CC BY
5Теорема 2. Пусть выполнены условия тео- Если дополнительно предположить относи-
ремы 1. Тогда задача (3)-(4) имеет единственное тельно входных данных и построенного решения в
(в, G))-периодическое решение в широком смысле. шиРоком смысле непрерывной дифференцируемо-
сти по переменным t и x, то функция
u(t, x) = (ul (t, x), u2 (t, x),... ,um (t, x), um+l (t, x),... ,un (t, x)) e c(q, Rn),
обладающая непрерывными частными произ-
ôu du
водными- и-, удовлетворяющая уравнению
ôt ôx
(3) при всех (t, x) £ Q с условиями (4) является и классическим решением краевой задачи (3)-(4).
Литература
1. Cesari L. Periodic solutions of partial differential equations //Symp. Non-lin. Vibrations. Kiev. -1961, pp.440-457.
2. Aziz A.K. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations //Proc. Amer. Math. Soc. -1966, Vol.17, №3, pp.557-566,
3. Vejvoda O. et al. Partial differential equations: Time-periodic solutions. - Hague; Boston; London, 1982. -358 p.
4. Умбетжанов Д.У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. - Алма-Ата: Наука, 1990. - 184с.
5. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. - М.: Наука, 1968. - 592 с.
6. Абдикаликова Г.А. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи //Математический журнал ИМ МОН РК. - 2005, Т.5, №3(17), С.5-10.
7. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. -М.: Наука, 1973. - 512с.
НОВЫЕ ПАРАДОКСЫ МОДЕЛИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
Парфентьев Н.А.
Всероссийский институт оптико-физических измерений
Москва
NEW PARADOXES THE MODEL OF AN RLC CIRCUIT
Parfentev N.A.
AllRussian Institute of Optical Physic Measurements
Moscow
АННОТАЦИЯ
Ранее была найдена особая точка в семействе частотных кривых колебательного контура, где величина импеданса не зависит от активного сопротивления. При дополнительном анализе выявлена еще одна особая точка, обладающая аналогичными свойствами. Эта точка находится на частоте резонанса, при котором относительная величина мнимой компоненты импеданса постоянна и равна -1. Определена область существования мнимой компоненты и исследовано положение экстремумов зависимости компоненты от частоты. Выявлены особенности частотных характеристик для активной компоненты контура.
ABSTRACT
Special point previously found in the family of frequency response curves of an RLC circuit, where the value of the impedance does not depend on resistance. The second singular point is detected with further analysis with similar properties. The point is at the resonance frequency at which the relative value of the imaginary components of impedance is constant and equal to -1. The region of existence of imaginary components is defined and studied the position of the extrema based on components of frequency. Features of frequency characteristics determined for the active components of the circuit.
Ключевые слова: колебательный контур, резонанс токов
Keywords: RLC CIRCUIT, current resonance
В многочисленных учебниках по электротехнике, в частности - [1,2], уделяется относительно мало внимания колебательному контуру с параллельным соединением элементов. В работах [3-5] сообщалось об обнаружении особой точки в семействе частотных характеристик реалистичной модели колебательного контура (с параллельным соединением конденсатора и катушки индуктивности, моделируемой последовательным
соединением резистора и индуктивности). На частоте, равной (где ф -частота резонанса при нулевом сопротивлении) модуль импеданса не зависит от величины активного сопротивления. В настоящий момент не существует физического объяснения этого явления.
В продолжение изучения этого вопроса были вычислены зависимости компонент импеданса контура от относительной частоты и относительного активного сопротивления.
1. Мнимая компонента контура.
Расчетная формула для относительной мнимой компоненты имеет вид
1т= /а-*-/2)
(1-/2)2 + г2/2'
где / - нормированная частота, г- нормированное активное сопротивление. Результаты вычисления приведены на рис.1. Оказалось, что эти характеристики также содержат особую точку, расположенную на резонансной частоте. В этой точке
мнимая компонента не зависит от активного сопротивления и равна -1.
Область существования мнимой компоненты
формируется тремя асимптотами:
1
1. асимптотой — - при г ^да ,
/
2. асимптотой —— при г ^ 0,
3. отрезком оси ординат от 0 до -да.
На рис.1 пунктирными линиями обозначены две первые асимптоты мнимой компоненты импеданса.
Рис. 1 Зависимость мнимой компоненты импеданса от частоты и нормированного сопротивления.
Исследованы особые точки характеристик: экстремумы мнимой компоненты от частоты. На рис.2 приведены результаты этих расчетов. При этом оказалось, что максимум мнимой части импеданса присутствует лишь в диапазоне относительных сопротивлений от 0 до 1. Минимум мнимой компоненты присутствует во всем диапазоне относительных сопротивлений. При этом характерные точки кривой связаны с известным уже коэффици-
ентом —2 - при этой величине относительного сопротивления минимум располагается на резонансной частоте, также как и при нулевом значении относительного сопротивления. А при значении со-
1
противления, равном минимум располагается на предельно возможной частоте превышающей примерно в 1.1719 раз резонансную частоту. Последняя цифра возникает при численном решении кубического уравнения.
P £
X
о
Б
о
с
о
I
й
«а
&
6 &
о
1.2 1.]
0.9 0.& 0.7
о.ь
0.5 OA 0.3 0.2 0.1
/ \
\ \
Л \ \
s \ \
\ у
¡4,
ч
о о!? о.-4 а.6 о!а i 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2'г 2л ¿6 з.е з Относительное активное сопротивление
Рис.2 Зависимость частотного максимума мнимой компоненты импеданса от нормированного сопротивления (сплошная линия) и минимума (пунктирная линия).
2. Реальная компонента импеданса контура На рис.3 приведены частотные характеристики
Расчетная формула для относительной мнимой реальной части импеданса в зависимости от норми-компоненты имеет вид рованного активного сопротивления, а на рис.4
^ представлена трехмерная поверхность активной
компоненты в координатах относительной частоты и относительного сопротивления.
Де =
(1 — /2)2 + г2/2 где / и г- введены ранее.
Рис.3 Частотные характеристики реальной части импеданса. А Б
Рис.4 А -зависимость активной компоненты импеданса от частоты и десятичного логарифма относительного активного сопротивления, Б - область резонанса в линейном масштабе.
Использование логарифмической шкалы в рис. 4А для активного сопротивления позволяет выявить все особенности строения поверхности активной компоненты импеданса.
В линейном масштабе рис.4Б показана область резонанса. Можно заметить, что при больших значениях реальной компоненты сечение поверхности
асимптотически стремится к окружности с радиу-
1
сом, равным , смещенной на величину радиуса.
3. Соотношение частоты собственных колебаний и частоты максимума импеданса.
Представляет также интерес обстоятельство, что частота, на которой, располагается максимум импеданса, не совпадает с частотой собственных колебаний контура. На рис. 3 приведены расчеты положения максимума импеданса и частоты собственных (затухающих) колебаний контура.
1.0-
s 0.9
0.7-
<D ш
b
пз cl
<D
0.5
ъ 0.4-
i 0.3
I
0.2
0.1
0.0-
——
N
\ \ \ \
\ \
\
\ *
\ % t * > 1
\
\
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 Нормированное активное сопротивление
Рис.3 Зависимость частоты максимума импеданса (сплошная линия) и частоты собственных колебаний (пунктирная линия) от нормированного активного сопротивления.
Как следует из рисунка, эти зависимости существенно отличаются друг от друга. Область существования максимума импеданса соответствует отрезку оси абсцисс от 0 до V! + —2 , в то время как затухающие колебания в контуре возможны при значениях сопротивления от 0 до 2.
Все расчеты сделаны с помощью среды графического программирования LabView 8.0.
Выводы:
1.Найдена новая особая точка в семействе частотных характеристик колебательного контура.
2. Изучены особенности реальной и мнимой компонент импеданса.
3. Проведено сравнение частот собственных колебаний контура и частоты максимума импеданса.
Проведенное исследование может быть использовано в курсах обучения электротехнике, а возможно и для создания принципиально новых методов измерения параметров электрических цепей.
Литература
1. Электротехника учебник для вузов А.С.Касаткин, М.В. Немцов.10-е (9-е) изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2007 (2005).544 с.
2. Электротехника и электроника: Учеб. Пособие для студ. высш. учеб. заведений /М.А. Жаворонков, А.В. Кузин. - М.: Издательский центр «Академия», 2005. - 400 с.
3. Парфентьев Н.А., Парфентьева Е.Н., Севастьянов С.И. Особенность частотных характеристик параллельного колебательного контура. Известия вузов. Электроника №6204, с. 110.
4. Парфентьев Н.А., Парфентьева Н.А, Труханов С.В. Об особой точке частотных характеристик колебательных систем.Естественные и технические науки, №9-10, 2014, с. 31.
5. Парфентьев Н.А. Инвариант одной модели механической системы с вязким трением. Электронный журнал техническая акустика (ejta.org)2014,12
