CC BY
11
Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 2, С. 3-11
УДК 517.956
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА
С. А. Алдашев
В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного
уравнения Чаплыгина имеют единственные решения.
Ключевые слова: задача Дирихле, задача Пуанкаре, корректность, разрешимость, многомерное
уравнение, вырождение.
В [1] было показано, что на плоскости одна из фундаментальных задач математической физики — изучение поведения колеблющейся струны — некорректна, в случае когда краевые условия заданы на всей границе области. Как замечено в [2, 3], задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4], показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], которые сложно применимы в приложениях.
В [6, 7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболического уравнения, а [8, 9] доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения.
Насколько нам известно, многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре для вырождающихся гиперболических уравнений ранее не изучались.
В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина имеют единственные решения.
Пусть П/з — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+\ точек (ж1,... ,хт, £), ограниченная цилиндром Г = {(х,£) : |х| = 1}, плоскостями £ = в > 0 и £ = 0, где |х| — длина вектора х = (х1,... ,хт). Части этих поверхностей, образующих границу ОВр области Вв, обозначим через Гв, ¿в, йо соответственно.
В области В в рассмотрим многомерное уравнение Чаплыгина
д(г)Ахп - щъ = 0, (1)
где д(£) > 0 при £ > 0, д(0) = 0, д(£) £ С([0, в]) п С2((0,в)), Дх — оператор Лапласа по переменным х1,..., хт, т ^ 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат х1,..., хт, £ к сферическим г,01,... ,0т-1 г ^ 0, 0 < 01 < 2п, 0 < вг < п, г = 2,3,... ,т - 1.
Рассмотрим следующие многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре:
© 2013 Алдашев С. А.
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Бв из класса С (Б в) П С 2(Б), удовлетворяющее краевым условиям
п|„ = р(г,0), и|г = ^М), п|„ = т (г,0), (2)
или
uL = ¥(r, 0), uL = ^(t,0), ut L = V (r, 0). (3)
Пусть {Упт(О)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (т — 2)! п! кп = (п + т — 3)! (2п + т — 2), Жг(¿0), I = 0,1,..., — пространства Соболева.
Лемма 1 [10]. Пусть /(г, 0) £ Ж](¿о). Если I ^ т — 1, то ряд
ж k
)n
n=0k=1
/ M) = £E /k (r)Ykm(0), (4)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ I — т +1, сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2 [10]. Для того чтобы /(г, 0) £ Ш2 (£о), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
ж kn
| /о (r) | ^ С1, |/П (r)|2 < С2, С1 ,С2 = const .
n=1k=1
Через </?П(г)) 1рП (t), T-iik (r), (r) обозначим коэффициенты разложения в ряд вида (4) функций ^>(r, 0), ^(t, 0), т(r, 0), v(r, 0) соответственно.
Пусть ^(r,0) g W0(Se), ^(r,0) g W2(Гв), т(r, 0), v(r, 0) g W2(S0), l > и выполняются условия согласования
¥>(1,0) = ^(в>0)> ^(0,0)= т (1,0).
Тогда справедлива Теорема. Если
cos = 0, s = 1, 2,..., (5)
то задача 1 однозначно разрешима, где ^s>n — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+ (m-2) (z), n g N, в = J|f \/g(0 d£.
< В сферических координатах уравнение (1) имеет вид:
, .( m — 1 ¿u\ ^
g(t) I urr +--r—Ur — -5) — utt = 0, (6)
т-1 1 д / д \ § = -1: ^-Д- 0, Д Е'Пт'Д-1 д07) • »1 = 1- - = (81П01 0-1)2' 1
Известно [10], что спектр оператора § состоит из собственных чисел Ап = п(п+т — 2), п = 0,1,... , каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций 1^(0), к = 1,..., кп.
Так как искомое решение задачи 1 принадлежит классу С(Ов)пС2(—в), то его можно искать в виде
те кп
«М,*) = ЕЕ иПМ)^ (0), (7)
п=0 к=1
где иП(г, 4) — функции, подлежащие определению.
Подставив (7) в (6) и используя ортогональность сферических функций [10],
имеем
5(4) ^пПгг + т-1 иПг - ^и^ - иПй = 0, к = 1,..., кп, (п = 0,1,...), (8)
при этом краевые условия (2) и (3) с учетом леммы 1 соответственно принимают вид иП(г,в)= <аП(г), йП(М)= -Ш, йП(г, 0)= Ак(г), к = 1,...,кп, (п = 0,1,...), (9)
йП(г,в)= <аП(г), йП(1,4) = -г^пП(4), и^(г,0) = аП(г), к = 1,...,кп, (п = 0,1,
...).
, (1 — т) ,
Выполнив в (8) замену иП(г, 4) = г 2 иП(г, 4) и положив затем г = г,
2 /о ^)3, получим
к к АпУ к 7 / \ к г\
Уиптт ипуу + г2 ип Ь(у) ипу 0,
(10)
У=
(11)
_ ((т - 1)(3 - т) - 4Лп) , 1
ап =-4-, ь(у) = 20
5
¿У У.
Полагая иП = иП ехр - 1 / 6(£) , уравнение (11) приводим к виду
УАк
к
пгг ипуу +
АпУип=с(у) Ак
(12)
С(У) = -4(б2 + 2ьу) е С (у > 0).
Уравнение (12), в свою очередь, с помощью замены переменных г = г, хо переходит в уравнение
ик — ик
^пгг ^пжожо
1
АП
Зхо ипх0 + г2 ип 5П(г, х0),
ик
п
3
г, 1 2 хо
5П(г,хо) = ( 3x0
Зхо N 3
иП (г, хо).
ип (г, хо) = А
При этом краевые условия (9) и (10) соответственно примут вид:
иП М' ) = ^ ^ иП (1,хо ) = -П (хо^ иП (г, 0)= т^г^
1 д
иП(г,в') = ^(г), иП(1,хо) = (хо), Ишо х|— иП =
хо ^о дхо
(13)
(14)
3
2
У2
3
<dП (r) = r Wkn (r) exp
f b(e) , /?= ( У Vg(i) ,
^n (xo) = й (t) exp
b(e)
T° (r) = r (m2 1) тП (r), ^П(г) = r (m2 1) ^ (r).
Наряду с уравнением (13) рассмотрим уравнение
uO = _
J<aua,n — ua,nrr ua,n%0%0
a — 1
Xo
'a,nxо + r2 Ua,n ga,n(r, x0 ),
L0uO,n — uO,nrr uO,n^0x0 + r2 UO,n = gO,n(r, x0),
£an (r,x0 ) =
Xo 1a
-2a
X0 1a
1 — a-
X0
1a
1—a"
(16a) (160 )
g0,n(r, x0) = c(x0) u°>n(r, x0), 0 < a = const < 1.
Отметим, что уравнение (13) совпадает с уравнением (16а) при a = 3. Как доказано в [11, 12] (см. также [13]), существует следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (16а) и (160).
Утверждение 1. Если ь^П (r, x0) —решение задачи Коши для уравнения (160), удовлетворяющее условиям
ч0;П(r,0) = Tn0(r), ^X- u0,n(r,0) = 0,
(17)
то функция
<n(r,X0)= Ya I %;1(r,^X0)(1 - e2)2-Ч — 2-1 YaГ(- ) xi-aD0x2
чП^ x0 )
x
(18)
при а > 0 является решением уравнения (16а) с условиями (17).
Утверждение 2. Если х0) — решение задачи Коши для уравнения (16о), удо-
влетворяющее условиям
%'n(r, 0) =
vn(r)
(1 — a)(3 — a)... (2q + 1 — a) ' dx0
, i^u0;,1(r, 0)=0,
(19)
то при 0 < a < 1 функция
иаД (r,x0 ) = Y2- O+2q(
_d_
x0 dx0
1-a+2q / O,1
f uji(r,ex0)(1 — e2)q-a de
— Y2-O+2q2q-1 Г (q — a+ 1) Dl
(r, x0) x0
e
1
2
y
1
2
k
c
и
r
1
2
1
q
0
является решением уравнения (16а) с начальными данными
д
^(г, о) = о, ишпха^-^п=^(г), (21)
жо^о дхп
где л/ПГ (а) 7а = 2Г (Ор-) , Г(г) — гамма-функция, — оператор Римана — Лиувил-ля [14], а д ^ 0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2 — а + 2д ^ т — 1.
При этом функции дО п(г, хо) и д0 п(г, хо) связаны формулами (18) в случае утверждения 1 и формулами (20) в случае утверждения 2.
Теперь переходим к решению задачи (16а), (14) и (16а), (15). Решение задачи (16а), (14) будем искать в виде
,„(г,жо) = и^Мо) + ^^„(г, хо), (22)
где иа , п (г, хо) — решение задачи Коши (16а), (17), а иа',п(г, хо) — решение краевой задачи для уравнения (16а), с условиями
иа ;„(г,в')=,п(г)—иа;п(г,в'), иа;П(1,хо)=фпЫ—^па^о), иод (г,о)=о. (23)
Учитывая формулы (18), (20), а также обратимость оператора [14], задачи (16а), (17) и (16а), (23) соответственно сводим наши задачи к задаче Коши (16о), (17), имеющей единственное решение [12,15], и к задаче для уравнения (16о) с условиями
д
и*£(г,в) = ,0п(г), <п(1,хо) = Ф кп(хо), ^ < (г, 0) = о, (24)
где ,0п(г), ф 0п(хо) — функции, выражающиеся, соответственно, через ,П(г), т,(г) и
фпО^ т,(г).
Теперь будем решать задачу (16о), (24). Произведя замену -¡^(г,хо) = и°'п(г,хо) — Ф 0п(хо), задачу (16о), (24) приведем к следующей задаче
¿<п = <ПГГ— и°;пхожо + ^г <п = хо), (25)
^¿(г^ ) = ^п(г), ^(Мо ) = о, — иоп (г, о) = — ф 0пжо (о) = со, (26)
,0, 1 (г в/) = ,-0 (г) „-,0, 1 (1 х ) _ о д „-,0, 1 (г о) = ф0
¿^п(г, хо) = доп^ хо) + ф 10пжожо — ^Ф 0п, —п(г) = ,0п(г) — ф 0п(в0-
г
Решение задачи (25), (26) ищем в виде
^оп (г, хо) = ш °п(г, хо) + ^2п(г, хо), (27)
где ш0п (г, хо) — решение задачи
0п = 9о,п (г, хо) = с(хо)ш 1п + ФПжожо — ^Фп (28)
ш 0п(г, в/) = о, ш0п(1,хо) = о, А ш0п (г, о) = о, (29)
а ш|п (г, жо) — решение задачи
Ьш*п = с(жо )^п, (30)
д
шк2п(т,в') = ^п(г), ^п(1,жо) = 0, —шк2п(т, 0)= со. (31)
Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде
те
шп(г, жо) = £] Rs № (жо), (32)
5 = 1
при этом пусть
те те
a.s.raiЖо )Rs(r), <1nV ; —
s=1 s=1 s=1
g0,n(r,Жо) = ®s,n(жо)Rs(r), <ín(r) = ^bs,nRs(r), Со = ^es,nRs(r). (33)
Подставляя (32) в (28), (29), с учетом (33), получим
Rsrr + ^ Rs + |Rs = 0, 0 < r < 1, (34)
Rs(1) = 0, |Rs(0)| < то, (35)
Tsxoxo + ^Ts(xo) = -as,n(xo), 0 < жо < в, (36)
Ts (в') = 0, Tsxo (0) = 0. (37) Ограниченным решением задачи (33), (34) является [16]
Rs(r) = vTJv (pSlnr), (38)
n+(m—2) 2
где v = —^—, | = ^n-
Общее решение уравнения (36) представимо в виде [16]
Т5,п(жо) = Cis cos ^пЖо + C2s sin ^s,nЖo
xo xo
cos ^,пЖо [ . tAt sin ^,пЖо [ tAt
+--:- as,n(0 sin |s,n4«4--!- as,n(0 COs |s,n£a£,
№s,n J 1s,n J
оо cis, c2s — произвольные постоянные. Удовлетворив второе условие (37), будем иметь
(39)
^^^^(Жо) — c1s|s,n COs |s,nж0 xo xo
+ cos is^J as,n(^) sin |s,n^ - sin ^пЖо J as,n(^)cos |s,n£d£-оо
Подставляя (38) в (33), получим
тете
r-2 5о,п(г,жо) = ^ as.n^oJv (|s,nr), r-2 <П(г) = ^ bs,nJv (|s,nr),
s=1 s=1
те
r-2Co = ^es,nJv(|s,nr), 0 <r< 1.
s=i
Ряды (40) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [17], если
(хо) = 2[7„+1 (Рз,п)] 2 ! \/е<7о,п(е>хо)Л(Рз,п£) ¿е
(41)
= 2[л+1 (^,и)]-21Уе
С(хо(е,хо) + ^1гахохо - ^ ^1п(хо)
Л (^ ,п е)
б5,п = 2[/^+1 (^5,п)] лИфы(е)л(^е) ¿е, е5,п = 2[/^+1 (^5,п)] со\/£ло^е) ¿е
о
Учитывая свойства ортогональности функций Бесселя [17] 1
/ . (ХтбЛ (^,пе) = | п)]2
0 I 2' '
из (32), (38) и (41) имеем равенство
1
аз,п(хо) = с(хо)Тя,п(хо) + 2[Л^+1 (^,п)]-2 ^ лД
п = т; п = т,
^1пхо хо _2 Лп(х0 )
(^е) ¿е. (42)
Подставляя (42) в (39), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
хо
т5,п(хо) = Дп(хо) + / а,п(хо ,е)гя>п(е)^е,
которое имеет единственное решение [18]
хо
где
т5,п(хо ) = Дп(хо) + у л5,п(хо,е;1)/5,п(е) ¿е,
^,пДп(хо) = с 1СОЯ ^5,пхо - Со ЯШ ^,пхо
хо 1
(43)
+ 2[Л + 1 (^5,п)]
2
А.
- ПТ .V (^,пП^П 8Ш ^5,п(е - хоП ¿е
оо
п
(44)
^5,пС5;п(хо,е) = с(е)81п^5,п(е - хо), Я5,п(хо,е; 1) — резольвента ядра С5,п(хо,е). Из (37), (43) будем иметь
хо
/5,п(в' ) + / яв>п(в ,е;1)/«,п(е) ¿е = 0.
(45)
Далее, подставляя (44) в (45), при выполнении условии (5) однозначно определим постоянные с 1« (в = 1, 2 ...).
1
а
1
1
1
Таким образом, решением задачи (28), (29) является функция
те
(r,xo) = ^ )Jv ), (46)
s=1
где Ts,n(xo) находится из (43).
Теперь, подставляя (32) в (30), (31), с учетом (33) имеем задачу
Vsxoxo + = -c(xo)Vs,
Vs(e') = bs,n, Vsxo (0) = es,n, решение которой определяется по формуле (43), где
) = cis cos + es,n sin (47)
Из (43), (45), (47) при выполнении условий (5) определим постоянные cis (s = 1, 2,...).
Таким образом, решение задачи (30), (31) записывается в виде
те
w2n(r,xo) = ^ VrVs;„(xo)Jv(^sXo). (48)
s=1
Следовательно, единственным решением задачи (25), (26) является функция (27), где ^1„(r,xo) определяется из (46), а w2n(r,xo) из (48).
Далее, используя утверждения 1 и 2, устанавливается однозначная разрешимость задач (16а), (17) и (16«), (23).
Значит, из (22) следует, что задача (16а), (14), также имеет единственное решение.
Теперь будем решать задачу (16а), (15) в виде (22), где и^'Д^,xo) — решение задачи Коши (16а), (21), а иа , n (r, xo) — решение задачи для (16а) с данными
' )=^П(г) - ),
д (49)
ua,n(1,xo) = ^n(xo) - ua,n(1,xo), д^ П(г, 0) = 0.
Используя формулы (18), (20), задачи (16а), (21) и (16а), (49) соответственно приведем к задаче Коши (16o), (19) и к задаче (16o), (24), где (r), ^kn(xo) — функции, теперь выражающиеся соответственно через ^П(г), Vi(r) и ^n (xo), ^(r).
Таким образом, задача (16а), (15) также однозначно разрешима.
Следовательно, решением задачи 1 является функция (7), где пП(г, t) находятся из задачи (8), (9) в случае (1), (2) и из (8), (10) в случае задачи (1), (3).
Учитывая формулу [17] 2 J(z) = Jv-1 (z) — Jv+1 (z), оценки [10,19]
Jv(г:) = ^cos(z—2v—£>+0(z^), v ^
д q
|kn| < Cinm-2, ^Fn'm(0)
^ c2n2 1+q, j = 1,m — 1, q = 0,1,____
а также леммы 1 и 2, ограничения на заданные функции g(t), ^>(r, 0), ^(t, 0), т(r, 0), v(r, 0), как в [8, 9], можно показать, что полученное решение (7) принадлежит требуемому классу C(Dв) п C 1(De u So) п C2(Dp). >
Отметим, что эта теорема при g(t) = tp, p = const > 0 получена в [20].
Литература
1. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique // Princeton University Bulletin.—1902.—Vol. 13.—P. 49-52.
2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа.—М.: Изд. АН СССР, 1959.—164 с.
3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных.—М.: Наука, 2006.— 287 с.
4. Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem the vibrating string eguation // Bull. Amer. Math. Soc.—1939.—Vol. 45.—P. 851-858.
5. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem the wave eguation // Ann. Math. Pura Appl.—1958.— Vol. 46.—P. 155-182.
6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Диф. уравнения.—1970.—Т. 6, № 1.—C. 190-191.
7. Dunninger D. R., Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Diriclet problem for hyperbolic equations in cilindrical domains // J. Math. Mech.—1969.—Vol. 18, № 8.
8. Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation // Math. Problems Engineering.—2010.—Article ID 653215.—7 p.
9. Aldashev S. A. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higher-dimensional wave equation // J. of Math. Science.—2011.—Vol. 173, № 2.—P. 150-154.
10. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.—М.: Физматгиз, 1962.—254 с.
11. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений.— Алматы: Гылым, 1994.—170 с.
12. Алдашев С. А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения.—Орал: ЗКАТУ, 2007.—139 с.
13. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе.—Новосибирск: НГУ, 1973.—139 c.
14. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа, 1985.—301 с.
15. Алдашев С. А. Спектральные задачи Дарбу — Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Украинский мат. журн.—2003.—Т. 55, № 1.—C. 100-107.
16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—М.: Наука, 1965.— 703 с.
17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.—М.: Наука, 1974.—295 с.
18. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, ч. 1.—М.: Наука, 1974.—334 с.
19. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1966.—724 с.
20. Алдашев С. А. Задача Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллер-стедта // Материалы II Междунар. Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики».—Нальчик: НИИ ПМ и КБНЦ РАН, 2011.—C. 21-22.
Статья поступила 19 марта 2012 г.
АЛДАШЕВ СЕРИК АйМУРЗАЕВИЧ Институт прикладной математики и информатики Актюбинского гос. ун-та им. К. Жубанова, директор КАЗАХСТАН, 030000, Актобе, ул. Бр. Жубановых, 263 E-mail: aldash51@mail.ru
THE WELL-POSEDNESS OF THE DIRICHLET AND POINCARE PROBLEMS IN A CYLINDRIC DOMAIN FOR THE MULTI-DIMENSIONAL CHAPLIGIN EQUATION
Aldashev S. A.
This paper proves the unique solvability of the Dirichlet and Poincare problems in a cylindric domain for
the multi-dimensional Chapligin equation.
Key words: multi-dimensional Chapligin equation, Dirichlet problem, Poincare problem.
