CC BY
37
УДК 517.956
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРОМ ЧАПЛЫГИНА
С.А. Алдашев
Научный инстиут прикладной математики и информатики при АГУ имени К.Жубанова, ул. Братьев Жубановых, 256, Актобе, Казахстан, e-mail: [email protected]
Аннотация. В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина имеют единственное решение.
Ключевые слова: задачи Дирихле и Пуанкаре, корректность, вырождение, многомерные уравнения.
В [1] было показано, что на плоскости одна из фундаментальных задач математической физики - изучение поведения колеблющейся струны некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как замечено в [2,3], задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4] показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем, эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], которые неэффективны в приложениях.
В пространстве [6,7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболических уравнений, а [8,9] доказаны корректность задачи Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения.
Насколько нам известно, многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре для вырождающихся гиперболических уравнений ранее не изучались.
В настоящей работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина имеют единственное решение.
1. Постановка задач и результаты. Пусть Dp - цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек (x1, ...,xm,t) , ограниченная цилиндром Г = {(x,t) : |x| = 1}, плоскостями t = в > 0 и t = 0 где |х|— длина вектора x = (xi, ...,xm). Части этих поверхностей, образующих границу dDp области Dp, обозначим через Г в, Sp, S0 соответственно.
В области De рассмотрим взаимно-сопряженные гиперболические уравнения
m
Lu = g(t)Axu — utt + ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0 , (1)
i=1
хАлдашев С.А, док.физ.-мат. наук, проф. Института прикладной математики и информатики при АГУ.
L*v = g(t)Axv - vtt -^2 a,iVXi - but + dv = 0, (1*)
i=1
где g(t) > 0 при t > 0, и может обращаться в нуль при t = 0, g(t) Е C([0,^]) П C2((0,0)), Ах— оператор Лапласа по переменным x1,...,xm, m ^ 2, а d(x,t) = с —
m
У! aixi — bt.
i=1
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1,..., xm, t к сферическим т,в1,9m-1,t, т ^ 0, 0 ^ в1 < 2п, 0 ^ 9i < п, i = 2, 3, ...,m — 1.
В качестве многомерных задач Дирихле и Пуанкаре рассмотрим следующие задачи.
Задача 1. Найти решения уравнения (1) в области Б в, который находятся в классе С1 (Ов) П С2(Дз) и удовлетворяют краевым условиям
u = ф(г, 9), u u 9) t, 9) r, V (2)
Se Гв So
или
u = ф(т, 9), u •w u 9) t, = v(т, 9). (3)
Se re So
Пусть {Ykm(e)} - система линейно независимых сферических функций порядка п,
1 ^ k ^ kn, (m — 2)!n!kn = (n + m — 3)!(2n + m — 2), W22(So), l = 0,1,... - пространства Соболева.
Имеет место ([10])
Лемма 1. Пусть f (т, 9) Е W22(S0). Если l ^ m — 1, то ряд
<Х> kn
fМ) = ЕЕ fkk(r)Ynkm,(9)- (4)
n=0 k=1
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ^ l — m +1, сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Длятого, чтобы f (т,9) Е W2(S0), необходимо и достаточно, чтобыкоэффи-циенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
<Х> kn
i fo‘(r) 1<с, ЕЕ п211 ft (т) | 2 < С2, С1, С2 = const.
n=1 k=1
Через акп(г,г), акп(г,г), ьП(г,г), ^г,^, ¿ПМХ рП, фП(г) фПтк(г), иП(г), обозначим коэффициенты ряда (4), соответственно функций аг(г,9,Ь)р(9), агур, Ь(г,0,Ь)р, с(г, 9, ¿)р, ¿(г, 9, ¿)р, р(9), г = 1, ...,т, ф(г, 9), ф(Ь, 9), т(г, 9), V(г, 9), причем р(9) Е С^(Н), И - единичная сфера в Ет.
Пусть аг (г,9,1), Ь(г,9,Ь), с(г,9,Ь) Е Ш2 (Ов) С С (Б в ),1 > т + 1, г = 1,...,т. Тогда справедлива
Теорема. Если <р(т,в) Є Ш2р(Бв), Ф(і,в) Є ЖР(Гд), т(г, в), V(г, в) Є Ш2р(Б0),
3ш
р > и выполняется условие
сов ц8[31 = 0, 5 = 1, 2,...,
(5)
то задача 1 имеет единственное решение, где ц8,п— положительные нули функций Бес-
в ____ ’
селя первого рода 1 (т — 2) (z), в' = / л/ЖС
2 о
2. Разрешимость задачи 1. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид
/ 1 & п> і ^
Ьи = д(і) у игг +-----------иг-----------^ ) — ии +/] аі(г, в, і)пХі + Ь(г, в, і)щ + с(г, в, і)п = 0 , (6)
і= 1
Ш — 1
& — Е
д
8Іпш-і-1 в. двз
^іпш - 1 д. , ді = 1, д. = (відві... від в-)2, і > 1
Известно ([10]), что спектр оператора & состоит из собственных чисел Хп = п(п + -— — 2), п = 0,1,, каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций УПкт(в)-
Искомое решение задачи 1 будем искать в виде
оо кп
п(г
(г, в,і) = ^^ пП(г, 1)уП,ш(в),
(7)
п=0 к=1
где ип(г,1)- функции, подлежащие определению.
Подставив (7) в (6), умножив затем полученное выражение на р(9) = 0 и проинтегрировав по единичной сфере И, для иП получим ([11,12])
/\1—1 1—1 I 1,ч 1 ^ г 1 1 _ 1 -11 ~1 _ 1
9(Чр0и0тт — р0и0Ы + 9(Чр0 + / . аг0 I и0г + Ь0иП* + СПи0 +
1 (1
10Ы + ( “
Ш
аі0 ) п0
і=
кп (
п= 1 к=1 к
(!
+ X/ \ д(^)ркпиПгг — рПиПы + ( д(ФП + X! аіп) иПг + 'ЬПиПі +
+
-к
сП — ^п —п д(І) + У^(Йкп- 1 — пакП)
^2
і= 1
Ш
Еакп
і= 1 /
1
(8)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
-— 1
д(І)-ои0гт — -0и0іі + д(^)-0и0т = 0 ,
1
д(і)-к1 ик1гг — -кикш + ——-- д(і)-к1 ик1г — ^ д(і)-\ик
1
(Ш
і=1
= — к“ І X! а^иОг + Ь^ио* + ад) , п =1, к =1,к1
10 ,
(10)
д(і)-кпикптг— -кпикпи + —-^ д(і)-кпикпт— ^ д(1)-кпикп =
г
кп — 1 Ґ _ і „к к
п
А:
к=1 к і=1
Сп~ 1 + У^(аіп-2 — (п — 1)а^п-1)
і=1
¿-.к
и
п1
}
(11)
к = 1, кп, п = 2, 3,....
Суммируя уравнение (10) от 1 до к1, а уравнение (11) - от 1 до кп, затем сложив полученные выражения вместо с (9), приходим к уравнению (8).
Отсюда следует, что если {икп}, к = 1,кп, п = 0,1,... - решение системы (9)-(11), то оно является решением уравнения (8).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить в
виде
(
д(Ш икптг +
—______1 ик - — ик) -ик = ґк
Г пг г 2 пі ^піі
О
= Ик М)
(12)
где /к (г, ¿) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом /о(г, ¿) =
0.
Далее, из краевых условий (2) и (3), в силу (7), с учетом леммы 1 будем иметь
ип(г,в) = Фп(г) , ип(М)= ФЛ^ , un(r, 0) = Тп (г) , к = 1,kn, п = 0, 1,..., (13)
ип(г,в ) = Фп(г) , ип(1,^= Фп(^ , Unt(г, 0) = "п (г) , к = 1,кп п = 0, 1
Выполнив в (12) замену ь!п(г,1) = г( 2 )и^г^) и положив затем г = г,
3
получим
Хп
уик — ик +
У ^птт пуу '
ХпТикп — Ь(У)икпу = й(r, у)
(14)
(15)
((— — 1)(3 — —) — 4Хп) Ь( ) = —
4 , (у) = 2д
йу
!п (Г,І)
Полагая Шп = шкп ехр
— 2 / Ь(Ой£
, уравнение (15) приводим к виду
У<ЛкПГГ — Ш^уу + = с(у)шк + (r,У),
(16)
*
Ф) = -1Ф2 + 2Ъ'у) £ С(y> 0) , * (г, y) = fkn (г, y) exp
2 / Ъ(№
Уравнение (16), в свою очередь, с помощью замены переменных г = г, х0 = 3у2 переходит в уравнение
ufc - vk
^nrr HXqXq
uk \
^ ^ un = gkn (r.x„)
(17)
r. (2 x„)8
g(r,x„) = ( ~y
+ c
( 3x„ V 2
) 2] k\ (3^)
) Шп г\ 2 )
При этом краевые условия (13) и (14) соответственно примут вид
ип (г,вО = Фкп(г) , <(1,х0) = (x0), Ук (г, 0) = тк (г)
1 д
ип(г,в) = Фп(г). un(1,x„) = фn(x„). ]im„ x0 ~Un = Vn(г)
в
(18)
(19)
k / \ (m-1) _k , ч
Фп(г) = г 2 ^n(r)exP
3
2 ЪШ
k / \ (m-1) _k, \ k/ \ (m-1) _k/ \ Tn (г) = г 2 Tn(г). Vn(г)= г 2 ^n(г) •
Наряду с уравнением (17) рассмотрим уравнение
т vk = vk — vk — avk + — vk = gk (r xn)
aUa,n ua,nrr иа,пхохо x a,nxo ^ a,n Уа,пУ ) *x'0/ L0v0,n = V0,nrr — V0,nxoxo + ^ V0n = gk,n(r, X0),
(20«)
(20„)
9tn(r,x„)
/ \ —2a( / \ 1—« / \ 1—« / \ 1—«
(*) * r^!-a) + J(j-^) k r^;-a)
go,n(r,xo) = f^(т, x0) + c(xo)v0;n(r,xo), 0 < a = const < 1.
Отметим, что уравнение (17) совпадает с уравнением (20а) при а = 1.
Как показано в [11,12] (см. также [13]), существует следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнения (20а) и (200).
у
у
Утверждение 1. Если ^П(г, х0) - решение задачи Коши для уравнения (200), удо-
влетворяющее условиям
v'пi(г, 0) = тк (г)
_д_
дх0
икПг 0) = 0
то функция
(21)
и
к,1
(г,Х0) = 7а
, х0~аО- 22 2) 0 0х5
Укп1(г, х0)
х2
х0
(22)
при а > 0 является решением уравнения (20а) с данными (21).
Утверждение 2. Если и0кП(г, х0)- решение задачи Коши для уравнения (200), удовлетворяющее условиям
<П(г, 0)
иП(г)
д
<’П(г, 0) = 0
(1 — а)(3 — а)...(2д +1 — а) дх0
(23)
то при 0 < а < 1 функция
и,
к,2
(г,х0) = Ъ-к+2д
П д\
х0 дх0
х1-«+2?
х0
■2\—
(а \ а_1
* — 2+0 °х0
Щ’П(г, х0)
х0
(24)
является решением уравнения (20а) с начальными данными
д
иа,п(г, 0) = 0 11т0 ха дГУа’п(г,х0) = ^ (г), хо^0 дх0
(25)
где л/п Г (|) та = 2Г (9-2г) , Г(г) - гамма-функция, О^— оператор Римана-Лиувилля ([14]), а * > 0 - наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2 — а + 2* >
> т — 1.
При этом функции дОа п(г,х0), д0кп(г,х0) связаны формулами (22) в случае утверждения 1 и формулами (24) в случае утверждения 2.
Теперь переходим к решению задачи (20а), (18) и (20а), (19). Решение задачи (20а),(18) будем искать в виде
иа ,n(г, х0) = ukа}n(г, х0) + Vkа2n(г, х0) , (26)
где иОаП(г,х0) - решение задачи Коши (20а), (21), а 2п(г,х0) - решение краевой задачи для уравнения
Т 1)к’2
-иаиа, п
/ \ —2а/ \ 1 —а
х0 х0
V1 — а) С V1 — а)
и
к 2
(20а)
1
1
0
с данными
ика2п(г,в) = фП(г)—иап(г,в), иап(1,х0)=фп(х0)—иа,п(1,х0), vа;2n(г,0)=0. ^
Учитывая формулы (22), (24), а также обратимость оператора ([14]) задачи (20а), (21) и (20а), (27), соответственно сводим к задаче Коши (200), (21), имеющее единственное решение ([12,15]) и к задаче для уравнения
т0<’П = сЫ^п, (200)
с условием
д
и0,п(г, в) = ф1п(г) , у0:1п(1,х0) = ф1п(х0), дх~0 у0,,п(г, 0) =0, (28)
где фккп(г), ф1кп(х0) - функции, вырождающиеся, соответственно через фкп(г), тП(г) и
Ф° (xо), тП (г).
Произведя замену и0 ’п(г,х0) = и0 п(г, х0) — ф1кп(х0) задачу (200), (28)приведем к следующей задаче
т -к, 1 _ -к , 1 -к , 1 . ^п -к , 1 ~к г \
тЩ0,п = Щ0,пгг Щ0,пхохо + г2 Щ0 ,п д0 ,п(г, х0) , (29)
д
щ0:П(гв) = фп(г), щк:п(1,х0) =0, дх0щ0:П = —фкпхо(0) = с0, (30)
%,п(г,хо) = ФоК ]п{г,х0) + ф1пхохо - Фіп, Фіп(г) = Фіп(г) - Ф іЛР') •
Решение задачи (29), (30) ищем в виде
^оП(г> хо) = ш 1(г, хо) + хо), (31)
где ш 1п(г,хо)- решение задачи
т і 1 : 1 п і 1 / \
1п = 9о,пГ,хо = Сош 1п + фІпхохо — ~2 Ф 1п> (32)
д
шїп(г,в') = 0 , ш 1п(1,хо) = 0, дхо Шіп(Г, 0) = 0, (33)
а ш2п(г,хо) - решение задачи
Ьш2п = с(хо)ш2п , (34)
д
ш2п(г,в) = Ф1п(г) , ш2п(1,хо) = 0, дх~0 Ш2n(r, 0) = Со • (35)
Решение выше указанных задач, рассмотрим в виде
ГО
шп(г, хо) = X] Кз(т)Т8(хо), (36)
при этом пусть
ОО О О
9k,n(r> Хо) = 'Yh as n(Xo)Rs (r) , 0fn(r) = ^2 bs ,nRs(r) , C0 = es ,nR-Ár) • (37)
s=1 s=1 s=1
Подставляя (36) в (32), (33), с учетом (37), получим
А
Rsrr +—nRs + VRs = 0 , 0 < r < 1, (38)
r
Rs(l) = 0, Rs(0)| < TO , (39)
Tsxoxo + VTs(x0) as,n(x0), 0 < x0 < e , (40)
Ta(0') = 0 , Tsxo(0) = 0 . (41)
Ограниченным решением задачи (38), (39) является (см. [16])
Rs(r) = VrJv(vs,nr) , (42)
n+(m— 2) 2
гДе v = ^2------- , V = K,n■
Общее решение уравнения (40) представимо в виде (см. [16])
хо
cos V Хо I
Ts,n(xo) = Cis cos Vs,nXo + C2s sin Vs,nXo +----------- as,n (Í) sin Vs,n£d£-
v s , n J
0
хо
sin Vs,nx0 ('
Vs,n
0
as,n(0 cos Vs,n£d£.
с1з,с2з - произвольные постоянные, удовлетворив второму условию условия (41) будем иметь
хо
= Cis cosV„x° + cos Vs^j a^K)sin ['.„¿di -
0
хо
- sin Vs,„x0 J asn(i) cos Vs,nidi .
0
Подставляя (42) в (37) получим
ОО
r-290,n(r,x0) = ^2 as,n(x0)Jv(Vs,„г), r-2 фк(r) = ^ bs,nJ(Vs,nr),
s=1 s=1
О
r-2 C0 = ^2 es,nJv (Vs,nr), 0 <r < 1.
s=1
(43)
Ряды (44) - разложения в ряды Фурье-Бесселя ([17]), если
1
as,n(x0) 2[Jv+1(^s,n)\ j VÍ 9o,n(C, x0) Jv
0
X
(45)
2[Jv+l(^s,n)\“M уД
С(Хо)шп(Í,Xo)+ ФЫхохо -~2 ФыЫ
Jv (^s,n^)
bs,n — 2[Jv+l(^s,n)\ J ViftvÁOJv (Vs,nQd£, es,n — 2[Jv+l(^s,n)\ J CoV\jv (Vs,n£ )d£ .
00
Учитывая свойства ортогональности функций Бесселя (см. [17])
0, n — m,
CJv (V s,m C)Jv (Vs,nC)dC
[Jv+1 (^s,n)]
2
n—m
из (45), (36), (42) имеем равенство
i
as,n(x0) c(x0)Ts,n(x0) + 2[Jv+1(^s,n)] I VÍ
Ф^хохо - XXn^ln(x0)
Jv (^s,nC )d£. (46)
Подставляя (46) в (43) получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
хо
Ts,n(x0) — fs,n(x0)+ Gs,n(x0,Z)Ts,n(Z№ ■
которое имеет единственное непрерывное решение (см. [18])
хо
Ts,n(x0) — fs,n(x0) + J Rs,n(x0,C; 1)fs,n($)d£.
0
где
хо 1
№s,nfs,n(x0) c1s^s,n cos ^s,nx0 + 2[Jv+1(^s,n)\ ' 1^1 \fn |^ln££
00
Jv(Vs,nV)dn\ sin ¡is,n(С - x0)d£ ,
Ф1
гц2 Ф 1n
(47)
Hs,nGs,n(x0,С) — c(C) sinVs,n(£ - x0), Rs,n(x0,Ci 1) - резольвента ядра Gs,n(x0,0.
1
1
Из (47), (41) будем иметь
в
fs Ав) + / Rs Ав, С; i)fs,n(№ = о • (49)
0
Далее, подставляя (48) в (49), при выполнении условий (5) однозначно определим постоянное Cis, s = 1, 2,.... Таким образом, решением задачи (32), (33) является функция
ГО
шкы(т, Жо) = ^2 ^rTs ,n(xo)Jv (far) , (50)
s=1
где Tsn(x0) находится из (47).
Теперь, подставляя (36) в (34), (35), с учетом (37), имеем задачу
Vsxoxo + fasnVs C(xo)Vs ,
Vs(e ) — bsn, Vsx0 (0) — es,n ,
решение которого определяется по формуле (47), где
fas, nfs ,n(x0) c1sMs ,n COS fas, nx0 + es, n sin fas ,nx0 ■
Из (47), (51),(49) при выполнении условии (5) определим постоянное c1s, s = 1, 2.... Следовательно, решение задачи (34), (35) записывается в виде
ГО
kn(r,x0) = ^2 ^rys,n(x0) Jv(^0) . (52)
s=1
Таким образом, единственным решением задачи (29), (30) является функция (31), где u^n(r,x0) определяется из (50), а <Jkn(r,x0) из (52).
Далее, используя утверждения 1 и 2, устанавливается однозначная разрешимость задач (20а), (21)и (20а), (28). Значит, из (26) следует, что задача (20а), (18), также имеет единственное решение.
Теперь будем решать задачу (20«), (19) в виде (26), где икП(г, x0) - решение задачи Коши (20а), (25), а v^’П(г, x0) - решение задачи для (20а) с данными
д
<П(г,в) = фП(г) - ukal(r,вl), <n(1,x0) = фП(x0) - uk;;n(1,xo), ^ 0) = 0 - (53)
Используя формулы (24),(22), задачи (20а), (25) и (20а), (53) соответственно приведем к задаче Коши (200), (23) и к задаче (200), (28), где ф1п(г), Фkn(x0)— функций, теперь вырождающихся, соответственно через фП(г), vkn(r) и фП(x0), vn(r).
Таким образом, задача (20а), (19) также однозначно разрешима. Следовательно, сначала решив задачу (9), (13) (п = 0), а затем (10), (13) (п =1) и т.д. найдем последовательно все vOk n(r,x0) из (26), где vOk’П(г, x0), vOk’n(r,x0),k = 1,kn, n = 0,1,... определяются из двумерных задач.
Итак, в области Dß, имеет место
p(9)Lu dH = 0 .
(54)
H
Пусть f(г,в,Ь) = Я(г)р(в)Т(Ь), причем Я(т) Е V0, У0 плотна в Ь2((0,1)), р(в) Е
С^(И), плотной в Ь2(И), а Т (Ь) Е V1, У\ плотна в Ь2((0,@)). Тогда f (г,в,ь) ЕЕ V,
V = Уо ® И ® У! плотна в Ь2(Бв) ([19]).
Отсюда и из (54), следует, что
J f (г,в,Ь)Ьи6,Вр = 0
Ов
и
Lu = 0, V(r, в, t) Е Dß .
Таким образом, решением задачи 1 является функция (7), где йП(r,t) находятся из задачи (8), (9) в случае задачи (1), (2) и из (8), (10) - в случае задачи (1), (3). Учитывая формулу 2J'(z) = Jv-1(z) — Jv+1(z) (.[17]), оценки (.[20,10])
4)+0( z15)
\kn\< OiU
m—2
д q
----Yk (в)
дв П, m^ '
< C2U 2
Щ- -1+q
ci,c2 = const, j = 1,m — 1,
0,1,...
(55)
а также леммы, которые дают ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции д(Ь), ф(г,в), ф(Ь,в), т(г, в), V(г, в), как в [11,12], можно показать, что полученное решение (7) принадлежит искомому классу С!(5р) П С2 (О в). Следовательно, разрешимость задачи 1 установлено.
3. Единственность решения задачи 1. Сначала рассмотрим задачу (1), (2) и докажем ее единственность решения. Для этого построим решение задачи Дирихле для уравнения (1*) с данными
и
Sß urß
= 0, и
So
= Г (г,в) = fk (r)Ykm(e), k = 1,kn,
U
0, 1, ... ,
(56)
где тП(г) Е V, V - множество функций т(г) из класса С1 ([0,1]) П С2 ((0,1)). Множество V плотно всюду в Ь2 ((0,1)) [19]. Решение задачи (1*), (55) будем искать в виде (7), где функции иП(г,Ь) будут определены ниже. Тогда, аналогично п.2, функции (г,Ь)
удовлетворяют системы уравнений (9)-(11), где ак
1, ...,т, к
—akn, —akn, —ЬП, а сПк на dkn, i
m, akn, ЬП заменены соответственно на
1, kn
U
0, 1, ... .
Далее, из краевого условия (56), в силу (7), получим
иП(r,ß) = иП(1,t) = 0, иП(r, 0) = fk(r), k = 1,kn
U
0, 1, ... .
(57)
q
Как ранее замечено, что каждое уравнение системы (9)-(11) представимо в виде (12). В п.2 показано, что задача (12), (57) имеет единственное решение, если выполнено соотношение (5).
Таким образом, решение задачи (1*), (56) в виде ряда (7) построено, которая в силу оценок (55) принадлежит классу C1 [Dp) П C2 (Dp).
Из определения сопряженных операторов L, L* ([21]) имеем
uLu — uL*v = —uP(u) + uP(u) — uuQ ,
где
m m
P (u) = g(t) ^ uXi cos (N±, Xi) — ut cos (N±,t) , Q = ^ a cos N ±>Xi) — b cos (N±,t) ,
i=1 i=1
а N± - внутренняя нормаль к границе dDp, по формуле Грина имеем
(vLu — uL*u) d,Di
в = J
Dp dDp
( du du )
(,usN — um)M + uuQ
ds , (58)
где
m
d m д d dN = g(t)^2 cos (Nx, Xi) dx — cos (N^,t) — , M2 = g2^2 cos2 (N±,x^ + cos2 (N±,t)
i=1 i i=1
Из (58), принимая во внимание однородные граничные условия (2) и условия (56) получим
J т(r,9)ut(r,9, 0)ds = 0 . (59)
So
Поскольку линейная оболочка системы функций {тПк(r)Ykm(9)} плотна L2(S0) (см. [19]), то из (59) заключаем, что ut(r,9, 0) = 0, V(r,9) Е S0. Следовательно, в силу единственности решения задачи Коши: u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = = 0 для уравнения (1) (см. [21]) будем иметь u(x,t) = 0, V(x,t) Е Dp.
Таким образом, единственность решения задачи (1), (2) доказана. Ее справедливость для задачи (1), (3) показывается аналогично. Теорема доказана полностью.
Литература
1. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique // Princeton University Bulletin. - 1902. - 13. - P.49-52.
2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа / М.: Изд. АН СССР, 1959. - 164 с.
3. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных / М.: Наука, 2006. - 287 с.
4. Bourgin D.G. and Duffin R. The Dirichlet problem the vibrating string equation // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1939. - 45. - P.851-858.
5. Fox D.W., Pucci C. The Dirichlet problem the wave equation //Annali di Mathematica Pura ed Applicata. - 1958. - 46. - P.155-182.
6. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дифференциальные уравнения. - 6, 1/ - C.190-191.
7. Dunninger D.R., Zachmanoglou E.C. The condition for uniqueness of the Diriclet problem for hyperbolic equations in cilindrical domains // J.Math.Mech. - 1969. - 18. - P.8
8. Aldashev S.A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation // Mathematical problems Engineering. - 2010. - ID 653215. -
7 p.
9. Алдашев С.А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения // Современная математика и ее приложения. Уравнения с частными производными. - 2010. - 67. - C.28-32.
10. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.
11. Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений / Алматы: Гылым, 1994. - 170 с.
12. Алдашев С.А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения / Орал: ЗКА-ТУ, 2007. - 140 с.
13. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе / Новосибирск: НГУ, 1973. - 139 с.
14. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии / М.: Высшая школа, 1985. - 302 с.
15. Алдашев С.А. Спектральные задачи Дарбу-Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Украинский математический журнал. - 2003. - 55. - 1. -C.100-107.
16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / М.: Наука, 1965. - 704 с.
17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2 / М.: Наука, 1974. - 296 с.
18. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4, ч.1 / М.: Наука, 1974. - 334 с.
19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа / М.: Наука, 1976. - 544 с.
20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики / М.:Наука, 1966. -724 с.
21. Смирнов М.М. Курс высшей математики. Т.4, ч.2 / М.: Наука, 1981. - 550 с.
CORRECTNESS OF DIRICHLET’s AND POINCARE’s PROBLEMS IN CYLINDRICAL DOMAIN FOR DEGENERATED MULTIDIMENSIONAL HYPERBOLIC EQUATIONS WITH CHAPLYGIN’S OPERATOR
S.A. Aldashev
Scientific institute of applied mathematics and informatics of K.Zhubanov Аctobe State University, Zhubanov Brothers Str., 256, Aktobe, Kazakhstan, e-mail: [email protected]
Abstract. It is proved that Dirichlet’s and Poincare problems in cylindrical domain for degenerated multidimensional hyperbolic equations with Chaplygin’s operator have unique solution.
Key words: Dirichlet’s and Poincar’ e’s problems, correctness, degeneracy, multidimensional equations.
