УДК 517.956.35
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОТРЕЗКЕ
И. А. Рудаков
Доказано существование счетного числа периодических по времени решений квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями 3-го рода на концах отрезка в случае, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост.
Ключевые слова: волновое уравнение, оператор Даламбера, периодические решения, критические точки функционала, задача Штурма-Лиувилля.
Рассматривается задача
р(х)иа -(р(х)их )х + g(х, г,и)=0, 0 < х< к, геЯ; (1)
и(0, г)-Ъхих (0, г ) = и (к, г)+И 2 и (к, г ) = 0, (2)
и(х, г ,+т ) = и (х, г), (3)
Здесь Т = 2к Ь, а, Ь е Ы, (а, Ь ) = 1, И1, И 2 есть положительные числа. а
Существует много работ, в которых изучается задача (1)-(3) с постоянными коэффициентами ( р (х) °1) и с однородными граничными условиями Дирихле И1 = И 2 = 0 . Отметим,
например, работы [1] - [5]. В работах [6] - [9] исследуется задача (1)-(3) с постоянными коэффициентами и с однородными граничными условиями 3-ого рода и Дирихле. В работе [10] исследуются классические решения задачи (1), (2) с граничными условиями Неймана и Дирихле. В [11] рассмотрено волновое уравнение с переменными коэффициентами и нулевыми граничными условиями Дирихле, когда нелинейное слагаемое g имеет степенной рост по и. В работе [12] доказано существование периодического решения задачи (1)-(3), если функция g имеет не более, чем линейный рост по и и удовлетворяет условию отсутствия резонанса. В данной работе приводится доказательство теоремы, из которой вытекает существование счетного числа решений задачи (1)-(3), когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост по и .
Заметим, что уравнение более общего вида
Р(г) игг - (т ) uz )г + И (z, г, и) = 0
2 I Т V
можно привести к виду (1) с помощью замены х = _[ —^ ёз. При этом
m(s)
g(x, t, u)= — h(z(x), t, u), p = 4pß •
\P
Предположим, что функция g непрерывна на [0, Р] X R2, Г-периодична по t, не убывает по и и (4)
A3 | и |r-1 - A4 < | g (x, t, и )| < Ai | и |r-1 + A2 , "x, t, u, (5)
где Aj,A2,A3,A4,r есть положительные числа такие, что
AA
r >2, — > aL. (6)
2 r
Пусть функция p(x) удовлетворяет следующим условиям:
pе C2[0,p], p(x)> d > 0, р = minh p(x)>0. (7)
[0, Ръ F
і » і ґ ' \2
1 p 1
Здесь ц p (X) =^—-^
г 2 p 4
P
V У
. Этим условиям удовлетворяет, например, функция
p(x)= (с1, х + c2 )3, если с1, C2 > 1. Предположим, что выполнены также следующие условия:
p'(0)>-А p'(ж)< 2
(8)
p(0) V p(к) И2
Решение задачи (1) будем искать в виде ряда Фурье. Для построения ортонормированной системы рассмотрим задачу Штурма-Лиувилльля:
-(РРх )х = РЯ Р, р (0)- Ир '(0) = р (к) + '(к ) = 0.
Известно, что собственные значения этой задачи простые, положительные и поэтому обозначены Я. Обозначим через {рп (х)},{Яп } последовательности собственных функций и собственных значений такие, что Яп Т +¥. Обозначим 0 = [0, к] х(Я / Т2). Рассмотрим пространство Ьг (О) с нормой
1
\\и\\г =
а
и пространство Ь2 (а) со скалярным произведением
(/, £) = | I ЕР(х).
а
Л={^Г уп(х(х)с°®аті,іг (х)вЬ аті }
Система функций
а (2/ч .а — ті,Л— рп (х)Біп —,
Ь ’\т ь
является полной ортонормированной в Ь2 (а) системой собственных функций волнового оператора.
Определим оператор А0 : Ь2 (а) ® Ь2 (а) такой, что:
[ N м / а а
) = 1 X X Рп (х} апт сов-т + Ьпт Йп -т
\п=1 т=0 I Ь Ь
N, м Є N, апт , Ьпт Є К і
и
А0р = рра -(ррх) "р є Б(А0). Обозначим А0р = — А0р " р є Б (А0) и пусть
х Р
А = А0 в Ь2 (а). Числа
.. = 12
пт п
являются собственными значениями А0 и А , соответствующие собственным функциям
Ґ \2
а
— т уЬ у
е! = рп (х )соб атг, е* = Р п (х Ып атг.
пт т п \ / 1 5 пт т п \ / т
ЬЬ Определение. Обобщенным решением задачи (1) -(3) называется Т - периодическая по г функция и е Ьг (О) такая, что
|и А0 рёхёг + |g(x, г, и) рёхёг = 0 Vре Б (А0) .
О О
а
г
Теорема. Пусть выполнены условия (4) - (8) и либо g(х, 1,-п ) = ^(х, I, и) и ,
либо функция g не зависит от t. Тогда V ё > 0 существует обобщенное решение и £ Ь,. (й) задачи (1) -(3) такое, что ||и ||г> ё.
Доказательство.
Для 1п справедливо ([12]) асимптотическое представление: 1п = п -1 + вп, где
0 < с1 < вп < с—1 V п є N. п п
Выразим
/ \2
7 а 4
— т
уЪ ,
/ Л2
а
— т УЪ ,
(п _ I)2 _тm + 2(п _ і)вп + в1.
Обозначим M = {(n, m)є N х Z+ | „пт Ф 0, Ъ (п _ і) Ф ат },
Л1 =\^Т®п(x) cos (п _ JT j (x)sin (п _ —)t
п _ — лг
п,-------------є N
а
T jм |• 9п(*)cosj(x)sin
(п,т)є M,т Ф 0 >,
N = N (A), N2 = L (Aj) - замыкание в L2 (W) конечных линейных комбинаций функций из A j, Nз = L (A2 ). Заметим, что на N2 собственные значения оператора A равны
2 (n - iqn+qП e [hi,h2 ],
где h 1= min (co, q2), h2 = 2c1 + c12. Введем конечномерное подпространство En = N1 ® N2n ® N3n, где N2n, N3n есть соответственно линейные оболочки множеств
к -1
j к(x) cos (к _ l)t, j (x)sin(к _ 1) t
а
і Ф к(х)С08~т і, Ф к(х)віп (к,т)є М, к,т <п 1.
[ Ъ Ъ \
Рассмотрим на Еп функционал
1 и
¥ (и ) = —(Аи, и)+| G(x, і, и )ёхЛ, где G (х, і, и ) = | g (х, і, ^) ds.
2 О 0
Доказательство теоремы проведем, опираясь на метод Файрайсла [4], и разобъем на две части:
1. Доказательство существования критических точек ¥ е ■
2. Предельный переход
1. Представим Еп = Ос ® Ьс , где Ос, Ьс есть линейные комбинации собственных
функций оператора А с собственными значениями соответственно большими или не меньшими с . Из условия (5) выведем
< G(x, і, и )< — А і | и |г + А 2 | и | V х, і, и .
К і r , і
- Аз U - A4 U
Г г
Поэтому для любого действительного с > 0 и любой функции и £ G с получим
Г (и )> 2 с ||и||2 + А II» || Г -А5||и|Ь1> Л6 ||и ||г - ^2 | с | • ||и ||2 - А 7 ||и|| .
Обозначим И(т) = А 6 т г- 1| с | т2 - Л7т . Функция Л (т) ограничена снизу и к(т)®+¥ при
т ® + ¥ . Поэтому существует т(с) = тт Л(т) -1. Следовательно,
[0, +¥)
Г (и) > т (с) "и £ Ос .
Разложим функцию и £ Еп в ряд Фурье:
(9)
u = X Pn (х)
(n,m)eN xZ+
^ a 7 . а Л
anm C0ST mt + ^«m SlnT mt
у b b ,
Обозначим
ll|u ill, =
Zl |, (2 + ь 2
|^nm| la«m + bnm +
(n,m )gN xZ
).
Возьмем число a £
r - 2
r -1
и обозначим ß = 2 a--------. Используя неравен-
r
(10)
2(r -1) ’ 2(r -1)
V У
ство Хаусдорфа-Юнга и Гельдера, выведем:
11“ llr < Ci\\\u |||^ "и £ Н3п .
Обозначим Sn ={u£En |||u|||p = 1}.
Лемма 1. Для любого действительного числа d существует число w (d) < 0 такое,
что
F(u) <d "“£{v£Lw(d)||||vЩ = 1}.
Доказательство.
Пусть w < 0 . На H2n собственные значения А положительные. Следовательно, Lw i Н3п. Пусть u £ L w • Sn, amk , bmk есть коэффициенты Фурье функции u . Тогда найдется константа С > 0 такая, что
F (u )<-1 X \^тк к к + tfmk )+ — J | u Г dxdt + A2 i | u | dxdt
2 (m,k)£m r W W
< - ^ II mmkl p|mmk I1"b (am к + b^m n )+ СЫ^ + С |||u |||p < - ||w |1-b • |||u|||2p + C = - !|w |1-b + C при | w | ® ¥. Отсюда вытекает утверждение леммы.
<
--- ¥
Возьмем произвольное с < 0. Зафиксируем число с < ш (с) такое, что Lc1 с L
'о(с
(Lci * La(c)). Обозначим g(с) = min (m(c ), c -1)
Докажем, что на отрезке [g(c), c] есть критическое значение F e . Предположим противное. Тогда стандартно (см. [4]) доказывается существование непрерывного отображения h : En ® En такого, что
h ({u | F(u) < c}) с { u | F(u) < g(c)} и h является нечетным отображением, если g нечетно относительно и, или h (и( •, t +t) = h (u)( •, t +t) "t e [0, T].
Пусть P : En ® Lc есть ортогональный проектор в L2 (W). Докажем, что
ph(u)*0 "u с ^n 1 Lw(c). (11)
Предположим противное, то есть существует uo e Sn • Lw(c) такое, что Ph (uo ) = 0. Тогда
h(uo)e Gw(c) с Gc1 , так как с < w(c). Отсюда и (9) следует
F (h(uo ))> m(c1). (12)
r
С другой стороны, поскольку »о £ Ьа
Sn
имеем
Г (»о ) £ с . Следовательно,
Г(Л(»о))£ 7(с)£ т(с1). Это противоречит (12). Следовательно, верно (11). Но Рк есть нечетное отображение сферы в Ью (с) на подпространство меньшей размерности. Но если функция g нечетна относительно и , то это противоречит теореме Вогеик-Шат ([13]), если функция g не зависит от t, то это противоречит ^1 версии теоремы Вогеик-Шат ([13]). Таким образом, существует критическая точка ип функциональна Г е такая, что Г ( ип ) £ [ 7(с), с] , то есть
(Аип, н) + |g(х, t, ип)нёхё = 0 Vн £ Еп ,
й
7 (с) £ 2 (Аип, ип)+ | G(х, t, ип )dXdt £ с.
(13)
(14)
й
1
Умножим (13) на и положим н = ип :
й
Вычтем отсюда (12):
/1
С(с)>| 2 g(x, t, »п )ип - ^ t, ип ) йЧ 2
ёхЛ >- с.
Из (4)-(6) выведем: А
+ А
2
81 и |'
+2
|и | -В £ 2ug(х, t,ип)-G(x, t,ип) £
1 А + А
-А1 + - А
V2 1 г
•3
| и Г +
+а4 2 4
Следовательно, существуют константы С1, С 2 > 0 такие, что
||»п ||г £ с,
||»п ||Г + СЦ»пИг + С > С1 • | с |.
Поскольку ||ип иг +1 > | ип ||г, то отсюда выведем:
| и | +В . (15)
||»п ||г >
С
•(|с| - 2).
(16)
С+1
2. Переход к пределу при п ® ¥. Из (15) следует существование подпоследовательности такой, что
ип ® и в Ьг (й), g (х, t, ип)® к в Ьч (й) слабо.
г -1
Здесь q =-----. Докажем что и есть решение (обобщенное).
г
Пусть ип = и1п + и2п + и3п, и = и1 + и2 + и3; ик , икп £ Ык, к = 1,2,3. Тогда икп ® ик слабо в Ь 2 (й), к £{1,2,3}.
На Ы2 оператор А ограничен. Следовательно, А»2п ® А»2 слабо в Ь2 (й). Действительно, для любого р £ Ь2 (й) имеем:
(А »2п, р)= (А»2п, р2 )= (и2п, Ар2 )® ( »2, Ар 2 )= ( Лu2, р).
Пусть аптк, Ът, а°тк, ^°як есть коэффициент Фурье »п и и соответственно:
атк
Т
а
и,рт ( х)еов — kt Ъ
Ътк
Т
а
и, рт (х) Бт — kt Ъ
а
т0
= 1 (»Рт (х)), Ът0 = 0.
Т
2
Обозначим JR = X \mmk | • I (alk J + fak F I. Возьмем R > 2c1 + c1
\mmk | —R
W = X Sgn (mmk ) jm (x)| amk COS
Im mk |—R V
i a л — kt
vb j
c12 и
a
+ bmk sin“ kt
d
Подставим w в (13). Используя (1o) и неравенство Гельдера, выведем
JR = -J g(x, t, un) wdxdt < 11 g(^t, un)|1 q 11 w 11 r < С • CJ w ||^ =
W
i
X
lmmk |—R \mmk
Следовательно,
С
Jr < —1—-ß—— o при R —— ¥.
R1
Отсюда следует
lim X mmk ((a mk ) +(bmk ) )= lim (Au3n , u3n )= X mmk ((amk F+( bmk F ö.
n—¥ (m,k)eM n—¥ (m,k)eM V 0
Перейдем к пределу при n — ¥ в (13) при фиксированном w e Eno :
(Au2, w)+(u3, Aw)+J hwdxdt = o. (17)
W
Докажем, что h = g(x, t,u) методом монотонности. Для любого элемента v e Lr(W) • D(A) имеем :
(Av2 - Au2n, v2 - u2n )+ J(g(x t, v)-g(x t, un ))-(v - un ) dxdt — o. (18)
W
Положим в (13) w = un Из (16) выведем
(A u2n,u2n ) + J g(x, t, un) undx dt
lim
n —¥
W
■ X mmk ((^iik )2 +(bmk )2 ). (19)
(m, k )eM
Подставим в (17) w = un и устремим n — ¥ :
, u0 ) +
Отсюда из (19) получим
lim
n —¥
(a^ u2 )+ J hudxdt = - X mmk (( a°mk ) 2 +( b°mk ) 2 ) .
W (m,k )eM
= (Au2, u2) + Jhudxdt.
(A u2n,u2n ) + J g(x, t, un) undx dt
W
(2o)
W
Перейдем в (18) к пределу при n — ¥ :
(Av2 - Au2,v2 -u2) + J(g(x,t,v) -h)(v-u)dxdt — o.
Возьмем v = u + ty, t > o, y e Lr • D(A):
W
(Ay,y2)+ J(g (x, t, u + ty)-h )y dxdt — o.
W
Устремим t — o :
J (g(x, t,u)- h)y dxdt — o "y e Lr (W) • D (A).
W
Следовательно, к = g(х, t,»). Отсюда и (17) следует, что и является слабым решением. Оценка || и || г > ё вытекает из (5) , (15) , (20). Теорема доказана.
Замечание. Если hx = 0, или h2 = 0 и b является нечетным числом , то так же, как в [9] доказывается, что найденное решение u е С (W).
The existence of a enumerable set of time-periodic solutions of a quasilinear wave equation with nonconstant coefficients and homogeneous boundary 3 kaind conditions on the interval is proved when the nonlinear term has power-law growth.
The key words: wave equation, d’Alembert operator, time-periodic solutions, critical points of the functional, Sturm-Liouville problem.
Список литературы
1. Brezis H., Nirenberg L. Forced vibration for a nonlinear wave equations // Comm. Pure Aple. Math. 1978. V. 31, No 1. P. 1-30.
2. Rabinowitz P. Free vibration for a semilinear wave equation // Comm. Pure Aple. Math.-1978. V 31, No 1. P. 31-68.
3. Плотников П.И. Существование счетного множества периодических решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения // Мат. Сб. -1988. Т. 136(178), N4(8). С. 546-560.
4. Feireisl E. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term // Chechosl. Math. J 1988. V 38, No 1. P. 78-87.
5. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны// Вести. Моск. Ун-та.,Сер.1. Матем. Механ. 1984, № 2. С. 9-13.
6. Рудаков И.А. Периодическое по времени решение уравнения вынужденных колебаний струны с однородными граничными условиями // Дифференциальные уравнения.2003 Т. 39, № 11, С. 1556-1561.
7. Рудаков И.А. Нетривиальное периодическое решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Дифференциальные уравнения. 2005 Т. 41, № 10, С. 1392-1399.
8. Рудаков И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Известия РАН. Математика. 2006. № 1. С. 173-184.
9. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с одно-род-ными граничными условиями // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, Вып. 5. С. 189-201.
10. Рудаков И.А. Периодическое по времени решение нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле// Известия Вузов. Математика. 2007. N. 2. С. 46-55.
11. Рудаков И.А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами // Математические заметки. 2004. Т. 76, вып.3. С. 427-438.
12. Рудаков И.А. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с пе-ре-менными коэффициентами // Математический сборник. 2007. Т. 198. N 7. С. 91-108.
13. FadellE.R., Husseini S.Y., Rabinowitz P.H. Borsuk-Ulam theorems for arbitrary S1 actions and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. V. 274. № 1. P. 345-360.
Об авторе
И.А. Рудаков - канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, rudakov_bgu@mail.ru.