.

Ключевые слова: волновое уравнение, оператор Даламбера, периодические решения, критические точки функционала, задача Штурма-Лиувилля.

Рассматривается задача

р(х)иа -(р(х)их )х + g(х, г,и)=0, 0 < х< к, геЯ; (1)

и(0, г)-Ъхих (0, г ) = и (к, г)+И 2 и (к, г ) = 0, (2)

и(х, г ,+т ) = и (х, г), (3)

Здесь Т = 2к Ь, а, Ь е Ы, (а, Ь ) = 1, И1, И 2 есть положительные числа. а

Существует много работ, в которых изучается задача (1)-(3) с постоянными коэффициентами ( р (х) °1) и с однородными граничными условиями Дирихле И1 = И 2 = 0 . Отметим,

например, работы [1] - [5]. В работах [6] - [9] исследуется задача (1)-(3) с постоянными коэффициентами и с однородными граничными условиями 3-ого рода и Дирихле. В работе [10] исследуются классические решения задачи (1), (2) с граничными условиями Неймана и Дирихле. В [11] рассмотрено волновое уравнение с переменными коэффициентами и нулевыми граничными условиями Дирихле, когда нелинейное слагаемое g имеет степенной рост по и. В работе [12] доказано существование периодического решения задачи (1)-(3), если функция g имеет не более, чем линейный рост по и и удовлетворяет условию отсутствия резонанса. В данной работе приводится доказательство теоремы, из которой вытекает существование счетного числа решений задачи (1)-(3), когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост по и .

Заметим, что уравнение более общего вида

Р(г) игг - (т ) uz )г + И (z, г, и) = 0

2 I Т V

можно привести к виду (1) с помощью замены х = _[ —^ ёз. При этом

m(s)

g(x, t, u)= — h(z(x), t, u), p = 4pß •

\P

Предположим, что функция g непрерывна на [0, Р] X R2, Г-периодична по t, не убывает по и и (4)

A3 | и |r-1 - A4 < | g (x, t, и )| < Ai | и |r-1 + A2 , "x, t, u, (5)

где Aj,A2,A3,A4,r есть положительные числа такие, что

AA

r >2, — > aL. (6)

2 r

Пусть функция p(x) удовлетворяет следующим условиям:

pе C2[0,p], p(x)> d > 0, р = minh p(x)>0. (7)

[0, Ръ F

і » і ґ ' \2

1 p 1

Здесь ц p (X) =^—-^

г 2 p 4

P

V У

. Этим условиям удовлетворяет, например, функция

p(x)= (с1, х + c2 )3, если с1, C2 > 1. Предположим, что выполнены также следующие условия:

p'(0)>-А p'(ж)< 2

(8)

p(0) V p(к) И2

Решение задачи (1) будем искать в виде ряда Фурье. Для построения ортонормированной системы рассмотрим задачу Штурма-Лиувилльля:

-(РРх )х = РЯ Р, р (0)- Ир '(0) = р (к) + '(к ) = 0.

Известно, что собственные значения этой задачи простые, положительные и поэтому обозначены Я. Обозначим через {рп (х)},{Яп } последовательности собственных функций и собственных значений такие, что Яп Т +¥. Обозначим 0 = [0, к] х(Я / Т2). Рассмотрим пространство Ьг (О) с нормой

1

\\и\\г =

а

и пространство Ь2 (а) со скалярным произведением

(/, £) = | I ЕР(х).

а

Л={^Г уп(х(х)с°®аті,іг (х)вЬ аті }

Система функций

а (2/ч .а — ті,Л— рп (х)Біп —,

Ь ’\т ь

является полной ортонормированной в Ь2 (а) системой собственных функций волнового оператора.

Определим оператор А0 : Ь2 (а) ® Ь2 (а) такой, что:

[ N м / а а

) = 1 X X Рп (х} апт сов-т + Ьпт Йп -т

\п=1 т=0 I Ь Ь

N, м Є N, апт , Ьпт Є К і

и

А0р = рра -(ррх) "р є Б(А0). Обозначим А0р = — А0р " р є Б (А0) и пусть

х Р

А = А0 в Ь2 (а). Числа

.. = 12

пт п

являются собственными значениями А0 и А , соответствующие собственным функциям

Ґ \2

а

— т уЬ у

е! = рп (х )соб атг, е* = Р п (х Ып атг.

пт т п \ / 1 5 пт т п \ / т

ЬЬ Определение. Обобщенным решением задачи (1) -(3) называется Т - периодическая по г функция и е Ьг (О) такая, что

|и А0 рёхёг + |g(x, г, и) рёхёг = 0 Vре Б (А0) .

О О

а

г

Теорема. Пусть выполнены условия (4) - (8) и либо g(х, 1,-п ) = ^(х, I, и) и ,

либо функция g не зависит от t. Тогда V ё > 0 существует обобщенное решение и £ Ь,. (й) задачи (1) -(3) такое, что ||и ||г> ё.

Доказательство.

Для 1п справедливо ([12]) асимптотическое представление: 1п = п -1 + вп, где

0 < с1 < вп < с—1 V п є N. п п

Выразим

/ \2

7 а 4

— т

уЪ ,

/ Л2

а

— т УЪ ,

(п _ I)2 _тm + 2(п _ і)вп + в1.

Обозначим M = {(n, m)є N х Z+ | „пт Ф 0, Ъ (п _ і) Ф ат },

Л1 =\^Т®п(x) cos (п _ JT j (x)sin (п _ —)t

п _ — лг

п,-------------є N

а

T jм |• 9п(*)cosj(x)sin

(п,т)є M,т Ф 0 >,

N = N (A), N2 = L (Aj) - замыкание в L2 (W) конечных линейных комбинаций функций из A j, Nз = L (A2 ). Заметим, что на N2 собственные значения оператора A равны

2 (n - iqn+qП e [hi,h2 ],

где h 1= min (co, q2), h2 = 2c1 + c12. Введем конечномерное подпространство En = N1 ® N2n ® N3n, где N2n, N3n есть соответственно линейные оболочки множеств

к -1

j к(x) cos (к _ l)t, j (x)sin(к _ 1) t

а

і Ф к(х)С08~т і, Ф к(х)віп (к,т)є М, к,т <п 1.

[ Ъ Ъ \

Рассмотрим на Еп функционал

1 и

¥ (и ) = —(Аи, и)+| G(x, і, и )ёхЛ, где G (х, і, и ) = | g (х, і, ^) ds.

2 О 0

Доказательство теоремы проведем, опираясь на метод Файрайсла [4], и разобъем на две части:

1. Доказательство существования критических точек ¥ е ■

2. Предельный переход

1. Представим Еп = Ос ® Ьс , где Ос, Ьс есть линейные комбинации собственных

функций оператора А с собственными значениями соответственно большими или не меньшими с . Из условия (5) выведем

< G(x, і, и )< — А і | и |г + А 2 | и | V х, і, и .

К і r , і

- Аз U - A4 U

Г г

Поэтому для любого действительного с > 0 и любой функции и £ G с получим

Г (и )> 2 с ||и||2 + А II» || Г -А5||и|Ь1> Л6 ||и ||г - ^2 | с | • ||и ||2 - А 7 ||и|| .

Обозначим И(т) = А 6 т г- 1| с | т2 - Л7т . Функция Л (т) ограничена снизу и к(т)®+¥ при

т ® + ¥ . Поэтому существует т(с) = тт Л(т) -1. Следовательно,

[0, +¥)

Г (и) > т (с) "и £ Ос .

Разложим функцию и £ Еп в ряд Фурье:

(9)

u = X Pn (х)

(n,m)eN xZ+

^ a 7 . а Л

anm C0ST mt + ^«m SlnT mt

у b b ,

Обозначим

ll|u ill, =

Zl |, (2 + ь 2

|^nm| la«m + bnm +

(n,m )gN xZ

).

Возьмем число a £

r - 2

r -1

и обозначим ß = 2 a--------. Используя неравен-

r

(10)

2(r -1) ’ 2(r -1)

V У

ство Хаусдорфа-Юнга и Гельдера, выведем:

11“ llr < Ci\\\u |||^ "и £ Н3п .

Обозначим Sn ={u£En |||u|||p = 1}.

Лемма 1. Для любого действительного числа d существует число w (d) < 0 такое,

что

F(u) <d "“£{v£Lw(d)||||vЩ = 1}.

Доказательство.

Пусть w < 0 . На H2n собственные значения А положительные. Следовательно, Lw i Н3п. Пусть u £ L w • Sn, amk , bmk есть коэффициенты Фурье функции u . Тогда найдется константа С > 0 такая, что

F (u )<-1 X \^тк к к + tfmk )+ — J | u Г dxdt + A2 i | u | dxdt

2 (m,k)£m r W W

< - ^ II mmkl p|mmk I1"b (am к + b^m n )+ СЫ^ + С |||u |||p < - ||w |1-b • |||u|||2p + C = - !|w |1-b + C при | w | ® ¥. Отсюда вытекает утверждение леммы.

<

--- ¥

Возьмем произвольное с < 0. Зафиксируем число с < ш (с) такое, что Lc1 с L

'о(с

(Lci * La(c)). Обозначим g(с) = min (m(c ), c -1)

Докажем, что на отрезке [g(c), c] есть критическое значение F e . Предположим противное. Тогда стандартно (см. [4]) доказывается существование непрерывного отображения h : En ® En такого, что

h ({u | F(u) < c}) с { u | F(u) < g(c)} и h является нечетным отображением, если g нечетно относительно и, или h (и( •, t +t) = h (u)( •, t +t) "t e [0, T].

Пусть P : En ® Lc есть ортогональный проектор в L2 (W). Докажем, что

ph(u)*0 "u с ^n 1 Lw(c). (11)

Предположим противное, то есть существует uo e Sn • Lw(c) такое, что Ph (uo ) = 0. Тогда

h(uo)e Gw(c) с Gc1 , так как с < w(c). Отсюда и (9) следует

F (h(uo ))> m(c1). (12)

r

С другой стороны, поскольку »о £ Ьа

Sn

имеем

Г (»о ) £ с . Следовательно,

Г(Л(»о))£ 7(с)£ т(с1). Это противоречит (12). Следовательно, верно (11). Но Рк есть нечетное отображение сферы в Ью (с) на подпространство меньшей размерности. Но если функция g нечетна относительно и , то это противоречит теореме Вогеик-Шат ([13]), если функция g не зависит от t, то это противоречит ^1 версии теоремы Вогеик-Шат ([13]). Таким образом, существует критическая точка ип функциональна Г е такая, что Г ( ип ) £ [ 7(с), с] , то есть

(Аип, н) + |g(х, t, ип)нёхё = 0 Vн £ Еп ,

й

7 (с) £ 2 (Аип, ип)+ | G(х, t, ип )dXdt £ с.

(13)

(14)

й

1

Умножим (13) на и положим н = ип :

й

Вычтем отсюда (12):

/1

С(с)>| 2 g(x, t, »п )ип - ^ t, ип ) йЧ 2

ёхЛ >- с.

Из (4)-(6) выведем: А

+ А

2

81 и |'

+2

|и | -В £ 2ug(х, t,ип)-G(x, t,ип) £

1 А + А

-А1 + - А

V2 1 г

•3

| и Г +

+а4 2 4

Следовательно, существуют константы С1, С 2 > 0 такие, что

||»п ||г £ с,

||»п ||Г + СЦ»пИг + С > С1 • | с |.

Поскольку ||ип иг +1 > | ип ||г, то отсюда выведем:

| и | +В . (15)

||»п ||г >

С

•(|с| - 2).

(16)

С+1

2. Переход к пределу при п ® ¥. Из (15) следует существование подпоследовательности такой, что

ип ® и в Ьг (й), g (х, t, ип)® к в Ьч (й) слабо.

г -1

Здесь q =-----. Докажем что и есть решение (обобщенное).

г

Пусть ип = и1п + и2п + и3п, и = и1 + и2 + и3; ик , икп £ Ык, к = 1,2,3. Тогда икп ® ик слабо в Ь 2 (й), к £{1,2,3}.

На Ы2 оператор А ограничен. Следовательно, А»2п ® А»2 слабо в Ь2 (й). Действительно, для любого р £ Ь2 (й) имеем:

(А »2п, р)= (А»2п, р2 )= (и2п, Ар2 )® ( »2, Ар 2 )= ( Лu2, р).

Пусть аптк, Ът, а°тк, ^°як есть коэффициент Фурье »п и и соответственно:

атк

Т

а

и,рт ( х)еов — kt Ъ

Ътк

Т

а

и, рт (х) Бт — kt Ъ

а

т0

= 1 (»Рт (х)), Ът0 = 0.

Т

2

Обозначим JR = X \mmk | • I (alk J + fak F I. Возьмем R > 2c1 + c1

\mmk | —R

W = X Sgn (mmk ) jm (x)| amk COS

Im mk |—R V

i a л — kt

vb j

c12 и

a

+ bmk sin“ kt

d

Подставим w в (13). Используя (1o) и неравенство Гельдера, выведем

JR = -J g(x, t, un) wdxdt < 11 g(^t, un)|1 q 11 w 11 r < С • CJ w ||^ =

W

i

X

lmmk |—R \mmk

Следовательно,

С

Jr < —1—-ß—— o при R —— ¥.

R1

Отсюда следует

lim X mmk ((a mk ) +(bmk ) )= lim (Au3n , u3n )= X mmk ((amk F+( bmk F ö.

n—¥ (m,k)eM n—¥ (m,k)eM V 0

Перейдем к пределу при n — ¥ в (13) при фиксированном w e Eno :

(Au2, w)+(u3, Aw)+J hwdxdt = o. (17)

W

Докажем, что h = g(x, t,u) методом монотонности. Для любого элемента v e Lr(W) • D(A) имеем :

(Av2 - Au2n, v2 - u2n )+ J(g(x t, v)-g(x t, un ))-(v - un ) dxdt — o. (18)

W

Положим в (13) w = un Из (16) выведем

(A u2n,u2n ) + J g(x, t, un) undx dt

lim

n —¥

W

■ X mmk ((^iik )2 +(bmk )2 ). (19)

(m, k )eM

Подставим в (17) w = un и устремим n — ¥ :

, u0 ) +

Отсюда из (19) получим

lim

n —¥

(a^ u2 )+ J hudxdt = - X mmk (( a°mk ) 2 +( b°mk ) 2 ) .

W (m,k )eM

= (Au2, u2) + Jhudxdt.

(A u2n,u2n ) + J g(x, t, un) undx dt

W

(2o)

W

Перейдем в (18) к пределу при n — ¥ :

(Av2 - Au2,v2 -u2) + J(g(x,t,v) -h)(v-u)dxdt — o.

Возьмем v = u + ty, t > o, y e Lr • D(A):

W

(Ay,y2)+ J(g (x, t, u + ty)-h )y dxdt — o.

W

Устремим t — o :

J (g(x, t,u)- h)y dxdt — o "y e Lr (W) • D (A).

W

Следовательно, к = g(х, t,»). Отсюда и (17) следует, что и является слабым решением. Оценка || и || г > ё вытекает из (5) , (15) , (20). Теорема доказана.

Замечание. Если hx = 0, или h2 = 0 и b является нечетным числом , то так же, как в [9] доказывается, что найденное решение u е С (W).

The existence of a enumerable set of time-periodic solutions of a quasilinear wave equation with nonconstant coefficients and homogeneous boundary 3 kaind conditions on the interval is proved when the nonlinear term has power-law growth.

The key words: wave equation, d’Alembert operator, time-periodic solutions, critical points of the functional, Sturm-Liouville problem.

Список литературы

1. Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm. Pure Aple. Math. 1978. V. 31, No 1. P. 1-30.

2. Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Aple. Math.-1978. V 31, No 1. P. 31-68.

3. Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Мат. Сб. -1988. Т. 136(178), N4(8). С. 546-560.

4. Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term // Chechosl. Math. J 1988. V 38, No 1. P. 78-87.

5. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны// Вести. Моск. Ун-та.,Сер.1. Матем. Механ. 1984, № 2. С. 9-13.

6. Рудаков И.А. Периодическое по времени решение уравнения вынужденных колебаний струны с однородными граничными условиями // Дифференциальные уравнения.2003 Т. 39, № 11, С. 1556-1561.

7. Рудаков И.А. Нетривиальное периодическое решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Дифференциальные уравнения. 2005 Т. 41, № 10, С. 1392-1399.

8. Рудаков И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Известия РАН. Математика. 2006. № 1. С. 173-184.

9. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с одно-род-ными граничными условиями // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, Вып. 5. С. 189-201.

10. Рудаков И.А. Периодическое по времени решение нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле// Известия Вузов. Математика. 2007. N. 2. С. 46-55.

11. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами // Математические заметки. 2004. Т. 76, вып.3. С. 427-438.

12. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с пе-ре-менными коэффициентами // Математический сборник. 2007. Т. 198. N 7. С. 91-108.

13. FadellE.R., Husseini S.Y., Rabinowitz P.H. Borsuk-Ulam theorems for arbitrary S1 actions and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. V. 274. № 1. P. 345-360.

Об авторе

И.А. Рудаков - канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, [email protected].